一、主要内容
（一）向量代数
（二）空间解析几何
向量的
线性运算
向量的
表示法
向量积 数量积 混合积
向量的积
向量概念
（一）向量代数
1、向量的概念
定义,既有大小又有方向的量称为向量,
自由向量,相等向量,负向量,
向径,
重要概念,
零向量,向量的模,单位向量,
平行向量,
(1) 加法,cba ??? ??
2、向量的线性运算
dba ??? ??a?
b?
(2) 减法,
cba ??? ??
dba ??? ??
(3) 向量与数的乘法,
设 ? 是一个数，向量 a? 与 ? 的乘积 a?? 规定为
,0)1( ?? a?? 与 a? 同向,|||| aa ?? ?? ?
,0)2( ?? 0?? ?a?
,0)3( ?? a?? 与 a? 反向,|||||| aa ?? ?? ??
向量的分解式,
},,{ zyx aaaa ??
.,,,,轴上的投影分别为向量在其中 zyxaaa zyx
kajaiaa zyx ???? ???
在三个坐标轴上的分向量,kajaia zyx ???,,
向量的坐标表示式,
向量的坐标,zyx aaa,,
3、向量的表示法
向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式
},,{ zyx aaaa ?? },,{ zyx bbbb ??
},,{ zzyyxx babababa ????? ??
},,{ zzyyxx babababa ????? ??
},,{ zyx aaaa ???? ??
kbajbaiba zzyyxx ??? )()()( ??????
kbajbaiba zzyyxx ??? )()()( ??????
kajaia zyx ??? )()()( ??? ???
222||
zyx aaaa ???
?向量模长的坐标表示式
222co s
zyx
x
aaa
a
??
??
222c o s
zyx
y
aaa
a
??
??
222co s
zyx
z
aaa
a
??
??
向量方向余弦的坐标表示式
)1c o sc o sc o s( 222 ??? ???
4、数量积
?co s|||| baba ???? ?? 其中 ? 为 a? 与 b? 的夹角
(点积、内积 )
zzyyxx babababa ????
??
数量积的坐标表达式
ba ??? 0??? zzyyxx bababa
222222c o s
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
????
??
??
两向量夹角余弦的坐标表示式
5、向量积
?sin|||||| bac ??? ? 其中 ? 为 a? 与 b? 的夹角c? 的方向既垂直于 a?,又垂直于 b?,指向符合
右手系,
(叉积、外积 )
kbaba
jbabaibaba
xyyx
zxxzyzzy ?
??
)(
)()(
??
????
向量积的坐标表达式
ba ???
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba
???
??
??
ba ??//
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a ??
][ cba ??? cba ??? ??? )(
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
?6、混合积
直 线
曲面 曲线
平 面
参数方程
旋转曲面
柱 面
二次曲面
一般方程
参数方程
一般方程
对称式方程 点法式方程 一般方程
空间直角坐标系
（二）空间解析几何
x横轴
y 纵轴
z 竖轴
?定点 o
1、空间直角坐标系
空间的点
有序数组
),,( zyx
x y
o
z
空
间
直
角
坐
标
系
共有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限,
? ? ? ? ? ? 21221221221 zzyyxxMM ??????
它们距离为
设 ),,( 1111 zyxM, ),,( 2222 zyxM 为空间两点
两点间距离公式,
曲面方程的定义,
如果曲面 S 与三元方程
0),,( ?zyxF 有下述关系：
( 1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程；
那么，方程 0),,( ?zyxF 就叫做曲面 S 的方程，而
曲面 S 就叫做方程的图形,
2、曲面
( 2 ) 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；
研究空间曲面的两个基本问题,
（ 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,
（ 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,
[1] 旋转曲面
定义：以一条平面曲线绕
其平面上的一条直线旋转
一周所成的曲面称之,
这条定直线叫旋转曲面的 轴,
方程特点,
0),(
)2(
0),(
)1(
0
0),(
:
22
22
???
???
?
?
?
?
?
yzxf
yL
zyxf
xL
z
yxf
L
方程为轴旋转所成的旋转曲面绕曲线
方程为轴旋转所成的旋转曲面绕曲线
设有平面曲线
（ 2）圆锥面
222 zyx ??
