第二章 控制系统的数学模型
§ 1 控制系统的运动方程式
?确定系统的输入量和输出量
?根据系统所遵循的基本定律，依次列写
出各元件的运动方程
?消中间变量，得到只含输入、输出量的
标准形式
列写系统运动方程的步骤
入变量的运动方程。
为输压U为输出变量和以输入电压U
试求出以输出电成的电路，如图所示.
和电阻R 组设有由电感L,电容C 例1
12
L
i
U2U1
R
C
1
U
2
U
dt
2
du
RC
2
dt
2
U
2
d
LC
代入（3 ）并整理得
UCi 即 i
C
1
。
U 对（2 ）式求导得
（3 ）
2
U
dt
di
LRi
1
U
（2 ） idt
C
1
C
U
2
U
dt
di
L
L
U
Ri
R
U
（1 ）
C
U
L
U
R
U
1
U
有解：根据基尔霍夫定律
2
2
???
??
???
?
??
?
?
???
?
U2U1
R L
Ci
解：
系统的运动方程作用产生位移Y,求该
物体受到外力系统，图中质量为m的如图所示为一弹簧阻尼 例2,
y
m m 0
dtdyf?
F K ）yfP
2
（m P
则有：
2
dt
2
d
2
P
dt
d
P 记
FKy
dt
dy
f
2
dt
y
2
d
m
dt
dy
f
f
F Ky
s
F
f
F
s
FFFma
根据牛顿定律
输出量：位移y 输入量：外力F
???
??
???
??
?????
yK
解：
试建立其数学模型已知二串联液体储罐,例3,
数—阀1,阀2 的阻力系—
2
，R
1
R
数—储罐1,2 的容量系—
2
，C
1
C
间）流出量的变化（单位时—阀2 开度改变引起的—
f
Q
（单位时间）的变化引起的流量变化
2
—液位h—
h
Q
1
h
1
k
1
1
Q
2
h
2
k
1
h
Q
dt
2
dh
2
C）
f
Q
h
（Q-
1
Q
dt
1
dh
1
C
1
Q
in
Q
f
，Q
IN
，输入量Q
2
输出量h
??
??
??
dt
f
dQ
2
R
1
T
f
Q
2
R
in
Q
2
R
2
h
dt
2
dh
）
2
T
1
（T
2
dt
2
h
2
d
2
T
1
T
dt
f
dQ
2
R
1
R
1
C-
f
Q
2
R-
in
Q
2
R
2
h
dt
2
dh
）
2
R
2
C
1
R
1
（C
2
dt
2
h
2
d
2
R
2
C
1
R
1
C
之间的关系式：
2
输出参数h
（干扰作用）与
f
（调节参数）和Q
in
参数Q消去中间变量可得输入
??????
????
Ua 4
解：
的系统运动方程
为输出量时及角位移动机输出轴角速度为输入变量和分别以电
以电枢电压统，如图所示，试列写设有带载直流电动机系例
??
消去中间变量得：
磁力矩为在恒定磁场中产生的电电枢电流
，当电动机空载时，
成正比，即而电动机的反电动势与
运动方程为：
流电动机电枢回路的根据基尔霍夫定律，直
iCMi
0M
CeE
UEiR
M
L
aa
?
???
?
???
?
?
??
fM
dt
d
J
dt
di
L
a
可得相应运动方程。为输出量，则根据关系若以
）（）（
，则由牛顿定律有时，当电动机输出轴带负载
）（）（
dt
d
MR
dt
dM
LUCCCfR
dt
d
fLJR
dt
d
JL
dt
La
L
aaMeMaaaa
?
??
?
??
?
?
?
??
?
???????
?
?
?????
2
2
L
L
aMeMaaa2
2
a
M-f-M
dt
d
J
0M
UCCCfR
dt
d
fLJR
d
JL
§ 2 非线性运动方程的线性化
§ 将非线性微分方程在一定的条件下转化
为线性微分方程的方法，称非线性微分
方程的线性化。
§ 小偏差线性化：非线性微分方程能进行
线性化的一个基本假设上是变量偏离其
预期工作点的偏差甚小，这种线性化通
常称为小偏差线性化。
）处展开，进行线性化，在预期工作点（
），（的非线性函数和，将具有两个自变量例
00
1
YX
YXFZYX ?
Y
YY
XX
Y
F
X
YY
XX
X
F
YXF
Y
YY
XX
Y
F
X
YY
XX
X
F
YXFYXF
YX
Y
YY
XX
Y
F
YX
YY
XX
YX
F
Y
YY
Y
F
X
XX
X
F
YXFYXFZ
YX
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
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??
?
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??
????
?
?
?
?
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?
?
??
?
??
?
?
?
??
?
?
?
???
