微 元 法
理 论 依 据
名
称
释
译
所
求
量
的
特
点 解 题 步 骤
定积分应用中的常用公式
一、主要内容
1、理论依据
.
)1(
)2()(
,)()(,)(
)1()()(
,],[)(
定积分
的微分的分就是这表明连续函数的定积
于是
即的一个原函数是
则它的变上限积分上连续在设
UdUdxxf
dxxfxdUxf
dttfxU
baxf
b
a
b
a
x
a
??
?
?
??
?
2、名称释译
.
)(
)(
:)()(
,)2(
方法称微元法
计算积分或原函数的这种取微元
积分的无限积累到从
就是其微分所求总量知由理论依据
dxxf
dxxfU
badxxfdU
A
b
a
??
?
（ 1 ） U 是与一个变量 x 的变化区间 ? ?ba,有关
的量；
（ 2 ） U 对于区间 ? ?ba,具有可加性，就是说，
如果把区间 ? ?ba,分成许多部分区间，则 U 相
应地分成许多部分量，而 U 等于所有部分量之
和；
（ 3 ）部分量 iU? 的近似值可表示为 ii xf ?)( ? ；
就可以考虑用定积分来表达这个量 U,
3、所求量的特点
1) 根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为
积分变量，并确定它的变化区间 ],[ ba ；
2 ）设想把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间，取其中任
一小区间并记为 ],[ dxxx ?,求出相应于这小区
间的部分量 U? 的近似值．如果 U? 能近似地表
示为 ],[ ba 上的一个连续函数在 x 处的值 )( xf 与
dx 的乘积，就把 dxxf )( 称为量 U 的元素且记作
dU,即 dxxfdU )(? ；3 ）以所求量 U 的元素 dxxf )( 为被积表达式，在
区间 ],[ ba 上作定积分，得 ??
b
a
dxxfU )(,
即为所求量 U,
4、解题步骤
5、定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积
x
y
o
)( xfy ?
?? ba dxxfA )(
x
y
o
)(1 xfy ?
)(2 xfy ?
? ?? ba dxxfxfA )]()([ 12
A A
直角坐标情形
a b a b
如果曲边梯形的曲边为参数方程
??
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
?
曲边梯形的面积 ? ?? 2
1
)()(tt dtttA ??
（其中 1t 和 2t 对应曲线起点与终点的参数值）
在 [ 1t,2t ] （或 [ 2t,1t ] ）上 )( tx ?? 具有连续导数，
)( ty ?? 连续,
参数方程所表示的函数
?? ?? ??? dA 2)]([21
xo
?
?d
?
)(???r ?
? xo
)(2 ???r
)(1 ???r
? ?? ?? ????? dA )]()([21 2122
极坐标情形
(2) 体积
x dxx? x
y
o dxxfV
b
a
2)]([?? ?
dyyV dc 2)]([????
x
y
o
)( yx ??c
d
xo
?? ba dxxAV )(
x dxx?a b
平行截面面积为已知的立体的体积
)(xA
(3) 平面曲线的弧长
xo
y
a bx dxx?
?dy
弧长 dxys ba? ??? 21
A．曲线弧为
??
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
?
)( ?? ?? t
其中 )(),( tt ?? 在 ],[ ?? 上具有连续导数
弧长 dttts ? ???? ?? ?? )()( 22
)( xfy ?
B．曲线弧为
C．曲线弧为 )( ??? ??)(?rr ?
弧长 ????? drrs ? ??? )()( 22
(4) 旋转体的侧面积
x dxx? x
y
o
)( xfy ?
bxaxfy ????,0)(
? ???? ba dxxfxfS )(1)(2 2侧
(5) 细棒的质量
o x dxx?
)(x?
xl?
?
?
?
l
l
dxx
dmm
0
0
)(?
(6) 转动惯量
a b x
y
x dxx?o?
?
?
?
b
a
b
a yy
dxxx
dII
)(2 ?