（ 1）球面 （ 3）旋转双曲面
12
2
2
2
2
2
??? czayax1222 ??? zyx
[2] 柱面
定义,平行于定直线并沿定曲线 C移动的直线
L所形成的曲面称之,
这条定曲线叫柱面
的 准线,动直线叫
柱面的 母线,
从柱面方程看柱面的特征,
只含 yx,而缺 z 的方程 0),( ?yxF,在
空间直角坐标系中 表示母线平行于 z 轴的柱
面，其准线为 x o y 面上曲线 C,
(1) 平面
xy?
(3) 抛物柱面
)0(
22
?
?
p
pyx
(4) 椭圆柱面
12
2
2
2
?? byax
(2) 圆柱面
222 Ryx ??
[3] 二次曲面
定义,三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面,
（ 1）椭球面
12
2
2
2
2
2
??? czbyax zq
y
p
x ??
22
22
（ 2）椭圆抛物面
)( 同号与 qp
zqypx ??? 22
22
（ 3）马鞍面
)( 同号与 qp
（ 4）单叶双曲面
12
2
2
2
2
2
??? czbyax
（ 5）圆锥面
222 zyx ??
3、空间曲线
??
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
[1] 空间曲线的一般方程
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tzz
tyy
txx
[2] 空间曲线的参数方程
??
?
?
?
???
???
222
22
)
2
1
()
2
1
(
1
yx
yxz
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
2
s i n
s i n
2
1
2
1
co s
2
1
t
z
ty
tx
如图空间曲线
一般方程为
参数方程为
[3] 空间曲线在坐标面上的投影
??
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
消去变量 z后得,0),( ?yxH
设空间曲线的一般方程,
??
?
?
?
0
0),(
z
yxH
曲线在 面上的投影曲线为 xoy
??
?
?
?
0
0),(
x
zyR
??
?
?
?
0
0),(
y
zxT
面上的投影曲线 yoz 面上的投影曲线 xoz
如图,投影曲线的研究过程,
空间曲线 投影曲线 投影柱面
[4] 空间立体或曲面在坐标面上的投影
空
间
立
体
曲
面
4、平面
},,{ CBAn ??
),,( 0000 zyxMx
y
z
o
n?
0M M[1] 平面的点法式方程
0)(
)()(
0
00
???
???
zzC
yyBxxA
[2] 平面的一般方程
0???? DCzByAx
1??? czbyax
[3] 平面的截距式方程
x
y
z
o
a
b
c
0,11111 ????? DzCyBxA
0,22222 ????? DzCyBxA
[4] 平面的夹角
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||c o s
CBACBA
CCBBAA
?????
????
[5] 两平面位置特征,
21)1( ??? 0212121 ????? CCBBAA
21)2( ??//
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A ????
1?
1n?
2?2
n? ?
5、空间直线
0,11111 ????? DzCyBxA
0,22222 ????? DzCyBxA
??
?
????
????
0
0:
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxAL
[1] 空间直线的一般方程
x
y
z
o
1?
2?
L
x
y
z
o
s? L
0M?
M?
[3] 空间直线的参数方程
p
zz
n
yy
m
xx 000 ?????
[2] 空间直线的对称式方程
?
?
?
?
?
??
??
??
ptzz
ntyy
mtxx
0
0
0
),,( 0000 zyxM
},,{ pnms ??
直线,1L
1
1
1
1
1
1
p
zz
n
yy
m
xx ?????
直线,2L
2
2
2
2
2
2
p
zz
n
yy
m
xx ?????
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
||),c o s (
pnmpnm
ppnnmmLL
?????
???^
两直线的夹角公式
[4] 两直线的夹角
[5] 两直线的位置关系,
21)1( LL ? 0212121 ????? ppnnmm
21)2( LL//
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m ????
p
zz
n
yy
m
xxL 000,?????
0,????? DCzByAx
[6] 直线与平面的夹角
222222
||s i n
pnmCBA
CpBnAm
?????
????
直线与平面的夹角公式
)20( ?? ??
[7] 直线与平面的位置关系
??L)1( p
C
n
B
m
A ????
?L)2( // 0????? CpBnAm
二、典型例题
例 1
解
共面．且，使，求一单位向量
，已知
bancnn
kjickjbia
??????
?????????
,,
,22,2
000 ?
