积分法
原 函 数
选
择
u
有
效
方
法
基
本
积
分
表 第一换元法 第二换元法
直接
积分法
分部
积分法
不 定 积 分
几种特殊类型
函数的积分
一、主要内容
1、原函数
如果在区间 I 内，可导函数 )( xF 的导函数为
)( xf,即 Ix ??, 都 有 )()( xfxF ?? 或
dxxfxdF )()( ?,那么函数 )( xF 就称为 )( xf 或
dxxf )( 在区间 I 内原函数,
定义
原函数存在定理
如果函数 )( xf 在区间 I 内连续，那
么在区间 I 内存在可导函数 )( xF,使 Ix ??,都有
)()( xfxF ??,
即,连续函数一定有原函数,
2、不定积分
(1) 定义
在区间 I 内，函数 )( xf 的带有任意常数项
的原函数称为 )( xf 在区间 I 内的 不定积分,记
为 ? dxxf )(,
CxFdxxf ??? )()(
函数 )( xf 的原函数的图形称为 )( xf 的 积分曲线,
? ?? dxxgxf )]()([1 0 ? ?? dxxgdxxf )()(
(2) 微分运算与求不定积分的运算是 互逆 的,
? ?dxxkf )(2 0 ? dxxfk )( （ k 是常数,)0?k
(3) 不定积分的性质
? ? )()( xfdxxfdxd ?? dxxfdxxfd )(])([ ??
? ??? CxFdxxF )()( ? ?? CxFxdF )()(
3、基本积分表
? ?? kCkxk d x ()1( 是常数 ) )1(
1)2(
1
?????
??
??
?
? Cxdxx
? ?? Cxxdx ln)3(
??? dxx 21 1)4( Cx ?a r c ta n
??? dxx 21 1)5( Cx ?a r c s in
? ?xdxc o s)6( Cx ?sin
? ?x d xs i n)7( Cx ?? c o s
? ?x d xx t a ns ec)10( Cx ?sec
? ?x d xx co tcs c)11( Cx ?? csc
?? dxe x)12( Cex ?
?? xdx2c o s)8( ? ?xdx2s e c Cx ?tan
?? xdx2si n)9( ? ?xdx2c s c Cx ?? cot
?? dxa x)13( Caa
x ?
ln
? ??? Cxx d x co slnt a n)16(
? ?? Cxx d x s i nlnco t)17(
? ??? Cxxxdx )t a nl n ( s ecs ec)18(
? ??? Cxxx d x )co tl n ( cs ccs c)19(
Caxadxxa ???? a r ct a n11)20( 22
Cxa xaadxxa ?????? ln2 11)22( 22
Caxdxxa ???? a r c s i n1)23( 22
Caxx
dx
ax
????
??
)l n (
1)24(
22
22
Cax axadxax ?????? ln2 11)21( 22Cx??sh)14( ?xdx ch
?xdx Cx?? ch)15( sh
5、第一类换元法
4、直接积分法
定理 1 设 )( uf 具有原函数,)( xu ?? 可导，
则有换元公式
? ?? dxxxf )()]([ ??? ? )(])([ xuduuf ?
第一类换元公式（ 凑微分法 ）
由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不
定积分的方法,;)(.1 1 dxxxf nn ? ;)(.2 dxxxf;)( l n.3 dxx xf ;
)1(
.4 2 dx
x
x
f;c o s)( s i n.5 xdxxf ;)(.6 dxaaf xx
常见类型,;s e c)( t a n.7 2 xdxxf ;1 )( ar c t an.8 2 dxx xf ?
6、第二类换元法
定理 设 )( tx ?? 是单调的、可导的函数，并
且 0)( ?? t?,又设 )()]([ ttf ?? ? 具有原函数，
则有换元公式
? ? )()()]([)( xtdtttfdxxf ??? ??? ??
其中 )( x? 是 )( tx ?? 的反函数,
第二类换元公式
常用代换,
.,)(.1 Rbatx ??? ??