0
0
0
0
0
0
0
0
00
2
0
0
2
2
0
0
2
[
2
1
0
|
0
|
00
00
）（）（），（
）（
）（），（），（
项有的二阶及二阶以上高阶，忽略
）（）（
）（
！
），（），（
）邻域有，在（
XXfX
dx
df
XFXF
X
dX
fd
X
dx
df
XFXFY
YXXFY
XX
XXXX
?????
???
??????
?
?
??
）（）（）（）（
）（）（
！
）（）（）（
），）线性化，工作点为（（将例
，
00
2
2
2
0
00
0
00
2
1
.2
几何意义：以过平衡点（工作点）的切线代替工作点附近的曲
线。
说明：
A.线性化时各自变量在工作点处必须有各阶导数或
偏导数存在,如图所示的继电器特性, 的各界导数处
处不存在, 本质非线性；
B.必须明确工作点的参数；
C.如果非线性运动方程较接近线性时, 则线性化运
动方程对于变量的增量在较大范围适用, 反之, 只
能适用于变量的微小变化 。
1X
§ 3 传递函数与方块图
—,定义
传递函数, 初始条件为 零时，线性定常系统或
元件输出信号的拉氏变换与输入 信号的拉氏
变换的比，称为该系统或元件的传递函数。
)(
1
)
1
1
10
(
)(
2
)
1
2
1
1
0
(
,
tx
m
bp
m
b
m
pb
m
pb
tx
n
ap
n
a
n
pa
n
pa
n
p
?
?
??
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
为设描述系统的微分方程
解：
网络的传递函数，试求例 CLR ??1 ? ?
? ?
? ?
? ? 1
2
1
1
2
12
1
2
12
1
2
L C P
??
??
???
???
R C SL C SSU
SU
SG
SUSUR C SL C P
tUtUR C P
）（）（
条件下的拉氏变换有求该微分方程在零初始
）（）（）（由前面知
? ?
naSna
n
Sa
n
S
mb
m
Sb
m
Sb
SX
SX
SG
?
?
??
?
?
??
?
?
??
1
1
1
1
10
)(
1
)(
2
?
?
则其传递函数为
二 传递函数的性质
1,线性定常系统或元件的运动方程与传递
函数一一对应，它们是在不同域对同一
系统或元件的描述。
2,传递函数是表征线性定常系统或元件自
身的固有特性，它与其输入信号的形式
无关,但和输入信号的作用位置及输出
信号的取出位置有关。
)),.....(
2
)(
1
P-(S
)),.....(
2
)(
1
Z-(S
kG ( S )
nPSPS
mZSZS
??
??
?
3.传递函数是复变量 S的有理分式，且分子、分母
多项式的各项系数均为实数，分母多项式的次数
N大于等于分子多项式的次数 M,。MN ?
4.传递函数写成
的形式, 则 和 为 G(S)
的零点和极点 。 mZZZZ ?321,,nPPPP ?321,,
5.物理结构不同的系统可以有相同的传递函数。
G(S)X1(S)
X2(S)
X(S) X(S)
X(S)
( S )G ( S ) X( S )X 12 ?
三,方块图
1.定义,每个环节的功能和信号流向的图解表示；
(3).分支点,信号分出的一点,称为分支点,通过分
支点的信号都是相同的；
(4).方框,对信号进行的数学变换；
( S )X-( S )XE ( S ) 21?
2.常用符号及术语
E(S)X1(S)
X2(S)
(2).相加点 (比较点）
(1).信号线,带箭头的直线,箭头表示信号方向；
G1(S) G2(S)
X1(S) X3(S) X2(S)
G1(S)
G2(S)
+
+
X3(S)
X1(S)
X2(S)
X4(S)
G2(S)
G1(S)+
Y(S)
X1(S) E(S) X2(S)
（ 5）,方框图的串联, 并联, 反馈连接 。
G1(S) G2(S)
X1(S) X3(S) X2(S)
)(
n
G( S )
2
( S ) G
1
GG ( S ) S??
( S )( S ) GGG ( S )
)()()(X
)()()(X
21
113
322
?
?
?
SXSGS
SXSGS
3,方框图的运算
(1)串联连接的传递函数
结论：二环节串联传递函数等于二传函之积 。
推广,N环节串联, 传递函数等于 N个环节传
函之积 。
G1(S)
G2(S)
+
+
X3(S)
X1(S)
X2(S)
X4(S)
)(.,,,)()()( 21 SGSGSGSG n????
)()(
)(
)()(
( S )X
( S )X
G( S ) 21
1
43
1
2 SGSG
SX
SXSX
??
?
??
(2)并联连接的传递函数
结论：二环节并联, 其等效传函等于二环节传
函之和 。
推广,N环节并联, 其等效传函等于各环节传
函之和 。
G2(S)
G1(S)+
Y(S)
X1(S) E(S) X2(S)
)()(1
)(
)(
( S )X
( S )
( S )( S ) X( S ) GG-( S )( S ) XG( S )X
( S ) ]( S ) XG-( S )( S ) [ XG( S )X ( 4 )( 3 )
( 4 ) Y ( S ) ]-( S )( S ) [ XG( S )X ( 1 )( 2 )
( 3 ) ( S )( S ) XGY ( S )
( 2 ) Y ( S )-( S )X( S )
( 1 ) )()()(
21
1
1
2
221112
22112
112
22
1
12
SGSG
SG
SX
E
SESGSX
?
