平面点集
和区域
多元函数
的极限
多元函数
连续的概念
极 限 运 算
多元连续函数
的性质
多元函数概念
一、主要内容
全微分
的应用
高阶偏导数
隐函数
求导法则
复合函数
求导法则
全微分形式
的不变性
微分法在
几何上的应用
方向导数
多元函数的极值
全微分
概念
偏导数
概念
1、区域 设 ),( 000 yxP 是 xoy 平面上的一个点,? 是某
一正数，与点 ),( 000 yxP 距离小于 ? 的点 ),( yxP
的全体，称为点 0P 的 ? 邻域，记为 ),( 0 ?PU,
（ 1）邻域
),( 0 ?PU ? ???? || 0PPP
? ?,)()(|),( 2020 ?????? yyxxyx ? 0P
?
连通的开集称为区域或开区域,（ 2）区域
（ 3）聚点 设 E 是平面上的一个点集,P 是平面上的
一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限
多个点属于点集 E,则称 P 为 E 的聚点,
（ 4） n维空间
设 n 为取定的一个自然数，我们称 n 元数组
),,,( 21 nxxx ? 的全体为 n 维空间，而每个 n 元数
组 ),,,( 21 nxxx ? 称为 n 维空间中的一个点，数
ix 称为该点的第 i 个坐标,
设 D 是平面上的一个点集，如果对于每
个点 DyxP ?).(,变量 z 按照一定的法则总有确
定的值和它对应，则称 z 是变量 yx,的二元函数，
记为 ),( yxfz ? （或记为 )( Pfz ? ）,
2、多元函数概念
定义
当 2?n 时,n 元函数统称为多元函数,
类似地可定义三元及三元以上函数,
定义 设函数 ),( yxfz ? 的定义域为,D ),(
000
yxP
是其聚点，如果对于任意给定的正数 ?,总存在
正数 ?, 使 得 对 于 适 合 不 等 式
???????
2
0
2
00
)()(||0 yyxxPP 的一切
点，都有 ??? |),(| Ayxf 成立，则称 A 为函数
),( yxfz ? 当
0
xx ?,
0
yy ? 时的极限，
记为 Ayxf
yy
xx
?
?
?
),(lim
0
0
（或 )0(),( ?? ?Ayxf 这里
||
0
PP??
）,
3、多元函数的极限
说明,
（ 1）定义中 的方式是任意的； 0PP ?
（ 2）二元函数的极限也叫二重极限 );,(lim
0
0
yxf
yy
xx
?
?
（ 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,
4、极限的运算
).0()()().3(;)()().2(;)()().1(
,)(,)(0
??
??????
???
BBAPgPf
BAPgPfBAPgPf
BPfAPfPP 则时，设
5、多元函数的连续性
定义 设 n 元函数 )( Pf 的定义域为点集 0,PD 是
其聚点且 DP ?0,如果 )()(lim
0
0
PfPf
PP
?
?
则称 n
元函数 )( Pf 在点 0P 处连续,
设 0P 是函数 )( Pf 的定义域的聚点，如果
)( Pf 在点 0P 处不连续，则称 0P 是函数 )( Pf 的
间断点,
在有界闭区域 D上的多元连续函数，在 D上
至少取得它的最大值和最小值各一次,
在有界闭区域 D上的多元连续函数，如果在
D上取得两个不同的函数值，则它在 D上取得介
于这两值之间的任何值至少一次,
（ 1）最大值和最小值定理
（ 2）介值定理
6、多元连续函数的性质
定义 设函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 的某一邻
域内有定义，当 y 固定在
0
y 而 x 在
0
x 处有增量
x? 时，相应地函数有增量
),(),(
0000
yxfyxxf ???,
如果
x
yxfyxxf
x ?
???
??
),(),(
lim
0000
0
存在，则称
此极限为函数 ),( yxfz ? 在点 ),( 00 yx 处对
x
的
偏导数，记为
7、偏导数概念
同理可定义函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 处对 y
的偏导数,为
y
yxfyyxf
y ?
???
??
),(),(
l i m
0000
0
记为
0
0
yy
xxy
z
?
