第五章 频率特性法 学习目的及要求: 1 、掌握频率特性的基本概念，频率特性与传递函数的关系； 2 、掌握频率特性的表达方法； 3 、熟练掌握Nyquist图和Bode图的一般绘制方法； 4 、熟练运用 Nyquist 判据判断系统的稳定性； 5 、熟练运用Bode图分析系统性能； 6 、掌握闭环频率特性的概念； 7 、掌握频域中的性能指标； 8 、掌握稳定裕度的概念。 本章内容提要: 本章介绍频率特性的基本概念，典型环节和系统的频率特 性，频率特性的几种表达方式，奈图和波特图的绘制， Nyquist 稳定判据及系统的相对稳定性，系统性能的频域分析方法。 本章重点、难点: 1 重点：频率特性的表达方法，基本概念， 频率特性的绘制 系统稳定性的判断及相对稳定性的衡量 2 难点：闭环频率特性的求法， 开环幅相频率特性图的画法， 频率特性和时间响应的关系。 本章学习方法 联系传递函数，微分方程等数学模型，将频率法和时域分析法、根轨迹法相比较，理解和掌握古典控制系统的完整体系。 §5-1 频率特性的基本概念 本节重点：掌握频率特性的基本概念； 正确理解频率特性的物理意义、数学本质及定义 一、 定义 在正弦输入信号作用下，环节或系统的输出稳态分量（或称频域响应）与正弦函数的复数比，称为环节或系统的频域特性。 二、传递函数与频率特性的关系 用虚数 “jω” 代换环节或系统的传递函数中的复数 “S” ，所得到的表达式称为环节或系统的频率特性。 三.引例： 系统频率响应（稳态响应） 以上分析表明：当电路的输入为正弦信号时，其输出的稳态响应结论：1. 输入、输出正弦函数也是一个正弦信号，频率和输出信号的频率相同，但幅值和相角发生了变化。 2. A（ ω）和φ（ω）只与系统参数及输入正弦函数的频率有关， 本节小结 介绍了频率特性的概念 是控制系统数学模型的另一种形式 §5-2 频率特性表达方法 本节重点：掌握频率特性的表达方式及特点 一、幅相频率特性 代数形式 2. 指数形式 3.幅相特性表示法 极坐标图形式  二、对数频率特性 对数幅频特性绘在以10为底的半对数坐标中，幅值的对数值用分贝（dB）表示  小结 ：频率特性的表示方法，理解幅相频率特性图及BODE图的表达方式。 §5-3 典型环节的频率特性 本节重点：熟记典型环节频率特性的解析式、曲线形状及特征点、特征量； 一、比例环节 传递函数  二、惯性环节 传递函数: 3. 乃图 由0~无穷大时,A(ù)在极坐标上轨迹  4. 波特图 Bode  三、积分环节 传递函数:   积分环节的对数频率特性 四、微分环节   理想微分环节的副相频率特性 五、振荡环节(0<§<1)   六、时滞环节   七 、最小相位环节 具有相同幅频特性的一些环节，其中相位移具有最小可能值的环节，称为最小相位环节。反之，则称为非最小相位环节。 最小相位系统的特性： 系统（环节）幅频特性给定时，也就决定了相频特性，或系统相频特性给出时，也就决定了幅频特性。  小结： 掌握典型环节的频率特性的概念及乃图和BODE图的绘制方法。 §5-4 开环系统频率特性的绘制 本节重点：掌握频率特性的表达方式及特点 一.开环幅相频率特性的绘制   3.极坐标（乃图）与直角坐标横纵轴交点 4.曲线凹凸点与传递函数的分子中的时间常数有关。 实例应用分析 二、系统开环频率特性的Bode图的绘制 基本绘制方法 设系统的开环传递函数 例 例：⑵、工程实际画法 1、开环系统对数幅频特性的绘制步骤： 1）、由已知的开环传递函数计算出各环节的交接频率，并由小到大排列在ω轴上。 2）、计算出ω＝1，20lgK的分贝值，并将（ ω＝1 ，20lgK）点规定为A点。 3）、过A点做一斜线，此斜线的斜率为-20γdB/dec（或－ γ（－N） ），其γ为开环传递函数中串联积分环节数 4）、从低频段开始，随着ω的增加，每遇到一个典型环节的交接频率，斜率改变一次，（惯性环节加－1，比例环节加+1，振荡环节加－2，二阶比例微分加+2） 5）、必要时对误差进行修正 利用误差修正曲线，对交接频率附近的曲线进行修正，以求得更精确的特性。 2、对数相频特性曲线 仍采用常规的环节叠加方法 3.