求 导 法 则
基本公式 导 数
x
y
x ?
?
?? 0
lim 微 分
xydy ???
关
系
)( xodyydxydyydxdy ??????????
高阶导数
高阶微分
一、主要内容
1、导数的定义
即或记为处的导数在点
并称这个极限为函数处可导在点
则称函数时的极限存在之比当与如果
取得增量相应地函数时内
仍在该邻域点处取得增量在当自变量
的某个邻域内有定义在点设函数
,
)(
,,
)(,)(
,0
);()(,)
(
,)(
000
0
0
00
00
0
xxxxxx
dx
xdf
dx
dy
yx
xfyxxfy
xxy
xfxxfyy
xxxxx
xxfy
???
?
??
????
?????
???
?
定义
.)()(limlim 00
000 x
xfxxf
x
yy
xxxx ?
????
?
???
?????
2.右导数,
单侧导数
1.左导数,;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx ?
????
?
???
??????;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx ?
????
?
???
??????函数 )( xf 在点 0x 处可导 ? 左导数 )( 0xf ?? 和右
导数 )( 0xf ?? 都存在且相等,
2、基本导数公式
2
2
2
1
1
)( a rc t a n
1
1
)( a rc s i n
ln
1
)( l o g
ln)(
s ec)( s ec
s ec)( t a n
co s)( s i n
0)(
x
x
x
x
ax
x
aaa
x t g xx
xx
xx
C
a
xx
?
??
?
??
??
??
??
??
??
??
（常数和基本初等函数的导数公式）
2
2
2
1
1
1
)co t(
1
1
)( a rc co s
1
)( l n
)(
cs c)( cs c
cs c)( co t
s i n)( co s
)(
x
x
x
x
x
x
ee
x ct g xx
xx
xx
xx
xx
?
???
?
???
??
??
???
???
???
???
???
arc
3、求导法则
设 )(),( xvvxuu ?? 可导，则
（ 1 ） vuvu ?????? )(,（ 2 ） uccu ???)( (c 是常数 ),
（ 3 ） vuvuuv ?????)(,（ 4 ） )0()(
2
?
???
?? v
v
vuvu
v
u
.
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
(2) 反函数的求导法则
.
)(
1
)(
),()(
x
xf
xfyyx
?
?
?
??
?? 则有的反函数为如果函数
(3) 复合函数的求导法则
).()()(
)]([)(),(
xufxy
dx
du
du
dy
dx
dy
xfyxuufy
? ???????
?????
或
的导数为则复合函数而设
(4) 对数求导法
先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法
求出导数,
适用范围,
.)( )( 的情形数多个函数相乘和幂指函 xvxu
(5) 隐函数求导法则
用复合函数求导法则直接对方程两边求导,
,)( )( 间的函数关系与确定若参数方程 xyty tx
??
?
?
?
?
?;
)(
)(
t
t
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?
?
?
?
??
.)( )()()()( 32
2
t
tttt
dx
yd
?
????
?
????????
(6) 参变量函数的求导法则
4、高阶导数,
)()(
lim))((
0 x
xfxxf
xf
x ?
?????
???
??
二阶导数
记作,
)(,),(
2
2
2
2
dx
xfd
dx
ydyxf 或????
.,),( 3
3
dx
ydyxf ??????
二阶导数的导数称为三阶导数,
记作阶导数的函数
阶导数的导数称为的函数一般地
,)(
1)(,
nxf
nxf ?
.)(,),( )()( n
n
n
n
nn
dx
xfd
dx
ydyxf 或
(二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数 )
5,微分的定义
定义
.
),(,
)(,
)(),(
)()()(
,
,)(
0
0
0
00
00
00
xAdy
xdfdyx
xxfyxAx
xfyxA
xoxAxfxxfy
xxxxfy
xx
xx
???
?
???
??
??????????
???
?
?
即或记作的微分于自变量增量
相应在点为函数并且称可微在点
则称函数无关的常数是与其中成立
如果在这区间内
及在某区间内有定义设函数
.的线性主部叫做函数增量微分 ydy ?(微分的实质 )
6、导数与微分的关系
).(,
)()(
00
0
xfAx
xfxxf
??且处可导在点
可微的充要条件是函数在点函数
定理
7,微分的求法
dxxfdy )(??
求法,计算函数的导数,乘以自变量的微分,
基本初等函数的微分公式
x d xxxdx d xxxd
x d xxdx d xxd
x d xxdx d xxd
dxxxdCd
co tcs c)( cs ct a ns ec)( s ec
cs c)( co ts ec)( t a n
s i n)( co sco s)( s i n
)(0)(
22
1
???
???
???
???