??
?
，
0
0
yy
xxy
f
?
??
?
，
0
0
yy
xx
y
z
?
? 或 ),(
00
yxf
y
.
0
0
yy
xxx
z
?
??
?
，
0
0
yy
xxx
f
?
??
?
，
0
0
yy
xxxz
?
? 或 ),( 00 yxf x,
如果函数 ),( yxfz ? 在区域 D 内任一点
),( yx 处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数
就是 x, y 的函数，它就称为函数 ),( yxfz ? 对
自变量 x 的偏导数，
记作
x
z
?
?
，
x
f
?
?
,xz 或 ),( yxf x,
同理可以定义函数 ),( yxfz ? 对自变量 y 的偏导
数，记作
y
z
?
?
，
y
f
?
?
,yz 或 ),( yxf y,
８、高阶偏导数
),,(2
2
yxfx zxzx xx?????????? ???? ),,(2
2
yxfy zyzy yy?????????? ????
),,(
2
yxfyx zxzy xy??????????? ???? ).,(
2
yxfxy zyzx yx??????????? ???
函数 ),( yxfz ? 的二阶偏导数为
纯偏导
混合偏导
定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏
导数,
如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 的全增量
),(),( yxfyyxxfz ??????? 可以表示为
)( ?oyBxAz ??????,其中 A,B 不依赖于
yx ??,而仅与 yx,有关，
22
)()( yx ?????,
则称函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 可微分，
yBxA ??? 称为函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 的
全微分，记为
dz
，即
dz
= yBxA ???,
９、全微分概念
多元函数连续、可导、可微的关系
函数可微
函数连续
偏导数连续
函数可导
10、全微分的应用
,),(),( yyxfxyxfdzZ yx ??????
.),(),(),(
),(
yyxfxyxfyxf
yyxxf
yx ?????
????
有很小时当,,yx ??
主要方面,近似计算与误差估计,
11、复合函数求导法则
定理　如果函数 )( tu ?? 及 )( tv ?? 都在点 t 可
导，函数 ),( vufz ? 在对应点 ),( vu 具有连续偏导
数，则复合函数 )](),([ ttfz ??? 在对应点 t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
?
?
?
?
?
?,
以上公式中的导数 称为 全导数, dtdz
如果 ),( yxu ?? 及 ),( yxv ?? 都在点 ),( yx
具有对 x 和 y 的偏导数，且函数 ),( vufz ? 在对应
点 ),( vu 具有连续偏导数，则复合函数
)],(),,([ yxyxfz ??? 在对应点 ),( yx 的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
，
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.
12、全微分形式不变性
无论 是自变量 的函数或中间变量
的函数，它的全微分形式是一样的,
z vu,vu、
dvvzduuzdz ??????,
0),()1( ?yxF
隐函数存在定理 1 设函数 ),( yxF 在点 ),(
00
yxP 的
某一邻域内具有连续的偏导数，且 0),(
00
?yxF,
0),(
00
?yxF
y
，则方程 0),( ?yxF 在点 ),(
00
yxP 的
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续
导数的函数 )( xfy ?,它满足条件 )( 00 xfy ?,并
有
y
x
F
F
dx
dy
??,
隐函数的求导公式
13、隐函数的求导法则
隐函数存在定理 2 设函数 ),,( zyxF 在点,(
0
xP
),
00
zy 的某一邻域内有连续的偏导数，且,(
0
xF
0),
00
?zy, 0),,(
000
?zyxF
z
，则方程,,( yxF
0) ?z 在点 ),,(
000
zyxP 的某一邻域内恒能唯一确
定一个单值连续且具有连续偏导数的函数
),( yxfz ?,它满足条件 ),( 000 yxfz ?,
并有
z
x
F
F
x
z
??
?
?
,
z
y
F
F
y
z
??
?
?
.
0),,()2( ?zyxF
??
?
?
?
0),,,(
0),,,()3(
vuyxG
vuyxF
隐函数存在定理 3 设 ),,,( vuyxF, ),,,( vuyxG 在
点 ),,,(
0000
vuyxP 的某一邻域内有对各个变量的连续
偏导数，且 0),,,(
0000
?vuyxF,),,,(
0000
vuyxG
0?
