第八章 线性离散系统的分析与综合
§ 1 采样过程
C
-
r ? A/D 数字计算机 D/A 被控
对象T0
m保持器
数字 控制器 被控对象-r ?
T0
m C保持器
一,数字控制系统
1.定义：
2.组成：
(1).框图
(2).工作过程
(3).简化框图
数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去
控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制
系统。
,,
*
表示散模拟信号用
属离在幅值上是连续的散的
离该脉冲序列在时间上是
h
?
t0 T0 2T03T0
4T05T06T0
)(* th?
二,采样过程
1.基本概念
(1).采样周期,
(2).采样频率,
(3)采样角频率,
(4).采样脉冲序列,
(5).采样过程,
称为采样周期
每次闭合时间为重复闭合采样开关经一定时间
00
0
,,
,
TThh
T
?
01Tsf ?采样周期的倒数
r a d /s 02s T?? ?
,
称为采样过程序列的过程
冲样开关的采样而变成脉将连续时间函数经过采
.,称采样脉冲序列的时间序列周期为
关采样后变成重复连续时间函数经采样开
T
1
nT)]hnTt(1)nTt(1[
( 2 ) )]hnTt(1)nTt(1[)nT()t(
)t( Th
( 1 ) ht0 )tnT()t(
( 1 ),
,
000h
1
00
0n
h
1
0
*
h
*
h0
0n
0
*
h
的脉冲）为单位强度脉冲（即面积
时刻的—发生在—
可表示为因此在实际中
用下式表示
所示的脉冲序列可图式到采样过程的数学表达
需要得行定量的分析为了对数字控制系统进
????
???????
???
????????
?
?
?
?
?
?
2.数学描述
(1)
(2)
来确定时刻的连续函数而脉冲强度则由
时刻存在的）的作用在于指出脉冲（
）（
，
，
）（
）（）（
，则可近似时且当
)nT(nT
,nTnTt
1dtnTt
nTt 0
nTt
nTt
nTt)nT(t
0h ThTh
00
00
0
0
0
0
0n
00
*
0
?
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?
?
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?????
?????
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??
?
?
(3)
§ 2 采样周期的选取
,,,;,;
,,
)]n[ j ()(j
)2T(T T
2,2
.
,2,2
s
*
T
1*
0m2
T
0
T
2
T
2
m
m
mm
m
m0
甚至不稳定降低系统的动态性能的误差
过长又有较大担将增加不必要的计算负但周期太短效果越好
控制了解得越多对系统控制过程的信息采样周期选得越小
有对
率连续信号频谱的上限频
恢复到原连续信号脉冲序列能无失真地再
则经采样得到的即等于如果采样角频率大于或
?
??
???
??
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?
n
s
s
?????
??
?
???
??
02s?? m??
|)(| ?? j
2s?
n?
?
一,采样定理 (Shannon)
二,采样周期的选取
控制过程 采样周期 (s)
流量 1
压力 5
液面 5
20
成分 20
温度
§ 3 信号保持
000
T
]1 ) T-(n[)(
s
sT-
H
s
0
*
0nTt
)1(nT,nT-t
)()( n T
e-1
( S )G
)()( n T
0,1,2,n )( n T)( n T( t )
s
s
s
0
Tnt
nT
s
nT
s
nT
s
s
????
???
?
??
???
?
?
?
????
???
???
??
?
t
)(tH?
)(t?
一,零阶保持器 (zero order holder)
二,一阶保持器
信号保持是指将离散信号 —— 脉冲序列转换成连
续信号的过程。用于这种转换的元件为保持器。
§ 4 Z变换
? ?
.Z,( 1 )
( 1 ) )()2()X ( TX ( 0 ) X ( Z )
,)ZX ( n T X ( Z )
)]([)]([
)]([)(,)( X ( Z )
)ZX ( n T X ( Z )
,ez
)eX ( n T( S ) X,
)nT-(t)X ( n T(t) X
0
2
0
1
0
0n
n-
0
*
**
0n
n-
0
ST
0n
SnT-
0
*
0n
00
*
0
0
变换则可求得时能写成闭式如果
展开有由
记为变换的即为脉冲序列
则引入变量
拉氏变换
?? ??????