???
dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
ax
xd
dxeedadxaad
a
xxxx
22
22
1
1
)co t(
1
1
)( a rct a n
1
1
)( a rcc o s
1
1
)( a rcs i n
1
)( l n
ln
1
)( l o g
)(ln)(
?
??
?
?
?
??
?
?
??
??
arc
函数和、差、积、商的微分法则
2)()(
)()(
v
u d vvd u
v
u
du d vvd uuvd
C d uCuddvduvud
?
???
????
8,微分的基本法则
微分形式的不变性
的微分形式总是
函数是自变量还是中间变量无论 )(,xfyx ?
dxxfdy )(??
二、典型例题
例 1
).0(
),100()2)(1()(
f
xxxxxf
?
????
求
设 ?
解 0
)0()(lim)0(
0 ?
???
? x
fxff
x
)1 0 0()2)(1(lim 0 ???? ? xxxx ?
!100?
例 2
.
,
11
11
ln
4
1
1a r c ta n
2
1
2
2
2
y
x
x
xy
?
??
??
???
求
设
解,1 2xu ??设,1
1ln
4
1a r c ta n
2
1
?
???
u
uuy则
)1111(41)1(2 1 2 ??????? uuuy u? 41 1u??,2 1 42 xx ???
)1( 2 ???? xu x,1 2xx??
.1)2( 1 23 xxxy x ??????
例 3
.,
45
2
02 ?
?
?
?
??
??
tdx
dy
ttty
ttx
求设
解 分析,,,0 导数不存在时当 tt ?
,,,0 不存在时当 dtdydtdxt ?? 不能用公式求导,
tt
ttt
x
y
tx ???
?????
?
?
???? 2
4)(5l i ml i m 2
00 )s g n (2
)]s g n (45[l i m
0 t
tt
t ??
????
??
.0?
.00 ??tdxdy故
.,
)0,0()(
2
2
dx
yd
yxxyxfy yx
求所确定
由方程设函数 ????
例 4
解 两边取对数,ln1ln1 xyyx ?,lnln xxyy ?即
,1ln)ln1( ????? xyy,ln1 1ln yxy ? ???
2)ln1(
1)1( l n)1( l n1
y
y
y
xy
xy
?
?????
???
3
22
)1( l n
)1( l n)1( l n
?
????
yxy
xxyy
).(,)2()( xfxxxxf ??? 求设例 5
解 先去掉绝对值
,
2),2(
20),2(
0),2(
)(
2
2
2
?
?
?
?
?
??
????
??
?
xxx
xxx
xxx
xf
,0时当 ?x,0)0()0( ???? ?? ff ;)0( ??f
,20 时当 ?? x;43)( 2 xxxf ???,02 时或当 ?? xx;43)( 2 xxxf ????
,2时当 ?x
2
)2()(l i m)2(
2 ?
???
??? x
fxff
x 2
)2(l i m 2
2 ?
???
?? x
xx
x
.4??
2
)2()(l i m)2(
2 ?
???
??? x
fxff
x 2
)2(l i m 2
2 ?
??
?? x
xx
x,4?
),2()2( ?? ??? ff,2)( 处不可导在 ?? xxf
?
?
?
?
?
????
?
???
??
,20,43
,0,0
0,2,43
)(
2
2
xxx
x
xxxx
xf
或
.,)(s i n c o s yxxy x ?? 求设例 6
解 )( l n ??? yyy
)s i nlnc o s( l n ??? xxxy
)s i nc o ss i nlns i n1()( s i n
2
c o s
x
xxx
xxx
x ????
.,114 )(2
2
ny
x
xy 求设
?
??
例 7
解 1
344
1
14
2
2
2
2
?
???
?
??
x
x
x
xy )
1
1
1
1(
2
34
????? xx
,)1( !)1()11( 1)( ????? n
n
n
x
n
x?,)1(
!)1()
1
1(
1
)(
??
??
? n
n
n
x
n
x
].)1( 1)1( 1[!)1(23 11)( ?? ?????? nnnn xxny
一,选择题：
1,函数 )( xf 在点
0
x 的导数 )(
0
xf ? 定义为 （ ）
（ A ）
x
xfxxf
?
??? )()(
00；
（ B ）
x
xfxxf
xx
?
???
?
)()(
l i m
00
0；
（ C ）
x
xfxf
xx
?
?
?
)()(
lim
0
0；
（ D ）
0
0
)()(
lim
0 xx
xfxf
xx
?
?
?；
2,若函数
)( xfy ?
在点 0
x
处的导数
0)(
0
?? xf
，则
曲线
)( xfy ?
