定 义
几何意义
性 质
计算法
应 用
二
重
积
分
定 义
几何意义
性 质
计算法
应 用
三
重
积
分
一、主要内容
定义 设 ),( yxf 是有界闭区域 D 上的有界函数，将
闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域
1
??, ?,
2
??,
n
??,其中
i
?? 表示第 i 个小闭区域，也表示它的面积，
在每个 i?? 上任取一点 ),( ii ??,
作乘积
),(
ii
f ??
i
??
,),,2,1( ni ??,
并作和
ii
n
i
i
f ??? ??
?
),(
1
，
1、二重积分的定义
如果当各小闭区域的直径中的最大值 ? 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
),( yxf 在闭区域 D 上的 二重积分,
记为 ??
D
dyxf ?),(,
即 ??
D
dyxf ?),(
ii
n
i
i
f ???
?
?? ?
?
?
),(l i m
1
0
２、二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,
当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的
负值,
性质１ 当 为常数时,k
.),(),( ???? ?
DD
dyxfkdyxkf ??
性质２ ?? ?
D
dyxgyxf ?)],(),([
.),(),( ???? ??
DD
dyxgdyxf ??
３、二重积分的性质
性质３ 对区域具有可加性
.),(),(),(
21
?????? ??
DDD
dyxfdyxfdyxf ???
)( 21 DDD ??
性质４ ?若 为 D的面积,1?? ?????
D D
dd ???
性质５ 若在 D上,),(),( yxgyxf ?
.),(),( ???? ?
DD
dyxgdyxf ??
特殊地,),(),( ???? ?
DD
dyxfdyxf ??
设 M, m 分别是 ),( yxf 在闭区域 D 上的最
大值和最小值,? 为 D 的面积，则
?? ??
D
Mdyxfm ??? ),(
（二重积分估值不等式）
性质６
设函数 ),( yxf 在闭区域 D 上连续,? 为 D
的面积，则在 D 上至少存在一点 ),( ?? 使得
???? ???? ),(),( fdyxf
D
.性质７
（二重积分中值定理）
４、二重积分的计算
,,bxaD ?? ).()( 21 xyx ?? ??［ X－型］
.),(),( )(
)(
2
1?? ? ?
?
D
b
a
x
x
dyyxfdxdyxf ?
?
?
X-型区域的特点, 穿过区域且平行于 y
轴的直线与区域边界相交不多于两个交点,
（１）直角坐标系下
Y型区域的特点, 穿过区域且平行于 x轴
的直线与区域边界相交不多于两个交点,
.),(),( )(
)(
2
1?? ? ?
?
D
d
c
y
y
dxyxfdydyxf ?
?
?
,,dycD ?? ).()( 21 yxy ?? ??［ Y－型］
.)s in,c o s()( )(2
1??
? ?? ???? ??? r d rrrfd
??
1
)s i n,co s(
D
r d r drrf ???
,:1 ??? ??D ).()( 21 ???? ?? r
（２）极坐标系下
.)s in,c o s()(0??? ???? ??? r d rrrfd
,:2 ??? ??D ).(0 ???? r
??
2
)s i n,co s(
D
r d r drrf ???
??
3
)s i n,co s(
D
r d r drrf ???
.)s in,c o s()(020 ??? ??? ??? r d rrrfd
,20:3 ?? ??D ).(0 ???? r
5、二重积分的应用
(1) 体积
的体积为
之间直柱体与区域在曲面 Dyxfz ),(?
???
D
dxdyyxfV,),(
设 S曲面的方程为,).,( yxfz ?
曲面 S的面积为 ? ? ? ? ;1 22 d x d yA
xyD
y
z
x
z??
?
?
?
? ???
(2) 曲面积
当薄片是均匀的，重心称为形心,
,1 ???
D
xdAx ?,1 ???
D
ydAy ? ???
D
dA ?其中
,
),(
),(
??
??
?
D
D
dyx
dyxx
x
??
??
.
),(
),(
??
??
?
D
D
dyx
dyxy
y
??
??
设有一平面薄片，占有 x o y 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，平面薄片的重心为
(3) 重心
薄片对于 x轴的转动惯量
薄片对于 y轴的转动惯量
,),(2???
D
x dyxyI ??
.),(2???
D
y dyxxI ??
设有一平面薄片，占有 x o y 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，平面薄片对于 x 轴和 y 轴的转动惯量为
(4) 转动惯量
薄片对 轴上单位质点的引力 z
设有一平面薄片，占有 x o y 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，计算该平面薄片对位于 z 轴上的点
),0,0(0 aM 处的单位质点的引力,)0( ?a
},,,{ zyx FFFF ?
,)( ),(
2
3222 ?