???
?
?
?
?
?
?
代入
代入
(3)反馈回路传递函数的求取
前向通道：由偏差信号至输出信号的通道；
反馈通道：由输出信号至反馈信号的通道 。
反馈通道传函前向通道传函
前向通道传函
闭环传函
??
?
1
当为正反馈时
)()(1
)(
)(
21
1
SGSG
SG
S
?
??
结论：
)1(
:1 递函数试求如图所示系统的传例
G1(S)
G2(S)
G3(S)
G4(S)
( S )( S ) G( S ) GG( S )( S ) G( S ) GG
)()]()()[()(
431421
4321
??
?? SGSGSGSGSG
)()()()(1
( S )( S ) GG
( S )
4321
21
SGSGSGSG?
??
(2) G1(S)
G2(S)
G3(S) G4(S)
§ 4 控制系统的传递函数
)(
)()()(1
)(
)(
)()()(1
)()(
)(
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
21
2
21
21
12
2
11
SF
SHSGSG
SG
SR
SHSGSG
SGSG
SC
SFSXSX
SXSGSC
SCSHSY
SYSRS
SSGSX
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
G1(S) G2(S)
H(S)
R(S) X1(S) X
2(S)
Y(S)
-
C(S)?(S)
F(S)
(1)若
则
定义,C(S)/R(S)为被控信号对于控制信号的闭
环传函, 记为, 即
开环传函：前向通道与反馈通道传递函数之积
称为开环传函, 记为 G(S)。
单位反馈：若 H(S)=1,则系统称为单位反馈系
统 。
)(S?
)()()(1
)()(
)(
)(
)(
)()()(1
)()(
)(
)(
21
21
21
21
SHSGSG
SGSG
SR
SC
S
SHSGSG
SGSG
SR
SC
?
???
?
?
0)( ?SF
(2)若
定义,C(S)/F(S)为被控信号对于扰动信号的闭
环传函, 记为 。
(3)
令 称为误差传函
(S)-1(S)
(S),
)(1
)(
)(
)(
)(
)()(
2
)(
1
1
)()()(
2
(S)H (S)
2
(S)G
1
G1
R(S)
(S)
)(
)()(
2
)(
1
1
)(
2
)(
)(
0)(
???
?
?
???
?
?
?
?
?
??
?
?
?
e
e
SG
SR
SR
s
S
e
SHSGSG
SFSHSG
S
f
SHSGSG
SG
SF
SC
SR
?
?
)(Sf?
§ 5 控制系统方框图及其简化
控制系统方框图：应用函数方框把控制系
统的全部变量联系起来以描述信号在系统
中流通过程的图示 。
一, 方框图的绘制
步骤,
1.写出组成系统的各环节的运动方程 (传递
函数 )；
2,根据传递函数画出相应的函数方框；
3,按信号流向将函数方框一一连接起来 。
:
1
解
源网络的结构图
试绘制如图所示无例
式有由 (1)
(4))(CS1(S)IRc1
(3)I(S)R(S)U
(2)(S)U(S)RI(S)U
(1)(S)I(S)II(S)
211112
2020
011i011
2121
SIiRdti
iRu
uRiui
iii
??
??
????
????
?
C
i i1
i2
R1 R2U
i
U0
I2(S)
I1(S) I(S)++
R1 CS
I1(S)
I2(S)
R2
I(S) U0(S)
)]()([
1
)(
)2(
0i1 SUSU
R
SI ??
式变换对
U0(S)UI(S) I1(S)
1/R+
-
)()(
)4(
112 SCS IRSI ?
式变换对
式有对 )3(
Ui(S) U0(S)I1(S) I2(S) I(S)
+-U
0(S)
1/R R2CSR1 +
二, 方框图的简化
G(S)
G(S)X1
X2
X2
X2
X1
X2G(S)
G(S) X2X1
X1
(1)分支点前移
分支点等效移动规则
分支点前移,在移动支路中串入所越过的传递函数方框。
(2) 分支点后移
分支点后移,在移动支路中串入所越过传递函数的倒数
的方框 。
G(S)
1/G(S)
X1 X2
X1
G(S)
1/G(S)
X1
X2
X3
-
G(S)X
1
X2
X3
-
x2
x3
x1
G(s)
G(s)
G(s)
x1 x2
x3
(1) 相加点前移
2,相加点等效移动规则
相加点前移，在移动支路中串入所越过的传递函数的倒
数方框
(2) 相加点后移
相加点后移,在移动支路中串入所越过的传递函数方框。
G1 G2 G3 G4
G5
G7
G6
-
-
-
B
A
并求其闭环传递函数。
试对其进行简化图所示设多环系统的方框图如例
,,1
(1) 前向通道中各串联函数方框的传函乘积保持不变；
(2) 各反馈回路所含函数方框的传函之积保持不变 。
3.方框图的简化原则
处移至将分支点解 BA:
G1 G2 G3 G4
G4G5
G7
G6
-
-
-
点后移或者相加点后移另外亦可把
则得将系统的闭环传函
B
GGGGGGGGGGG
GGGG
S
632543743211
4321
)(
???