，且偏导数所组成的函数行列式 （或称雅可比
式）
v
G
u
G
v
F
u
F
vu
GF
J
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),(
),(
在点 ),,,(
0000
vuyxP 不等于零，则方程组
0),,,( ?vuyxF, 0),,,( ?vuyxG
在点 ),,,(
0000
vuyxP 的某一邻域内恒能唯一确定一
组单值连续且具有连续偏导数的函数 ),( yxuu ?,
),( yxvv ?,它们满足条件 ),(
000
yxuu ?,vv ?
0
),(
00
yx
，并有
,
),(
),(1
vu
vu
vx
vx
GG
FF
GG
FF
vx
GF
Jx
u
??
?
?
??
?
?
vu
vu
xu
xu
GG
FF
GG
FF
xu
GF
Jx
v ??
?
???
?
?
),(
),(1
,
),(
),(1
vu
vu
vy
vy
GG
FF
GG
FF
vy
GF
Jy
u ??
?
???
?
?
.
),(
),(1
vu
vu
yu
yu
GG
FF
GG
FF
yu
GF
Jy
v ??
?
???
?
?
14、微分法在几何上的应用
切线方程为,)()()(
0
0
0
0
0
0
t
zz
t
yy
t
xx
??? ?
??
?
??
?
?
法平面方程为
.0))(())(())(( 000000 ????????? zztyytxxt ???
(1) 空间曲线的切线与法平面
).(),(),(,tztytx ??? ????
(２ ) 曲面的切平面与法线
.0),,(,?zyxF?
切平面方程为
0))(,,(
))(,,())(,,(
0000
00000000
???
???
zzzyxF
yyzyxFxxzyxF
z
yx
法线方程为
.),,(),,(),,(
000
0
000
0
000
0
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx
?????
15、方向导数
.),(),(lim
0 ??
yxfyyxxf
l
f ??????
?
?
?
的方向导数．沿方向则称这极限为函数在点
在，时，如果此比的极限存趋于沿着当
之比值，两点间的距离
与函数的增量定义
lP
PlP
yxPP
yxfyyxxf
?
?????
?????
22
)()(
),(),(
?
记为
定理　如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yxP 是可微分
的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都
存在，且有 ?? s i nc o s
y
f
x
f
l
f
?
?
?
?
?
?
?
?
，
　其中 ? 为 x 轴到方向 L 的转角．
.),,(),,(lim
0 ??
zyxfzzyyxxf
l
f ????????
?
?
?
三元函数方向导数的定义
（ 其中 222 )()()( zyx ??????? ）
定义 设函数 ),( yxfz ? 在平面区域 D 内具有
一阶连续偏导数，则对于每一点 DyxP ?),(,
都可定出一个向量 j
y
f
i
x
f ??
?
?
?
?
?
，这向量称为函数
),( yxfz ? 在点 ),( yxP 的梯度，记为
?),( yxg r a d f j
y
f
i
x
f ??
?
?
?
?
?
.
梯度的概念
函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方
向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方
向导数的最大值．梯度的模为
22
|),(| ?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
y
f
x
f
yxg r a d f,
梯度与方向导数的关系
16、多元函数的极值
设函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 的某邻域内
有定义，对于该邻域内异于 ),(
00
yx 的点 ),( yx,
若满足不等式 ),(),( 00 yxfyxf ?,则称函数
在 ),( 00 yx 有极大值；若满足 不等 式
),(),(
00
yxfyxf ?,则称函数在 ),(
00
yx 有极
小值；
定义
极大值、极小值统称为极值,
使函数取得极值的点称为极值点,
定理 1 （必要条件）
设函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 具有偏导数，且
在点 ),( 00 yx 处有极值，则它在该点的偏导数必
然为零,0),( 00 ?yxf x, 0),(
00
?yxf
y
.