? d
ayx
xyxfF
D
x ?? ???,)(
),(
2
322 ?
? d
ayx
yyxfF
D
y ?? ???
.)( ),(
2
3222 ?
? d
ayx
yxafF
D
z ?? ???? 为引力常数 f
(5) 引力
6、三重积分的定义
设 ),,( zyxf 是空间有界闭区域 ? 上的有界函
数，将闭区域 ? 任意分成 n 个小闭区域
1
v?,
2
v?,
,?
n
v?,其中
n
v? 表示第 i 个小闭区域，也表示它的
体积,在每个
i
v? 上任取一点 ),,(
iii
??? 作乘积
iiii
vf ??),,( ???, ),,2,1( ni ??,并作和,如果当各
小闭区域的直径中的最大值
?
趋近于零时，这和式
的极限存在，则称此极限为函数 ),,( zyxf 在闭区域
?
上的三重积分，记为
???
?
dvzyxf ),,( iii
n
i
i vf ?? ?
??
),,(lim
10
???
?
.
7、三重积分的几何意义
表示空间区域的体积．
时当
???
?
?
?
Vdv
zyxf,1),,(
8、三重积分的性质
类似于二重积分的性质,
9、三重积分的计算
.);()();,(),(,2121 bxaxyyxyyxzzyxz ???????
.),,(),,( )(
)(
),(
),(
2
1
2
1? ? ?????
? b
a
xy
xy
yxz
yxz
dzzyxfdydxdvzyxf
}.,),(),,{( 21 czcDyxzyx z ?????
.),,(),,( 2
1 ??????
?
? zD
c
c
dxdyzyxfdzdvzyxf
(１ ) 直角坐标
??
?
?
?
?
?
?
.
,s i n
,co s
zz
ry
rx
?
?(２ ) 柱面坐标
.),s in,c o s(
),,(
???
???
?
?
? dzr d r dzrrf
dvzyxf
???
,dzrd rddv ??
?
?
?
?
?
?
?
?
.c o s
,s i ns i n
,c o ss i n
?
??
??
rz
ry
rx
,s i n2 ??? ddrdrdv ?
???
?
?d x d y d zzyxf ),,(
???
?
.s i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n( 2 ???????? dd rdrrrrf
(３ ) 球面坐标
10、三重积分的应用
.???
?
? dvM ?其中
,1 ???
?
? dvxMx ?
设物体占有空间闭区域 ?,在点 ),,( zyx 处的
密度为 ),,( zyx?,假定 ),,( zyx? 在 ? 上连续，则该
物体的重心为
(１ ) 重心
,1 ???
?
? dvyMy ?,1 ???
?
? dvzMz ?
,2???
?
? dvzI xy ?
(２ ) 转动惯量 设物体占有空间闭区域 ?,在点 ),,( zyx 处的
密度为 ),,( zyx?,假定 ),,( zyx? 在 ? 上连续，则该
物体对坐标面,坐标轴及原点的转动惯量为
,2???
?
? dvxI yz ?,2???
?
? dvyI zx ?
,)( 22???
?
?? dvzyI x ?,)( 22???
?
?? dvxzI y ?
,)( 22???
?
?? dvyxI z ?,)( 222???
?
??? dvzyxI o ?
D
二、典型例题
例 1
解
围成．
由其中计算 2,
1
,.
2
2
????? x
x
yxyDd
y
x
D
?
X-型
???? ? x
xD
dyyxdxdyx 1 2
22
12
2
?
? ?? 21 1
2
)( dxyx x
x?
?? 21 3 )( dxxx.49?
.21,1,???? xxyxD
例 2
解
.10,11:.2 ???????? yxDdxy
D
其中计算 ?
1D 2D
3D
先去掉绝对值符号，如图
??
?
dxydyx
dxy
DDD
D
????
??
????
?
? 321
)()( 22
2
???? ???? ?? 1 21 10 21 1 22 )()( xx dyxydxdyyxdx,1511?
)0(.),(2220 2 ?? ?? ? adyyxfdxI ax xaxa更换积分次序例 3
解
?
?
?
???
??
,22
,20
,2
axyxax
ax
D
,
,
3
21
三部分及
分成将积分区域
D
DDD
2D
1D 3D;0
,
2
,22
2
1
ay
yaax
a
y
D
??
????;2,22:
2
2 ayaaxa
yD ????;0
,2,223
ay
axyaaD
??
????
.),(),(
),(
2
0
2
2
2
2
0
22
2
22
2
????
??
??
??
??
?
a
yaa
aa
a
y
a
a
yaa
a
y
a
dxyxfdydxyxfdy
dxyxfdyI故
例 4
解
）．所围的面积（取圆外部和圆
是由心脏线其中计算
arar
Ddyx
D
???
