基本概念 一阶方程
类 型
1.直接积分法
2.可分离变量
3.齐次方程
4.可化为齐次
方程
5.全微分方程
6.线性方程
7.伯努利方程
可降阶方程
线性方程
解的结构
定理 1;定理 2
定理 3;定理 4
欧拉方程
二阶常系数线性
方程解的结构
特征方程的根
及其对应项
f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程
待
定
系
数
法
特征方程法
一、主要内容
微分方程解题思路
一阶方程
高阶方程
分离变量法
全微分方程
常数变易法
特征方程法
待定系数法
非
全
微
分
方
程
非
变
量
可
分
离
幂级数解法
降
阶
作
变
换
作变换
积分因子
1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程
叫微分方程,
微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最
高阶导数的阶数称为微分方程的阶,
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等
式的函数称为微分方程的解,
通解 如果 微分方程的解中含有任意常数，并且
任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的
解叫做微分方程的通解,
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解，
叫做微分方程的特解,
初始条件 用来确定任意常数的条件,
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题，
叫初值问题,
dxxfdyyg )()( ?形如
(1) 可分离变量的微分方程
解法 ? ?? dxxfdyyg )()(
分离变量法
2、一阶微分方程的解法
)( xyfdxdy ?形如(2) 齐次方程
解法 x
yu ?
作变量代换
)(
111 cybxa
cbyaxf
dx
dy
??
???形如
齐次方程．,01 时当 ?? cc
，
令
kYy
hXx
??
??,
（其中 h和 k是待定的常数）
否则为非齐次方程,
(3) 可化为齐次的方程
解法
化为齐次方程,
)()( xQyxPdxdy ??形如
(4) 一阶线性微分方程
,0)( ?xQ当 上方程称为齐次的,
上方程称为非齐次的,,0)( ?xQ当
齐次方程的通解为,)(?? ? dxxPCey
（使用分离变量法）
解法
非齐次微分方程的通解为
???? ?? dxxPdxxP eCdxexQy )()( ])([
（常数变易法）
(5) 伯努利 (Bernoulli)方程
nyxQyxP
dx
dy )()( ??形如 )1,0( ?n
方程为线性微分方程, 时，当 1,0?n
方程为非线性微分方程, 时，当 1,0?n
解法 需经过变量代换化为线性微分方程,
,1 nyz ??令
.))1)(((
)()1()()1(
1
? ?????
?
???
?
CdxenxQe
zy
dxxPndxxPn
n
0),(),( ?? dyyxQdxyxP
其中 dyyxQdxyxPyxdu ),(),(),( ??
形如
(6) 全微分方程
x
Q
y
P
?
??
?
??全微分方程
注意,
解法 ?应用曲线积分与路径无关,
?? ?? yyxx dyyxQxdyxPyxu 00 ),(),(),( 0
,),(),(
00 0
xdyxPdyyxQ xxyy ?? ??
.),( Cyxu ?
? 用直接凑 全微分的方法,
通解为
(7) 可化为全微分方程
).( xQyP ?????非全微分方程
0),(),( ?? dyyxQdxyxP形如
若 0),( ?yx? 连续可微函数，且可使方程
0),(),(),(),( ?? dyyxQyxdxyxPyx ?? 成为全
微分方程, 则称 ),( yx? 为方程的 积分因子,
?公式法,
)(1 xQyPQ ?????若 )( xf? ;)( )(?? dxxfex?则
)(1 yPxQP ?????若 )( yg?,)( )(?? dyygey?则
?观察法,
熟记常见函数的全微分表达式，通过观察
直接找出积分因子,
常见的全微分表达式
???????? ??? 2
22 yx
dydyxdx ???????? xydx y dxxd y 2
????????? xydyx y d xxdy a r c t a n22 ? ?xydxy y dxxd y ln??
?????? ???? )l n (21 2222 yxdyx ydyxdx
?????? ????? yx yxdyx yd xx d y ln2122
可选用积分因子,,,1,1,1,1 2222222 等xyyxyxyxxyx ??
3、可降阶的高阶微分方程的解法
解法
),( xPy ??令
特点,y不显含未知函数
),()2( yxfy ????
