自动控制系统的数学模型 §２－１动态微分方程 教学目的：建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。 教学重点：编写电路电力系统微分方程。 教学难点：举典型系统，说明编写微分方程的方法。 无论什么系统，输入输出量在暂态过程中都遵循一定的规律，来反映该系统的特征。 为了使系统满足暂态性要求，必须对系统暂态过程进行分析，掌握其内在规律，数学模型可以描述这一规律。 一、基本概念 系统的数学模型：描述系统输入输出变量以及各变量之间关系的数学表达式。 动态模型：描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式，他一般是时间函数。如：微分方程，传递函数，状态方程等。 静态模型：描述过程处于稳态时各变量之间的关系。一般不是时间函数 建立动态模型的方法 机理分析法：用定律定理建立动态模型。 实验法：　　运用实验数据提供的信息，采用辨识方法建模。 建立动态模型的意义：找出系统输入输出变量之间的相互关系，以便分析设计系统，使系统控制效果最优。 二、编号系统或元件微分方程的步骤： 根据实际情况，确定系统的输入输出变量。 从系统输入端开始，按信号传递顺序，以此写出组成系统的个元件微分方程。 消去中间变量，写出输入输出变量的微分方程。 三、举例 例1　编号RC 电路微分方程　　　　　　　　　　　　　 u受控于u (1) 确定输入量和输出量。输入量　u 输出量 u （2） 列微分方程 图2-1 (3)消去中间变量 I=C u=iR+ u u=RC+ u 例２　编号电枢控制的他激直流电动机的微分方程。 确定输入输出量， 输入量u　　设u= r 输出量n　设 n = x （２）列微分方程 电枢回路等效电路如图２-３所示 图2-2 电枢回路的微分方程：u =iR+Ld+l  为电势常数  （2——2） 电动机机械运动方程 图2-3 若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时： 其中 若考虑 （2—3） 电动机电磁转距与电枢电流成正比  （2—4） （3）消去中间变量： 将（2—3）带入（2——4）得 （2—5）  （2—6） 江（2—5），（2—6）带入（2—2）得  （2—7） 令： ——电动机电磁时间常数  机电 得 （2—8） 若以为输入，电动机转角为输出     （2—9）  （2—10）  （2—11） 将（2—9）（2—10）（2—11）带入（2—8）得  （2—12） 例3 具有质量弹簧阻尼器的机械位移系统，编号f(t)为输入量，位移为 输出量的系统运动微分方程  图2-4 （1）确定输入输出量   （2）列微分方程，根据牛顿第二定律  （2—13） （3）消去中间变量  系统运动微分方程：  （2—14） 图 2-5 图 2-5 为闭环调速控制系统，编号控制系统微分方程。 (1)确定系统输入输出量： 输入量为给定电压Ug=Xr,输出量为电动机转速n=Xc. (2)编号各环节的微分方程。 比例放大环节 I1+I2-I3=0 Ug/Ro1-Uf/Ro2-Uk/R12=0 假定Ro1=Ro2 Uk=R12(Ug/Ro1-Uf/Ro2)=(Ug-Uf)R12/Ro1=K1(Ug-Uf) (2-15) 可控硅整流功率放大环节 Ud=KsUk ； Ks---电压放大系数 (2-16) 直流电动机 TdTmd2n/dt2+Tmdn/dt+n=Ud/Ce 其中Tm=GD2R/375CeCm (2-17) Td=(Ls+Ld)/R R是电动机回路和可控硅整流电路总电阻。 4）反馈环节 Uf=nKsf ； Ksf比例系数 (3)消去中间变量 将式（2-15）（2-16）代入（2-17）经整理得： TdTm/（1+Ksf Ks K1/Ce）d2n/dt2+ Tm/（1+Ksf Ks Kk/Ce）dn/dt+n= Ksf Ks K1 /Ce（1+Ksf Ks K1/Ce） (2-18) 令Ks K1=Kg 正向通道放大系数，Ksf Ks K1/Ce=Kk 开环放大系数。 