???
)c o s1(
.22
?
?
??
??
??
?
?
?
???
??
)c o s1(
2
2
22
a
a
D
r d rrd
dyx
?
?
?? ?????
2
2
33 ]1)c o s1[(
3
1 da
).2922(3 ??? a
例 5
解
所围成．及
由其中计算
00
,1.)c o s (
??
??
?
?
? ??
yx
yxDdxdy
yx
yx
I
D
,,yxvyxu ????令
.2,2 uvyvux ????则
,DD ??
D
x
y
o
1?? yx
D?
u
v
o
vu?vu ??
1?v
.11;0;0
????
???
????
vyx
vuy
vux即
),(
),(
vu
yxJ
?
??
,
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
?
?
?
??
?
?
D
d ud vJ
v
u
I c o s故
?? ??
v
v
du
v
u
dv c o s
2
1 1
0
.1s i n211s i n221 1
0
??? ? vd v
例 6,)()(
1
1
)()( 12 ??? ?? ?
?
??
b
a
n
x
a
n
b
a
dyyfyb
n
dyyfyxdx
证明
证 ??
??
?
?
??
?
b
y
n
b
a
x
a
n
b
a
dxyfyxdy
dyyfyxdx
)()(
)()(
2
2
? ???? ba bynyxndyyf ])(11[)( 1
.)()(11 1? ???? b
a
n dyyfyb
n
D
xy?
b
b
a
a
例 7
组成的三棱锥台．
是由六个顶点，其中计算
)4,2,2(
),0,2,2(),0,0,2(),2,1,1(),0,1,1(),0,0,1(
:
1
22
F
EDCBA
dv
yx
?
????
?
解,ABEDx o y 面上的投影为梯形在??
为顶的柱体．以梯形
为底，是以梯形
A C F D
A B E D??
,轴所在平面过梯形 xA C F D?
,0?? zy ??设其方程为 x
y
z
C
A
F
EDB
O
.02,)2,1,1( ?? yzC 得其方程为点又因过
.21;0;20,???????? xxyyz
?????? ???
?
yx dzdy
yxdxdvyx
2
00 22
2
122
11
?? ?? x dyyx ydx 0 2221 2
? ?? 21 22 ]ln)2[ l n( dxxx.2ln?
例 8
所围成的．
与由其中，计算
22
22
1
)(
yxz
yxzdvzx
???
???????
?
解
利用球面坐标
奇函数，
的为面为对称，关于 xxzyxfyo z ?? ),,(?
.0????
?
xdv有
??????
??
??? z d vdvzx )(
??? ??????
?? 1
0
24
0
2
0 s i nco s drrrdd,8
??
例９,1,222 ???????
?
zyxdve z,计算
解
法．，故采用＂先二后一＂
为圆域的函数，截面被积函数仅为
222 1
)(
zyx
zDz
???
?
??????
??
?
上
dvedve zz 2
? ??? 10
)(
][2 dzed x d y z
zD
? ??? 10 2 )1(2 dzez z.2??
例 10,)()(
2
1
]))(([
0
2
0 0 0 ?? ? ?
??
xx v u
dttftxdvdudttf
证明
证 思路：从改变积分次序入手,
? ?? ? ? v vtv u dutfdtdttfdu 00 0 )()(? ? ?? v dttftv0,)()(
? ?? ? ? ??? x vx v u dttftvdvdvdudttf 0 00 0 0 )()(]))(([
? ? ?? x xt dvtftvdt0 )()(,)()(21 0 2? ?? x dttftx
一、选择题,
1,
??
? x
dyyxfdx
1
0
1
0
),( =( )
( A)
??
? 1
0
1
0
),( dxyxfdy
x； (B)
??
? x
dxyxfdy
1
0
1
0
),( ；
( C)
??
1
0
1
0
),( dxyxfdy ； (D)
??
? y
dxyxfdy
1
0
1
0
),(,
2,设
D
为
222
ayx ??,当
?a
( ) 时,
????
??
D
d x d yyxa
222
.
( A) 1 ； (B)
3
2
3；
( C)
3
4
3； (D)
3
2
1
,
测 验 题
3,当 D 是 ( ) 围成的区域时,二重积分
??
D
dxdy =1.
(A) x 轴,y 轴及 022 ??? yx ； ( B)
3
1
,
2
1
?? yx ；
(C) x 轴,y 轴及
3,4 ?? yx； (D),1,1 ???? yxyx
4,
??
D
xy
dxdyxe 的值为 ( ),其中区域为
D
01,10 ????? yx
.
(A)
e
1； ( B)
e；
(C)
e
1
?； (D) 1,
5,设
??
??
D
d x d yyxI )(
22
,其中 D 由
222
ayx ?? 所
围成,则 I =( ).
