（一）函数的定义
（二）极限的概念
（三）连续的概念
一、主要内容
函 数
的定义
反函数 隐函数
反函数与直接
函数之间关系
基本初等函数
复合函数
初等函数
函 数
的性质
单值与多值
奇偶性
单调性
有界性
周期性 双曲函数与 反双曲函数
1、函数的定义
．记作
的函数，是对应，则称则总有确定的数值和它
按照一定法，变量集．如果对于每个数
是一个给定的数是两个变量，和设定义
)( xfy
xy
yDx
Dyx
?
?
叫做因变量．
叫做自变量，，叫做这个函数的定义域数集
y
xD
.}),({ 称为函数的值域
函数值全体组成的数集
DxxfyyW ???
函数的分类
函
数
初
等
函
数
非初等函数 (分段函数,有无穷多项等函数 )
代
数
函
数
超越函数
有
理
函
数
无理函数
有理整函数 (多项式函数 )
有理分函数 (分式函数 )
(1) 单值性与多值性,
若对于每一个 Dx ?,仅有一个值 )( xfy ? 与之对
应,则称 )( xf 为单值函数,否则就是多值函数,
x
y
o
xey ?
x
y
o
1)1( 22 ??? yx
2、函数的性质
(2) 函数的奇偶性,
偶函数 奇函数
有对于关于原点对称设,,DxD ??;)()()( 为偶函数称 xfxfxf ??;)()()( 为奇函数称 xfxfxf ???
y
x o
x
y
o
xy ? 3xy ?
(3) 函数的单调性,
设函数 f(x)的定义域为 D，区间 I D，如果对于区间 I上
任意两点 及,当 时，恒有,
(1),则称函数 在区间 I上是 单调增加的 ；
或 (2),则称函数 在区间 I上是 单调递减的 ；
单调增加和单调减少的函数统称为 单调函数 。
?
1x 2
x 21 xx ?
)()(
)()(
21
21
xfxf
xfxf
?
?
)(xf
)(xf
x
y
o
2xy ? ;0 时为减函数当 ?x;0 时为增函数当 ?x
..)(
,)(,,0,
否则称无界上有界在则称函数
成立有若
Xxf
MxfXxMDX ??????
(4) 函数的有界性,;),0()0,( 上无界及在 ????
.),1[]1,( 上有界及在 ?????
x
y
o
xy
1?
11?
设函数 f(x) 的定义域为 D，如果存在一个不为零的
数 l,使得对于任一,有,且 f(x+l)=f(x)
恒成立,则称 f(x)为 周期函数,l 称为 f(x) 的 周期,（通
常说周期函数的周期是指其最小正 周期 ）,
Dx? Dlx ?? )(
(5) 函数的周期性,
o
y
x
1
1
][ xxy ??1?T
3、反函数
.)()( 1 称为反函数确定的由 xfyxfy ???
0???? yexy如
4、隐函数
.)(
0),(
称为隐函数
所确定的函数由方程
xfy
yxF
?
?
xy s in h? )(1 xfy ?? s in har? x
)( xfy ?
x
y
o
)),(( xxf
))(,( xfx
)(1 xfy ??
5、反函数与直接函数之间的关系
则函数
是一一对应设函数
,
)( xf
? ?
fDxx
xffxff
??
? ?? ))(())((1 11
? ?
.
)()(2 1
xy
xfyxfy
?
?? ?
图象对称于直线
的与
6、基本初等函数
1） 幂函数 )( 是常数?? ?xy
2）指数函数 )1,0( ??? aaay x
3）对数函数 )1,0(l o g ??? aaxy a
4）三角函数 ;c o s xy ?;s i n xy ?
5）反三角函数 ;a r c c o s xy ? ;a r c s i n xy ?;c o t xy ?;t a n xy ?;a r c t a n xy ? ?y co tarc x
7、复合函数
设函数 )( ufy ? 的定义域 fD,而函数 )( xu ??
的 值 域 为 ?Z,若 ??? ?ZD f,则称函数
)]([ xfy ?? 为 x 的 复合函数,
8、初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有
限次的函数复合步骤所构成并可用 一个式子表示
的函数,称为 初等函数,
9、双曲函数与反双曲函数
2s i n h
xx ee
x
??
?双曲正弦
2c o s h
xx ee
x
??
?双曲余弦
xx
xx
ee
ee
x
xx
?
?
?
???
c o s h
s i n ht a n h双曲正切
双曲函数常用公式;s i n h xy ?反双曲正弦 ar;t a n xy ?反双曲正切 ar;c o s h xy ?反双曲余弦 ar;s i nhs i nhco s hco s h)co s h( yxyxyx ???;1s i n hc o s h 22 ?? xx ;co s hs i nh22s i nh xxx ?