型 )()1( )( xfy n ?
接连积分 n次，得通解,
型
解法
代入原方程,得 )).(,( xPxfP ??
,Py ????
),( xPy ??令
特点,x不显含自变量
),()3( yyfy ???? 型
解法
代入原方程,得 ).,( PyfdydpP ?
,dydpPy ???
４、线性微分方程解的结构
（ 1） 二阶齐次方程解的结构,
)1(0)()( ?????? yxQyxPy形如
定理 1 如果函数 )(1 xy 与 )(2 xy 是方程 (1) 的两个
解,那末 2211 yCyCy ?? 也是 ( 1 ) 的解, （ 21,CC 是常
数）
定理 2,如果 )(
1
xy 与 )(
2
xy 是方程 ( 1 ) 的两个线性
无关的特解,那么 2211 yCyCy ?? 就是方程 ( 1 ) 的通
解,
（ 2）二阶非齐次线性方程的解的结构,
)2()()()( xfyxQyxPy ??????形如
定理 3 设
*
y 是 )2( 的一个特解,Y 是与 (2) 对应
的齐次方程 (1) 的通解,那么
*
yYy ?? 是二阶
非齐次线性微分方程 (2) 的通解,
定理 4 设非齐次方程 (2) 的右端 )( xf 是几个函
数之和,如 )()()()(
21
xfxfyxQyxPy ???????
而
*
1
y 与
*
2
y 分别是方程,
)()()(
1
xfyxQyxPy ??????
)()()(
2
xfyxQyxPy ??????
的特解,那么
*
2
*
1
yy ? 就是原方程的特解,
５、二阶常系数齐次线性方程解法
)(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn ?????? ?? ?形如
n阶常系数线性微分方程
0?????? qyypy 二阶常系数齐次线性方程
)( xfqyypy ?????? 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确
定其通解的方法称为 特征方程法,
02 ??? qprr
0?????? qyypy
特征根的情况 通解的表达式
实根
21
rr ?
实根
21
rr ?
复根 ?? ir ??
2,1
xrxr
eCeCy
21
21
??
xr
exCCy
2
)(
21
??
)s i nc o s(
21
xCxCey
x
??
?
??
特征方程为
01)1(1)( ?????? ?? yPyPyPy nnnn ?
特征方程为 0111 ????? ?? nnnn PrPrPr ?
特征方程的根 通解中的对应项
rk 重根若是 rxkk exCxCC )( 1110 ????? ?
?? i
k
?复根
重共轭若是
xk
k
k
k
exxDxDD
xxCxCC
??
?
]s i n)(
c o s)[(
1
110
1
110
?
?
?
?
????
???
?
?
推广,阶常系数齐次线性方程解法 n
６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
)( xfqyypy ?????? 二阶常系数非齐次线性方程
型)()()1( xPexf mx??
解法 待定系数法,
,)( xQexy mxk ??设 ?
?
?
?
?
?
是重根
是单根
不是根
?
?
?
2
,1
0
k
型]s i n)(c o s)([)()2( xxPxxPexf nlx ??? ??
],s i n)(c o s)([ )2()1( xxRxxRexy mmxk ??? ??设
次多项式，是其中 mxRxR mm )(),( )2()1( ? ?nlm,m a x?
??
?
?
??
.1;0
是特征方程的单根时
不是特征方程的根时
??
??
i
ik
7、欧拉方程
欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换
可化为常系数微分方程, xtex t ln?? 或
)(1)1(11)( xfypyxpyxpyx nnnnnn ?????? ??? ?
的方程 (其中 nppp ?21,
形如
叫 欧拉方程, 为常数 ),
当微分方程的解不能用初等函数或其积分
表达时,常用幂级数解法,
8、幂级数解法
二、典型例题
.)c o ss i n()s i nc o s( dy
x
y
x
x
y
yxdx
x
y
y
x
y
xy ???
求通解
例 1
解 原方程可化为
),
c o ss in
s inc o s
(
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
dx
dy
?
?
?
,xyu ?令,,uxuyuxy ????? 代入原方程得
),co ss i n s i nco s( uuu uuuuuxu ?????
,co s2 co ss i n xdxduuu uuu ??
