§ 8-4 等距节点的牛顿 — 柯特斯公式
一、公式推导
Newton-Cotes公式是指等距节点下使用 Lagrange插值
多项式建立的数值求积公式
],[)( baCxf ?设函数
等份分割为将积分区间 nba ],[
niihax i,,1,0,????
为步长其中 n abh ??
各节点为
那么由如果作变量替换,thax ??
),,1,0(
)()1)(1()1(
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110
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ini
C
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xxxxxxxx
xxxxxxxx
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记
导出求积公式的系数
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)(
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b
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i
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ii
xfCabdxxf
CabA
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公式为于是相应的插值型求积
则
这种等距节点的插值型求积公式 (2)称为牛顿 — 柯特斯公式
.)( 叫柯特斯系数niC
在 Newton-Cotes公式中,n=1,2时的公式是梯形公式和
Simpson公式
1.梯形公式
abhbxaxn ?????,,,1 10则取
dtt? ??? 10 )1()1(0C
Cotes系数为
2
1?
dtt?? 10)1(1C 21?
于是
)]()([2)( bfafabdxxfba ????
2.Simpson公式
2,,2,,2 210
abhbxabxaxn ??????? 则取
Cotes系数为
dtttC ? ??? 20)2(0 )2)(1(41 61?
dtttC ? ??? 20)2(1 )2(2 1 64?
dtttC ? ?? 20)2(2 )1(41 61?
??
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2
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k
kk
b
a
xfCabdxxf
)]()2(4)([6 bfbafafab ?????
于是
二,Newton-Cotes公式的稳定性分析
因此用 Newton-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由
的计算引起函数值 )( kxf
dtjt
knkn
C
n
kj
nj
kn
n
k ? ?
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0
0
)( )(
)!(!
)1(
考察 Cotes系数
无关与函数的划分有关的节点只与积分区间 )(,],[ xfxba j
其值可以精确给定
响的舍入误差对公式的影只需讨论 )( kxf
)(
)()(,)(
计算值值
的近似作为而以为精确值假设 kkk xfxfxf
为误差)()( kkk xfxf ???
nI ?
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n
k
k
n
k xfCab
0
)( )()(
记
)( 计算值的近似值为 nI
而理论值为
nI ?
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n
k
k
n
k xfCab
0
)( )()(
的误差为与 nn II
nn II ? ?
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?? ba dxxg )(? ?? badx? ?)( ab ??
即
nn II ? ?)( ab ??
Newton-Cotes公式的舍入误差只是函数值误差的
倍)( ab ?
时，公式都是稳定的当事实上 8,?n
公式是稳定的时即 C o t esN ew t o nCnk nk ????,0,)(
有有正有负若,)( nkC
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n
k
n
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0
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此时,公式的稳定性将无法保证
因此,在实际应用中一般不使用高阶 Newton-Cotes公式
一、公式推导
Newton-Cotes公式是指等距节点下使用 Lagrange插值
多项式建立的数值求积公式
],[)( baCxf ?设函数
等份分割为将积分区间 nba ],[
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则
这种等距节点的插值型求积公式 (2)称为牛顿 — 柯特斯公式
.)( 叫柯特斯系数niC
在 Newton-Cotes公式中,n=1,2时的公式是梯形公式和
Simpson公式
1.梯形公式
abhbxaxn ?????,,,1 10则取
dtt? ??? 10 )1()1(0C
Cotes系数为
2
1?
dtt?? 10)1(1C 21?
于是
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2.Simpson公式
2,,2,,2 210
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于是
二,Newton-Cotes公式的稳定性分析
因此用 Newton-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由
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考察 Cotes系数
无关与函数的划分有关的节点只与积分区间 )(,],[ xfxba j
其值可以精确给定
响的舍入误差对公式的影只需讨论 )( kxf
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计算值值
的近似作为而以为精确值假设 kkk xfxfxf
为误差)()( kkk xfxf ???
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即
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因此,在实际应用中一般不使用高阶 Newton-Cotes公式