?
??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
ZnTXZTXZ
ZXtXZtXZ
tXZZXZtX
?
一,Z变换 (Z-transforms)
(1) 级数求和
11
1
)(1,1
Z1
1)1 ( n )Z1 ( n T1 ( Z )
1
21-
0
0
n-
0
?
?
?
??
??????
??
?
??
?
?
?
Z
Z
Z
ZZ
ZZ
T
n
n
则若
而
??
00
00
000
0
1
aT1
221aT-
0
1
1
][,1e 1
e1
][
aTaT
aTaT
nnTaT
n
nan Tat
eZ
Z
Ze
eZZZe
ZeZeZ
ZeeZ
???
???
?????
?
?
???
?
?
?
???
??????
? ?
则即若
??
例 1.试求单位阶跃函数的 Z变换
例 2.试求取衰减的指数函数 e-at(a>)的 Z变换。
解,
解,
)(
][,][
)(
)(
)(),()(
1
1
1
0
0
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
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i
TS
i
TS
itStS
iSS
A
i
SS
A
i
i
ii
i
i
i
i
eZ
ZA
ZX
eZ
ZA
AeZeAL
SN
SM
SXSXtX
而而
的拉氏变换
(2) 部分分式法
r
ds
d
-as
)!1r(
1
r
r
ds
d
-as
)!13(
1
3
r
ds
d
-as
2
r
-as
1
as
b
)as(
b
)as(
b
s
a
)aS ( S
1
as)as(s
a
2
0s)as(s
a
1
as
a
s
a
)]as(s[
a
)aS)(S(Xl i mb
)aS)(S(Xl i mb
)aS)(S(Xl i mb
)aS)(S(Xl i mb
X ( S )
1)as(a
1sa
)S(X
1r
1r
13
13
r
1r
2
r
11
r
21
??
??
??
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??????
?????
???
???
?
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?
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?
?
?
?
?
?
???
???
??
??
?
?
部分分式分解公式
求得
解：
例 3.求取具有拉氏变换为 的连续函数 X(t)
的 Z变换。,
)(3,)(
解
变换的的连续函数求取具有拉氏变换为例 ZtXass a?
22
00
1
)(
1
1
1
1
2
1
1
11
ds
d
3
1
2
)(
1
2
1
0
)(
1
1
)()(
1
))(1(
)]1()-Z [ ( 1
X ( Z )
)(
( S ) X
a
)(a
a
)(
0
0000
0
22
0
0
0
2
22
2
2
22
3
2
21
2
aT
aTaTaTaT
Ze
Z
aeZ
ZeT
aZ
Z
a
aaa
a
ass
aas
aSS
a
s
aSS
as
a
as
a
s
a
aSS
eZZa
eaTeZeaTe
asass
as
s
sX
aTaT
aT
?
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??
????
?
???
?
?
?
??
???
????
??
????
??
?
例,求 X(s)= 的 Z变换。
,
)( 2)( 1
解
变换的求 ZSX aSS ??
解,
1ZTc o s2Z
TZ s i n
1Z
2
ee
2Z
j2
ee
Z
)e-Z)(e-(Z
ee-
j2
Z
]
e-Z
Z
-
e-Z
Z
[
j2
1
]tinZ [ s
j2
ee
tins
0
2
0
tjtj
2
TjTj
TjTj
TjTj
TjTj
tjtj
00
00
00
00
????
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?
?
?
?
?
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?
?
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?
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???
???
???
???
???
???
有
由欧拉公式
变换的计算 Zt?s in例
解：
]X ( S ))s-[ ( sl i m R
r)S(X
]) [ X ( S )s-(sl i mR
R,SS )S(X
R ])re s [ X ( Sx ( z)
),n,,2,1i(SX ( S ),x ( t )
0
ST1-r
1-r
i
0
ST
i
0
T
i
S
e-Z
Zr
i
ds
d
ss
- 1 ) !(r
1
e-Z
Z
i
ss
i
ii
n
1i
i
n
1i
eZ
Z
i
i
?