分离变量
两边积分
,lnln)c o sl n ( 2 Cxuu ?? ?,co s 2xCu ??
,co s 2xCxyxy ?? 所求通解为,co s Cxyxy ?
.32 343 yxyyx ???求通解例 2
解 原式可化为,32 3
4
2 yxy
xy ???
,32 23
1
3
4
xyxyy ??? ??即
,31?? yz令 原式变为,323 2xzxz ????
,3 2 2xzxz ????即
对应齐方通解为,32Cxz ?
一阶线性非齐方程
伯努利方程
,)( 32xxCz ?设 代入非齐方程得
,)( 232 xxxC ???,73)( 3
7
CxxC ?????
原方程的通解为
.73 3
2
3
7
3
1
xCxy ?????
利用常数变易法
.032 4
22
3 ?
?? dy
y
xydx
y
x求通解
例 3
解 )2( 3yxyyP ??????,6 4yx??
)3( 4
22
y
xy
xx
Q ?
?
??
?
?,6
4y
x?? )0( ?y
,xQyP ?????? 方程为全微分方程,
(1) 利用原函数法求解,
,2),,( 3y xxuyxu ???则设原函数为
),(),( 3
2
yyxyxu ????,求导两边对 y
),(331 4
2
4
2
2 yy
x
y
x
yy
u ? ??????
?
?,1)(
2yy ???解得
,1)( yy ??? ?
故方程的通解为,1 23
2
Cyyx ??
(2) 利用分项组合法求解,
原方程重新组合为
,0)1()( 3
2
??? ydyxd即得
,01)32( 24
2
3 ??? dyydyy
xdx
y
x
故方程的通解为,1 23
2
Cyyx ??
(3) 利用曲线积分求解,
,32 4
22),(
)1,0( 3
Cdyy xydxy xyx ?????
,312
1 4
22
0 3
Cdyy xydxx yx ??? ??即
.1 13
2
1
2 C
y
x
yx
yy ????
故方程的通解为,1 23
2
Cyyx ??
.0)2()2( 2222 ?????? dyxyxdxyyx
求通解
例 4
解,22 ???
?
? y
y
P?,22 ??
?
? x
x
Q
,xQyP ????? 非全微分方程,
利用积分因子法,
原方程重新组合为
),(2))(( 22 x d yy d xdydxyx ????
222 yx
x d yyd xdydx
?
???
,
)(1
)(
2
2
x
y
x
y
d
?
?
,ln
1
1
ln C
x
y
x
y
yx ?
?
?
???
故方程的通解为,yx yxCe yx ????
.21
2
y
yy ?????求通解
例 5
解,x方程不显含
,,dydPPyPy ?????令 代入方程，得
,21
2
y
P
dy
dPP ??
,1 12 yCP ??解得，
,11 ???? yCP,11 ??? yCdxdy即
故方程的通解为,12 21
1
CxyCC ????
.1)1()1(,2 ?????????? yyexeyyy xx
求特解
例 6
解 特征方程,0122 ??? rr
特征根,121 ?? rr
对应的齐次方程的通解为,)( 21 xexCCY ??
设原方程的特解为,)(2* xebaxxy ??
,]2)3([)( 23* xebxxbaaxy ?????则
,]2)46()6([)( 23* xebxbaxbaaxy ????????
代入原方程比较系数得将 )(,)(,*** ??? yyy
,21,61 ??? ba
原方程的一个特解为,26
23
* xx exexy ??
故原方程的通解为,26)(
23
21
xxx exexexCCy ????
,1)1( ?y?,1)31( 21 ???? eCC
,]6)1()([
3
221
xexxCCCy ??????
,1)1( ??y?,1)652( 21 ???? eCC
,31121 ??? eCC
,6512 21 ??? eCC
由 解得 ?
?
?
?
?
??
??
,
1
2
1
,
6
12
2
1
e
C
e
C
所以原方程满足初始条件的特解为
.26])121(612[
23
xxx exexex
eey ??????
).2c o s(214 xxyy ?????求解方程例７
解 特征方程,042 ??r
特征根,22,1 ir ??
对应的齐方的通解为,2s in2c o s 21 xCxCY ??
