第三章 自控系统的时域分析 教学目的：通过本课学习，使学生明确对闭环系统的基本要求及系统的时域分析。 教学重点：二阶系统的时域分析。 教学难点：二阶系统阶跃响应公式推导。 §3-1 系统典型环节 闭环控制系统的系统的性能要求 系统应该是稳定的：是工作前提。 系统要满足暂态品质要求。 系统要满足稳态误差要求。 讲法：结合闭环调速系统及轧纲控制系统实例加以分析。 简述四种典型输入信号 单位阶跃信号 2.单位斜坡信号 3.单位抛物线信号 4.单位脉冲信号 脉冲传递函数 求脉冲响应函数 Xc(S)=W(S)Xr(S) Xr(S)=  图3-1 由脉冲响应求传递函数： 四．一阶系统的单位阶跃响应 图3-2 系统的数字描述：  取拉氏变换： T=RC 一阶系统也称惯性环节。 阶跃响应：  图3-3 Xc(s)= Xe(t)= 响应曲线： 五．二阶系统的阶跃响应 （一）典型二阶系统 系统结构图：（位置随动系统） 图3-4 系统的开环传递函数：Wk(s)= Kk= Kk---------系统开环放大系数. 系统闭环传递函数： （3-1） 闭环传递函数的标准形式：  （3-2） 开环传递函数的标准形式： （3-3） （二）典型传递函数暂态特性： 初始为零条件下，输入单位阶跃信号时  (3-4) 特征方程： （3-5） 特征方程的根： 二阶系统响应特性取决于两个参数，在不变情况下取决于。 过阻尼（>1）的情况 图3-5 特征根及分布情况 　 　　　 阶跃响应 　 (3-6)  响应曲线 图3-6 欠阻尼的情况 特征方程根及分布 　 － 阶跃响应 　 (3-7) 　　　　 　(3-8) 响应曲线 图3-7 临界阻尼 特征根及分布 　 阶跃响应 　 响应曲线 图3-8 无阻尼时的情况 特征根及分布 　 阶跃响应 　 响应曲线 图3-9 结论：1、不同阻尼比有不同的响应，决定系统的动态性能。 2、实际工程系统 二、二阶系统暂态特性指标 二阶闭环系统的单位阶跃响应是：  当阻尼比时，则系统响应如图 图3-10 上升时间：在暂态过程中第一次达到稳态值的时间．对于二阶系统，假定情况下，暂态响应： 　　　　　　　 　　　　　　令时　则　 经整理得  （3-9） ２．最大超调量：暂态过程中被控量的最大数超过稳态值的百分数。 　　　　　即　　　 　　　　　　　　　 　 　　（3-10） 最大超调量发生在第一个周期中时刻，叫峰值时间。 在时刻对求导，令其等于零。经整理可得： 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　（3-11） 　　　　　　　　　　　　　 　 　　　 　（3-12） ３调节时间：输出量与稳态值之间的偏差达到允许范围（２％－５％）　　　　　　并维持在允许范围内所需要的时间。 　　　　　　　　 　 　　（3-13） 　　　　　　　 　　 　　　（3-14） ４振荡次数：在调节时间内波动次数。 　　　　　　　　　　　式中　　　 　　 　（3-15） 结论：若使二阶系统具有满意的性能指标，必须选合适的，，增大可使下降（快速性），可以提高开环放大系数k实现，增大阻尼比，可减小振荡。可通过降低开环放大系数实现。 三、二阶工程最佳参数 二阶工程最佳参数是设计系统的依据，选择参数 二阶系统单位阶跃响应暂态性能指标： 最大超调量：  （3-16） 上升时间：  （3-17） 调节时间：  （用近似公式求为8T） （3-18） 　　　　　　　　（用近似公式求为６T） （3-19） 四、举例 有一位置随动系统，其结构图如图所示，其中求该系统（１）自然震荡角频率；（２）系统阻尼比（３）超调量和调节时间（４）如要求怎样改变系统值。 　 （3-20） 标准形式： （3-21） 　　　  图3-11 自然震荡角频率： 阻尼比　：　　　由　得　 超调量：　　　　　 调节时间： 要求　　即 所以渐小可使阻尼比增大，改善系统动态性能，但是系统静态误差增大。 为改善系统暂态响应性能，满足单位阶跃输入下，系统超调量小于５％，今加入微分反馈，如图所示求微分时间常数。 图3-12 　　　 （3-22） 　　　 　（3-23） 减小倍 　　　 　 　（3-24） 为使  结论：加微分局部负反馈，相当于增加了系统阻尼比，提高了系统稳定性但同时降低了开环放大系数，但于上例相比，同样保证　但远大于0.5，提高了稳态精度。 小结：通过本课学习，使学生明确对闭环系统的基本要求及系统的时域分析。尤其对二阶系统进行时域分析，并掌握二阶系统阶跃响应公式推导。明确描述系统暂态特性指标的物理意义，并能计算 §3-2 系统动态分析 教学目的：了解系统增加闭环零点，对系统的作用，及闭环主导极点概念。 教学重点：在正向通道加入比例微分环节的作用。 教学难点：暂态性能指标的推倒。 环传递函数具有零点的二阶系统的暂态的响应。 暂态分析 闭环传递函数 　　 （3-25） 其中—时间常数，令 则 （3-26） 令　 系统框图： 图3-13 极点分布： 　　　　　　　　　　　　　　　　图3-14 阶数响应：  （3-27）   （3-28）  　 二、二阶系统的阶跃响应 1．