??
§ 6 信号流图
x1 x4x3x2a bc 1
节点：用以表示变量或信号的点称为节点, 用
,o”表示 。
传输：两节点间的增益或传递函数称为传输 。
支路：连接两节点并标有信号流向的定向线段
支路的增益即为传输 。
源点：只有输出支路而无输入支路的节点 （ 与
系统的输入信号相对应 ） 。
一,信号流图的常用术语,
阱点：只有输入支路而无输出支路的节点称为阱点或输
出节点, 与输出信号相对应 。
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点 。
通路：沿支路箭头所指方向穿过各相连支路的通径 。
开通路：如通路与任意节点相交不多于一次, 称为开通
路 。
闭通路：如果通路的终点就是通路的起点, 而与任何其
它 节点相交次数不多于一次, 则称为闭通路或
回路 。
回路增益：回路中各支路传输的乘积 。
不接触回路：回路间没有任何共有节点, 则称其为不接
触回路 。
前向通路：从源点到阱点的通路上, 通过任何节点不多
于一次, 称为前向通路, 前向通路中各支路
传输的乘积, 称为前向通路增益 。
二, 信号流图的基本性质
x1 x4x3x2a bc 1
1,以节点代表变量, 源点代表输入量, 阱点代表输
出量, 用混合节点代表变量或信号的汇合 。 在混合节
点处, 出支路的信号等于各支路信号的叠加 。
2,以支路表示变量或信号的传输和变换过程, 信号
只能沿着支路的箭头方向传输 。 在信号流图中每经
过一条支路, 相当于在方框图中经过一个用方框表
示的环节 。
3,增加一个具有单位传输的支路, 可以把混合节点
化为阱点 。
4,对于同一系统, 信号流图的形式不是唯一的 。 信
号流图和方框图是一一对应的, 且可以互相转化 。
三, 信号流图的简化
X1
X2
X3 X4a1
a2
a3 X1
X2
X4a1a3
a2a4
a
b
X1 X2
X1 X2aba?1
(1) 串联支路的总传输等于各支路传输之积 ;
(2) 并联支路的总传输等于各支路传输之和 ;
(3) 混合节点可以通过移动支路的方法消去 ;
(4) 回路可以根据反馈连接的规则化为等效支路 。
四, 梅森增益公式
余子式。称为前向通道特征式的后的特征式
路条前向通道相接触的回中除去与第在
益乘积之和每三个互不接触回路增
乘积之和每两互不接触回路增益
所有回路增益之和其中
即信号流图的特征式
条前相通道的通路增益第
总增益
,
L:
....,..L-1
,--
1
p
a
a
bca
a
1
K
LLL
LL
LLLLL
Kp
p
p
k
d e f
fed
bc
cb
d e f
fedcb
k
n
k
kk
????
??
??
??
?????
?
??
??
?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
。图所示系统的传递函数使用梅森增益公式求下例 1
74321543632
4321
11
11
74321543632321
74321354323211
43211
GGGGGGGGGGG1
GGGG
P
1
P
R ( S )
C ( S )
)( 1
1)(1
GGGGGL GG-GL
,
)(R ( S ),
???
??
?
??
??
?????????
????
?
接触三个回路均与
不存在互不接触回路
各回路增益分别为信号流图共有三个回路
间只有一条前向通路与解
P
GGGGGGGGGGGLLL
GGGL
GGGGP
SC
R(S) 1 1G1
-G7
-G6
-G5
G3G2 C(S)G4
例 2.设某系统的方框图如图所示，试
求其传递函数
R(S) 1 1G1 G3G2
C(S)
G4
-1
-H1-H2
CG1 G2 G3
G4
- - -
H1
H2
R
? ?
4124232321121
41321
2211
21
21
4124232321121
54321
415244
232332121211
4123211
1
GGGGG
PP
1
P
R ( S )
C ( S )
1 1
1
)(1
GGL HGL
HGGL GG-GL
,
)(R ( S ),
GGHGHGGGGGHGG
PP
GGHGHGGGGGHGG
LLLLL
HGGL
GGPGGGP
SC
?????
?
?
???
?
??
????
??????
???????
????
?????
??