.si n,)(
.2
22 taxxaxf ??? 令如
三角函数代换
.,)(
.3
22 a sh txxaxf ??? 令如
双曲函数代换
.1.4 tx ?令倒置代换
7、分部积分法
分部积分公式
dxvuuvdxvu ?? ????
duvuvu d v ?? ??
8.选择 u的有效方法,LIATE选择法
L----对数函数； I----反三角函数；
A----代数函数； T----三角函数；
E----指数函数； 哪 个在前哪个选作 u,
9、几种特殊类型函数的积分
（ 1）有理函数的积分
定义 两个多项式的商表示的函数称之,
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xP
????
?????
?
?
?
?
1
1
10
1
1
10
)(
)(
?
?
其中 m, n 都是非负整数； naaa,,,10 ? 及
mbbb,,,10 ? 都是实数，并且 00 ?a, 00 ?b,
真分式化为部分分式之和的 待定系数法
四种类型分式的不定积分;ln.1 CaxAaxA dx ????? ;))(1()(.2 1 Caxn Aax A d x nn ????? ??;a r c t an
ln
2
.3
4
2
4
2
2
2
22
C
q
x
q
N
qpxx
M
dx
qpxx
NMx
p
p
p
Mp
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
??? ?? ???? ???? ? dxqpxx Nqpxx dxpxMdxqpxx NMx nMpnn )()( )2(2)(.4 2 222
此两积分都可积,后者有递推公式
令 2ta n
xu ?
21
2s i n
u
ux
?? 2
2
1
1c o s
u
ux
?
??
ux a r c t a n2?
duudx 21 2??
? ?dxxxR )co s,( s i n duuu
u
u
uR
22
2
2 1
2
1
1,
1
2
???
??
?
?
?
?
??
（ 2） 三角函数有理式的积分
定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 )co s,(s i n xxR
（ 3） 简单无理函数的积分
讨论类型,),( n baxxR ? ),( n ecx baxxR ??
解决方法,作代换去掉根号,;n ecx baxt ???令 ;n baxt ??令
二、典型例题
例 1 ?
?
? dx
x
x
1)
2
3
(
)
2
3
(
2
原式
解
.49 32? ? dxxx
xx
求 ?
?
?
1)
2
3
(
)
2
3
(
2
3
ln
1
2 x
xd
? ? 1
2
3ln
1
2t
dt
? ???? dttt )1111(
2
3ln2
1
Ctt ????? 11ln)2ln3(l n2 1
.23 23ln)2ln3(l n2 1 Cxx
xx
?????
tx ?)23(令
例 2
解
.c o s1 )s i n1(? ? ? dxx xe
x
求 ?
?
? dx
x
xx
e x
2
c o s2
)
2
c o s
2
si n21(
2
原式
? ?? dxxexe xx )2ta n
2
c o s2
1(
2
]2ta n)2(ta n[(? ?? xx dexxde?? )2ta n( xed x
.2ta n Cxe x ??
例 3
解
.
1
5)1l n (
2
2
? ? ??? dxx xx求
]5)1[ln ( 2 ???? xx?
,1 1 2x??
]5)1[l n (5)1l n ( 22 ???????? ? xxdxx原式
.]5)1[l n (32 2
3
2 Cxx ?????
)12 21(11 22 xxxx ??????
例 4
解
.1122? ?? dxxx x求
,1tx ?令
dt
t
tt
t )1(
1)
1
(
1
1
1
2
2
2
?
?
?
? ?原式
dttt? ???? 211
?? ?????? 222 12 )1(1 1 ttddtt Ctt ????? 21a r c s i n
.1a r c s i n1
2
Cxxx ????
(倒代换 )
例 5
解
.
1 632
?
???
xxx
eee
dx求
,6 te x ?令,ln6 tx ?,6 dttdx ?
dttttt 61 1 23 ????? ?原式 dtttt? ??? )1)(1( 6 2
22 11)1)(1(
6
t
DCt
t
B
t
A
ttt ?
??
?????设
)1()()1()1)(1(6 22 ???????? ttDCttBtttA
解得,3,3,3,6 ??????? DCBA
dttttt )1 331 36( 2?????? ?原式
Ctttt ??????? ar c t an3)1l n (23)1l n (3ln6 2
.a r c t a n3)1l n (23)1l n (3 636 Ceeex
xxx
???????
