CH6 一阶电路 本章讨论可以用一阶微分方程描述的电路，主要是RC电路和RL电路，介绍一阶电路的经典法，以及一阶电路的时间常数的概念。还介绍零输入响应、零状态响应、全响应、阶跃响应和冲激响应等等。 §6-1 概述 教学目的：掌握过渡过程的概念、产生的原因；换路的概念；阶跃函数和冲激函数的特点及性质。 教学重点：过渡过程、基本信号。 教学难点：阶跃函数和冲激函数的性质。 教学方法：课堂讲授。 教学内容： 一、电路的过渡过程 1．过渡过程：电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程，过渡过程也称为暂点过程 2．过渡过程产生的原因：由“换路”而引起的过程。 3．换路：开关的通断；电路的开、短路；线路结构突变；元件参数变化；激励源改变等等。 4．研究意义：防止过电压、过电流。 5．研究方法： （1）时域分析法：时间定义域范畴里研究，即解微分方程——经典法；（CH6、CH7） （2）频域分析法：应用拉普拉斯变换——运算法；（CH13） （3）机助分析法：计算机辅助分析，由一组微分方程求解——数值法。（了解） 二、几种经典型函数的波形及性质 1．恒定量（DC） f（t）=K （K为常数） 2．变动量（AC） ）  图6-1 恒定量和变动量 3．阶跃函数 （1）S（t）= （2）单位阶跃函数（k=1）  （3）单位延迟阶跃函数（t=to时刻发生跃变）  （4）性质：“起始”任意一个函数 f（t）。见教材P142  图6-2 阶跃函数 4．脉冲函数 （1） （2）单位脉冲函数  （3）性质：可以分解为两个阶跃函数的叠加  图6-3 脉冲函数 5．冲激函数 （1）Kδ(t)= （2）Kδ(t-to)表示强度为K，发生在t=to处的冲激函数 （3）单位冲激函数 δ(t）= （4）δ(t)的筛分性质。见教材P145 （5）δ(t)与p(t)关系： （6）δ(t)与ε(t)关系：；。  图6-4 冲激函数 §6-2 换路定律与初值计算 教学目的：掌握换路定律和初值、稳态值的计算。 教学重点：换路定律公式、求初值及稳态值的方法。 教学难点：初值的计算。 教学方法：课堂讲授。 教学内容： 一、换路定律内容 1．内容： （1）若ic为有限值，则换路前后Uc，q保持不变 （2）若Ul为有限值，则换路前后il，ψ保持不变（理想电路） 2．说明：t=0 换路时刻；t=0换路前最终时刻；t=0+换路后最初时刻 3．公式：Uc（0+）Uc（0-） il（0+）=il（0-） q（0+）=q（0-） ψ（0+）=ψ（0-） 二、初值的计算 1．意义：经典法中确定积分常数 2．求初值的方法： （1）求il（0-）与Uc（0-）：将电容视为开路；电感视为短路； （2）求il（0+）与Uc（0+）：由换路定律：Uc（0+）=Uc（0-），il（0+）=il（0-）； （3）求ic（0+），Uc（0+）及其他元件上的电压，电流：将电容看成电压为Uc（0+）的电压源，电流看成电流为il（0+）的电流源。 [例1]： 如图所示电路，US=10V，R1＝4Ω，R2＝6Ω，C＝4μF，换路前电路已处于稳态，求换路后uC1、uR1、uR2的初始值。  图6-5 例题 [解]： 由于换路前电路已处于稳态，iC=0，电容可视为开路，则  由换路定律可得： 画出t=0+时的电路如图所示，电容可用电压源uC(0+)＝6V来代替。由图可求得   [例2]： 如图所示的电路，已知US=10V，R1＝1.6kΩ，R2＝6kΩ，R3＝4kΩ，L=0.2H，换路前已处于稳态，求换路后的iL、uL的初始值。  图6-6 例题 [解]： 由于换路前电路已处于稳态，uL=0，电感可视为短路，则  由换路定律可得： 画出t=0+时的电路如图所示，电感可用电流源iL(0+)＝1.5mA来代替。由图可求得  §6-3 一阶电路的零输入响应 教学目的：掌握一阶电路零输入响应的物理概念和过渡过程。 教学重点：零输入响应一般公式。 教学难点：零输入响应的求解。 教学方法：课堂讲授。 教学内容： 一、定义 所谓RC电路的零输入，是指无电源激励，输入信号为零。