接触和五个回路均与
不存在互不接触回路
各回路增益分别为信号流图共有五个回路
间有两条前向通路与解
§ 1 控制系统的运动方程式
?确定系统的输入量和输出量
?根据系统所遵循的基本定律，依次列写
出各元件的运动方程
?消中间变量，得到只含输入、输出量的
标准形式
列写系统运动方程的步骤
入变量的运动方程。
为输压U为输出变量和以输入电压U
试求出以输出电成的电路，如图所示.
和电阻R 组设有由电感L,电容C 例1
12
L
i
U2U1
R
C
1
U
2
U
dt
2
du
RC
2
dt
2
U
2
d
LC
代入（3 ）并整理得
UCi 即 i
C
1
。
U 对（2 ）式求导得
（3 ）
2
U
dt
di
LRi
1
U
（2 ） idt
C
1
C
U
2
U
dt
di
L
L
U
Ri
R
U
（1 ）
C
U
L
U
R
U
1
U
有解：根据基尔霍夫定律
2
2
???
??
???
?
??
?
?
???
?
U2U1
R L
Ci
解：
系统的运动方程作用产生位移Y,求该
物体受到外力系统，图中质量为m的如图所示为一弹簧阻尼 例2,
y
m m 0
dtdyf?
F K ）yfP
2
（m P
则有：
2
dt
2
d
2
P
dt
d
P 记
FKy
dt
dy
f
2
dt
y
2
d
m
dt
dy
f
f
F Ky
s
F
f
F
s
FFFma
根据牛顿定律
输出量：位移y 输入量：外力F
???
??
???
??
?????
yK
解：
试建立其数学模型已知二串联液体储罐,例3,
数—阀1,阀2 的阻力系—
2
，R
1
R
数—储罐1,2 的容量系—
2
，C
1
C
间）流出量的变化（单位时—阀2 开度改变引起的—
f
Q
（单位时间）的变化引起的流量变化
2
—液位h—
h
Q
1
h
1
k
1
1
Q
2
h
2
k
1
h
Q
dt
2
dh
2
C）
f
Q
h
（Q-
1
Q
dt
1
dh
1
C
1
Q
in
Q
f
，Q
IN
，输入量Q
2
输出量h
??
??
??
dt
f
dQ
2
R
1
T
f
Q
2
R
in
Q
2
R
2
h
dt
2
dh
）
2
T
1
（T
2
dt
2
h
2
d
2
T
1
T
dt
f
dQ
2
R
1
R
1
C-
f
Q
2
R-
in
Q
2
R
2
h
dt
2
dh
）
2
R
2
C
1
R
1
（C
2
dt
2
h
2
d
2
R
2
C
1
R
1
C
之间的关系式：
2
输出参数h
（干扰作用）与
f
（调节参数）和Q
in
参数Q消去中间变量可得输入
??????
????
Ua 4
解：
的系统运动方程
为输出量时及角位移动机输出轴角速度为输入变量和分别以电
以电枢电压统，如图所示，试列写设有带载直流电动机系例
??
消去中间变量得：
磁力矩为在恒定磁场中产生的电电枢电流
，当电动机空载时，
成正比，即而电动机的反电动势与
运动方程为：
流电动机电枢回路的根据基尔霍夫定律，直
iCMi
0M
CeE
UEiR
M
L
aa
?
???
?
???
?
?
??
fM
dt
d
J
dt
di
L
a
可得相应运动方程。为输出量，则根据关系若以
）（）（
，则由牛顿定律有时，当电动机输出轴带负载
）（）（
dt
d
MR
dt
dM
LUCCCfR
dt
d
fLJR
dt
d
JL
dt
La
L
aaMeMaaaa
?
??
?
??
?
?
?
??
?
???????
?
?
?????
2
2
L
L
aMeMaaa2
2
a
M-f-M
dt
d
J
0M
UCCCfR
dt
d
fLJR
d
JL
§ 2 非线性运动方程的线性化
§ 将非线性微分方程在一定的条件下转化
为线性微分方程的方法，称非线性微分
方程的线性化。
§ 小偏差线性化：非线性微分方程能进行
线性化的一个基本假设上是变量偏离其
预期工作点的偏差甚小，这种线性化通
常称为小偏差线性化。
）处展开，进行线性化，在预期工作点（
），（的非线性函数和，将具有两个自变量例
00
1
YX
YXFZYX ?
Y
YY
XX
Y
F
X
YY
XX
X
F
YXF
Y
YY
XX
Y
F
X
YY
XX
X
F
YXFYXF
YX
Y
YY
XX
Y
F
YX
YY
XX
YX
F
Y
YY
Y
F
X
XX
X
F
YXFYXFZ
YX
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
????
?
?
?
?
???
?
?
??
?
??
?
?
?
??
?
?
?
???