例 6
解
.)1l n(ar c t an 2? ? dxxxx求
dxxx )1l n ( 2? ?? )1()1l n (21 22 xdx ??? ?
.21)1l n ()1(21 222 Cxxx ?????
]21)1l n ()1(`21[ar c t an 222 xxxxd ???? ?原式
xxxx ar c t an])1l n ()1[ ( `21 222 ????
dxxxx ]1)1[ l n (21 2
2
2
???? ?
例 7
解
.)2( 10? ? xx dx求
? ?? )2( 1010
9
xx
dxx原式 ?
?? )2(
)(
10
1
1010
10
xx
xd
Cxx ???? )]2l n ([ l n201 1010
.)2l n (201ln21 10 Cxx ????
.
2
)1ln (
2
]3)1ln ()1[(`a r c t a n
2
1
2
222
C
x
x
x
xxxx
????
?????
例 8
解
.)1()1(
3 42? ?? xx
dx求
.)1()11()1()1( 23 43 42 ??????? xxxxx?
,11??? xxt令,)1( 2 2 dxxdt ??则有
?原式 ? ??
?
? 2
3 4 )1()
1
1
( x
x
x
dx
dtt? ?? 3
4
2
1
Ct ??? ? 3
1
2
3,
1
1
2
3 3 C
x
x ?
?
???
例 9
解
.c o s1 s i n? ?? dxxxx求
dx
x
xx
x
?
?
?
2
c os2
2
c os
2
si n2
2
原式
dxxdxxx ?? ??
2
t a n
2
c o s2 2
dxxdxxxx ?? ??? 2t an2t an2t an
.2t an Cxx ??
例 10
解 ? ?
????? dx
xf
xfxfxfxf
)(
)()()()(
3
22
原式
.])( )()()( )([ 3
2
? ? ???? dxxf xfxfxf xf求
? ? ??????? dxxf xfxfxfxf xf )( )()()()( )( 2
2
? ??? ])( )([)( )( xf xfdxf xf
.])( )([21 2 Cxf xf ???
例 11
解
.},1m a x {? dxx求
},,1m a x {)( xxf ?设
,
1,
11,1
1,
)(
?
?
?
?
?
?
???
???
?
xx
x
xx
xf则
,),()( 上连续在 ????xf? ).( xF则必存在原函数
须处处连续，有又 )( xF?
.
1,
2
1
11,
1,
2
1
)(
3
2
2
1
2
?
?
?
?
?
?
?
??
????
????
?
xCx
xCx
xCx
xF
)21(lim)(lim 12
121
CxCx
xx
???? ??
????
,211 12 CC ?????即
)(lim)21(lim 2
13
2
1
CxCx
xx
??? ??
??
,121 23 CC ???即
.
1,1
2
1
11,
2
1
1,
2
1
},1m a x {
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?????
????
??
xCx
xCx
xCx
dxx故
.1,21 32 CCCC ??? ＋可得
,1 CC ?联立并令
一,选择题：
1, 设 )(,)(
21
xFxF 是区间 I 内连续函数 )( xf 的两个不
同的原函数，且 0)( ?xf,则在区间 I 内必有 （ ）
（ A ） CxFxF ?? )()( 21 ；
（ B ）
CxFxF ?? )()(
21 ；
（ C ）
)()(
21
xCFxF ?；
（ D ）
CxFxF ?? )()(
21,
2,若,)()(
'
xfxF ? 则
?
)( xdF = （ ）
（ A ）
)( xf； （ B ）
)( xF；
（ C ）
Cxf ?)(； （ D ）
CxF ?)(
.
测 验 题
3, )( xf 在某区间内具备了条件 （ ）就可保证它的
原函数一定存在
（ A ） 有极限存在； （ B ）连续；
（ B ） 有界； （ D ）有有限个间断点
4,下列结论正确的是 （ ）
（ A ） 初等函数必存在原函数；
（ B ） 每个不定积分都可以表示为初等函数；
（ C ） 初等函数的原函数必定是初等函数；
（ D ）
CBA,,
都不对,
5,函数
2
)()( xxxf ?? 的一个原函数 ?)( xF ( )
（ A ）
3
3
4
x ; （ B ）
2
3
4
xx ;
（ C) )(
3
2 2
2
xxx ? ; （ D ） )(
3
2
2
xxx ?,
6, 已 知 一 个 函 数 的 导 数 为 xy 2?
