CH3 电阻电路的一般分析
本章介绍线性电阻电路方程的建立方法。内容包括：电路图论的初步知识；支路电流法；网孔法；回路法；结点法。
§3-1 电路的图
教学目的：学习图论的初步概念。
教学重点：图和树的概念。
教学难点：如何确定基本回路。
教学方法：自学为主，课堂讲授为辅。
教学内容：
一、图（G）
1．定义：图是结点和支路的集合，其中每条支路的两端都连到相应的结点上.孤立的结点也叫图，没有结点的支路不叫图。
2．子图：（Gi，i=1，2，3…）
Gi的全部结点、支路都包含在G中。
3．路径：从G的一个结点出发，依次通过图的支路和结点（每一支路和结点只通过一次），到达另一个结点（或回到原出发点），这种子图成为路径。
4．连通图：任意两结点间至少存在一条路径时，称G为连通图。
5．分离图：某些结点间没有路径相通，而分成几个孤立的部分。
6．全通图：任何一个结点和其它结点都有且只有一条支路连通，全通图一定是连通图，但连通图不一定是全通图。
7．有向图：赋予支路方向的图称为有向图。
书P51图3-1
二、树（T）
1．定义：满足下列三个条件的子图，称之为G的一棵树：
（1）是连通的；
（2）包含G的全部结点；
（3）本身没有回路。
2．树支：属于树的支路称为树支。
连支：不属于树的支路称为连支。
书P54图3-4
3．基本回路：对于G的任意一个树，加入一个连支后，就会形成一个回路，并且此回路除所加连支外均由树支组成，这种回路称为单连支回路或基本回路。
4．树支数：对于有n个结点，b条支路的连通图，树支数=n-1。
推论：连支数=b-n+1 ；基本回路数=连支数=b-n+1。
§3-2 KCL和KVL的独立方程数
教学目的：掌握独立结点、独立回路的概念及KCL、KVL独立方程数。
教学重点：KCL、KVL独立方程数。
教学难点：应用电路基本定律列写独立方程。
教学方法：课堂讲授。
教学内容：
一、KCL的独立方程数
1．推导：对于P52图3-2所示的电路图，对结点①，②，③，④分别列写KCL方程，有：
① i1-i4-i6=0；② -i1-i2+i3=0；③ i2+i5+i6=0；④ -i3+i4-i5=0；①+②+③+④0=0。
所以①，②，③，④不独立，任意三个独立。
2．结论：对于具有n个结点的电路，在任意（n-1）个结点上可以得出（n-1）个独立的KCL方程。相应的（n-1）个结点称为独立结点。
3．独立结点选择方法：n个结点中去掉一个，其余结点都是独立的。
二、KVL的独立方程数
1．推导：对于P57图3-2(b)所示的电路图，列写基本回路的KVL方程，有：
u1+u3+u5=0；
u1-u2+u4+u5=0；
-u4-u5+u6=0。
每个方程所包含的连支电压不出现在其它方程中，所以这个方程不可能由其它两个方程的线形组合获得，因此这三个方程是独立。
除此之外，基本回路以外的回路上列写的KVL方程都可由基本回路上的方程线形组合而成，因而是不独立的.例如：连支2、3加上树支4组成的回路上，KVL方程为：-u2-u3+u4=0 其实是由1、2两式叠加而得的结果：Ⅱ-Ⅰu1-u2+u4+u5-u1-u3-u5=-u2-u3+u4=0。
2．结论：对于一个结点为n，支路数为b的连通图，在基本回路（即单连支回路）上列写的KVL方
程是一组独立方程，方程数目=b-n+1。这些基本回路称为独立回路。
3．独立回路选择方法：单连支回路法（基本回路法）
（1）确定一个树；
（2）确定单连支回路（基本回路）.仅含唯一的连支，其余为树支。
§3-3 支路电流法
教学目的：学习2b法和支路电流法。
教学重点：支路电流法。
教学难点：用支路电流法求解电路的支路电流或电压。
教学方法：课堂讲授。
教学内容：
一、2b法
以b个支路电流和b个支路电压为变量列写2b个方程并直接求解。
二、支路电流法
1．定义：支路电流法是以b个支路电路为变量列写b个方程，并直接求解。
2．方程的一般形式：（书P58图3-8（a）、（b））
（n个结点，b条支路）
（1）由KCL得到n-1个独立的方程：∑ik=0。
对独立的结点①、②、③列写KCL方程，有：
（2）由KCL得到（b-n+1）个独立的方程：∑Rkik=∑uS k。
对独立回路列写KVL方程，有：
利用元件的VCR，有：
移项得：
支路电流法一般方程形式：
3．解题步骤：
支路电流法解题步骤：
（1）选定支路电流的参考方向；
（2）依据KCL列写n-1个独立的结点方程；
（3）选取（b-n+1）个独立回路，指定回路饶行方向，列写KVL方程；
（4）将（2）、（3）得到的方程联立求出i1，i2，…ib，及其它Uk=Rkik，Pk=Ukik；
（5）作答。
[例]：