设原方程的特解为,*2*1* yyy ??
,)1( *1 baxy ??设,)( *1 ay ??则,0)( *1 ???y
，得代入 xyy 214 ????,xbax 2144 ??
由
，04 ?b
，214 ?a
解得
，0?b
，81?a;81*1 xy ??
),2s i n2c o s()2( *2 xdxcxy ??设
,2s i n)2(2c o s)2()( *2 xcxdxdxcy ?????则
,2s i n)44(2c o s)44()( *2 xdxcxcxdy ??????
，得代入 xyy 2co s214 ????
故原方程的通解为
.2s i n81812s i n2co s 21 xxxxCxCy ????
,2co s212s i n42co s4 xxcxd ??
由
，04 ?? c
，214 ?d
即
，81?d
，0?c;2s i n81*2 xxy ??
.
)(),(
1
)()(
2
此方程的通解（２）
的表达式；（１）
，试求：的齐次方程有一特解为
，对应有一特解为设
xfxp
x
x
xfyxpy ?????
例８
解 （１） 由题设可得,
??
?
?
?
???
??
),()
1
)((
2
,02)(2
23
xf
x
xp
x
xxp
解此方程组，得
.3)(,1)( 3xxfxxp ???
（２） 原方程为,31 3xyxy ?????
，的两个线性无关的特解
程是原方程对应的齐次方显见 221,1 xyy ??
是原方程的一个特解，又 xy 1* ?
由解的结构定理得方程的通解为
.1221 xxCCy ???
.ln53 22 xxyyxyx ??????求解方程
解
例９
这是一个欧拉方程,
,ln xt ?令
dx
dt
dt
dyy ???则,1
tyx ??
dx
dty
xyxy tt ????????
11
2 ),(
1
2 tt yyx ?????
代入原方程得,54 2 ttt teyyy ?????? (1)
,tex ?
和 (1)对应的齐次方程为
,054 ?????? yyy tt (2)
(2)的特征方程为,0542 ??? rr
特征根为,1,5 21 ??? rr
(2)的通解为,251 tt eCeCY ???
设 (1)的特解为,)( 2* tebaty ??
),22()( 2*1 baatey t ????则
),444()( 2* baatey t ?????
代入原方程比较系数得将 )(,)(,*** ??? yyy
,99 tbat ???,0,91 ???? ba
,91 2* ttey ??
得 (1)的通解为,91 2251 ttt teeCeCy ??? ?
故原方程的通解为
.ln91 2251 xxxCxCy ???
间．链条滑过钉子需多少时下垂１０米，试问整个
边的一边下垂８米，另一上，运动开始时，链条
一无摩擦的钉子一质量均匀的链条挂在
解
例 10
o
x
m8 m10,,
,
米链条下滑了经过时间
设链条的线密度为
xt
?
则由牛顿第二定律得
,)8()10(2
2
gxgxdt xdm ?? ????
.0)0(,0)0(,99 ???????? xxgxgx即
解此方程得
,1)(21)( 3
1
3
1
??? ? tgtg eetx
,8,?x即整个链条滑过钉子
代入上式得
)().809l n (3 秒?? gt
一,选择题,
1, 一阶线性非齐次微分方程 )()( xQyxPy ??? 的通
解是 ( ).
(A)
?
?
??
?
?
])([
)()(
CdxexQey
dxxPdxxP；
(B)
?
??
?
?
dxexQey
dxxPdxxP )()(
)( ；
(C)
?
?
??
?
?
])([
)()(
CdxexQey
dxxPdxxP；
(D)
?
?
? dxxP
cey
)(
.
2,方程
yyxyx ????
22
是 ( ).
(A) 齐次方程； (B) 一阶线性方程；
( C) 伯努利方程； (D) 可分离变量方程,
测 验 题
3, 2)1(,0
22
??? y
x
dx
y
dy
的特解是 ( ).
(A) 2
22
?? yx ； (B) 93
3
?? yx ；
(C) 1
33
?? yx ； (D) 1
33
33
??
yx
.
4,方程
xy si n????
的通解是 ( ).