实例分析   例题分析说明： 绘制方法比较 关键点确定： 交接频率的确定 穿越频率的计算方法 ： 近似法 解析法 本节小结：系统频率特性图的绘制方法。 §5-5 用频率法分析控制系统的稳定性 教学重点：乃氏判据、对数判据确定系统的稳定性； 稳定裕度； 教学难点：相对稳定性； 教学要求：熟练运用乃氏判据、对数判据确定系统的稳定性；明确稳定裕度的概念,熟练用解析法和图解法计算稳定裕度； 本节介绍另一种重要并实用的方法——乃奎斯特稳定判据。即根据系统的开环频率特性，来判断闭环系统的稳定性，并能确定系统的相对稳定性。 一、S平面和平面 根平面（S）平面：用S=δ+jω代表闭环系统特征方程式的根。前一章根轨迹是画在S平面的。 平面（W平面）：如用=P（s）+jф（s）表示。异端u（s）为横坐标，v（s）为纵坐标，该平面称为W平面。 二个平面的关系： 若在S平面给定一个定点，则在W平面有一个对应点，反之，在W平面给定一个点，则在S平面上有一个对应点。 同样，当自变量S在S平面上移动画一条曲线时，在W平面也就会有一条曲线与之对应，两曲线之间的关系，则随着表达式的不同而变化。 二、平面（W平面）上的关键点 1、平面上开环幅相特性曲线（乃图）对应S平面上的什么？ 由乃图知道，开环传递函数中s=jω并另ω由-∞→∞时，在平面上 画出的轨迹，因为W（jω）两个坐标P（ω），自变量是ω，而对应S平面中， 考虑ω时，只能走虚轴，即实部为零，只在虚轴上。 综上所述，可以找到平面上的关键点，在第四章中，根轨迹于虚轴的交点是S平面的关键点，此时系统处于稳定边界，闭环特征返方程式有纯虚根。 即 ： 说明曲线通过平面上（－1，j0）点， 所以这一点（－1，j0）是平面上的关键点。 ω由0→＋∞时，S平面上正虚轴对应平面的曲线，只是一半，ω由－∞→0没画在 中。 三 乃奎斯特判据的要点 S平面根轨迹位于虚轴左侧时系统稳定，而乃图究竟在（－1，j0）点左侧稳定还是右侧稳定？ 由下例说明 S平面根轨迹图 由根轨迹知，当 临界时，系统稳定，反之，系统不稳定。 由乃图可知，当 时，也就是 （因为与K有对应关系） 乃图与负实轴交点坐标 即乃图在（－1，j0）点右侧系统一定稳定，反之，系统一定不稳定。 如图将乃图封闭起来（增设增补曲线），则系统稳定与否就可以看作乃图是否包围（－1，j0）点了。当然，也可以将乃图是否包围（－1，j0）点的说法说成是乃图在 负实轴“－1”之左部分是否有穿越，穿越次数就是包围的次数。 四、乃奎斯特判据（乃氏判据） 可由幅角定理证明（从略） 乃氏判据： 已知闭环系统的开环传递函，其右极点的个数为P, 在复平面上绘制相应的幅相频率特性（乃图，ω由0→+∞）,并设乃图穿越负实轴“－1”之左部分的次数为N,（穿越次数见下图说明） 若：令Z为闭环系统右特征根个数，并且满足 Z=P-2N 则为Z=0 闭环系统一定稳定 Z≠0 闭环系统一定不稳定 右极点个数P=1 注：这里只考虑ω由0→+∞时，Z=P-2N 而当－∞→+∞时，Z=P-N，教材不同 K>1，用乃氏判据判稳定 解：非最小相位系统 P=1 起点：A（0）＝－K （第4象限） 终点：A(∞)=0 Z=P-2N=1-2× ＝0 稳定 例2： P=0,Z=0,N=0,稳定 二 应用 例1 系统 试：由乃氏判据判定其稳定性 解：绘制乃图如下： 因为 P=0,N=0 Z=P-2N=0 闭环系统一定稳定 同学们可用劳斯判据在验证一次。 例2 试由乃氏判据判稳定性 解：乃图绘制如下： 增补曲线， 由 开始逆时针转到实轴上，和在ω＝0附近（负实轴上），幅相特性∞。(∞∠0°处),转过(顺时针) ;N为重根数，（类型N即是），得到连续变化轨迹，由 →找ω＝0 逆时针,或由ω＝0→找 处(顺时针) 本题P=0,N=0, Z=P-2N=0 闭环系统一定稳定。 注：当开环有串连积分的环节的系统。 坐标原点上有极点。（虚轴上有开环极点） 例3 系统 试由乃氏判据判断系统稳定性 解：绘制乃图如下： P=0, N=-1, Z=P-2N=0-2×（－1）＝2≠0 系统一定不稳定， 并有两个闭环极点在s平面的右半部。（两个右根） 三 由开环对数频率特性判断系统稳定性——对数判据 1 关系 系统开环频率特性的乃图与Bode图之间存在着一定的对应关系。 ①????? 乃图上 的单位图对应于Bode图的零分贝线。 ②????? 单位图以外对应L(ω)>0 ③????? 乃图上负实轴对应于Bode图上相频特性的－π线。 当幅相特性逆时针方向穿越“－1”左部，为E穿越“＋1”，相频特性，由下向上穿越－π线，产生正相位移；当幅相特性顺时针穿越（－1，－∞）线段，相频特性由上向下穿越一π线， E,负穿越在 Bode图上反映为 在L(ω)>0频段内，相频特性穿越－π线。 2 判据 A(ω)=1 L(ω)=0 A(ω)>1 L(ω)=20lg A(ω)>0 单位圆外， A(ω)<1 L(ω)<0 单位圆内 3、举例 P=0 N=-1 Z=P-2N=0-2(-1)=2 闭环系统不稳定，有2个极点在右半s平面。 4 区别 方法不同，对数用的较多。 四.系统的稳定裕度 1、相位裕度 在频率特性上对应于幅值A（ ω ）＝1的角频率称为剪切频率，用 ωc表示。在剪切频率ωc使系统达到稳定的临界状态所要附加的相角迟后量，称为相位裕度。 2、增益裕度 在相角位移  小结： 根据系统的开环频率特性，来判断闭环系统的稳定性，并能确定系统的相对稳定性。明确稳定裕度的概念,熟练用解析法和图解法计算稳定裕度； §5-6 系统暂态特性和开环频率特性的关系 教学重点：掌握系统对数频率特性的主要特征； 理解三频段的概念与作用。 一 、开环对数频率特性的基本性质 二、三频段 小结：三频段的概念及物理含义； §5-7 闭环系统的频率特性 教学重点：控制系统频率评价指标 系统暂态特性和闭环频率特性的关系 闭环系统频率特性与开环频率特性的关系 教学难点：闭环频率特性的绘制 一 闭环频率特性频域的性能指标 1、谐振峰值Mp(Mr)是闭环系统幅频特性的最大值。 通常，Mp越大↑，超调量δ％↑。 2、谐振频率ωp,是闭环系统幅频特性出现谐振峰值时的频率。 3、截至频率ωb，0分贝一下3dB时对应的频率。 4、频率宽Bw(带宽) 闭环系统频率特性幅值，由其初始值M(0)减小到0.707 M(0)的频率(或由ω＝0的增量 降低3分贝时频率)。0≤ω≤ωb 频带越宽，上升时间越短，但对于高频干扰的过滤能力越差。 5、剪切速度。指在高频时频率特性衰减的快慢。在高频区衰减越快，对于信号和干扰分辨力强，频率越大，斩波作用越强，系统抗干扰能力越强。  一 闭环系统频率特性与开环系统频率特性的关系 单位反馈闭环频率特性 M(ω)——闭环频率特性的幅值 θ（ω）——闭环频率特性的相角  开环幅相频率特性上， 矢量的模（OA）, 矢量的模PA,闭环特性幅值M(ω). OA与PA夹角θ，即闭环频率特性的相角。 常由Mp和ωp作为分析和设计闭环系统地根据。一般经验Mp取1.3～1.7 当要求有很好阻尼时，取Mp＝1.1～1.3，甚至Mp＝1 但Mp大于1.7～1.8，会使振荡趋势增大，很少采用。 一般常用 近似估计Mp 条件 Mp在 附近 较小，一般 <45°，  二 闭环频率特性分析方法 为便于用闭环频率特性的指标Mp， 来分析和设计系统，常采用直角坐标的等M图和对数坐标的等M图。 1.等M图 闭环频率特性地等幅值曲线簇等M图与绘制在半透明纸上的 曲线重迭，由它们的交换就能方便地绘制出闭环系统的闭环幅频特性曲线。 设单位反馈 整理后得： 如果M=1,得P= 是一条通过（-1/2，j0）点且平行于虚轴得直线。 如果M≠1,得: 是圆的方程.圆 心坐标及半径分别为 对于任一个给定值M,可算出它的圆心和半径，在G(s)平面上绘出一个圆。  图5－61绘出M为不同值时一簇图，这簇图叫做G(s)平面上的等M图。 分析：当M>1时，等M图在P=-1/2直线的左边。 M↑时，M圆愈来愈小，最后收敛于（－1，j0点）。 当M<1时，等M在P=-1/2直线右边，随M↓，M圆愈来愈小，最后收敛于原点。 2 等N圆图 对任一个N值，可在G（s）平面上得到一个圆，取N为不同的值，得到一族圆，称为等N圆。 2、等Q图（等N图） 等Q图与绘制在半透明纸上的 相重叠 其交点可以方便的绘制在闭环系统的闭环相频特性曲线。 插图    二阶系统 小结： 理解闭环频率特性的概念 掌握闭环系统频率特性与开环频率特性的关系