多元函数取得极值的条件
定义 一阶偏导数同时为零的点，均称为多元
函数的 驻点,
极值点 注意 驻点
定理 2 （充分条件）
设函数 ),( yxfz ? 在点 ),( 00 yx 的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
又 0),( 00 ?yxf x,0),( 00 ?yxf y, 令
Ayxf xx ?),( 00, Byxf xy ?),( 00, Cyxf yy ?),( 00,
则 ),( yxf 在点 ),(
00
yx 处是否取得极值的条件如下：
（ 1 ） 0
2
?? BAC 时有极值，
当 0?A 时有极大值,当 0?A 时有极小值；
（ 2 ） 0
2
?? BAC 时没有极值；
（ 3 ） 0
2
?? BAC 时可能有极值,
求函数 ),( yxfz ? 极值的一般步骤：
第一步 解方程组,0),( ?yxf x 0),( ?yxf y
求出实数解，得驻点,
第二步 对于每一个驻点 ),( 00 yx,
求出二阶偏导数的值 CBA,,.
第三步 定出 2BAC ? 的符号，再判定是否是极值,
拉格朗日乘数法
要找函数 ),( yxfz ? 在条件 0),( ?yx? 下的
可能极值点，
先构造函数 ),(),(),( yxyxfyxF ????,
其中 ? 为某一常数，可由
?
?
?
?
?
?
??
??
.0),(
,0),(),(
,0),(),(
yx
yxyxf
yxyxf
yy
xx
?
??
??
解出 ?,,yx,其中
yx,
就是可能的极值点的坐标,
条件极值,对自变量有附加条件的极值,
二、典型例题
例 1
解
.)(lim 22
0
0 yx
xxy
y
x ?
?
?
?
求极限
)0(,s i n,c o s ??? ????? yx令
.0)0,0(),( ?? ?等价于则 yx
?
???? c o s)c o s( s in)(0 2
22
??
?
??
yx
xxy
???? c o s)c o s( s i n ??,2??,0)(l i m
22
0
0
???
?
? yx
xxy
y
x
故
例 2
解
.,,
)(),,(
2
2
2
3
yx
z
y
z
y
z
f
x
y
xyfxz
??
?
?
?
?
?
?
求
，具有二阶连续偏导数设
)1( 213 xfxfxyz ??????,2214 fxfx ????
)1()1( 22212121142
2
xfxfxxfxfxy
z ????????????
?
?
,2 22123115 fxfxfx ?????????
xy
z
yx
z
??
??
??
? 22
)]([
2)]([4
22221
2
221211
4
1
3
x
y
fyfx
xf
x
y
fyfxfx
???????
?
?????????? )(
2
2
1
4 fxfx ???
?
??
.24 22114213 fyfyxfxfx ??????????
例 3
解
.,0),(
,s i n,0),,(),,,( 2
dx
du
z
f
xyzexzyxfu y
求且，具有一阶连续偏导数
设
?
?
?
???
?
?
?
,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ??????????
,co s xdxdy ?显然
,dxdz求 得的导数两边求对,0),,( 2 xzex y ??
,02 321 ???????? dxdzdxdyex y ???
于是可得,),co s2(1 2s i n1
3
??? ??????? xexdxdz x
.)co s2(1co s 2s i n1
3 z
fxex
y
fx
x
f
dx
du x
?
?????
???
??
?
?? ??
?故
例 4
解
.,0,0,
.0),(
,0),,(
),,(
)(
dx
du
z
h
y
g
zxh
zyxg
yxfu
xu
试求且所确定
由方程组设函数
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
的函数．都看成是以及将方程组的变元 xzyu,
得求导方程组各方程两边对,x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?????
??
)3(.0
)2(,0
)1(,
dx
dz
hh
dx
dz
g
dx
dy
gg
dx
dy
ff
dx
du
zx
zyx
yx
,)3(
z
x
h
h
dx
dz ??得由,)2(
y
x
zy
xz
g
g
hg
hg
dx
dy ?
?
??得代入
.)1(
zy
xzy
y
xy
x hg
hgf
g
gff
dx
du
?
