（一） 曲线积分与曲面积分
（二）各种积分之间的联系
（三）场论初步
一、主要内容
曲
线
积
分
曲
面
积
分
对面积的
曲面积分
对坐标的
曲面积分
对弧长的
曲线积分
对坐标的
曲线积分
计
算 计算
联
系 联系
（一） 曲线积分与曲面积分
曲 线 积 分
对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分
定
义 ?? ??? ????
n
i
iiiL sfdsyxf
10
),(lim),( ? ?L dyyxQdxyxP ),(),( ]),(),([l i m
10
iii
n
i
iii yQxP ???????? ?
???
联
系 dsQPQ d yP d x LL )co sco s( ???? ???
计
算
?
?
?
?
? ??? ???? dtf
dsyxf
L
22],[
),(
三代一定 )( ???
?
?
?
?
? ????? ????
?
dtQP
QdyP dx
L
]),(),([
二代一定 (与方向有关 )
与路径无关的四个等价命题
条
件
在单连通开区域 D 上 ),(),,( yxQyxP 具有
连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立,
? ?L Q d yP d xD 与路径无关内在)1(
? ???C DCQd yP d x 闭曲线,0)2(
Q d yP d xduyxUD ??使内存在在 ),()3(
x
Q
y
PD
?
??
?
?,)4( 内在
等
价
命
题
曲 面 积 分
对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
定
义 ??? ???
?? n
i iiii
sfdszyxf
10
),,(l i m),,( ???? xyin
i iii
SRdxdyzyxR )(),,(l i m),,(
10
?? ???
???
????
联
系
??? ?? R dx d yQd z d xP d y d z
计
算 一代,二换,三投 (与侧无关 ) 一代,二投,三定向 (与侧有关 )
??? ?? dSRQP )c o sc o sc o s( ???
??? dszyxf ),,(
?? ???
xyD
yx dxdyzzyxzyxf 221)],(,,[
??? dxdyzyxR ),,(
????
xyD
d x d yyxzyxR )],(,,[
定积分 曲线积分
重积分 曲面积分
计算
计算
计算
Stokes公式
Guass公式
（二） 各种积分之间的联系
点函数)(,)(lim)(
10
MfMfdMf
n
i
i??
???
?? ??
?
.)()(
,],[1
? ?? ?
??
b
a
dxxfdMf
baR
?
时上区间当
.),()(
,2
? ??? ?
??
D
dyxfdMf
DR
??
时上区域当
积分概念的联系
定积分
二重积分
? ????
?
?
???
dVzyxfdMf
R
),,()(
,3
?
时上区域当
.),,()(
,3
? ?? ??
???
dszyxfdMf
R
?
时上空间曲线当
.),,()(
,3
? ??? ?
??
S
dSzyxfdMf
SR
?
时上曲面当
曲面积分
曲线积分
三重积分
.),()(
,2
? ?? ?
??
L
dsyxfdMf
LR
?
时上平面曲线当
曲线积分
计算上的联系
)(,]),([),( )( )(2
1
面元素??? ? ??? ddxdyyxfdyxf ba xy xy
D
)(,),,(),,( )( )( ),( ),(2
1
2
1
体元素dVdzzyxfdydxdVzyxf ba xy xy yxz yxz? ? ???? ?
?
?? ??? baL dsdxyxyxfdsyxf ))((,1)](,[),( 2 曲线元素
?? ? baL dxdxxyxfdxyxf ))((,)](,[),( 投影线元素
?? ??
?
?????
xyD
yx d x d yzzyxzyxfdSzyxf
221)],(,,[),,(
?? ??
?
?
xyD
dxdyyxzyxfdxdyzyxR )],(,,[),,(
其中
dSRQP
dxdyRQd z d xP d y d z
)c o sc o sc o s( ?????
??
?
?
???
??
dsQPQ dyP dx LL )co sco s( ???? ???
))(( 曲面元素dS
))(( 投影面元素d x d y
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
))()(()()()( xfxFaFbFdxxfba ?????
牛顿 --莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
)()( 的正向沿 LQ d yPd xd x d yyPxQ
L
D
??? ???????
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
?????
??