在此条件下，由电容元件的初始值uC(0+)作用下所产生的电路响应，称为零输入响应。 二、RC电路的零输入响应 1．定性分析： 在换路前，开关S合在1的位置上，电源对电容元件充电，达到稳态时，uC=U。在t=0时，将开关S从位置“1”合到位置“2”，使电路脱离电源，输入信号为零，此时，电容元件上的电压初始值 。在t>0时，电容元件经过电阻R开始放电。 2．定量分析： 根据KVL，列出t≥0时的电路微分方程  而，代入上式得： 上式为一阶常系数线性齐次微分方程，令它的通解为： 代入方程中，并消去公因子，得出该微分方程的特征方程： 其特征根为 ： 因此，该微分方程的通解为： 式中A为积分常数，由电路的初始条件确定，即： ， 所以  3．波形分析： 可见，电容在放电时，其电压随时间按指数规律衰减，它的初始值为U，衰减终了为零。uC 随时间的变化曲线如图6-8所示。  图6-8 电容放电时电压电流曲线 RC电路放电过程中电容放电电流和电阻上的电压为   上两式中的负号表示放电电流的实际方向与图中的参考方向相反。画出了i、uR随时间变化的曲线。 4．RC电路的零输入响应的时间常数 令  因为它具有时间的量纲，单位是秒，所以称为RC电路的时间常数。电压uC衰减的快慢决定于电路的时间常数。 当时，电容上电压值为  可见时间常数为电容电压衰减到初始值的0.368倍所需要的时间。 5．RC零输入响应一般公式：  6．能量分析（略） [例]：教材P151 6-3 三、RL电路的零输入响应 1．定性分析： 在换路前，开关S是合在“1”的位置上，电感元件中通有电流，。在t=0时将开关从“1”的位置合到“2”的位置，使电路脱离电源，RL电路被短路。此时，，电感元件已储有能量，逐渐被电阻R消耗。 2．定量分析： 根据KVL得： 又由 和代入上式得： 上式为一阶线性常系数齐次微分方程。其特征方程 ： 特征根为 ：  因此，微分方程的通解为 ： 由初始条件可确定 ： 所以，ＲＬ电路的零输入响应为： 上式中，令  ；也具有时间的量纲，称为ＲＬ电路的时间常数。 uL、uR的响应为：  3．波形分析： 所求i、uL、uR随时间而变化的曲线如图所示。uL为负值表示此时电感元件的实际电压极性与参考极性相反。 4．RL零输入响应的一般形式： 5．能量分析（略） [例]： 图是用伏安法测电感线圈的电阻RL的电路，电路稳定时，电流表的读数为4A，电压表的读数为10V。已知电流表的内阻为RA=0.05Ω，电压表的内阻为RV=10kΩ，电感L=5H。若开关S在t=0时打开，求（1）电感电流iL在t=0-、t=0+时的值；iL的表达式，并画出其波形。（2）电压表上的电压uV在t=0-、t=0+时的值；uV的表达式，并画出其波形。 [解]： （1）换路前，电路已稳定，则有：   图6-11 例题  ， 画t=0+时的等效电路如图（b），电路的时间常数为： 电流响应： 其波形如图（c）所示。 （2）由换路前稳定电路得 ： 由t=0+时的等效电路得： 电压响应： 其波形如图（c）所示。在换路瞬间电压表电压uV从10V突变到40kV，这样电压表要烧坏，为此，应在电压表两端并联一续流二极管D，如图（d）。 §6-4 一阶电路的零状态的响应 教学目的：掌握一阶电路零状态响应的物理概念和过渡过程。 教学重点：零状态响应一般公式。 教学难点：零状态响应的求解。 教学方法：课堂讲授。 教学内容： 一、定义 所谓RC电路的零状态，是指换路前电容元件未储有能量，即。在此条件下，由直流电源激励所产生的电路响应，称为零状态响应。 二、RC电路的零状态响应 1．定性分析： 在t<0时，电路已经处于稳态，即电容的初始状态，Uc（0-）=0，当t=0时，开关S闭合，由换路定律Uc（0+）=Uc（0-）=o，t=0+时刻电容相当于短路，电源电压U全部施加于电阻R两端，此时电流达到最大值，I（0+）=U/R，随着充电的进行，电容电压逐渐升高，充电电流逐渐减小，直到Uc=U，i=0，充电过程结束，电容相当于开路，电路进入稳态。 2．定量分析： 根据KVL得： 而，代入上式得： 上式为一阶常系数线性非奇次微分方程，它的解由该方程的特解uC′和对应的齐次方程的通解uC″组成。 