??????
,0 kzjyixn ???? ???设 由题设条件得
10 ?n?
cn ?? ?0
ban ??? ??0
?
?
?
?
?
??
???
???
02
022
1222
zy
zyx
zyx
解得 ).323132(0 kjin ???? ????
例 2
解
.
4
0128
4
,04
05
:
角的平面方程组成
且与平面求过直线
?
???
?
?
?
?
???
???
z
yx
zx
zyx
过已知直线的平面束方程为
,0)4(5 ?????? zxzyx ?
,04)1(5)1( ?????? ??? zyx即
}.1,5,1{ ?? ???n?其法向量
}.8,4,1{ ???n?又已知平面的法向量
由题设知
1
1
4co s nn
nn
??
?? ?
??
222222 )1(5)1()8()4(1
)8()1()4(51)1(
??
??
????????
??????????
,272 32 2 2 ??? ??即 由此解得,43???
代回平面束方程为,012720 ???? zyx
例 3
解
.
12
43
:
,
1
2
:)1,1,1(
2
10
L
xz
xy
L
xz
xy
LM
都相交的直线
且与两直线求过点
?
?
?
??
??
?
?
?
??
?
将两已知直线方程化为参数方程为
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
12
43:,
1
2,21
tz
ty
tx
L
tz
ty
tx
L
的交点分别为与设所求直线 21,LLL
).12,43,()1,2,( 222111 ??? tttBtttA 和
,,)1,1,1(0 三点共线与 BAM?
).(00 为实数故 ?? BMAM ?
即有,,00 对应坐标成比例于是 BMAM
,1)12( 1)1(1)43( 1211
2
1
2
1
2
1
??
???
??
??
?
?
t
t
t
t
t
t
,0,0 21 ?? tt解之得
)3,2,2(),1,0,0( BA ??
,)3,2,2()1,1,1(0 上同在直线和点 LBM?
的方程为故 L
.2 11 11 1 ????? zyx
例 4
解
.02
:
01
012
:
上的投影直线的方程
在平面求直线
???
?
?
?
?
????
????
zyx
zyx
zyx
L
的平面束方程为过直线 L
,0)1(
)12(
?????
???
zyx
zyx
?
.0)1()1(
)1()2(
?????
???
??
??
z
yx即
?L
,014 ???即 41??故
,代入平面束方程将 ?,013 ???? zyx得
所求投影直线方程为,02 013
??
?
???
????
zyx
zyx
,?垂直于平面又 ?
.0)1()1(2)1(1)2( ??????????? ???
例 5
解
.
,
110
1:
求旋转曲面的方程
轴旋转一周绕直线 zzyxL ???
),,1( 111 zyM设直线上一点,11 zy ?有
位置到达旋转后 ),,(),,1( 111 zyxMzyM
由于高度不变,,1zz ?有
,1 不因旋转而改变轴的距离到和又 rzMM
212 1 yr ??故,22 yx ??
,11 yzz ??由于
故所求旋转曲面方程为
.1222 ??? zyx
一,选择题：
1,若
?
a,
?
b 为共线的单位向量，则它们的数量积 ??
??
ba
（ ）,
（ A ） 1 ； （ B ） -1 ；
（ C ） 0 ； （ D ） ),c o s (
??
ba,
2, 向量
??
? ba 与二向量
?
a 及
?
b 的位置关系是 （ ）,
（ A ） 共面； （ B ）共线；
（ C ） 垂直； （ D ）斜交,
测 验 题
3,设向量
?
Q 与三轴正向夹角依次为 ???,,，当
0c o s ?? 时，有 （ ）
4,设向量
?
Q 与三轴正向夹角依次为 ???,,当
1c o s ?? 时有 （ ） 面面
面面；
x o zQDx o zQC
y o zQBx o yQA
???
??
)(;)(;)()(
面面
面面；
x o yQDx o zQC
y o zQBx o yQA ?? ??
)(;)(;)()(
?
??
‖ ‖
‖
‖
5, ??
??
2
)( ?? （ ）
（ A ）
22
??
? ?? ； （ B ）
22
2
????
?? ???? ；
（ C ）
22
????
?? ???? ； （ D ）
22
2
????
