§ 9-3 龙格 — 库塔法
一、高阶泰勒法
.),(( t )
( 1 )
)(
),(
足够光滑及的解 ytfy
ay
btaytf
dt
dy
??
?
?
?
?
???
?
假设初值问题
.,
)!1(
)(
!
)(
!2
)(
)()( )(
,)(
1
1
)1()(
2
1
1
?
?
?
?
?
??
?
???
??
????
iii
ni
n
ni
n
i
iii
ii
tt
h
n
y
h
n
ty
h
ty
htytyty
ntty
?
?
其中
得阶泰勒展开处作在将
?
?
?
?
?
?
??
?
???
?
?
??
?
?
???
??
?
?
?
?
?
nii
n
ii
iiii
nii
n
nii
n
ii
iiii
iii
h
n
ytf
h
ytf
hytfyy
y
h
h
n
tytf
h
n
tytf
h
tytf
htytftyty
tytfty
!
),(
!2
),(
),(
)!1(
))(,(
!
))(,(
!2
))(,(
))(,()( )(
) ),(,()(
)1(
2
1
0
1
)()1(
2
1
?
?
?
充分小时当
得再将
称上式为 n阶泰勒法
二、二阶龙格 — 库塔法
).()()(
( 3 )
),(
),(
)(
,,
( 2 )
)(
),(
3
1
12
1
22111
0
21
hOtyty
hkyhtfk
ytfk
kckchyy
y
cc
ay
btaytf
dt
dy
ii
ii
ii
ii
??
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
的局部截断误差
使以下数值解法的值及确定常数
??
?
?
?
给定初值问题
.))(,(,,
( 3 ) )()(
2
)()(
,
))(,())(,())(,()(
))(,()(
)()(
2
)()()(
)(
3
2
1
3
2
1
1
处的函数值分别表示相应函数在点其中
得代入上式
将
处展成幂级数在首先将
iiyt
ytii
yt
iiii
ii
tytfff
hOfff
h
hftyty
tytftytftytfty
tytfty
hOty
h
tyhtyty
tty
?
?????
?????
??
???????
?
?
?
))],(,(),([
),3(
211 iiiiiiii ythfyhtfcytfchyy ?? ??????
得由式
)()()(
,
)(),(),(),(),(),(
),(
),(
2
2211
2
1
1
hOfffhcfcfchyy
hOytfythfythfytfhkyhtf
yt
hkyhtf
ytii
iiyiiiiiiii
ii
ii
??????
??????
??
?
?
????
??
得代入上式
处展开成点
在开式，将函数利用二元函数的泰勒展
.)(
2
1
1
,,
0
2
1
,01
),()(
)())(
2
1
()1()(
,)(
3
221
21
221
3
11
3
2
2
2111
的计算公式局部截断误差为
可得到但只有两个方程，因此方程组有三个未知数，
满足条件即常数
当且仅当要使局部截断误差
得下假设在局部截断误差的前提
hO
ccc
cc
ccc
hOyty
hOfffchfcchyty
tyy
ii
ytii
ii
???
?????
??
?????????
?
??
??
?
?
?
?
( 9 )
)
3
2
3
1
(
)
4
3
,
4
3
(
),(
,
4
3
,
3
2
,
3
1
( 8 )
)(
2
),(
),(
1,,
2
1
211
12
1
0
21
211
12
1
0
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
?
???
?
?
kkhyy
hkyhtfk
ytfk
y
cc
kk
h
yy
hkyhtfk
ytfk
y
cc
ii
ii
ii
ii
ii
ii
?
?
?
?
递推公式为取
递推公式为如果取
( 1 0 )
)
)
2
1
,
2
1
(
),(
,
2
1
1,,0
21
12
1
0
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
???
?
hkyy
hkyhtfk
ytfk
y
cc
ii
ii
ii
?
? 递推公式为如果取
公式 (8),(9),(10)三式是三种常见的二阶龙格 — 库塔公式
).( 3hO局部截断误差为
)4(6 3211 kkkhyy ii ?????
),(1 ii ytfk ?
)2,2( 12 khyhtfk ii ???
))2(,( 123 kkhyhtfk ii ????
??0y
?
?
?
?
?
?
?
三、三、四阶龙格 — 库塔法
三阶龙格 — 库塔法
四阶龙格 — 库塔法
)22(6 43211 kkkkhyy ii ??????
),(1 ii ytfk ?
)2,2( 12 khyhtfk ii ???
??0y
?
?
?
?
?
?
?
)2,2( 23 khyhtfk ii ???
),( 34 hkyhtfk ii ???
作业
教材 P198 习题 3