.s i n hc o s h2c o s h 22 xxx ??;s i nhco s hco s hs i nh)s i nh( yxyxyx ???
左右极限
两个重要
极限
求极限的常用方法
无穷小
的性质
极限存在的
充要条件
判定极限
存在的准则
无穷小的比较
极限的性质
数列极限 函 数 极 限
axnn ???lim Axfxx ?? )(lim 0 Axfx ??? )(lim
等价无穷小
及其性质
唯一性
无穷小
0)(lim ?xf
两者的
关系
无穷大
??)(lim xf
定义 如果对于任意给定的正数 ? ( 不论它多么
小 ),总存在正数 N,使得对于 Nn ? 时的一切
n
x,不
等式 ??? ax
n
都成立,那末就称常数 a 是数列
n
x
的极限,或者称数列
n
x 收敛于 a,记为
,lim ax
n
n
?
??
或 ).( ??? nax
n
.,,0,0 ?? ??????? axNnN n恒有时使
1、极限的定义
定义"" N??
定义 2 如果对于任意给定的正数 ? ( 不论它多么小 ),
总存在正数 ?,使得对于适合不等式 ????
0
0 xx 的
一切 x,对应的函数值 )( xf 都满足不等式
??? Axf )(,
那末常数
A
就叫函数 )( xf 当 0xx ? 时的极限,记作
)()()(l i m
0
0
xxAxfAxf
xx
???
?
当或
定义"" ???
.)(
,0,0,0 0
???
??????????
Axf
xx
恒有
时使当
左极限
.)(
,,0,0 00
???
??????????
Axf
xxx
恒有
时使当
右极限
.)(
,,0,0 00
???
??????????
Axf
xxx
恒有
时使当
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
???
??
??
或记作
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
???
??
??
或记作
.)0()0()(lim,00
0
AxfxfAxfxx ???????定理
无穷小, 极限为零的变量称为 无穷小,
).0)(lim(0)(lim
0
?? ??? xfxf xxx 或记作
绝对值无限增大的变量称为 无穷大, 无穷大,
).)(lim()(lim
0
???? ??? xfxf xxx 或记作
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小 ;恒不为
零的无穷小的倒数为无穷大,
无穷小与无穷大的关系
2、无穷小与无穷大
定理 1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和
仍是无穷小,
定理 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,
推论 1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的
乘积是无穷小,
推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小,
推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小,
无穷小的运算性质
定理
.0,
)(
)(
lim)3(;)]()(l i m [)2(;)]()(l i m [)1(
,)(lim,)(lim
??
???
???
??
B
B
A
xg
xf
BAxgxf
BAxgxf
BxgAxf
其中
则设
推论 1 ).(lim)](l i m [
,,)(lim
xfcxcf
cxf
?
则为常数而存在如果
.)]([ l i m)](l i m [
,,)(lim
nn xfxf
nxf
?
则是正整数而存在如果
推论 2
3、极限的性质
4、求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限 ;
b.消去零因子法求极限 ;
c.无穷小因子分出法求极限 ;
d.利用无穷小运算性质求极限 ;
e.利用左右极限求分段函数极限,
准则 Ⅰ′ 如果当 ),(
0
0
rxUx ? ( 或 Mx ? ) 时,有
,)(lim,)(lim)2(
),()()()1(
)()(
00
AxhAxg
xhxfxg
x
xx
x
xx
??
??
??
?
??
?
那末 )(li m
)(
0
xf
x
xx
??
?
存在,且等于 A,
5、判定极限存在的准则
准则 Ⅱ 单调有界数列必有极限,
(夹逼准则 )
(1) 1
s i nl i m
0
?
? x
x
x
(2) ex
x
x
??
??
)11(l i m
ex x
x
??
?
1
0
)1(lim;1s i nl i m ?? ?
某过程
.)1(lim
1
e?? ??
某过程
6、两个重要极限
);(
,,0lim)1(
???
???
?
?
o记作
高阶的无穷小是比就说如果
定义,,0,,???? 且穷小是同一过程中的两个无设;),0(lim)2( 是同阶的无穷小与就说如果 ?????? CC;~;,1lim
??
???
?
?
记作
是等价的无穷小与则称如果特殊地
7、无穷小的比较
定理 (等价无穷小替换定理 )
.limlim,lim~,~ ? ?? ????? ?? ?? ??? ?? 则存在且设
.
),0,0(lim)3(
无穷小
阶的是是就说如果 kkCCk ?????
?
?