?
??
?
?
?
?
??
??
??
重极点时有当
为留数时具有一阶极点时当
则及全部极点已知 ?
)1(
T
l i m ][sl i m X ( Z )
1n0,s,2r
)}({)(
2
0
)e-(Z
.Ze-
0e-Z
Z
s
12
ds
d
0
- 1 ) !(2
1
i
1
20ST
0
0ST
0ST2
2
?
?
????
???
??
??
Z
Z
txLsx
T
ss
s
则
(3)留数计算法
例 4.试求 x(t)=t的变换。
解,
)()1(a
)]ee1()e1-K Z [ ( a T
)(
)( limR
])0([R
RRX ( Z )
2n 1r -aS
2r 0S
0
000
0
22
0
2
2
0
2
0
2
2
0
2
2
0
2
22
aT-
0
aT-aT-
0
a
k
)1(
)1(
a
k
21
a
k
)(
2
)1(
)1(
a
k
0
)(
2
)!12(
1
1
21
2
1
aT
ez
z
z
zaTz
ez
z
ez
z
ass
k
as
z
zaTz
s
ez
z
ass
k
ds
d
eZZ
aTZ
RRZX
as
s
aT
aT
aT
ST
?
??
???
?
??
??
?
???
?
??
?
??
????
?
????
?
??
?
??
??
???
??
?
?
?
例 5.试求取 X(s)=k/s2(s+a)的 Z变换。
解：
( Z )X( Z )X( t ) ]X( t ) Z [ X
aX ( Z )( t ) ] Z [ ax
2121
???
?
( Z )X( Z )X
Z)( n TXZ)( n TX
}Z)]( n TX)( n T{X( t ) ]X( t )Z [ X
a X ( Z )Z)X ( n TaZ)a X ( n TZ [ a X ( t ) ]
Z)X ( n T X ( Z ):
21
0n 0n
n
02
n
01
0n
n
020121
0n
n
0
0n
n
0
0n
n
0
??
??
???
???
?
? ?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
有由证明
X ( Z )Z)]kT-Z [ X ( t
,Z,)t(X,0t
k-
0 ?
? 则变换存在上其为零连续函数时设在
二,Z变换的基本定理
(1)线性定理
(2)实数位移定理
(a)迟后定理
证毕
变换定义由证明
)Z(XZ
]Z)nT(XZ)T(X)0(X[Z
)Z X ( n T)ZX ( TX ( 0 ) Z)]KT-Z [ X [ ( t
0)X ( - T]K ) T-X [ ( 1) X ( - k T
)Z X ( n T
)ZX ( TX ( 0 ) Z)Z- k TX ( T)X ( - k T
Z)kTnT(X)]kT-Z [ X ( t
Z:
k-
n
0
1
0
k-
)n(k-
0
1)(k-
0
k-
0
000
)n(k-
0
1)(k-
0
k--1
000
0n
n
000
?
??????
?????
????
???
?????
??
??
??
?
?
?
?
?
?
???
?
??
??
?
说明,(1)迟后定理说明,原函数在时域中延
迟 K个采样周期,相当于 Z变换乘以 Z-K。
(2)算子 Z-K的物理意义, Z-K代表迟后
环节,它把采样信号延迟 K个采样周期。
])1[(.,,,,,,
)2()()0()()]([ mk
.,,,,,,,,
)()0()()]2([ 2
)0()()]2([ 1
])()([
]}])1[(.,,,,,)()0(
])1[()(])1[(.,,,,,)()0({
.,,,,, ]])1[()([
.,,,,,)(.,,,,,,])2[(])1[()(
)()]kTZ [ X ( t:
0
0
2
0
1
0
0
22
0
0
1
0
0
)1(
0
1
0
.,.,,.)1(
00
)1(
0
1
0
!)(
00
00
2
0
1
00
00
0
0
TmZX
TXZTXZXZZXZmTtXZ
TZXXZZXZTtXZk
ZXZZXTtXZk
ZnTXZXZ
ZTkXZTXX
ZTKXZkTXZTkXZTXXZ
ZTkXZkTXZ
ZkTnTXZTkXZTkXkTX
ZkTnTX
mmmm
k
n
nk
k
kkkk
kkk
n
n
n
???
