§ 6-3 Newton插值
一、线性 Newton插值
( 1 ) )()(
)(
,)(
,)(
)()(
)(,)(),(),(),(
01
01
01
01
01
01
1
10110
111
00
001
0101
111001011100
xx
xx
yy
yxN
xx
yy
C
yxxCy
yxN
yC
yxN
xxCCxN
yxNyxNxNxfyxfy
?
?
?
??
?
?
?
???
?
?
?
???
????
由此有
得由
得由
令
使得求假设已知
二、二次 Newton插值
由此有
得由
得由
得由
令
使得求假设已知
02
01
01
12
12
2
222
01
01
1
111
00
001
1020102
222112
0022221100
,)(
,)(
,)(
))(()()(
)(,)(
,)(),()(),(),(
xx
xx
yy
xx
yy
C
yxN
xx
yy
C
yxN
yC
yxN
xxxxCxxCCxN
yxNyxN
yxNxNxfyxfyxfy
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
??
????
( 2) ))(( )()( 10
02
01
01
12
12
01
01
01
02 xxxxxx
xx
yy
xx
yy
xx
xx
yyyxN ??
?
?
??
?
?
??
?
???
三,n次 Newton插值
称
定义 1.
ni
fxxf ii
,,1,0
,)(
??
处的函数值为在互异的节点设
)(],[ jixx ffxxf
ji
ji
ji ??
??
)(,)( 均差一阶差商关于节点为 ji xxxf
)(],[],[],,[ kjixx xxfxxfxxxf
jk
jiki
kji ???
??
的二阶差商关于为 kji xxxxf,,)(
显然
],,,,[ 110 kk xxxxf ??
kk
kkk
xx
xxxxfxxxf
?
??
?
??
1
210110 ],,,,[],,,[ ??
阶差商的关于节点为 kxxxxxf kk iiii,,,,)( 110 ??
],,,,[ 110 kk iiii xxxxf ??
kk
kkk
ii
iiiiiii
xx
xxxxfxxxf
?
??
?
??
1
210110
],,,,[],,,[ ??
依此类推
)(
)(
)(
)(
)(
33
22
11
00
xfx
xfx
xfx
xfx
xfx kk 三阶差商二阶差商一阶差商
差商的计算方法 (差商表 ):
],[ 10 xxf
],[ 21 xxf
],[ 32 xxf
],,[ 210 xxxf
],,[ 321 xxxf
],,,[ 3210 xxxxf
零阶差商
且的线性组合表示
可由函数值阶差商的性质
,)(,),(),(
],,,,[)(1
10
110
k
kk
xfxfxf
xxxxfkxf
?
? ?
],,,,[ 110 kk xxxxf ??
?
? ?? ????
?
k
i kiiiiii
i
xxxxxxxx
xf
0 110 )())(()(
)(
??
性质 2 差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商
的值不变
],,[ 210 xxxf ],,[ 120 xxxf? ],,[ 012 xxxf?如
,,,,)(3 10) 的区间存在时在包含节点当性质 （ kk xxxxf ?
使得之间必存在一点在,,,,10 ?kxxx ?
],,,[ 10 kxxxf ?
!
)()(
k
f k ??
nixfxN
xxxfC
xxxxCxxCCxN
xnixfy
iin
ii
nnn
iii
,,1,0 )()(
],,,[
)()()()(;,,1,0),( 1
10
10010
?
?
??
?
??
?
???????
??
?
则
其中
互异假设已知定理
)())(()()( 110010 ????????? nnn xxxxxxCxxCCxN ??
? ?
?
?
?
???
n
k
k
j
jk xxxxxfC
1
1
0
100 )(],,,[ ?
定义 2 称
基本插值多项式次的关于节点为 N e w t o nnxxf i)(
?
?
??
n
k
kk xxxxfC
1
100 )(],,,[ ??
推论 n次牛顿插值公式的截断误差（余项）为
)()()( xNxfxR nn ??
)()!1( )( 1
)1(
xnf n
n
?
?
?? ?
?
?
?
?
???
n
i
i
n
xxnf
0
)1(
)()!1( )(?
例 1 作一不高于 4阶的 Newton插值多项式，使得
.3)4(,3)3(,2)2(,1)1(,1)0( 44444 ????? NNNNN
解,作（传统）差商表
ii yxi 0 0 1
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 3
0
1
1
0
0.5
0
-0.5
-0.5
-0.5 0
根据 Newton插值多项式定义有：
)2)(1(5.0)1(0, 51
))()()((
))()((
))(()()(
32104
2103
1020104
??????
?????
????
??????
xxxxx
xxxxxxxxc
xxxxxxc
xxxxcxxccxN
c0 c1 c
2 c
3 c
4
四,Newton基本插值公式的算法设计
? ?
?
??
?
????
??
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
?
?
?
n
i
in
j
jliln
jj
ijijijiij
ii
ln
l
ii
xzczN
ml
yC
xxyyy
yy
jninjS
mlzN
mlz
niyxn
0
1
0
0
1,1,1
0
)()(
,,2,1 S2
)()(
,,1,0;,,2,1 1
,,2,1),(
).,,2,1(
);,,1,0(,;
计算
对
计算
置
对
待插值点坐标
节点坐标及函数值插值多项式阶
?
??
?
?
?
输入
输出
步骤
五、带多重节点的 Newton插值多项式系数计算
若选作插值多项式节点的函数值和导数值以至高阶
导数值都已知，这些节点称为重节点,若只知函数值
和导数值称为二重节点，简称重节点,
例 2 作一不高于 4阶的 Newton插值多项式，使得
.3)2(,2)2(,2)1(,2)1(,1)0( 44444 ??????? NNNNN
解：仿例 1作改进差商表：
ii yxi 0 0 1
1 1 1
2 1 2
3 2 2
4 2 2
0
2
0
3
-1.5
5
3.251
-2
3
由此知该四阶 Newton插值多项式为
)2(2)1(25.32)1(5.1)1(1)(4 ????????? xxxxxxxxxN
作业：
教材 P135 习题 10
P136 习题 11