??????????? R d x d yQ d z d xPd y d zdvzRyQxP )(
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
dx dy
y
P
x
Q
dz dx
x
R
z
P
dydz
z
Q
y
R
)()()(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??? R dzQ dyP dx
斯托克斯公式
??? ??? DL dxdykAr otsdA )( ???? ??? ?? DL dxdyAdi vdsnA ??? )(
Green公式,Guass公式,Stokes公式
之间的关系
??? ?? ??? dSnAr o tdSA )( ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
RQP
zyx
dxdydz dxdy dz
R dzQ dyP dx
????? ?? ?? dvAdi vdsnA ??? )(
dv
z
R
y
Q
x
P
R dx dyQdz dxP dydz
)(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
?
?
??? ??????? DL d x d yyPxQQ d yP d x )( ??? ???????? DL d x d yyQxPP d yd x )(或
推广 推广
为平面向量场)( MA?
为空间向量场)( MA?
梯度 kz
uj
y
ui
x
ugr ad u ???
?
??
?
??
?
??
通量
旋度
环流量
z
R
y
Q
x
PAdi v
?
??
?
??
?
??? ??? ???? R d xd yQd z dxP d y dz
kyPxQjxRzPizQyRAr ot ???? )()()( ??????????????????
?? ???? R d zQd yP d x
散度
（三） 场论初步
例 1 计算 ? ????
L
dyyxdxxyxI )()2(
422
,
其中 L 为由点 )0,0(O 到点 )1,1(A 的曲线 xy
2
s i n
?
?,
思路, ? ?? L Qd yP d xI
x
Q
y
P
?
??
?
?
x
Q
y
P
?
??
?
?
0? ??? L Qd yP d xI ?
?? ),( ),(
00
yx
yx Q d yP d xI
闭合
非闭 闭合 ?? ?
??
?
??
D
d x d yyPxQI )(
非闭 补充曲线或用公式
二,典型例题
解
xxyxyyP 2)2( 2 ???????知
xyxxxQ 2)( 42 ???????
,xQyP ?????即
?? ??? 10 410 2 )1( dyydxx故原式,1523?
x
y
o 1
1 A
? ???? dyyxdxxyxI )()2( 422由
例 2 计算
? ????
L
xx
dymyedxmyyeI )c o s()s in(,
其中 L 为由点 )0,( a 到点 )0,0( 的上半圆周
0,
22
??? yaxyx,
解 myemyyeyyP xx ???????? c o s)s i n(?
yemyexxQ xx co s)co s( ???????
x
Q
y
P
?
??
?
?即
(如下图 )
x
y
o )0,(aA
M dxdy
y
P
x
Q
D
A M O A ??? ?
??
?
?? )(
???
D
dxdym,
8
2am ??
0)(00 ????? ?? medx xaAO,0?
08 2 ??? am,8 2am ??
? ??? ???? ? A M O A AOAOAOLI
? ???? A M O A AOI
曲面面积的计算法
S
Dxy
),( yxfz ?
x
yo
z
??
?
? dSS
?? ???
xyD
yx d x d yzz 221
dsyxfS BAL?? ),( ),(
dxyyxfba? ??? 21),(
z
x
o y
),( yxfz ?
s
LA Ba b
曲顶柱体的表面积
?
??
?
????
L
D
yx
dsyxf
dffS
),(
)11( 22 ?
x
z
yo
),( yxfz ?
LD
如图曲顶柱体,
例 3 求柱面 13
2
3
2
?? yx 在球面 1222 ??? zyx 内
的侧面积,
解 由对称性
?
?
???
?
L
L
dsyx
z d sS
221
8
,1,3232 ?? yxL? )20(,s i n
,c o s
3
3 ?
??
?
?
?
?
? t
ty
tx参数方程为
,c o ss i n3)()( 22 t d ttdtyxds tt ?????
t d ttttS co ss i n3s i nco s18 20 66?
?
???
t d tttt co ss i nco ss i n324 20 22?
?
?
? ?? 20 22 co ss i n324 td tt.2
33 ??
．在第四卦限部分的上侧为平面
为连续函数其中
计算
1
,),,(,]),,([
]),,(2[]),,([
????