??????
?????
????
??
?????
????????
????
?????????
???
??
?
?
?
???
???????
????
???
?
?
?
?
?
时当
时
时
证明
])X( n-X( Z )[)]([ T 0
-1K
0n
0 ZZT
nkktXZ ?
?
???
(b)超前定理
1
1
1
1
1
0
)](1[)]T-Z [ 1 ( t
??
?
?
??
?
ZZ
ZZ
tZZ
? ?
0- a T
0- a T
0
.
0
e-Z
1
e-Z
Z-1
-1T-t-a
Z
]Z[Z]Z [ e
?
?
? ? aTe
例 1:用实数位移定理计算延迟一个采样周
期 T的单位阶跃函数的 Z变换。
例 2：计算延迟一个采样周期的指数函数 e-at的
变换。
解：
解：
)Z(Xlimx ( 0 )
,)Z(Xlim,)Z(XZ)t(x
)]z(x)1z[(lim)t(xlim
,
,1Z
),Z(XZ)t(X
z
z
1zt
??
??
???
?
??
?
则
存在并且变换为的设函数
则有无极点
在单位圆外的二重以上极点不含
变换为的设连续时间函数
(3)终值定理
(4)初值定理
1 1)-l i m ( Z
)()1l i m ()l i m e( n T
)2 0 8.04 1 6.0)(1(
0, 7 9 2 Z
0
2
2 ??
??
??? ZZZ
ZEZ
例 3:设 Z变换函数为,
使用终值定理确定 e(nT0)的终值。,)(
E ( Z )
::3
0
)208.0416.0)(1(
0, 7 9 2 Z
2
2
的终值使用终值定理确定
变换函数为设例
nTe
Z
ZZZ ????
解,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
???????
?
???
???
?
0n
0n
0n
00
*
0n
0n
n-
0
0n
n-
n
n-
n
2-
2
-1
10
1
n
n
1
10
m-
m
-1
10
)nT-(tC
)nT-(t)X ( n T( t )X
)nT(XC )ZX ( n TZ) X (
Z
ZCZCZCZCC X ( Z )
Z,
mn
ZaZaa
ZbZbb
Z) X (
则可求得
知
变换的定义由
的升幂排列得并按用分子除以分母
??
?
?
三,Z反变换 (inverse z-transfirms)
(1)长除法
.
),(
)4T-(t0, 9 3 7 5
)3T-(t0, 8 7 5)2T-(t0, 7 5)T-(t0, 5(t) X
(t)X,
0, 9 3 7 5) X ( 4 T0, 8 7 5)T X ( 3
0, 7 5) X ( 2 T0, 5) X ( T0( 0 ) X
9 3 7 5.08 7 5.075.00, 5 Z X ( Z )
8 7 5.075.00, 5 Z
0, 3 7 5-0, 8 7 5
3 7 5.01 2 5.175.0
25.075.0
25.075.00, 5 Z
0, 5 Z 0, 5 Z1, 5 Z-1,
Z) X (
0
0
000
*
*
00
00
4321-
321-
43
432
32
321-
1-2-1-
5.05.11
5.0
)5.05.1(
5.0
21
1
2
难一般表达式往往比较困
要写出函数值的时刻上的函数值长除法只能求出各采样
可写成由此
则有
长除法
nTX
ZZZ
ZZ
ZZ
ZZZ
ZZ
ZZ
ZZ
Z
ZZ
Z
?
?
?
??
??
???
??
???
?????
??
??
?
??
?