得闭环系统的微分方程式： TdTm/（1+Kk）d2n/dt2+ Tm/（1+ Kk）dn/dt+n= KgUg/（1+Kk） (2-19) 系统算子方程为： (TdTm/（1+Kk）P2+ Tm/（1+ Kk）P+1)n= KgUg/（1+Kk） (2-20) 系统的静态方程式：当系统稳定时d2n/dt2 ，dn/dt为零 所以，稳定时 的转速为： n=KgUg/Ce（1+Kk） (2-21) 小结：本节通过讲授介绍了自动控制系统的数学模型，介绍了系统的动态以及静态数学模型，描述了系统的动态微分方程，并通过几个典型实例给出了求自动控制系统动态微分方程的步骤。 §2—2传递函数 教学目的：掌握传递函数的概念及求法。 教学重点：求电路系统传递函数。 教学难点：求高阶系统响应。 求解微分方程,可求出系统的输出响应,但如果方程阶次较高,则计算很繁,因此对系统的设计分析不便,所以应用传递函数将实数中的微分运算变成复数中的代数运算,可是问题分析大大简化. 递函数的概念及意义： 传递函数的定义： 线性系统,在零初始条件下,输出信号的拉氏变换,与输入拉氏变换之比. 线性定长系统微分方程的一般表达式:  为系统输出量，为系统输入量。 在初始情况为零时，两端取拉氏变换：  （2—23） Xc(s)/Xr(s)=b0 sm+b1 sm-1+……+bm-1 s+bm/(a0 sn+a 1sn-1+……+an-1 s+an) =W(s) (2-24) Xc(s)输出量的拉氏变换 Xr(s)输入量的 拉氏变换 W(s) 系统或环节的传递系数。 传递函数的两种表达形式： 1） W(s)= Xc(s)/Xr(s)=b0 sm+b1 sm-1+……+bm-1 s+bm/(a0 sn+a 1sn-1+……+an-1 s+an) = Kg(S+Z1)(S+Z2)……(S+Zm)/{(S+P1)(S+P2)……(S+Pn)} =Kg ( mI=1 (S+Zi) / ( nj=1 (S+Pj) (2-25) 2）W(s)= Xc(s)/Xr(s)=bm(d0sm+d1 sm-1+……+1)/{an(c0 sn+c1 s n-1+……+1)} =K(T1 S+1)(T2 S+1)……(Tm S+1)/{(T’1 S+1)(T ‘2S+1)……(T ‘3S+1)} =Kg(mI=1 (TiS+1) /(nj=1 (TjS+1) (2-26) 其中，Zi, - 系统的零点；Pj-系统极点 关于传递函数的几点说明： 传递函数的概念只适应于线性定常系统。 传递函数只与系统本身的特性参数有关，与输入量怎样变化无关。 传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动规律。 传递函数分子多项式阶次低于至多等于分母多项式的阶次。 传递函数求法： 图 2-6 输入量Xr=u，输出量Xc=i。列回路电压方程： u=Ri+L （2—27） 即Xr(s)=RXc(s)+LSXc(s) （2-28） 经整理得：= （2—29） 其中 Tl=,RL—电路的时间常数。 二、典型环节的传递函数及暂态特性 无论身漠阳的系统都是由各环节构成，知道了各典型环节的传递函数就不难求出系统的传递函数，从而对系统进行分析。 比例环节（无惯性环节） 图2-7 1）传递函数 Xc=kXr k—环节放大系数 两边取拉氏变换，得环节传递函数。 W(s)==k (2-30) 2)输入输出变化曲线  图2-8 3）方框图  图2-9 2．惯性环节： （１）传递函数：ｗ（ｓ）＝Xc（s）/Xr(s)=K/(TS+1) ( 2—31) 　　　 特点：只含一个储能元件。如RC电路(举例) 单位阶响应：XC(S)=(K/TS+1)(!/S)=(K/T)/(S(S+1/T)) (2—32) XC(S)=A0/S+A1/(S+1/T) A0=(K/T)/(S/(S+1/T))|S=0=K A1=(K/T)(S+1/T)/(S(S+1/S))|S=1/T=-K 所以 XC(S)=K/S—K/(S+1/T) 拉氏变换得：XC(T)=K(1-L-T/L) (2—33) (2) 变化曲线（K=1）  图2-10 (3) 方框图  图2-11 3．