定理 若 )(lim xf 存在,则极限唯一,
8、等价无穷小的性质
9、极限的唯一性
左右连续
在区间 [a,b]
上连续
连续函数
的 性 质
初等函数
的连续性
间断点定义 连 续 定 义 0lim
0 ???? yx )()(l i m 00 xfxfxx ??
连续的
充要条件
连续函数的
运算性质
非初等函数
的连续性
振
荡
间
断
点
无
穷
间
断
点
跳
跃
间
断
点
可
去
间
断
点
第一类 第二类
定义 1 设函数 )( xf 在点
0
x 的某一邻域内有定义,
如果当自变量的增量 x? 趋向于零时,对应的函数
的增量 y? 也趋向于零,即
0lim
0
??
??
y
x
或 0)]()([lim
00
0
????
??
xfxxf
x
那末就称函数 )( xf 在点
0
x 连续,
0
x 称为 )( xf 的连
续点,
1、连续的定义
).()(lim2 0
0
xfxfxx ??定义
定理
.
)()( 00
既左连续又右连续
处在是函数处连续在函数 xxfxxf ?
.)(
),()0(,),[)(
0
000
处右连续在点则称
且内有定义在若函数
xxf
xfxfbxxf ??
3、连续的充要条件
2、单侧连续;)(
),()0(,],()(
0
000
处左连续在点则称
且内有定义在若函数
xxf
xfxfxaxf ??
:)( 0 条件处连续必须满足的三个在点函数 xxf;)()1( 0 处有定义在点 xxf;)(l i m)2(
0
存在xfxx ?
).()(l i m)3( 0
0
xfxfxx ??
).()(
),()(
,
00
或间断点的不连续点
为并称点或间断处不连续在点函数
则称要有一个不满足如果上述三个条件中只
xf
xxxf
4、间断点的定义
(1) 跳跃间断点
.)(
),0()0(,
,)(
000
0
的跳跃间断点
为函数则称点但存在
右极限都处左在点如果
xf
xxfxf
xxf
???
(2)可去间断点
.)(
)(),()(lim
,)(
0
00
0
0
的可去间断点为函数义则称点
处无定在点或但
处的极限存在在点如果
xfx
xxfxfAxf
xxf
xx
??
?
5、间断点的分类
跳跃间断点与可去间断点统称为 第一类间断点,
特点,,,0 右极限都存在处的左函数在点 x
可去型 第一
类
间
断
点
跳跃型
0
y
x 0x0
y
x 0x
0
y
x
无穷型 振荡型
第
二
类
间
断
点
0
y
x 0x
第二类间断点
.
)(,
,)(
0
0
类间断点
的第二为函数则称点至少有一个不存在
右极限处的左在点如果
xfx
xxf
.],[)(
,,
,),(
上连续在闭区间函数
则称处左连续在右端点处右连续
并且在左端点内连续如果函数在开区间
baxf
bxax
ba
??
6、闭区间的连续性
7、连续性的运算性质
定理
.
)0)((
)(
)(
),()(),()(
,)(),(
0
0
0
处也连续在点
则处连续在点若函数
x
xg
xg
xf
xgxfxgxf
xxgxf
???
定理 1 严格单调的连续函数必有严格单调的连
续反函数,
定理 2
) ],(lim[)()]([lim
,)(,)(lim
00
0
xfafxf
aufax
xxxx
xx
????
??
??
?
则有连续在点函数若
8、初等函数的连续性
.)]([
,)(,
)(,)(
0
00
00
也连续在点
则复合函数连续在点而函数
且连续在点设函数
xxxfy
uuufyu
xxxxu
???
???
????
定理 3
定理 4 基本初等函数在定义域内是连续的,
定理 5 一切初等函数在其 定义区间 内都是连续的,
定义区间是指包含在定义域内的区间,
9、闭区间上连续函数的性质
定理 1(最大值和最小值定理 ) 在闭区间上连续
的函数一定有最大值和最小值,
定理 3( 零点定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间 ? ?ba,
上连续，且 )( af 与 )( bf 异号 ( 即 0)()( ?? bfaf ),
那末在开区间 ? ?ba,内至少有函数 )( xf 的一个零
点,即至少有一点 ? )( ba ???,使 0)( ??f,
定理 2(有界性定理 ) 在闭区间上连续的函数一定
在该区间上有界,
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M
与最小值 m之间的任何值,
定理 4( 介值定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间 ? ?ba,上
连续，且在这区间的端点取不同的函数值
Aaf ?)( 及 Bbf ?)(,
那末，对于 A 与 B 之间的任意一个数 C,在开区间
? ?ba,内至少有一点 ?,使得 cf ?? )( )( ba ???,
二、典型例题
例 1,)16(lo g 2)1( 的定义域求函数 xy x ?? ?