??
???
??
??
???
??
??
????
??
?
?
???例 6.试求取 的 Z反变换 X
+(t)。
,
)()(6,*)5.0-)(1( 5.0
解
反变换的试求取例 tXZZX ZZ Z??
解：
)t(X)t(X
)T(x
)z(x
*
转换成采样信号将
对应的时间函数查表求出展开式第一项
展开成部分分式将
? ? )(( t ) X
) X ( n T
X ( Z )
1-Z1)-(Z-Z
0
0
)-(1
1
-1- 1)(
*
)-(1
1
-1- 1)(0
1)-(1
1
- 1)(Z-1
1
-Z- 1)(
1
)-(1
1
2
-1
1
- 1)(
1
)1()(
1
Z
X ( Z )
22
n
22
n
222
22
2
nTt
n
n
n
Z
ZZZ
ZZ
????
???
???
???
?
?
?
?
?
??
?
?
???
?
???
?
????
???
?
(2)部分分式法
?
?
?
例,试求 的 Z反变换。
,
)(,
)()(
)(
)(
)2(
2)1)((
*
解
反变换的试求例
转换成采样信号③将
项对应的时间函数②查表求出展开式第一
展开成部分分式①将
部分分式法
ZZX
tXtX
Tx
zx
ZZ
Z
??? ?
解：
? ?
n
0
0
0
n*
n
0,5-Z
Z1-
0,5-Z
1
1-Z
Z
)5.0)(1(
5.0
5.0
2
)5.0)(1(
5.0
1
1
5.01)5.0)(1(
5.0
Z
X ( Z )
0, 5-1)X ( n T
)nT-(t)0, 5-(1( t )X
0, 5Z -X ( Z )
1)5.0-(lima
1)1-(lima
21
?
?
???
???
??
???
?
?
?
??
?
??
?
????
n
ZZ
Z
Z
ZZ
Z
Z
Z
a
Z
a
ZZ
Z
Z
?
例,试求 的 Z反变换。
反变换的试求例 Z)(,)5.0)(1( 5.0 ??? ZZ ZZX
解：
? ?
)nTt()nT(X( t ) X
Zr,l,Z
Z)Z(X)Z-(Z
dz
d
)!1r(
1
]r e s [ X ( Z ) Z
]r e s [ X ( Z ) Z)( n T X
0n
00
*
iii
ZZ
1nr
i
l
1i
1r
1r
i
-1n
-1n
0
i
i
i
i
?
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?
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?
?
???
?
?
?
则
的重复个数为重极点总数为为彼此不相等的极点
(3)留数计算法
? ?
)nT-(t
r)-(1
1
-
r-1
n
)1(
r
)nT-(t)(( t )X
r)-(1
1
-
r-1
n
)1(
r
)X ( n T
-
z
dz
d
)1(R
)1(
r)-(ZR
2,2,1,1,)(
0
0n
22
n
0
0
0
*
22
n
0
r)-(1
1
r-1
n
1z
n
1
1
)1)((
2
)!12(
1
2
2
1
1)-r)(Z-(Z
Z
1
2121
22
2
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r
nTX
r
rz
zz
r
r
Z
lrrZrZZX
n
z
n
zrz
z
dz
d
n
rZ
n
则
的极点为
解：
例,试求 的 Z反变换。
:
)(,2
)1)((
解
反变换的试求例 ZZX
ZrZ
Z
??
?
§ 5 差分方程及其 Z变换法求
解
)(])1[(.,,,,,,])1[(])[(
][])1[(.,,,,,,])1[(])[(
110
11
kTrbTkrbTmkrbTmkrb
kTyaTkyaTnkyaTnky
mm
nn
????????
???????
?
?
- K
r(t) e(t) y(t)1/S
( 3 ) k T r( k T )1 ) y ( k T )-( k t1 ) T ]y [ ( k
( 1 )( 2 )
.T
( 2 ) |l i m(t)y
,
( 1 ) r( t )kk y ( t )(t)y
k y ( t )-k r( r)k e ( t )t) y(
TT
)kt(y]T)1k[(y
T
)kt(y]t)1k[(y
0t
dt
d y ( t )
.