积分环节  图2-12 (1)传递函数： 例：伺服机由直流电动机通过减速器与输出轴相连。 输入量UR ，输出量φC.略去电磁惯性和机械惯性 ω=K1UR ω,=K2ω ω,=K1K2UR 又ω,=dφc/dt=K1K2UR K1K2比例常数 初始为零时拉氏变换：φC(S)= K1K2(1/S)UR(S)=(K/S)UR(S) 所以 传递函数W(S)=φC(S)/UR(S)=K/S 当输入UR为阶跃函数时，则输出φC(T)=KTUR (2) 输入输出变化曲线  图2-13 （3）方框图  图2-14 4．微分环节  （1）传递函数 Ur(s)R/(R+1/SC)=Uc(S) W(S)=Uc(S)/Ur(S)= S/(1+TcS) （实用） （2-36） 其中 Tc=RC ---- 时间常数 若 RC 则 （理想） （2）变化曲线  图2-15 （3）方框图  图2-16 图2-17 5. 振荡环节 图2-18 1）传递函数： Ur=iR+Ldi/dt+UC (2-38) ∵ i=CdUC/dt ∴ UrR=RcdUc/dt+LCd2Uc/dt2+U (2-39) 令 L/R=TL，RC=Tc 则 Ur=TLDuC/dt+TLTcd2Uc/dt2+Uc (2-40) 初始为零时的拉氏变换：Ur(s)=TcSUC(S)+TLTcS2UC(S)+UC(S) (2-41) 经整理：W(S)=U(S)/U(S)=(1/LC)/(S+RS/L+1/LS)=w2n/(S2+Wn+2ΦWnS) (2-42) Wn=1/sqart(LC) 自然震荡角频率 2φWn=R/L Φ=R/2 WnL=RC squart(LC)/2L=R squart(C/L)/2 震荡环节阻尼比 输入量单位阶跃响应时，则 Xc(s)= w2n/(S2+Wn+2ΦWnS) (2-43) 对上式拉氏反变换，求输出响应得： Xc(t)=1-e-2ΦWntSm(squart(1-Φ2)Wnt+θ)/squart(1-Φ2) (2-44) Θ=tg-1 [squart(1-Φ2)/ Φ] 2)阶跃响应曲线 图2-18 3）方框图  图2-19 6． 时滞环节 图2-20 1）图2-20是带钢厚度检测环节，A点产生厚度差，这一厚度差 到B点才检测出来，时滞时间   （2-45） 写成一般表达式：  对上式进行拉式变换得： 所以传递函数： 2）输入输出变化曲线  图2-21 3）方框图  图2-22 小结：通过本节的讲授使学生掌握了传递函数的基本概念及典型环节传递函数。并了解了典型二阶环节各参数的物理意义。 §2-4 系统的动态结构图 教学目的：通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。 教学重点：由各环节的传递函数，求系统的动态结构图。 教学难点：求复杂系统的动态结构图。 一、概念 动态结构图：是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形，它表示了系统的输入输出之间的关系。 结构图的组成： 图2-23 信号线：带箭头的直线，箭头表示信号传递方向。 引出点：表示信号引出或测量的位置。 比较点：对两个以上信号加减运算。 方框：方框图内输入环节的传递函数。 3 动态结构图的绘制步骤： （1）建立控制系统各元件的微分方程（传递函数）要标明输入输出量。 （2）对元件的微分方程进行拉氏变换，并作出各元件的结构图。 （3）按系统各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来。 二、系统动态结构图的求法 例如图2-24是闭环调速系统 图2-24 求各环节的传递函数和方框图 比较环节和速度调节器的传递函数和方框图 ，， ,   式中  为滤波常数 为时间常数 为比例系数 为速度调节器函数 为速度反馈滤波传递函数 方框图如 图2-25 2. 速度反馈传递函数  为速度反馈系数 图2-26 3. 