闭环传递函数的标准形式 　　　 　　 （3-29） ２．阶跃响应：  （3-30） 3．系统分析  图3-15 若实根距虚轴较远，而共轭复数距虚轴较近，系统暂态特性主要由决定，系统呈二阶系统特性。若实根距虚轴近，暂态特性主要由决定呈一阶系统特性。 三、高阶系统的阶跃响应 1．高阶系统的一般表达式  （3-31） 其中~闭环传递函数实极点；q为实极点个数；r为共轭极点对数；闭环传递函数零点。 2．单位阶跃响应 （3-32）  （3-33） 3．闭环主导极点的概念：  图3-16 图3-17 闭环主导极点：拒虚轴最近，又远离零点的闭环极点，在系统过度过程中起主导作用，这个极点称为主导极点，若以共轭形式出现，该系统可近似看成二阶系统。 小结：通过本次课的学习，使学生掌握二阶系统动态指标的求解方法及主导极点的概念，掌握闭环主导极点的概念结合根的分布几动态响应过程进行分析。 8 §3-3 自动控制系统的代数判稳 教学目的：掌握稳定概念，能用劳斯判据和胡尔维茨稳定判据判稳。 教学重点：用劳斯判据判定系统稳定性。 教学难点：两种特殊情况的判稳。 一、稳定的概念及条件： ⒈ 稳定概念：如果系统受扰动后，偏离了原来的工作状态，而当扰动取消后，系统又能逐渐恢复到原来的工作状态，则称系统是稳定的。 ⒉ 稳定条件：系统特征方程式所有的根都位于ｓ平面的右半平面。 二、判定系统稳定的方法： ⒈ 一、二阶系统稳定条件：特征方程的各项系数均为正。 ⒉ 高阶系统应用劳斯判据和胡尔维茨稳定判据。 ㈠ 劳斯判据 系统特征方程的标准形式：  （3-34） 系统稳定的必要条件：特征方程所有系数均为正，则系统可能稳定，则可用劳斯判据判稳。 列劳斯表：  举例：三阶系统特征方程式：  列劳斯表：  系统稳定的充分必要条件是： 特殊情况一（第一列中有一元素为零） 例：特征方程： 列劳斯表：  当，劳斯表第一列系数数值符号改变2次，有，两个根位于右半平面，系统不稳定。 特殊情况二（劳斯表中一行元素均为零）：至少有三种情况：1。特征方程有一对实根，大小相等，符号相反。2。有一对虚根。3有对称于S平面原点的共轭复根。 举例：系统特征方程为： 列劳斯表：  辅助方程： 第一列没改变符号，右半平面没有根。所以，有一对共轭虚根。辅助方程：  （二）胡尔维茨稳定判据 系统特征方程： （3-35）  （胡尔维茨行列式） 系统稳定的充分必要条件：特征方程的全部系数都为正，且主行列式及对角线上的子行列式都大于零。 即： 举例：试用劳斯判据确定系统稳定的开环增益K的取值范围。 图3-18  （3-36） 系统特征方程式： （3-37） 列劳斯表：  为使系统稳定，40k>0即k>0; 560-40k.>0 k<14 0<k<14 三、相对稳定性和稳定裕量 劳斯判据主要用于判断系统是否稳定来确定参数的允许范围，但不能表明特征根距虚轴的远近，为保证系统稳定，且具有好的动态特性，希望特征根在S左半面与虚轴有一定距离，通常称为稳定裕量。 接上例若要求闭环系统极点，全部位于S=-1垂线之左，K应取何值？ 令S=z-1 代入原特征方程：  （3-38）  （3-39） 列劳斯表：  40k-27>0 , 165-(40k-27)>0 0.675<k<4.8 小结：通过本次课的学习，掌握稳定概念，能用劳斯判据和胡尔维茨稳定判据判稳。重点掌握利用劳斯判据判定系统稳定性。了解两种特殊情况的判稳。 §3-4 自动控制系统的代数判稳 教学目的：掌握稳态误差的概念，会求给定稳态误差和朝扰动稳态误差。 教学重点：会计算稳态误差 教学方法：结合实际系统讲述稳态误差和给定稳态误差的概念。 一、误差及稳态误差概念定义 图3-19 1．误差：给定信号与反馈信号之差。  当系统为单位反馈时：  2．稳态误差：系统稳态时，输出的实际值与希望值之差（稳定系统误差的终值）。  3．稳态误差的计算公式： 终值定理： （3-40） 二、扰动稳态误差： 图3-20 当给定量不变，扰动量变化，这时的变化量是扰动误差。 扰动误差的拉氏变换： (3-41) 误差传递函数： （3-42） 稳态误差：  （3-43） 三、举例： 如图具有比例调节器速度反馈系统结构图，求阶跃扰动稳态误差。 图3-21 图3-22 图3-23 给定量不变，扰动量变化，则输出量的变化量为扰动误差：  (3-44) 其中系统开环放大系数 当负载为阶跃函数时 (3-45) 则系统稳态误差： （3-46） 该系统是有差系统将比例调节器换成积分调节器。 图3-24 将上式用代换得：  (3-47) 当负载电流作阶跃变化时：  （3-48） 结论：当比例调节器换成积分调节器时，其稳态误差变为0，是无差系统。 四、给定稳态误差 图3-25 误差拉氏变换：  (3-49) 误差传递函数： 误差的拉氏变换： (3-50) 给定稳态误差： （3-51） 结论：给定误差由和决定 小结：通过本次课的学习，要求掌握稳态误差的概念，会求给定稳态误差和朝扰动稳态误差。会计算稳态误差，结合实际系统讲述稳态误差和给定稳态误差的概念。