))(( 为线密度x?
(7) 变力所作的功
)(xF
o a bx dxx? x? ????
?
?
?
b
a
b
a
dxxF
dWW
)(
(8) 水压力
x
yoa
b
x
dxx?
)(xf
?
?
?
?
b
a
b
a
dxxxf
dPP
)(?
)( 为比重?
(9) 引力
x
y
x dxx?o
A
l? l
? ?? ?? ?
??
l
l
l
l yy
xa
dxGadFF
2
3
22 )(
?
.0?xF )( 为引力系数G
(10) 函数的平均值 ??? ba dxxfaby )(1
(11) 均方根 ??? b
a
dxxfaby )(1 2
二、典型例题
例 1
.
3;2;1
)0(
s i n
c o s
0
0
0
3
3
体积及表面积
体它绕轴旋转而成的旋转
它的弧长
它所围成的面积求
星形线
已知
?
?
?
?
?
?
a
tay
tax
a? ao
y
x
解,1 0 A设面积为 由对称性,有
?? a yd xA 04
? ? ??? 0
2
23 )s in(c o s3s in4 dtttata
?
?
?? 20 642 ]s i n[ s i n12 dttta,83 2a??
.2 0 L设弧长为 由对称性,有
?
?
???? 2
0
22 )()(4 dtyxL ?
?
? 20 s i nco s34 td tta.6a?
.,3 0 VS 体积为设旋转体的表面积为
由对称性,有
? ???? a x dxyyS 0 2122
?
?
??? 20 3 s i nco s3s i n4 t d ttata,512 2a??
? ?? a dxyV 0 22 ? ? ???? 0
2
262 )s in(c o s3s in2 dtttata
?
?
??? 20 273 )s i n1(s i n6 dttta,1 0 532 3a??
例 2
,)2(;
)0()1(.
至少需作功多少
若再将满池水全部抽出面上升的速度
时水求在池中水深内注水
的半球形水池的流量往半径为以每秒
Rhh
Ra
??
o x
y
R
h
解 如图所示建立坐标系,
).0()( 222 RyRRyx ?????
半圆的方程为
于是对半圆上任一点,有
).0(2)( 2222 RyyRyRyRx ???????
时水池内水的体积为为
的球缺的体积即水深故半球内高为的立体
轴旋转而成圆绕因已知半球可看作此半
h
h
y
,
)1(
dyyRydyxhV hh ?? ????? 0 20 2 )2()(
,th 时已注水的时间为又设水深,)( athV ?则有
atdyyRyh ????0 2 )2(即
得求导两边对,t,)2( 2 adtdhhRh ???
故所求速度为,)2( 2hRh adtdh ???
.
)2(
所需的功水全部提升到池沿高度
需的最小功即将池内将满池的水全部抽出所
的功约为
所需降到抽水时使水位从 dyyRyy ??? )0(
)1(),(2 水的比重????? yRdyx
,2 22 yRyx ??又
.))(2( 2 dyyRyRydW ?????即功元素
故将满池水全部提升到池沿高度所需功为
? ????? R dyyRyRyW 0 2 ))(2(
? ???? R dyyRyyR0 322 )32(
.4 4R??
例 3
.
,4
,20,3050
,,
的静压力
求闸门一侧所受的水米顶部高出水面
如果闸门米高为米米和分别为
梯形的上下底如图所示一等腰梯形闸门
解
x
yo
16
4?
x
dxx?
A
B如图建立坐标系,
的方程为则梯形的腰 AB
.2321 ??? xy
此闸门一侧受到静水压力为
? ??? 160 )2321(2 dxxgxP ?
16
0
2
3
)233( xxg ??? ?
)256234 0 9 631( ????? g?
g?67.4 5 2 2?
).(1043.4 7 牛??