电动机及功率放大器装置的传递函数 函数： 为功放电压放大系数 图2-27 电动机电框回路的微分方程： 零初始条件下拉氏变换： —电框回路传递函数 图2-28 电动机带负载时运动方程： 拉氏变换：   （2-47） 系统动态结构图 图2-30 小结：通过本课学习使学生掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。 §2-5 系统传递函数和结构图的变换 教学目的：通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。 教学重点：由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换。 教学难点：对复杂系统的动态结构图进行变换。 一、典型连接的等效传递函数 1．单元个方框图  图2-31  （2-48） 2．信号综合 （图）  图2-32  （2-49） 3．几个环节串联连接的传递函数  图2-33 证明：   消去中间变量得几个环节串联的传递函数  （2-50） 若有几个环节串联，则等效函数：  （2-51） 4． 几个环节并联的传递函数    图2-33 证明：  （2-52）  （2-53） 若有几个环节并联： （2-54） 5． 反馈连接的等效传递函数 图2-34 特点：将输出量返回系统输入形式闭环。有两个通道（正向通道 反馈通道）。 传递函数的推导：        （2-55） 二、相加点、分支点的变换运算 相加点从单元输入端移到输出端　 图2-36 变换前： 变换后：  相加点从单元输出端移到输入端 图2-37 变换前： 变换后： 分支点从单元输入端移到输出端　 图2-38 分支点从单元输出端移到输入端 图2-39 ５　分支点及相加点可以互换 图2-40  图2-41 三、系统开环传递函数 系统开环传递函数： 是闭环系统反馈信号的拉氏变换与偏差信号拉氏变换之比。 开环传递函数的求法： 单回路系统 图2-42 　　 (2-56)  ―反馈通道传函 ――正向通道传递函数。 结论：系统的开环传递函数是正向通道传递函数和反馈通道传递函数的乘积。 多回路系统 ① 无交错 图2-43 求开环传递函数过程： 无交错单回路 关键：红框中的环节是并联关系。  （2-57) 有交错 变换过程： 有交错 举习题集中习题让学生叙述该题求W过程 四、 系统闭环传递函数 定义：在初始条件为零的情况下，系统输出量的拉氏变换输入拉氏变化之比。  (2-58) 例如图 求闭环传递函数： 图2—44 结构图变换步骤： 分支点前移 2）求局部反馈w 3)求构成的局部反馈 4）化简成单回路 图2-48  (2-59) 五、 系统对给定作用和扰动作用的传递函数 图2—49 系统给定量和扰动量同时作用于系统，线形系统满足叠加原理，算出各自作用输出，然后算出总输出。 只有给定作用（N（S）=0）  (2-60) 系统输出： (2-61) 只有扰动作用 [X  (2-62)  (2-63) 系统总输出：  (2-64) 小结：通过本节课的学习，掌握等效的概念及等效变换的基本原则，能够求出复杂结构图的传递函数。 §2-6 信号流图 教学目的： 掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。 教学重点： 梅逊增益公式的应用。 教学难点： 求第K条前向通道特记式的余子式。 由系统的结构图可以求出系统的传递函数，但是系统很复杂时，结构图简化很繁，采用信号流图，不必对信号流图简化，应用统一公式，可求出系统的传递函数。 绘制方法： 由代数方程绘制： 例： 描述系统的方程组为：   信号流图是由节点和支路组成的信号传递网络，节点表示系统的变量或是信号用“O”表示，支路用有向线段表示。 该系统的信号流图： 图2-50 由系统结构图绘制 图2—51 图2--52 信号流图使用术语 源点 2.汇点。3.混合节点 4.闭通路（回环）5.回路增益。6.前向通路。 7．自回路。8.不接触回环。 讲法：结合信号流图讲述。 梅逊增益公式求传递函数 利用梅逊增益公式，不用对系统结构图变换，一点写出系统的传递函数。  （2-65） X---系统输出量；X---系统的输出量；T----系统总传输；T---第K条前向通路的传输； n—从输入节点到输出节点的前向通路数；---信号流图的特征式。  (2-66) 信号流图中所有不同回环传输之和。 信号流图中每两个互不接触回环的传输乘积之和。 --信号流图中每三个互不接触回环的传输乘积之和。 信号流图中每m个互不接触回环的传输乘积之和。 第K条前向通路特征式的余子式，是在中除去与第K条前向通路相接触的各回环传输（即将其置零）。 例：如图求系统总的传输。 图2—53 根据梅逊增益公式：T= 此系统有两条前向通路n=2,其传输=abcd,T=fd;三个回环：L=be,L=-abcdg,L=-fdg 三个回环只有L和L互不接触  系统的特征方程式 ： =1-（L =1-be+(abc+f-bef)dg 为除去（在中）得T特征余子式 在中除去与T接触回环L得特征余子式 系统的传输为：T= = 例：如图求系统传递函数 图2—54 信号流图 图2-55 系统前向通路：T1=W1W3W5，T2=W2W4W5 系统回环及传输：  =-W1W3W5H1 =-W2W4W5 =-W3H2 =-W4H2 =-(W1W3W5H1+W2W4W5H1+W3H2+W4H2)  各回环相互接触 =0 各回环与前向通路T1，T2接触 系统传递函数： W(S)== 小结： 通过本节课的学习，使学生掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数，并且能够求出第K条前向通道特记式的余子式。 习题课 教学目的：通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力 教学重点：传递函数的概念及求法 教学方法：举典型题、详细分析、达到举一反三的目的。 一、第一、二章主要内容及要求 第一章要求： 1、闭环系统的基本概念，对自动控制系统能定性分析。 2、掌握暂态和稳态概念，了解闭环系统基本组成及各环节作用。 第二章要求及内容： 1、能建立各种系统微分方程。 2、熟练求出各种系统的传递函数。 主要内容： （一）建立微分方程的一般方法： 1、确定系统的输入、输出量。 2、从系统输入端开始按信号传递顺序、以定律、定理写出微分方程。 3、消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程。 （二）传递函数 定义：在初始为零的条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换之比。 典型环节的传递函数 比例环节： W(s)=K 惯性环节： W(s)= 微分环节： W(s)=TS 积分环节： W(s)= 震荡环节： W(s)= 时滞环节： W(s)=e （三）动态结构图： 有三种形式：1）单回路 2）无交错多回路 3）有交错多回路 （四）梅逊增益公式： T= 二、习题 1． 图2-56 图示是一个齿轮传动机构，机构无变形，无间隙求 轴1的力矩方程：M-M1-f=J1 轴2的力矩方程：M2-f2=J2 齿轮1和齿轮2作功相等：M1=M2 又 经整理后拉氏变换得： W（s）= 2．已知下列方程组成的系统，试绘出由该方程组成的方框图，并求传递函数。 Xr(S)-X4(S)=X1(S) X3(S)=X2(S)-Xc(S)W4(S) X2(S)=X1(S)W1(S) X4(S)=W2(S)X3(S) Xc(S)=X4(S)W3(S) 传递函数：= 图2-57 此题要明确几点： 画框图要从系统输入端入手，按信号传递顺序，依次画出。 由框图可以求出环节的传递函数。 求复杂系统传递函数要将变成单回路系统，然后求传递函数。 3．求系统传递函数 图2-58 图2-59 传递函数： 4．用5分钟做课上练习，求传递函数。 图2-60 5．化简结构图，求传递函数 图2-61 结构图化简过程： W4分支点前移  化简其局部反馈  H2分支点前移  化简其局部反馈 然后化简H1构成的局部反馈  单回路 传递函数： 小结： 通过举典型题、详细分析讲解使学生加深对以前所学的知识的理解，达到培养学生分析问题的能力。