0
0
0
0
0
0
0
0
00
2
0
0
2
2
0
0
2
[
2
1
0
|
0
|
00
00
）（）（），（
）（
）（），（），（
项有的二阶及二阶以上高阶，忽略
）（）（
）（
！
），（），（
）邻域有，在（
XXfX
dx
df
XFXF
X
dX
fd
X
dx
df
XFXFY
YXXFY
XX
XXXX
?????
???
??????
?
?
??
）（）（）（）（
）（）（
！
）（）（）（
），）线性化，工作点为（（将例
，
00
2
2
2
0
00
0
00
2
1
.2
几何意义：以过平衡点（工作点）的切线代替工作点附近的曲
线。
说明：
A.线性化时各自变量在工作点处必须有各阶导数或
偏导数存在,如图所示的继电器特性, 的各界导数处
处不存在, 本质非线性；
B.必须明确工作点的参数；
C.如果非线性运动方程较接近线性时, 则线性化运
动方程对于变量的增量在较大范围适用, 反之, 只
能适用于变量的微小变化 。
1X
§ 3 传递函数与方块图
—,定义
传递函数, 初始条件为 零时，线性定常系统或
元件输出信号的拉氏变换与输入 信号的拉氏
变换的比，称为该系统或元件的传递函数。
)(
1
)
1
1
10
(
)(
2
)
1
2
1
1
0
(
,
tx
m
bp
m
b
m
pb
m
pb
tx
n
ap
n
a
n
pa
n
pa
n
p
?
?
??
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
为设描述系统的微分方程
解：
网络的传递函数，试求例 CLR ??1 ? ?
? ?
? ?
? ? 1
2
1
1
2
12
1
2
12
1
2
L C P
??
??
???
???
R C SL C SSU
SU
SG
SUSUR C SL C P
tUtUR C P
）（）（
条件下的拉氏变换有求该微分方程在零初始
）（）（）（由前面知
? ?
naSna
n
Sa
n
S
mb
m
Sb
m
Sb
SX
SX
SG
?
?
??
?
?
??
?
?
??
1
1
1
1
10
)(
1
)(
2
?
?
则其传递函数为
二 传递函数的性质
1,线性定常系统或元件的运动方程与传递
函数一一对应，它们是在不同域对同一
系统或元件的描述。
2,传递函数是表征线性定常系统或元件自
身的固有特性，它与其输入信号的形式
无关,但和输入信号的作用位置及输出
信号的取出位置有关。
)),.....(
2
)(
1
P-(S
)),.....(
2
)(
1
Z-(S
kG ( S )
nPSPS
mZSZS
??
??
?
3.传递函数是复变量 S的有理分式，且分子、分母
多项式的各项系数均为实数，分母多项式的次数
N大于等于分子多项式的次数 M,。MN ?
4.传递函数写成
的形式, 则 和 为 G(S)
的零点和极点 。 mZZZZ ?321,,nPPPP ?321,,
5.物理结构不同的系统可以有相同的传递函数。
G(S)X1(S)
X2(S)
X(S) X(S)
X(S)
( S )G ( S ) X( S )X 12 ?
三,方块图
1.定义,每个环节的功能和信号流向的图解表示；
(3).分支点,信号分出的一点,称为分支点,通过分
支点的信号都是相同的；
(4).方框,对信号进行的数学变换；
( S )X-( S )XE ( S ) 21?
2.常用符号及术语
E(S)X1(S)
X2(S)
(2).相加点 (比较点）
(1).信号线,带箭头的直线,箭头表示信号方向；
G1(S) G2(S)
X1(S) X3(S) X2(S)
G1(S)
G2(S)
+
+
X3(S)
X1(S)
X2(S)
X4(S)
G2(S)
G1(S)+
Y(S)
X1(S) E(S) X2(S)
（ 5）,方框图的串联, 并联, 反馈连接 。
G1(S) G2(S)
X1(S) X3(S) X2(S)
)(
n
G( S )
2
( S ) G
1
GG ( S ) S??
( S )( S ) GGG ( S )
)()()(X
)()()(X
21
113
322
?
?
?
SXSGS
SXSGS
3,方框图的运算
(1)串联连接的传递函数
结论：二环节串联传递函数等于二传函之积 。
推广,N环节串联, 传递函数等于 N个环节传
函之积 。
G1(S)
G2(S)
+
+
X3(S)
X1(S)
X2(S)
X4(S)
)(.,,,)()()( 21 SGSGSGSG n????
)()(
)(
)()(
( S )X
( S )X
G( S ) 21
1
43
1
2 SGSG
SX
SXSX
??
?
??
(2)并联连接的传递函数
结论：二环节并联, 其等效传函等于二环节传
函之和 。
推广,N环节并联, 其等效传函等于各环节传
函之和 。
G2(S)
G1(S)+
Y(S)
X1(S) E(S) X2(S)
)()(1
)(
)(
( S )X
( S )
( S )( S ) X( S ) GG-( S )( S ) XG( S )X
( S ) ]( S ) XG-( S )( S ) [ XG( S )X ( 4 )( 3 )
( 4 ) Y ( S ) ]-( S )( S ) [ XG( S )X ( 1 )( 2 )
( 3 ) ( S )( S ) XGY ( S )
( 2 ) Y ( S )-( S )X( S )
( 1 ) )()()(
21
1
1
2
221112
22112
112
22
1
12
SGSG
SG
SX
E
SESGSX
?