(A)
32
2
1
2
1
c o s CxCxCxy ???? ；
(B)
32
2
1
2
1
s i n CxCxCxy ???? ；
(C) 1
c o s Cxy ??；
(D)
xy 2si n2?
.
5,方程 0?????? yy 的通解是 ( ).
(A)
1
c o ss i n Cxxy ??? ；
(B)
321
c o ss i n CxCxCy ??? ；
(C)
1
c o ss i n Cxxy ??? ；
(D) 1
si n Cxy ??
.
6,若 1
y
和 2
y
是二阶齐次线性方程
0)()( ?????? yxQyxPy
的两个特解,则
2211
yCyCy ??
( 其中 21
,CC
为任意常数 )( )
(A) 是该方程的通解； (B) 是该方程的解；
(C) 是该方程的特解； (D) 不一定是该方程的解,
7,求方程 0)(
2
???? yyy 的通解时,可令 ( ).
(A) PyPy ?????? 则,；
(B)
dy
dP
PyPy ????? 则,；
(C)
dx
dP
PyPy ????? 则,；
(D)
dy
dP
PyPy ?????? 则,.
8,已知方程 0
2
?????? yyxyx 的一个特解为 xy ?,于
是方程的通解为 ( ),
( A )
2
21
xCxCy ?? ； ( B )
x
CxCy
1
21
?? ；
( C )
x
eCxCy
21
?? ； ( D )
x
eCxCy
?
??
21,
9,已知方程 0)()( ?????? yxQyxPy 的一个特
1
y解为,
则另一个与它线性无关的特解为 ( ).
(A)
?
?
?
?
dxe
y
yy
dxxP )(
2
1
12
1；
(B)
?
?
? dxe
y
yy
dxxP )(
2
1
12
1；
(C)
?
?
?
?
dxe
y
yy
dxxP )(
1
12
1；
( D) ?
?
? dxe
y
yy
dxxP )(
1
12
1
.
10,方程 xeyyy
x
2c o s23 ?????? 的一个特解形式是
( ),
(A) xeAy
x
2c o s
1
? ；
(B) xxeBxxeAy
xx
2s i n2c o s
11
?? ；
(C) xeBxeAy
xx
2s i n2c o s
11
?? ；
( D) xexBxexAy
xx
2s i n2c o s
2
1
2
1
??,
二,求下列一阶微分方程的通解,
1, )1( l nln ???? xaxyxyx ；
2, 0
33
??? yxxy
dx
dy；
3, 0
22
?
?
?
??
yx
xdyy d x
y d yxdx,
三,求下列高阶微分方程的通解,
1, 01
2
?????? yyy ；
2, )4(2 ??????????
x
exyyy,
四,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1, 0)(2
223
??? dyxyxdxy,11 ?? yx 时,；
2, xyyy c o s2 ??
????
,
2
3
,00 ???? yyx 时,.
五、已知某曲线经过点 )1,1(,它的切线在纵轴上的截
距等于切点的横坐标,求它的方程,
六,设可导函数 )( x? 满足
1s i n)(2c o s)(
0
???
?
xt d ttxx
x
??,求 )( x?,
七,我舰向正东 海里1 处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷在
航行中始终对准敌舰, 设敌舰以
0
v常数 沿正北方向
直线行驶,已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍,求鱼雷
的航行曲线方程,并问敌舰航行多远时,将被鱼雷击
中?
测验题答案
一,1, A ； 2, A ； 3, B ； 4, A ； 5, B ；
6, B ； 7, B ； 8, B ； 9, A ； 1 0, C.
二,1,
x
c
axy
ln
?? ；
2, 1
2
1
2
2
???
?
xeCy
x；
3, C
x
y
yx ??? a r c ta n2
22
.
三,1, )c o s h (
1
21
1
CxC
C
y ?? ；
2, xxexxeCeCCy
xxx
???????
? 222
321
)
9
4
6
1
(,
四,1, 0)ln21(
2
??? yyx ；
2, xxey
x
s i n
2
1
??
?
.
五,xxxy ln??,
六,xxx si nc o s)( ???,
七,)10(
3
2
)1(
3
1
)1(
2
3
2
1
???????? xxxy,
敌舰航行
3
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海里后即被击中,