解,016 2 ?? x
,01 ??x
,11 ??x
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
4
x
x
x
,4221 ???? xx 及
).4,2()2,1( ?即
例 2
).(
.1,0,2)
1
()(
xf
xxx
x
x
fxf
求
其中设 ???
?
?
解 利用函数表示法的无关特性
,1xxt ??令,1 1 tx ??即 代入原方程得
,1 2)()1 1( ttftf ????,1
2)
1
1()(
xxfxf ????即
,11 1 uux ???令 1 1 ux ??即 代入上式得
,)1(2)1()1 1( uuuufuf ?????,
)1(2)1()
1
1(
x
x
x
xf
xf
????
?即
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
x
x
x
f
x
f
xx
fxf
x
x
x
fxf
)1(2
)
1
()
1
1
(
1
2
)
1
1
()(
2)
1
()(
解联立方程组
.11 11)( ?????? xxxxf
例 3 ).1()1)(1)(1(lim
,1
242 nxxxx
x
n
????
?
??
?求
时当
解 将分子、分母同乘以因子 (1-x),则
x
xxxxx n
n ?
??????
?? 1
)1()1)(1)(1)(1(lim 242 ?原式
x
xxxx n
n ?
?????
?? 1
)1()1)(1)(1(lim 2422 ?
x
xx nn
n ?
???
?? 1
)1)(1(lim 22
x
x n
n ?
?? ?
?? 1
1lim 12
.1 1 x??,)0lim,1( 12 ?? ?
??
nxx
n时当?
例 4,)s in1
ta n1(l im 31
0
x
x x
x
?
?
?
求
解 解法讨论
则设,)(lim,0)(lim ??? xgxf
)](1l n [)(l i m)()](1l i m [ xfxgxg exf ??? )]()[(lim xfxge ??
.)()(l i m xfxge ?? ))(~)](1l n [( xfxf ???
3
1
0
)]1s i n1 ta n1(1[lim x
x x
x ?
?
???
?
原式
3
1
0
]s in1 s inta n1[lim x
x x
xx
?
???
?
30
1
s in1
s inta nlim
xx
xx
x
?? ?
?
? 30 1c o s)s i n1( )c o s1(s i nlim xxx xxx ?? ?? ?
xxx
x
x
x
x c o s)s i n1(
1c o s1s i nlim
20 ??
???
? ??2
1
.21e?? 原式
例 5 ).(,1
)(
lim
,2
)(
lim,)(
0
2
3
xp
x
xp
x
xxp
xp
x
x
求
且是多项式设
?
?
?
?
??
解,2
)(lim
2
3
??
?? x
xxp
x
?
),(2)( 23 为待定系数其中可设 babaxxxxp ?????
,1)(li m
0
?
? x
xp
x
?又
)0(~2)( 23 ?????? xxbaxxxxp
.1,0 ?? ab从而得 xxxxp ??? 23 2)(故
例 6
.
1,
2
c o s
1,1
)( 的连续性讨论
??
?
?
?
?
??
?
x
x
xx
xf ?
解 改写成将 )( xf
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
???
?
1,1
11,
2
c o s
1,1
)(
xx
x
x
xx
xf
.),1(),1,1(),1,()( 内连续在显然 ??????xf
,1时当 ??x
???? )(l i m1 xfx ????? )1(lim 1 xx,2
???? )(lim 1 xfx ????? 2co slim 1 xx,0
)(l i m)(l i m 11 xfxf xx ?? ???? ??
.1)( 间断在故 ??xxf
,1时当 ?x
??? )(l i m1 xfx ???? 2co slim 1 xx,0
??? )(l i m1 xfx ???? )1(lim 1 xx,0
)(lim)(lim 11 xfxf xx ?? ?? ??
.1)( 连续在故 ?xxf
.),1()1,()( 连续在 ??????? ?xf
例 7 ).()
2
1
(]1,0[
),1()0(,]1,0[)(
??? ff
ffxf
???
?
使得证明必有一点
且上连续在闭区间设
证明 ),()21()( xfxfxF ???令
.]21,0[)( 上连续在则 xF
),0()21()0( ffF ??? ),21()1()21( ffF ??
讨论,,0)0( ?F若,0??则 );0()210( ff ??
,0)21( ?F若,21??则 );21()2121( ff ??
则若,0)21(,0)0( ?? FF
?? )21()0( FF 2)]0()21([ ff ??,0?
由零点定理知,.0)(),21,0( ??? ?? F使
.)()21( 成立即 ?? ff ??