???
?
?
?
?
?
?
代入
代入
(3)反馈回路传递函数的求取
前向通道：由偏差信号至输出信号的通道；
反馈通道：由输出信号至反馈信号的通道 。
反馈通道传函前向通道传函
前向通道传函
闭环传函
??
?
1
当为正反馈时
)()(1
)(
)(
21
1
SGSG
SG
S
?
??
结论：
)1(
:1 递函数试求如图所示系统的传例
G1(S)
G2(S)
G3(S)
G4(S)
( S )( S ) G( S ) GG( S )( S ) G( S ) GG
)()]()()[()(
431421
4321
??
?? SGSGSGSGSG
)()()()(1
( S )( S ) GG
( S )
4321
21
SGSGSGSG?
??
(2) G1(S)
G2(S)
G3(S) G4(S)
§ 4 控制系统的传递函数
)(
)()()(1
)(
)(
)()()(1
)()(
)(
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
21
2
21
21
12
2
11
SF
SHSGSG
SG
SR
SHSGSG
SGSG
SC
SFSXSX
SXSGSC
SCSHSY
SYSRS
SSGSX
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
G1(S) G2(S)
H(S)
R(S) X1(S) X
2(S)
Y(S)
-
C(S)?(S)
F(S)
(1)若
则
定义,C(S)/R(S)为被控信号对于控制信号的闭
环传函, 记为, 即
开环传函：前向通道与反馈通道传递函数之积
称为开环传函, 记为 G(S)。
单位反馈：若 H(S)=1,则系统称为单位反馈系
统 。
)(S?
)()()(1
)()(
)(
)(
)(
)()()(1
)()(
)(
)(
21
21
21
21
SHSGSG
SGSG
SR
SC
S
SHSGSG
SGSG
SR
SC
?
???
?
?
0)( ?SF
(2)若
定义,C(S)/F(S)为被控信号对于扰动信号的闭
环传函, 记为 。
(3)
令 称为误差传函
(S)-1(S)
(S),
)(1
)(
)(
)(
)(
)()(
2
)(
1
1
)()()(
2
(S)H (S)
2
(S)G
1
G1
R(S)
(S)
)(
)()(
2
)(
1
1
)(
2
)(
)(
0)(
???
?
?
???
?
?
?
?
?
??
?
?
?
e
e
SG
SR
SR
s
S
e
SHSGSG
SFSHSG
S
f
SHSGSG
SG
SF
SC
SR
?
?
)(Sf?
§ 5 控制系统方框图及其简化
控制系统方框图：应用函数方框把控制系
统的全部变量联系起来以描述信号在系统
中流通过程的图示 。
一, 方框图的绘制
步骤,
1.写出组成系统的各环节的运动方程 (传递
函数 )；
2,根据传递函数画出相应的函数方框；
3,按信号流向将函数方框一一连接起来 。
:
1
解
源网络的结构图
试绘制如图所示无例
式有由 (1)
(4))(CS1(S)IRc1
(3)I(S)R(S)U
(2)(S)U(S)RI(S)U
(1)(S)I(S)II(S)
211112
2020
011i011
2121
SIiRdti
iRu
uRiui
iii
??
??
????
????
?
C
i i1
i2
R1 R2U
i
U0
I2(S)
I1(S) I(S)++
R1 CS
I1(S)
I2(S)
R2
I(S) U0(S)
)]()([
1
)(
)2(
0i1 SUSU
R
SI ??
式变换对
U0(S)UI(S) I1(S)
1/R+
-
)()(
)4(
112 SCS IRSI ?
式变换对
式有对 )3(
Ui(S) U0(S)I1(S) I2(S) I(S)
+-U
0(S)
1/R R2CSR1 +
二, 方框图的简化
G(S)
G(S)X1
X2
X2
X2
X1
X2G(S)
G(S) X2X1
X1
(1)分支点前移
分支点等效移动规则
分支点前移,在移动支路中串入所越过的传递函数方框。
(2) 分支点后移
分支点后移,在移动支路中串入所越过传递函数的倒数
的方框 。
G(S)
1/G(S)
X1 X2
X1
G(S)
1/G(S)
X1
X2
X3
-
G(S)X
1
X2
X3
-
x2
x3
x1
G(s)
G(s)
G(s)
x1 x2
x3
(1) 相加点前移
2,相加点等效移动规则
相加点前移，在移动支路中串入所越过的传递函数的倒
数方框
(2) 相加点后移
相加点后移,在移动支路中串入所越过的传递函数方框。
G1 G2 G3 G4
G5
G7
G6
-
-
-
B
A
并求其闭环传递函数。
试对其进行简化图所示设多环系统的方框图如例
,,1
(1) 前向通道中各串联函数方框的传函乘积保持不变；
(2) 各反馈回路所含函数方框的传函之积保持不变 。
3.方框图的简化原则
处移至将分支点解 BA:
G1 G2 G3 G4
G4G5
G7
G6
-
-
-
点后移或者相加点后移另外亦可把
则得将系统的闭环传函
B
GGGGGGGGGGG
GGGG
S
632543743211
4321
)(
???