特解，又称强制分量或稳态分量；通解，也称自由分量或暂态分量。 故微分方程的解为： 若，则由此初始条件代入上式得： 因此，零状态响应中的电容电压的表达式为： 3．波形分析： 电容电压uC 随时间的变化曲线如图所示。图中同时画出了稳态分量uC′和暂态分量uC″的曲线。暂态分量uC″的大小随时间按指数规律逐渐衰减，直至消失。电容电压uC从零初始值开始，随时间按指数规律逐渐增长，直至稳态值。  4．RC零状态响应的一般方程：  5．能量分析：略 三、RL电路的零状态响应 1．定性分析： 图示ＲＬ串联电路，开关Ｓ未闭合之前，由于电路开路，故电流，当Ｓ闭合接通直流电压源后，电路将产生零状态响应。因为换路前电感元件未储有能量，当开关Ｓ闭合瞬间，。 2．定量分析： 根据ＫＶＬ得： 又由 和代入上式得： 它是一阶常系数线性非齐次微分方程，它的通解为： 其中为特解，即稳态分量或强制分量，显然， 为通解，即暂态分量或自由分量，它的解为对应的奇次微分方程的解： 所以， 由初始条件可确定： 则零状态响应电流为： 同样，是ＲＬ电路的时间常数。愈小，过渡过程进行的就愈快。时间常数　正比于Ｌ，反比于Ｒ。改变电路的Ｒ或Ｌ值，可以影响过渡过程的快慢。大约经过（4~5）的时间，过渡过程已基本结束。 在电感电路的零状态响应中，电感和电阻电压为   3．波形分析：i、uL、uR随时间变化曲线如图所示。 4．RL零状态响应的一般公式：  5．能量分析（略） [例]：书P153 [解]：略 §6-5 一阶电路的全响应 教学目的：掌握一阶电路全响应的物理概念和过渡过程。 教学重点：全响应一般公式。 教学难点：全响应的求解。 教学方法：课堂讲授。 教学内容： 一、一阶电路全响应及其分解 1．定义：当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时，电路的响应称为全响应。 2．全响应的分解：  全响应＝稳态响应＋暂态响应  全响应＝零输入响应＋零状态响应 3．RC全响应一般公式： [例]：书P153 6-15 二、一阶电路的三要素法 1．三要素法概述： 2．三要素：（1）f（0+） （2）f（∞） （3）τ 3．公式：  [例]： 图示的电路中，当t=0时，开关S闭合，电路接通直流电源。开关闭合前电容没有储能。试用三要素法求换路后电容电压uC(t)和电源支路的电流i(t)，并绘出其变化曲线。  图6-16 例题 （1）求初始值uC(0＋)和i(0＋) 由于换路前电容没有储能，uC(0－)＝0，故uC(0＋)＝0 画t=0＋时的等效电路如图（a）所示，则  （2）求稳态值uC(∞)和i(∞) 画出t＝∞等效电路如图（b）所示。根据此电路可计算出   （3）求时间常数τ。画出求R等效电路如图（c）所示，则  图6-17 例题   （4）求电容电压uC(t)和电流i(t)   可见，用三要素法来计算一阶电路的过渡过程，不必列写和求解微分方程，比较简单，但如果不是一阶电路，就不能用三要素法来计算。 4．含CS的三要素法 （1）关键：求τ→Req （2）步骤： 求f（0+） 求换路后的原电路的戴维顶等效电路 求f（∞） 求τ 代入公式 [例]：教材P140 例6-5 §6-6 一阶电路的阶跃响应 教学目的：掌握一阶电路阶跃应的物理概念和过渡过程。 教学重点：阶跃响应一般公式。 教学难点：阶跃响应的求解。 教学方法：课堂讲授。 教学内容： 一、单位阶跃函数，延迟单位阶跃函数 二、阶跃响应 1．概念：指一阶电路在唯一的单位阶跃激励下所产生的零状态响应。 2．公式： 公式见P149表6-2 [例]： 求如图所示电路的单位阶跃响应，。 [解]： 利用三要素法： （1）求  （2）求  （3） 求：   §6-7 一阶电路的冲激响应 教学目的：掌握一阶电路冲激响应的物理概念和过渡过程。 教学重点：冲激响应一般公式。 教学难点：冲激响应的求解。 教学方法：课堂讲授。 教学内容： 一、单位冲激函数，延迟单位冲激函数 二、冲激响应 1．概念：教材p 2．公式： 见教材p表6-2 [例]：   [解]：