??
???? ??
?
zyx
zyxfd x d yzzyxf
d z d xyzyxfd y d zxzyxfI
例４
x
yo
z 1
11?
?
解 利用两类曲面积分之间的关系
},1,1,1{ ??? n?? 的法向量为
.31c o s,31c o s,31c o s ????? ???
dSzzyxfyzyxf
xzyxfI
]}),,([
3
1
]),,(2[
3
1
]),,([
3
1
{
????
?? ??
?
??
?
??? dSzyx )(31
?? ??
xyD
dxdy3131,21?
向量点积法
? ?,1,,),,(,yx ffyxfz ?????? 法向量为设
??
?
??? R d x d yQ d z d xP d y d zI
d x d yffRQP yx }1,,{},,{ ?????? ??
?
??? ?? dSnA 0?? },,{},,{??
?
?? d x d yd z d xd y d zRQP
.}1,,{},,{ dx d yffRQPxoy yx
D xy
??????? ??面投影在将
所截部分的外侧．被平面锥面
为其中计算
2,1
,
22
2
????
???? ??
?
zzyxz
dxdyzx d z d xy d y d zI
例５
解
,
,
22
22
yx
y
f
yx
x
f
y
x
?
??
?
???
D
?
利用向量点积法
?? ???? ? 21 220 r d rrd,215 ???
??
?
? d x d yz 2
?? ???
xyD
dxdyyx )( 22
? ? d x d yyx yyx xzxyI ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???? 1,,,,
2222
2
]41:[ 22 ??? yxD xy
例 6 计算曲面积分
y z d x d yd z d xyx d y d zyI 4)1(2)18(
2
????? ??
?
,
其中 ? 是由曲线 )31(
0
1
??
?
?
?
?
??
y
x
yz
绕 y 轴旋转一周
所成的曲面,它的法向量与 y 轴正向的夹角恒大于
2
?
.
解
221
0
1
xzy
y
x
yz
???
?
?
?
?
??
轴旋转面方程为绕
(如下图 )
x
y
z
o 1 3
2 ? ?*?? ??
??? ?
??
* *
I且有
d x d yd zzRyQxP )(
* ?
??
?
??
?
???? ???
??? ?
???
?
???? d x d y d zyyy )4418(
y z dx dydz dxyxd y dzyI 4)1(2)18( 2 ????? ??
?
欲求
???
?
? dv
? ?????? 20 3 )2(2 d,2??
?? ??
? ?
??
* *
2 )31(2 d z d x,32 ???
)32(2 ?????I故,34?
?? ? ???
xzD
xz
dyd x d z 3
1 22 ??? ??
? ???? 3
1
2
0
2
0 2 dydd
一,选择题,
1, 设 L 为
2
3
0,
0
??? yxx,则
?
L
ds4 的值为 ( ).
( A)
0
4 x, (B ),6 ( C)
0
6 x,
2, 设
L
为直线
0
yy ? 上从点 ),0(
0
yA 到点 ),3(
0
yB 的
有向直线段,则
?
L
dy2 =( ).
( A )6 ; (B) 0
6 y; (C) 0.
3, 若
L
是上半椭圆
?
?
?
?
?
,s i n
,c o s
tby
tax
取顺时针方向,则
?
?
L
x d yy d x 的值为 ( ),
(A ) 0 ; (B) ab
2
?; (C ) ab?,
测 验 题
4,设 ),(,),( yxQyxP 在单连通区域 D 内有一阶连续
偏导数,则在 D 内与
?
?
L
Q d yP d x 路径无关的条件
Dyx
y
P
x
Q
?
?
?
?
?
?
),(,是 ( ).
(A) 充分条件 ; (B) 必要条件 ; (C) 充要条件,
5,设
?
为球面 1
222
??? zyx,
1
?
为其上半球面,则
( ) 式正确,
(A)
????
??
?
1
2 z d sz d s ;
(B)
????
??
?
1
2 z d x d yz d x d y ;
(C)
????
??
?
1
22
2 dxdyzdxdyz,
6,若 ? 为 )(2
22
yxz ??? 在 x o y 面上方部分的曲面,
则
??