图3-1 例题
[解]：
§3-4 网孔电流法
教学目的：掌握网孔、网孔电流的概念；学习网孔电流法。
教学重点：网孔电流法。
教学难点：应用网孔电流法求解电路。
教学方法：课堂讲授。
教学内容：
一、平面电路与非平面电路
凡是可以把所有元件都布置在一个平面上而端线不出现交叉重叠现象的电路，称为平面电路，称为平面电路，否则便是非平面电路。如下图中的（a）、（b）。对于（c）无论怎样调整布局，都做不到端线不发生交叉重叠，此时就为非平面电路。
图3-2 平面电路与非平面电路
二、网孔的定义
网孔是最简单的回路，即：不含任何支路的回路。网孔数=独立回路数=b-n+1 。举例：书P57图3-2(b)（KVL的独立方程数推导用图）
三、网孔电流法
1．定义：网孔电流法是以网孔电流为未知量，根据KVL对全部网孔列出方程求解。
2．方程的一般形式：（书P58图3-9 （a）、（b））
（1）选择网孔1、2
（2）对网孔1、2列出KVL方程，列方程时，以各自的网孔电流方向为绕行方向（一般为顺时针）：
；式中为支路电压
（3）由各支路的VCR为：
Ⅱ式代入Ⅰ式整理有：
Ⅲ 式
设分别为网孔1和网孔2的自阻，分别代表网孔1和网孔2的互阻，则Ⅲ式可改写为：
Ⅳ 式
推广：
式中具有相同下标的电阻R11，R22，…Rmm等是各网孔的自阻，有不同下标的电阻R12，R23等是各网孔间的互阻。自阻总为正，互阻总为负。（所有网孔电流都取为顺（逆）时针。方程右边的US11，US22，…Usmm的方向与网孔电流一致时，前面取“-”号，反之取“+”号。
3．解题步骤：
网孔电流法解题步骤：
（1）局部调整电路，当电路中含有电流源和电阻的并联组合时，可转化为电压源和电阻的串联组合；
（2）选取网孔电流，方向取顺时针方向；
（3）依据KVL列写网孔电流方程，自阻总为正，互阻视为流过的网孔电流方向而空，两电路同向取“+”，异向取“-”；
（4）解方程求解；
（5）作答。
[例]：
用网孔电流法求图3-3所示电路中各电源提供的电功率。
[解]：
设三个网孔电流如图示，列写如下网孔电流方程：
联立上述方程解得： 图3-3 例题
各电源提供的电功率分别为：
§3-5 回路电流法
教学目的：掌握回路电流的概念；学习回路电流法。
教学重点：独立回路的选取；回路电流法。
教学难点：应用回路电流法求解电路。
教学方法：课堂讲授。
教学内容：
一、回路电流
在一个回路中连续流动的假想电流。
二、回路电流法
1．定义：回路电流法是以一组独立的回路电流为电路变量的求解方法。
2．回路电流法方程的一般形式：书P51图3-1（a）
对回路：
对回路、回路略。
与网孔电流法方程相似，得到回路电流方程的一般形式：
其中，Rij（i=j）是各自回路的自阻，Rij（i≠j）是回路间的互阻，自阻总为正，互阻取正或负则由相关两个回路共有支路上两回路电流的方向是否相同决定的，相同时取正，相反时取负。
3．解题步骤：
（1）选择一个树，确定一组基本回路，指定回路的绕行方向；
（2）依据KVL列写以回路电流为未知量的方程，自阻总为正，互阻在相关回路共有支路上两回路电流方向相同时取正，相反时取负；
（3）若电路中含有无伴电流源或CS时，另行处理，一般是各增加一个方程；
（4）联立以上方程求解；
（5）作答。
[例]：如图（a）所示电路，试用回路电流法计算电流及两个电源提供的电功率。
图3-4 例题
[解]：
电路中含有一条有伴电流源支路，可以先将其等效变换，然后选择三个独立回路电流；利用KVL列写方程如下：
整理得：
联立以上方程求得：
同理可得：
所以：
2Ω电阻电流Ia：
5V电压源的电功率：
10A电流源的电功率：
§3-6结点电压法
教学目的：掌握结点电压的概念；学习结点电压法。
教学重点：结点电压法。
教学难点：应用结点电压法求解电路。
教学方法：课堂讲授。
教学内容：
一、结点电压
在电路中任意选择某一结点为参考结点，其他结点与此结点之间的电压称为结点电压。
二、结点电压法
1．定义：结点电压法是以结点电压为求解变量，并对独立结点KCL列出用结点电压表达的有关支路方程的方法。
方程的一般形式：教材P67图3-16
具体过程见教材P67～P69
对（n-1）个独立结点的电路有：
3．解题步骤：
结点电压法解题步骤：
（1）选取O为参考点，确定结点电压un1，un2，…；
（2）依据KCL列写简化后的结点电压方程，自导总是正，互导总为负；
（3）若电路中含有无伴电压源或CS时，另外处理，一般是各增加一个方程；
（4）联立以上方程求解；
（5）作答。
[例]：
用结点电压法求电流。
[解]：
选择为参考结点，则其余三个独立结点的方程如下：
联立以上方程解得：
所以：