综上,],1,0[]21,0[ ???必有一点
.)()21( 成立使 ?? ff ??
一,选择题：
1,函数
2
1
a r c c o s1
?
???
x
xy 的定义域是 （ ）
(A) 1?x ；
(B) 13 ??? x ；
(C) )1,3( ? ；
(D)
? ? ? ?131 ????? xxxx
.
2,函数
?
?
?
???
????
?
30,1
04,3
)(
2
xx
xx
xf 的定义域是 （ ）
(A)
04 ??? x；
(B)
30 ?? x;
(C) )3,4( ? ;
(D)
? ? ? ?3004 ?????? xxxx
.
测 验 题
3,函数 xxxy s i nc o s ?? 是 （ ）
(A) 偶函数； ( B ) 奇函数；
(C) 非奇非偶函数； (D) 奇偶函数,
4,函数 xxf
2
c o s1)(
?
?? 的最小正周期是 （ ）
( A ) 2 ? ； ( B ) ? ；
( C ) 4 ； ( D )
2
1
,
5,函数
2
1
)(
x
x
xf
?
? 在定义域为 （ ）
(A) 有上界无下界； (B ) 有下界无上界；
(C) 有界，且 2
1
2
1
)( ?? xf ；
( D ) 有界，且 2
1
2
2
?
?
??
x
x
,
6,与 2)( xxf ? 等价的函数是 （ ）
(A ) x ； (B ) 2)( x ；
(C ) 33 )( x ； (D ) x,
7,当 0?x 时，下列函数哪一个是其它三个的高阶
无穷小 （ ）
（ A ） 2x ； （ B ） xc o s1 ? ；
（ C ） xx t a n? ； （ D ） )1l n ( x?,
8,设,0,
00
?ba 则当 （ ）时有
0
0
1
10
1
10
.,,,,,,,,
.,,,,,,,
l i m
b
a
bxbxb
axaxa
n
nn
m
mm
x
?
???
???
?
?
??
,
( A) nm ? ； (B) nm ? ；
( C) nm ? ； (D) nm,任意取,
二、求下列函数的定义域：
9,设
?
?
?
??
????
?
10,
01,1
)(
xx
xx
xf
则 ?
?
)(lim
0
xf
x
( )
( A ) - 1 ； ( B ) 1 ；
( C ) 0 ； ( D ) 不存在,10, ?? x
x
x 0
lim （ ）
(A) 1 ； (B) -1 ；
(C) 0 ； (D ) 不存在,;a r c t a n)12s i n (1 xxy ???、
2, 1
2
)9
l g ()(
2
?
?
?
xx
x?,
三,设 132)1(
2
???? xxxg
（ 1 ） 试确定 cba,,的值使
cxbxaxg ?????? )1()1()1(
2；
（ 2 ） 求
)1( ?xg
的表达式,
四,求 xxxf s g n)1()(
2
?? 的反函数 )(
1
xf
?
.
五,求极限：
1,
2
2
)1(
12
l i m
n
nn
n ?
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??； 2,
3
21
l i m
3 ?
??
? x
x
x；
3, x
x
x
2
0
)1(l i m ?
?； 4, )1(lim
1
?
??
x
x
ex ；
5,当 0?x 时，
n
n
xxx
2
c o s.,,,,,,,
4
c o s
2
c o sl i m
??；
6,
12
1
s i n
lim
2
2
?
???
x
x
x
x
,
六,设有函数
?
?
?
???
?
?
1,1)1(
1,s i n
)(
xxa
xax
xf 试确定 a 的
值使 )( xf 在 1?x 连续,七,讨论函数
x
x
x
xf
2
s i n
1
1
a r c t a n
)(
?
??
的连续性，并判
断其间断点的类型,
八,证明奇次多项式：
1221120)( ?? ???? nnn axaxaxP ? )0( 0 ?a 至少存
在一个实根,
一,1, B ； 2, D ； 3, B ； 4, C ； 5, C ；
6, D ； 7, C ； 8, B ； 9, D ； 10, D ；
二,1, );,( ???? 2, [4,5].
三,352)1(,0,1,2
2
??????? xxxgcba,
四、
?
?
?
?
?
?????
?
??
?
?
1,)1(
0,0
1,1
)(
1
xx
x
xx
xf,
五,1, 2 ； 2,
4
1； 3,
2
e； 4, 1 ； 5,
x
xs i n；
6,
2
2
.
测验题答案
六,??
?
?? ka 2
2
),2,1,0( ??k
七,0?x 可去间断点,1?x 跳跃间断点,
),2,1(2 ????? nnx 无穷间断点,
x 为其它实数时 )( xf 连续,