?? ????,
6,设平面方程为 0??? DCzBx,且 0,,?DCB, 则
平面 （ ）,
（ A ） 轴平行于 x ；
（ B ） 轴平行于 y ；
（ C ） 轴经过 y ；
（ D ） 轴垂直于 y,
7,设直线方程为
?
?
?
??
????
0
0
22
1111
DyB
DzCyBxA
且
0,,,,,221111 ?DBDCBA,则直线 （ ）,
（ A ） 过原点； （ B ） 轴平行于 z ；
（ C ） 轴垂直于 y ； （ D ） 轴平行于 x,
8,曲面 05
2
???? xyzxyz 与直线
3
5
1
?
?
?
yx
7
10?
?
z
的交点是 （ ）,
（ A ） )4,1,2(,)3,2,1( ?? ；
（ B ） )3,2,1( ；
（ C ） )4,3,2( ；
（ D ）,)4,1,2( ??
9,已知球面经过 )1,3,0( ? 且与 x o y 面交成圆周
?
?
?
?
??
0
16
22
z
yx
，则此球面的方程是 （ ）,
（ A ） 0166
222
????? zzyx ；
（ B ） 016
222
???? zzyx ；
（ C ） 0166
222
????? zzyx ；
（ D ） 0166
222
????? zzyx,
10,下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是
（ ）,
（ A ） 1
222
??? zyx ； （ B ） zyx 4
22
?? ；
（ C ） 1
4
2
2
2
??? z
y
x ； （ D ） 1
169
222
???
? zyx
.
二,已知向量 ba
?
?
,的夹角等于
3
?
，且 5,2 ??
??
ba,求
)3()2(
????
??? baba,
三,求向量 }4,3,4{ ??
?
a 在向量 }1,2,2{?
?
b 上的投
影,
四,设 平 行 四 边 形 二 边 为 向 量;}1,3,1{ ??
?
a
? ?3,1,2 ??b
，求其面积,
五,已知,,
??
ba 为 两 非 零 不 共 线 向 量, 求 证,
)()(
????
??? baba )(2
??
?? ba,
六,一动点与点 )0,0,1(M 的距离是它到平面 4?x 的
距离的一半，试求该动点轨迹曲面与 y o z 面的交线
方程,
七,求直线
L
：,
85
21
3
?
?
?
?
?
??
???
??
tz
ty
tx
在三个坐标面上及平 面
:?
083 ???? zyx 上的投影方程,
八,求通过直线
2
2
3
2
2
1 ?
?
?
?
?
? zyx
且垂直于平面
0523 ???? zyx 的平面方程,
九,求点 )3,4,1( ?? 并与下面两直线
1
L,
?
?
?
???
???
53
142
yx
zyx
,:
2
L
?
?
?
?
?
???
???
??
tz
ty
tx
23
1
42
都垂直的直
线方程,
十、求通过三平面,022 ???? zyx,
013 ???? zyx 和 03 ???? zyx 的交点，且平
行于平面 02 ??? zyx 的平面方程,
十一,在平面 01 ???? zyx 内，求作一直线，使它通
过直线
?
?
?
??
???
02
01
zx
zy
与平面的交点，且与已知直
线垂直,
十二,判断下列两直线
2
1
11
1
:
1
?
??
? zyx
L,
4
2
3
1
1
:
2
?
?
?
?
zyx
L
,是否在同一平面上，在同 一
平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距
离,
测验题答案
一,1, D ； 2, C ； 3, C ； 4, A ； 5, B ；
6, B ； 7, C ； 8, A ； 9, D ； 1 0, D.
二,-1 03, 三,2,四,103,
六、
?
?
?
?
?
?
??
0
1
33
22
x
zy
.
七、
?
?
?
?
?
?
???
?
0
21
3
z
ty
tx
,
?
?
?
?
?
??
?
??
tz
y
tx
85
0
3
,
?
?
?
?
?
??
???
?
tz
ty
x
85
21
0
,
?
?
?
????
????
083
0261114
zyx
zyx
.
八,09138 ???? zyx,
九、
?
?
?
?
?
??
???
???
tz
ty
tx
3
464
121
.
十,042 ???? zyx,
十一、
?
?
?
????
????
01
012
zyx
zyx
.
十二、直线 21 LL 与 为异面直线,
3
3
?d,