??
§ 6 信号流图
x1 x4x3x2a bc 1
节点：用以表示变量或信号的点称为节点, 用
,o”表示 。
传输：两节点间的增益或传递函数称为传输 。
支路：连接两节点并标有信号流向的定向线段
支路的增益即为传输 。
源点：只有输出支路而无输入支路的节点 （ 与
系统的输入信号相对应 ） 。
一,信号流图的常用术语,
阱点：只有输入支路而无输出支路的节点称为阱点或输
出节点, 与输出信号相对应 。
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点 。
通路：沿支路箭头所指方向穿过各相连支路的通径 。
开通路：如通路与任意节点相交不多于一次, 称为开通
路 。
闭通路：如果通路的终点就是通路的起点, 而与任何其
它 节点相交次数不多于一次, 则称为闭通路或
回路 。
回路增益：回路中各支路传输的乘积 。
不接触回路：回路间没有任何共有节点, 则称其为不接
触回路 。
前向通路：从源点到阱点的通路上, 通过任何节点不多
于一次, 称为前向通路, 前向通路中各支路
传输的乘积, 称为前向通路增益 。
二, 信号流图的基本性质
x1 x4x3x2a bc 1
1,以节点代表变量, 源点代表输入量, 阱点代表输
出量, 用混合节点代表变量或信号的汇合 。 在混合节
点处, 出支路的信号等于各支路信号的叠加 。
2,以支路表示变量或信号的传输和变换过程, 信号
只能沿着支路的箭头方向传输 。 在信号流图中每经
过一条支路, 相当于在方框图中经过一个用方框表
示的环节 。
3,增加一个具有单位传输的支路, 可以把混合节点
化为阱点 。
4,对于同一系统, 信号流图的形式不是唯一的 。 信
号流图和方框图是一一对应的, 且可以互相转化 。
三, 信号流图的简化
X1
X2
X3 X4a1
a2
a3 X1
X2
X4a1a3
a2a4
a
b
X1 X2
X1 X2aba?1
(1) 串联支路的总传输等于各支路传输之积 ;
(2) 并联支路的总传输等于各支路传输之和 ;
(3) 混合节点可以通过移动支路的方法消去 ;
(4) 回路可以根据反馈连接的规则化为等效支路 。
四, 梅森增益公式
余子式。称为前向通道特征式的后的特征式
路条前向通道相接触的回中除去与第在
益乘积之和每三个互不接触回路增
乘积之和每两互不接触回路增益
所有回路增益之和其中
即信号流图的特征式
条前相通道的通路增益第
总增益
,
L:
....,..L-1
,--
1
p
a
a
bca
a
1
K
LLL
LL
LLLLL
Kp
p
p
k
d e f
fed
bc
cb
d e f
fedcb
k
n
k
kk
????
??
??
??
?????
?
??
??
?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
。图所示系统的传递函数使用梅森增益公式求下例 1
74321543632
4321
11
11
74321543632321
74321354323211
43211
GGGGGGGGGGG1
GGGG
P
1
P
R ( S )
C ( S )
)( 1
1)(1
GGGGGL GG-GL
,
)(R ( S ),
???
??
?
??
??
?????????
????
?
接触三个回路均与
不存在互不接触回路
各回路增益分别为信号流图共有三个回路
间只有一条前向通路与解
P
GGGGGGGGGGGLLL
GGGL
GGGGP
SC
R(S) 1 1G1
-G7
-G6
-G5
G3G2 C(S)G4
例 2.设某系统的方框图如图所示，试
求其传递函数
R(S) 1 1G1 G3G2
C(S)
G4
-1
-H1-H2
CG1 G2 G3
G4
- - -
H1
H2
R
? ?
4124232321121
41321
2211
21
21
4124232321121
54321
415244
232332121211
4123211
1
GGGGG
PP
1
P
R ( S )
C ( S )
1 1
1
)(1
GGL HGL
HGGL GG-GL
,
)(R ( S ),
GGHGHGGGGGHGG
PP
GGHGHGGGGGHGG
LLLLL
HGGL
GGPGGGP
SC
?????
?
?
???
?
??
????
??????
???????
????
?????
??
接触和五个回路均与
不存在互不接触回路
各回路增益分别为信号流图共有五个回路
间有两条前向通路与解
