§ 6-1 代数插值基本性质
一、插值问题
个不同的点上的一组在区间给定函数 1],[)( ?nbaxf
bxxxxa n ?????? ?210
nixfy ii,,2,1,0),( ???上的函数值
的代数多项式要求构造一次数不超过 n
niyxP ii,,2,1,0)( ???
j
n
j
jn xaxP ?
?
?
0
)(
使得在节点处
这个问题称为 n次代数插值,
的插值函数为函数称函数 )()( xfxP
则称之为插值多项式为多项式函数如果,)( xP
称为插值节点点,,,2,1,0,nix i ??
称为插值区间区间 ],[ ba
nnn xaxaxaaxP ????? ?2210)(
niyxP iin,,2,1,0)( ???
),( jixx ji ??若插值节点 则满足插值条件
的插值多项式
存在且唯一,
定理 1
二、代数插值多项式的存在唯一性
线性方程组
满足的系数证明：多项式 nn aaaaxP,,,,)( 210 ?
00202010 yxaxaxaa nn ????? ?
11212110 yxaxaxaa nn ????? ?
nnnnnn yxaxaxaa ????? ?2210
????
?
?
?
??
?
?
上述方程组的系数行列式为 n+1阶 Vandermond行列式
n
nnn
n
n
xxx
xxx
xxx
V
?
?????
?
?
2
1
2
11
0
2
00
1
1
1
d et ?
? ?
?
? ??
??
1
0 1
)(
n
i
n
ij
ij xx
由 Cramer法则,线性方程组有唯一解,证毕