?
ds 等于 ( ).
(A)
??
??
r
r d rrd
0
2
2
0
41
?
? ;(B)
??
??
2
0
2
2
0
41 r d rrd
?
? ;
(C) ??
??
2
0
2
2
0
41 rd rrd
?
?
.
7,若
?
为球面
2222
Rzyx ??? 的外侧,则
??
?
z d x d yyx
22
等于 ( ).
(A) ?? ??
xy
D
dxdyyxRyx
22222;
(B) 2 ??
??
xy
D
dxdyyxRyx
22222; (C) 0,
8,曲面积分 ??
?
d x d yz
2
在数值上等于 ( ).
(A) 向量 iz
2
穿过曲面 ? 的流量；
(B) 面密度为
2
z 的曲面 ? 的质量；
(C) 向量 kz
2
穿过曲面 ? 的流量,
9,设 ? 是球面
2222
Rzyx ??? 的外侧,
xy
D 是 x o y 面
上的圆域
222
Ryx ??,下述等式正确的是 ( ),
(A ) ???? ???
?
xy
D
d x d yyxRyxz d syx
2222222；
(B ) ???? ???
?
xy
D
d x d yyxd x d yyx )()(
2222；
(C ) ???? ???
?
xy
D
d x d yyxRz d x d y
222
2,
10,若 ? 是空间区域 ? 的外表面,下述计算中运用奥 - 高
公式正确的是 ( ),
(A)
??
?
??
外侧
d x d yyzd y d zx )2(
2
=
???
?
? d x d y d zx )22( ；
(B) ??
?
???
外侧
z d x d yy d z d xxd y d zyzx
23
2)(
=
? ? ?
?? d x d y d zxx )123(
22；
(C) ??
?
??
内侧
d x d yyzd y d zx )2(
2
= ???
?
? d x d y d zx )12(
.
二、计算下列各题,
1,求
?
?
z d s,其中 ? 为曲线
?
?
?
?
?
?
?
?
,
,s i n
,c o s
tz
tty
ttx
)0(
0
tt ?? ；
2,求
?
???
L
xx
dyyedxyye )2c o s()2s i n(,其中
L
为上
半圆周
222
)( ayax ???,0?y,沿逆时针方向,
三、计算下列各题,
1,求
??
?
??
222
zyx
ds
其中
?
是界于平面
Hzz ?? 及0
之间的圆柱面
222
Ryx ?? ；
2, 求
??
?
????? d x d yyxd z d xxzd y d zzy )()()(
222
，
其中 ? 为锥面 )0(
22
hzyxz ???? 的外侧；
3,
??
?
??
??
3222
)( zyx
z d x d yy d z d xx d y d z
其中
?
为 曲 面
9
)1(
16
)2(
5
1
22
?
?
?
??
yxz
)0( ?z
的上侧,
四、证明,
22
yx
y d yx d x
?
?
在整个 x o y 平面除去 y 的负半轴及
原点的开区域
G
内是某个二元函数的全微分,并
求出一个这样的二元函数,
五、求均匀曲面
222
yxaz ???
的重心的坐标,
六、求向量 kzjyixA ??? 通过区域,?,10 ?? x
10,10 ???? zy 的边界曲面流向外侧的通量,
七、流体在空间流动,流体的密度 ? 处处相同 ( 1?? ),
已知流速函数 kzyjyxixzV
222
???,求流体在单
位时间内流过曲面 zzyx 2:
222
???? 的流量 ( 流
向外侧 ) 和沿曲线,L zzyx 2
222
???,1?z 的环流
量 ( 从 z 轴正向看去逆时针方向 ),
测验题答案
一,1, B ； 2, C ； 3, C ； 4, C ； 5, B ；
6, C ； 7, B ； 8, C ； 9, C ； 10, B,
二,1,
3
22)2(
2
3
2
0
?? t； 2,
2
a?,
三,1,
R
H
a r c ta n2 ? ； 2,
4
4
h
?
? ； 3, 0,
四,)l n (
2
1
),(
22
yxyxu ??,
五,)
2
,0,0(
a
,六,3.
七,0,
15
32
?,