§ 6-2 Lagrange插值
一、线性插值
)(),( 1100 xfyxfy ??
的函数值在两个互异节点假设给出了连续函数 10,)( xxxf
1
01
0
0
10
1
1
011
111
100
001
011
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()()(
y
xx
xx
y
xx
xx
xP
xxyB
yxP
xxyA
yxP
xxBxxAxP
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
????
由此得
得由
得由
假设
二、抛物线插值
)(),(),( 221100 xfyxfyxfy ???
的函数值在三个互异节点假设给出了连续函数 210,,)( xxxxf
由此得
得由
得由
得由
))((
)(
))((
)(
)()(
)(
))((
))(())(()(
12022
221
21011
111
20100
001
10
10211
xxxxyC
yxP
xxxxyB
yxP
xxxxyA
yxP
xxxxC
xxxxBxxxxAxP
???
?
???
?
???
?
???
??????
令
2
1202
10
1
2101
20
0
2010
21
1
))((
))((
))((
))((
))((
))((
)(
y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
xP
??
??
?
??
??
?
??
??
?
三,n阶 Lagrange插值
iinni
i
yxPxPnxf
nixnxf
?
??
)(),(),(
),,1,0(1)(
使得的多项式确定一次数不高于上的函数值
个节点在互异的假设给出了连续函数 ?
可令
? ?
?
?
?
??
n
i
n
ij
j
jin xxAxP
0 0
)()(
于是
得由
得由
得由
)())(())((
)(
)())((
)(
)()()(
)(
1110i
1210111
11
0201000
00
niiiiiiii
iin
n
n
n
n
xxxxxxxxxxyA
yxP
xxxxxxyA
yxP
xxxxxxyA
yxP
??????
?
????
?
????
?
??
??
?
?
)()()(
00 0
xlAxxAxP i
n
i
i
n
i
n
ij
j
jin ?? ?
??
?
?
???
（ 3）
式 (3)称为 n次 Lagrange代数插值多项式
称为基本插值多项式)( xl i
?
?
?
??
n
ij
j
ii xxxl
0
)()(
四,Lagrange插值算法
),,2,1( )(
)1(
);0(,;
mlzP
mlz
niyxn
ln
l
ii
??
??
??
待插值点坐标
节点坐标及函数值插值多项式阶
? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
n
i
n
ij
j
jliln
n
ij
j ji
ii
xzAzP
mS
xx
yA
niS
0 0
0
)()(
,1,2,l 2
)(
1
,,1,0 1
计算
对
计算
对
?
?输入
输出
步骤
五,Lagrange插值多项式的截断误差
)())(()()(
)(
)!1(
)(
)(
,)()()(,
),,1,0(1)(
,1],[)( 1
10
0
)1(
n
n
i
i
n
n
nn
in
xxxxxxxxx
x
n
f
xR
xPxfxR
L a g r a n g ennixnxP
nbaxf
??????
?
?
??
??
?
?
?
?
??
?
?
则是其余项插值多项式
次的个节点是过互异的
阶连续导数上有在区间假设定理
作业：
教材 P135 习题 1,2