??????得代入
解
,,
),,(
0
0002
2
2
2
2
2
模此方向导数等于梯度的
具有什么关系时的方向导数，问的向径
处沿点在点求
cbar
zyxM
c
z
b
y
a
x
u ???
例 5
? ?,,,,2020200000 0 zyxrzyxr ?????
.co s,co s,co s
0
0
0
0
0
0
r
z
r
y
r
x ??? ???
处的方向导数为在点 M?
??? co sco sco s
0
MMMM z
u
y
u
x
u
r
u
?
??
?
??
?
??
?
?
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
2
0 222
r
z
c
z
r
y
b
y
r
x
a
x ??? )(2
2
2
2
2
2
2
0
000
c
z
b
y
a
x
r ???
.),,(2 2
0
2
0
2
000
0 zyx
zyxu
???
处的梯度为在点 M?
kzujyuixug r a d u MMMM ?????????
,222 2 02 02 0 kc zjb yiax ???
,2 4
2
4
2
4
2
000
c
z
b
y
a
xg r a d u
M ???
,时当 cba ??,2 2222 000 zyxag r a d u M ????
,
2)(
2
2
0
2
0
2
22
0
2
0
2
222
2
0
0
0
000
zyx
azyx
zyx
a
r
u
M ?????
??
?
?
?
,
0
MM g r a d ur
u ?
?
??
.,,,模此方向导数等于梯度的相等时故当 cba
之间的最短距离．
与平面求旋转抛物面 2222 ????? zyxyxz
例 6
解
.22
6
1
,022
,),,(
22
????
????
??
zyxd
dzyxP
yxzzyxP
的距离为到平面
则上任一点为抛物面设
分析,
最小．即
且使满足
，使得本题变为求一点
))22(
6
1
(
22
6
1
0
,,),,(
22
22
????
???????
zyxd
zyxdzyx
zyxzyxP
),()22(61),,( 222 yxzzyxzyxF ??????? ?令
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????????
???????
???????
)4(,
)3(,0)2)(22(
3
1
)2(,02)22(
3
1
)1(,02)22(
3
1
22
yxz
zzyxF
yzyxF
xzyxF
z
y
x
?
?
.81,41,41 ??? zyx解此方程组得
得
.64 7241414161m i n ?????d
),81,41,41(即得唯一驻点
处取得最小值．驻点，故必在
一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值
)
8
1
,
4
1
,
4
1
(
一,选择题,
1, 二元函数
2222
1
a r c s i n
4
ln
yxyx
z
?
?
?
? 的定义
域是 ( ).
（ A ） 41
22
??? yx ； （ B ） 41
22
??? yx ；
（ C ） 41
22
??? yx ； （ D ） 41
22
??? yx,
2,设
2
)(),( yx
y
x
xyf ??,则
?),( yxf
( ),
（ A ）
22
)
1
(
y
yx ? ； （ B ）
2
)1( y
y
x
? ；
（ C ）
22
)
1
(
x
xy ? ； （ D ）
2
)1( y
x
y
?,
测 验 题
3, ??
?
?
22
)(l i m
22
0
0
yx
y
x
yx ( ).
(A) 0 ； (B ) 1 ；
(C) 2 ； (D ) e,
4,函数
),( yxf
在点 ),(
00
yx 处连续,且两个偏导数
),(),,(
0000
yxfyxf
yx
存在是
),( yxf
在该点可微
的 ( ),
（ A ）充分条件,但不是必要条件；
（ B ）必要条件,但不是充分条件；
（ C ）充分必要条件；
（ D ）既不是充分条件,也不是必要条件,
5,设 ),( yxf
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
0,0
0,
1
s i n)(
22
22
22
22
yx
yx
yx
yx
则在原点
)0,0(
处
),( yxf
( ).
(A) 偏导数不存在； (B) 不可微；
(C) 偏导数存在且连续； (D) 可微,
6,设
),(),,( yxvvvxfz ??
其中
vf,
具有二阶连续偏
导数, 则 ?
?
?
2
2
y
z
( ),
(A)
2
22
y
v
v
f
y
v
yv
f
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?； (B)
2
2
y
v
v
f
?
?
?
?