?
，
21 ?? yx 时且,这个函数是 （ ）
（ A ） ;
2
Cxy ??
（ B ） ;1
2
?? xy
（ C ）
C
x
y ??
2
2;
（ D ）
.1?? xy
7,下列积分能用初等函数表出的是 （ ）
（ A ）
?
?
dxe
x
2； （ B ）
?
?
3
1 x
dx；
（ C ）
?
dx
xln
1； （ D ）
?
dx
x
xln
.
8,
?
??,)()( CxFdxxf 且
,batx ??
则
? ?dttf )( （ ）
（ A ）
CxF ?)(；
（ B ）
CtF ?)(;
（ C ） CbatF
a
?? )(
1;
（ D ）
CbatF ?? )(
,
9,
?
?dx
x
x
2
ln
（ ）
（ A ） C
x
x
x
??
1
ln
1; （ B ） C
x
x
x
???
1
ln
1;
（ C ） C
x
x
x
??
1
ln
1； （ D ） C
x
x
x
???
1
ln
1
.
10, ? ?
?
10
)14( x
dx
（ ）
（ A ） C
x
?
?
9
)14(
1
9
1； （ B ） C
x
?
?
9
)14(
1
36
1；
（ C ） C
x
?
?
?
9
)14(
1
36
1； （ D ） C
x
?
?
?
11
)14(
1
36
1
.
二、求下列不定积分：
1,
?
dx
xx
1
c o s
1
2; 2,
?
?? 52
2
xx
dx;
3, ?
?
???
dx
x
xx
2
2
1
5)1l n (; 4,
?
?
dx
x
x
22
2
)1(;
5, ?
??
2
11 x
dx; 6, ?
?
?
dx
xx
x
1
1
22;
7, ?
? )1(
2 xx
ee
dx; 8, ? xdxx a r c c o s
2;
9, ?
?? 23
48
11
xx
dxx; 10, ?
?
dx
x
x
32
)1(
a r c c o s
.
三、设
?
?
?
???
??
?
?
0,)32(
0,)1l n (
)(
2
2
xexx
xxx
xf
x
，求
?
dxxf )(,
四、设 xbxaef
x
c o ss i n)(
'
??,( ba,为不同时为零的
常数 ),求 )( xf,
五,0?x设当 时,)(
'
xf 连续，求
?
??
dx
ex
xfxxxf
x2
'
)()1()(
.
一,1, D ； 2, D ； 3, B ； 4, D ； 5, D ；
6, B ； 7, D ； 8, B ； 9, D ； 1 0, C.
二,1, C
x
??
1
s i n ； 2, C
x
?
?
2
1
a r c ta n
2
1；
3, Cxx ????
3
2
2
]5)1[l n (
3
2；
4, xa r c ta n
2
1
C
x
x
?
?
?
2
12
1；
5, Cx
x
x
x
??
?
?? a r c s i n
11
2；
测验题答案
6, C
xx
x
??
? 1
a r c s i n
1
2；
7, Cee
xx
???
?
)a r c ta n ( ；
8, Cxxxx ?????
2
2
3
23
1
3
1
)1(
9
1
a r c c o s
3
1；
9,
4
1
4
4
?
x
Cxx ???? )2l n ()1l n (
44；
10, Cxx
x
x
???
?
2
2
1ln
2
1
a r c c o s
1
.
四,??? )s i n (l n)[(
2
)( xba
x
xf Cxab ?? )]c o s( l n)(,
五,C
xe
xf
x
?
)(
.
三、
?
?dxxf )(
?
?
?
?
?
??????
??????
?
0,1)14(
0,)]1l n ([
2
1
)1l n (
2
1
2
2222
xCexx
xCxxxx
x
.