在点 (
)(,
00
xfx
) 处的法线 （ ）
（ A ）与
x
轴相平行； （ B ）与
x
轴垂直；
（ C ）与 y 轴相垂直； （ D ）与
x
轴即不平行也不垂直：
测 验 题
3,若函数 )( xf 在点
0
x 不连续，则 )( xf 在
0
x ( )
（ A ）必不可导； （ B ）必定可导；
（ C ）不一定可导； （ D ）必无定义,
4,如果
)( xf
= （ ），那么 0)( ?
? xf
.
(A) xx a r c c o s2a r c si n ? ；
(B)
xx
22
t a nse c ?；
(C) )1(c o ss i n
22
xx ?? ；
(D)
?xa r c t a n
a r c
xc o t
.
5,如果
?
?
?
??
?
?
0),1(
0,
)(
2
xxb
xe
xf
ax
处处可导，那末 （ ）
（ A ）
1?? ba； （ B ）
1,2 ???? ba；
（ C ）
0,1 ?? ba； （ D ）
1,0 ?? ba
.
6,已知函数 )( xf 具有任意阶导数，且
? ?
2
)()( xfxf ??,则当 n 为大于 2 的正整数时，
)( xf 的 n 阶导数 )(
)(
xf
n
是 （ ）
（ A ）
1
)](]([ ； （ D ）
n
xfn
2
)](![,
7,若函数
)( txx ?
,
)( tyy ?
对
t
可导且
0)( ?? tx
,又
)( txx ?
的反函数存在且可导，则
dx
dy
= （ ）
（ A ）
)(
)(
tx
ty ?； （ B ）
)(
)(
tx
ty
?
?
? ；
（ C ）
)(
)(
tx
ty
?
?； （ D ）
)(
)(
tx
ty
?
.
8,若函数 )( xf 为可微函数，则 dy （ ）
（ A ）与 x? 无关；
（ B ）为 x? 的线性函数；
（ C ）当 0?? x 时为 x? 的高阶无穷小；
（ D ）与 x? 为等价无穷小,
9,设函数 )( xfy ? 在点
0
x
处可导，当自变量 x 由 0x 增
加到
xx ??
0 时，记 y? 为 )( xf 的增量,dy 为 )( xf 的
微分，
x
dyy
x
?
??
?? 0
lim 等于 （ ）
（ A ） -1 ； （ B ） 0 ；
（ C ） 1 ； （ D ）
?
.
10,设函数 )( xfy ? 在点 0x 处可导，且 0)( 0 ?? xf,
则
x
dyy
x ?
??
?? 0
lim 等于 （ ）,
（ A ） 0 ； （ B ） -1 ；
（ C ） 1 ； （ D ） ?,
二、求下列函数的导数：
1,
2
lns i n xxy ? ； 2,
x
ay
c o s h
? （ 0?a ）；
3,
x
xy
s e c2
)1( ?? ； 4, )]310l n [c o s (
2
xy ?? ；
5,设 y 为 x 的函数是由方程
x
y
yx a r c ta nln
22
?? 确
定的；
6,设 yyx ??
2
，
2
3
2
)( xxu ??,求
du
dy
.
三、证明 tex
t
si n?, tey
t
c o s? 满足方程
)(2)(
2
2
2
y
dx
dy
x
dx
yd
yx ???,
四、已知
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0,
0,
c o s)(
)(
xa
x
x
xxg
xf 其中
)( xg
有二阶连
续导数，且
1)0( ?g
，
1,确定
a
的值，使
)( xf
在
0?x
点连续；
2,求
)( xf ?
五、设
,ln xxy ?
求 )1(
)( n
f,
六、计算
3
02.9
的近似值,
七、一人走过一桥之速率为 4 公里 / 小时，同时一船在
此人底下以 8 公里 / 小时之速率划过，此桥比船高
200 米，问 3 分钟后人与船相离之速率为多少？
一,1, D ； 2, B ； 3, A ； 4, D ； 5, D ；
6, A ； 7, C ； 8, B ； 9, B ； 10, A ；
二,1,
x
x
xx
s i n2
lnc o s
2
? ；
2,
x
xaa
c o s h
si n hln；
3, x
x
x
xxx
x
s e c]
1
2
)1l n ([t a n)1(
2
2s e c2
?
??? ；
4, )310ta n (6
2
xx ? ；
5,
yx
yx
?
?；
6,
xxxy ???
2
)12)(12(3
1
.
测验题答案
四,1, )0(ga ?? ；
2,
?
?
?
?
?
?
?
????
?
????
??
0),1)0((
2
1
0,
]c o s)([]s i n)([
)(
2
xg
x
x
xxgxxgx
xf,
五,)!2()1()1(
2)(
???
?
nf
nn
.
六,2.09.
七,16.8
6
20
? ( 公里 / 小时 ).