?；
(C)
2
2
2
2
2
)(
y
v
v
f
y
v
v
f
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?； (D)
2
2
2
2
y
v
v
f
y
v
v
f
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.
7,曲面 )0(
3
?? aax y z 的切平面与三个坐标面所围
成的四面体的体积 V= ( ).
(A)
3
2
3
a ； (B)
3
3 a ；
(C)
3
2
9
a ； (D)
3
6 a
.
8,二元函数
33
)(3 yxyxz ???? 的极值点是 ( ).
(A) (1,2 ) ； ( B) (1,-2 ) ；
(C) (- 1,2) ； (D ) ( -1,- 1).
9,函数
zyxu si nsi nsi n?
满足
)0,0,0(
2
?????? zyxzyx
?
的条件极值是
( ),
(A) 1 ； (B ) 0 ；
(C)
6
1； ( D)
8
1
,
10,设函数 ),(),,( yxvvyxuu ?? 在点 ),( yx 的某邻
域内可微分,则 在点 ),( yx 处有
?)( uvg ra d ( ).
.)(;)(;)(;)(
g r a d uvD
g r a d vuC
g r a d uvg r a d vuB
g r a d vg r a d uA
?
?
???
?
二、讨论函数
33
yx
yx
z
?
?
? 的连续性，并指出间断点类型,
三、求下列函数的一阶偏导数,
1,
y
xz
ln
? ；
2, ),(),,,( yxzx y zxyxfu ??? ；
3,
?
?
?
?
?
??
??
??
00
0
),(
22
22
22
2
yx
yx
yx
yx
yxf,
四、设 ),( zxfu ?,而 ),( yxz 是由方程 )( zyxz ??? 所
确的函数,求
du
,
五、设 yxeuyxuz ?? ),,,(,其中 f 具有连续的二阶偏导
数,求
yx
z
??
? 2,
六,设 uvzveyvex
uu
???,s i n,c o s,试求
x
z
?
?
和
y
z
?
?
,
七,设 x 轴正向到方向 l 的转角为,? 求 函 数
22
),( yxyxyxf ??? 在点 (1,1) 沿方向 l 的方向导
数,并分别确定转角,? 使这导数有 (1) 最大值； ( 2)
最小值； (3) 等于零,
八,求平面 1
543
???
zyx
和柱面 1
22
?? yx 的交线上与
x o y
平面距离最短的点,九、在第一卦限内作椭球面 1
2
2
2
2
2
2
???
c
z
b
y
a
x
的切平面,
使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最
小,求这切平面的切点,并求此最小体积,
一,1, A ； 2, B ； 3, B ； 4, B ； 5, D ；
6, C ； 7, A ； 8, A ； 9, D ； 10, B.
二,(1) 当
0?? yx
时,在点
),( yx
函数连续；
(2) 当
0?? yx
时,而
),( yx
不是原点时,
则
),( yx
为可去间断点,
)0,0(
为无穷间断点,
三,1,
1ln
)(l n
?
?
y
x
xyz,
y
y
x
y
x
z
ln
ln
? ；
2,
,)(
321
fx y zyzyffu
xx
????
32
)( fx y zxzxfu
yy
???,
3,,
0,0
0,
)(
2
),(
22
22
222
3
?
?
?
?
?
??
??
??
yx
yx
yx
xy
yxf
x
测验题答案
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
0,
0,
)(
)(
),(
22
22
222
222
yxo
yx
yx
yxx
yxf
y
.
四,dy
zy
zf
dx
zy
f
f
1)(
)(
)
1)(
(
22
1
??
?
??
?
?
?
?
.
五,u
y
xyxu
y
uy
y
uu
y
feffxefefxe ?????????????
2
.
六,.)s i nc o s(,)s i nc o s(
uu
evvvu
y
z
evuvv
x
z
??
??
?
?
??
?
?
七、,s i nc o s ?? ??
?
?
l
f
,4?,45? 43?,47? 及??? ??? )3()2()1(
八,).
12
35
,
5
3
,
5
4
(
九、切点 a b cV
cba
2
3
),
3
,
3
,
3
( m i n ?,