一,选择题：
1, 曲线 xy ln? 与直线
e
x
1
?, ex ? 及 0?y 所围成
的区域的面积 ?S （ ）；
（ A ） )
1
1(2
e
? ； （ B ）
e
e
1
? ；
（ C ）
e
e
1
? ； （ D ） 1
1
?
e
,
2,曲线 ?si n2?r 与 ?2c o s
2
?r 所围图形公共部分
的面积 ?S （ ）；
（ A ）
2
31
12
?
?
?； （ B ）
4
13
24
?
?
?；
（ C ）
2
13
12
?
?
?； （ D ）
2
31
6
?
?
?
,
测 验 题
3,曲线,c o s
3
?ax ? ?
3
s i nay ? 所围图形的面积
?S （ ） ；
（ A ）
2
32
3
a? ； （ B ）
2
8
3
a? ；
（ C ）
2
2
1
a ； （ D ）
2
16
1
a?,
4,由球面 9
222
??? zyx 与旋转锥面
222
8 zyx ?? 之
间包含 z 轴的部分的体积 ?V ( ) ；
（ A ） ?144 ； （ B ） ?36 ；
（ C ） ?72 ； （ D ） ?24,
5,用一平面截半 r径为 的球，设截得的部分球体高
为 )20( rhh ?? 体 V积为,则 ?V （ ）；
（ A ） )2(
3
2
hr
h
?
?； （ B ） )3(
3
2
hr
h
?
?；
（ C ） )2(
2
hrh ?? ； （ D ） )3(
4
2
hr
h
?
?
.
6,曲线 42
2
??? xxy 上点 )4,0(
0
M 处的切线 TM
0
与曲线 )1(2
2
?? xy 所围图形的面积 ?S （ ）；
（ A ） ;
4
9
（ B ）
9
4；
（ C ）
12
13； （ D ）
4
21
.
7,抛物线 pxy 2
2
? )0( ?p 自点 )0,0( 至点 ),
2
( p
p
的一段曲线弧长 L = （ ）；
(A) ? ? pp
p
ln)21l n (2
2
??? ；
(B) ?
?
?
?
?
?
?? )21l n (
2
2
2
1
2
pp
p；
(C)
? ?)21(ln2
2
?? p
p；
(D)
? ?)21l n (2
2
??
p
,
8,曲线 x
h
r
y ?, hx ??0, 轴绕 x 旋转所得旋转体
的侧面积 ?S （ ）；
（ A ）
22
hrr ?? ； （ B ）
22
hrh ?? ；
（ C ）
22
hr
h
r
?
?； （ D ）
22
2 hrr ??,
二、在区间 ? ?e,1 内求 0x一点,使,0,ln ?? yxy
1?y 及 0xx ? 所围成两块面积之和为最小,
三,设曲边梯形是由连续曲线 )( xfy ? )0)(( ?xf,
轴x 与两直线 bxax ??,所围成的，求证：存在
直线 ??x )),(( ba?? 将曲边梯形的面积平分,
四、求摆线
?
?
?
??
??
)c o s1(
)s i n(
tay
ttax
,)20( ??? t
1, 轴绕 x 旋转一周所成曲面的面积 ；
2, 轴绕 y 旋转一周所成曲面的面积,
五、有一旋转体，它由曲线
2
1
1
x
y
?
?, 轴y, 轴x
以及直线 1?x 所围成的平面图形 轴绕 y 旋转而
成，已知其上任一点的体密度等于该点到旋转轴
的距离，求它的质量,六、以 a每秒 的流量往半 R径为 的半球形水池内注水
1, 求在水池中水深 )0( Rhh ?? 时水面上升的速
度；
2,若再将满池水全部抽出，至少需作功多少？
测验题答案
一,1, A ； 2, D ； 3, B ； 4, D ；
5, B ； 6, D ； 7, A ； 8, A,
二、
4
1
0
ex ?, 四,1,
2
3
64
a? ； 2,
22
16 a?,
五,)
4
1(2
?
??,
六,1,
)2(
2
hRh
a
dt
dh
??
? ； 2,
4
4
Rw
?
?,