( A)
4
0
2
2
0
ar d rad
a
???
??
?;(B)
4
0
2
2
0
2
1
ar d rrd
a
????
??
?;
( C)
3
0
2
2
0
3
2
adrrd
a
???
??
?;(D)
4
0
2
2
0
2 aa d rad
a
????
??
?
.
6,设
?
是由三个坐标面与平面
zyx ?? 2
=1 所围成的
空间区域,则
???
?
x d x d y d z
=( ).
(A)
48
1； (B)
48
1
? ；
(C )
24
1； (D )
24
1
?,
7,设 ? 是锥面,0(
2
2
2
2
2
2
??? a
b
y
a
x
c
z
)0,0 ?? cb 与平面
czyx ???,0,0 所围成的空间区域在第一卦限
的
部分,则
? ? ?
?
d x d y d z
z
xy
=( ).
(A) cba
22
36
1； (B) bba
22
36
1；
(C) acb
22
36
1； (D) abc
36
1
.
8,计算 ???
?
? z d vI
,其 1,
222
???? zyxz为中 围成的
立体,则正确的解法为 ( ) 和 ( ).
9,曲面
22
yxz ?? 包含在圆柱 xyx 2
22
?? 内部的那
部分面积 ?s ( ).
(A) ?3 ； (B) ?2 ；
(C) ?5 ； ( D ) ?22,
10,由直线
2,2,2 ???? yxyx
所围成的质量分布均匀
( 设面密度为
?
) 的平面薄板,关于
x
轴的转动惯量
xI = ( ).
(A)
?3； (B)
?5；
(C)
?4； (D)
?6
.
(A) ???
?
??
1
0
1
0
2
0
z d zr d rdI ； (B) ???
?
??
11
0
2
0 r
z d zr d rdI ；
(C) ???
?
??
11
0
2
0 r
r d rdzdI ； ( D ) ???
?
??
z
z r d rddzI
0
2
0
1
0
.
二、计算下列二重积分,
1,
??
?
D
dyx ?)(
22
,其中 D 是闭区域,
,0,s i n0 ????? xxy
2,
??
D
d
x
y
?a r c ta n,其中
D
是由直线 0?y 及圆周
1,4
2222
???? yxyx,xy ? 所围成的在第一象
限内的闭区域,
3, ??
???
D
dyxy ?)963(
2
,其中 D 是闭区
域,
222
Ryx ??
4, ??
??
D
dyx ?2
22
,其中
D
,3
22
?? yx,
三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序,
1,
????
?
?
yy
dxyxfdydxyxfdy
3
0
3
1
2
0
1
0
),(),( ；
2,
??
??
2
111
0
),(
x
x
dyyxfdx ；
3,
??
?
???
00
)s i n,c o s( r d rrrfd
a
.
四、将三次积分
???
y
xx
dzzyxfdydx ),,(
11
0
改换积分次序为
zyx ??
.
五、计算下列三重积分,
1, ??
???
?
,)c o s ( d x d y d zzxy, 抛物柱面 xy ?
2
,,
?
???? zxozoy及平面
所围成的区域,
2,,)(
22
???
?
? dvzy 其中 ? 是由 x o y 平面上曲线
xy 2
2
? 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 5?x 所围
成的闭区域,
3,,
1
)1l n (
222
222
???
?
???
???
dv
zyx
zyxz
其中
?
是由球面
1
222
??? zyx 所围成的闭区域,
六、求平面 1???
c
z
b
y
a
x
被三坐标面所割出的有限部分
的面积,
七,设
)( xf
在
]1,0[
上连续,试证,
3
1
0
1
0
1
])([
6
1
)()()(
?? ? ?
? dxxfd x d y d zzfyfxf
x
y
x
,
一,1, D ； 2, C ； 3, A ； 4, A ； 5, B ；
6, A ； 7, A ； 8, B,D ； 9, B ； 10, C.
二,1,
9
40
2
?? ； 2,
2
64
3
? ； 3,
24
9
4
RR ??
?； 4,,
2
5
?
三,1,
??
? x
x
dyyxfdx
3
2
2
0
),( ；
2, ????
?
?
22
2
0
2
10
1
0
),(),(
yyy
dxyxfdydxyxfdy；
3,
??
a
r
a
drrfr d r ??? )s i n,c o s(
0
.
四、
???
z
z
dxzyxfdydz
0
11
0
),,(,
五,1,
2
1
16
2
?
?； 2, ?
3
2 5 0； 3, 0.
测验题答案
六、
222222
2
1
accbba ??,
七、提示：
0)0(,)()(
)()(,)()(
1
0
0
??
???
?
?
FdxxftF
xfxFdttfxF
x
且
则