.
???
???
??
??
????
?
式有式代入将
为计算步长或采样周期式中
即近似用一阶前向差分方程来
即
很小
一离散系统的差分方程模型
例 1.右图所示的一阶系
统描述它的微分方程
为
y(t)KZ0H 1/S
r(t)
eh(t)
-
e(t)
( 4 ) k T r( k T )1 ) y ( k T )-( k T1 ) T ][ ( k y
1 ) T(kt
k T )-( t ) ( tke( k T )yy ( t )
,
T)1k(tkt
e ( k T )( t )e OHZ
.
h
h
???
??
??
???
?
时当
积分器的输出为在两相邻采样时刻之间
的输出为
在两相邻采样时刻之间
例 2.右图所示为采
样控制系统采样器
的采样周期为 T.试
求其差分方程。
解,
说明, (1)例 2图去掉 ZOH和采样起就是例 1
(2)离散系统的差分方程就是系统的近似离
散化模型
( 0 )x( z)Xz( z) X
( z)X( 0 )zx-( z)zX
1 ) T ][ ( kx( k T )x
T:
z,,,
s
12
1
1
211
12
-1
-1
??
?
??
?
是它的输入信号
秒或延迟一拍就样周期把输入信号延迟一个采单位延迟器
采用单位沿迟器在离散系统中应地相器件
方程的主要作为模拟连续系统微分连续系统采用积分器
r(kt)
KT
KT-1
y(kt)y(k+1)t
1?z
1?z
x1(kT)x2(kT)
x2(z) x1(z)
x1(0)
11?z
k T r ( k T ) )1 ) y ( k T )-- ( k T1 ) T ]y [ ( k
k T ( k T )1 ) y ( k T )-( k T1 ) T ]y [ ( k
???
???
二,离散系统差分方程的模拟图
例 3.画出例 2所示离散系统
的模拟图
.
,z,z
,z
各采样时刻的响应
求出反变换然后进行为变量的代数方程化为以
将差分方程变换的实数位移定理实质是应用
三 差分方程的解
例 4.用 Z变换法解二阶差分方程
y[(k+2)T]+3y[(k+1)T]+2y(kT)=1(kT)初始条
件为 y(0)=0,y(T)=1
kk
zyzkTy
zz
zzz
z
zY
z
z
z
z
z
zYzz
z
z
)2(3/2)1(2/16/1)](()(
]
2
3/2
1
2/1
1-z
1 / 6
z[]
1)-2 ) ( z3z(z
z
z[
)1)(23(
)(
11
)()23(
1
2 Y ( z)zy ( 0 ) ]-3 [ Y ( z)zy ( T ) ]-y ( 0 )z-Y ( z)[z
,z
1
2
2
2
2
2
22
??????
?
?
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???
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???
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???
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则有变换对所各差分方程求
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??
0
0
*
)(])2(3/2)1(2/16/1[
)()()(
n
kk
n
kTt
kTtkTyty
?
?
解,
,,,,,,4 T )-(t0, 2 4t T )-(t0, 7 6 3T)-(t
)(])6.0(8 7 5.1)4.0(4 2 9.14 4 6.0[y ( t )
)1, 8 7 5 ( - 0, 6-)1, 4 2 9 ( - 0, 40, 4 4 6y ( k T )
0, 6 )1, 8 7 5 / ( z-0, 4 )1, 4 2 9 / ( z1)-0, 4 4 6 / ( z
]
)6.0)4.0)(1(
[
)24.0)(1(0, 2 4zz
( z)z
Y ( z)
)()(24.0)0(z-zY ( z)zy ( T )-y ( 0 )z-Y ( z)z
0
kk
2
2
2
22
????
??????
??
????
???
?
???
?
??
?
?
???
?
?
?
???
?
k
kk
kTt
zazz
z
z
zzz
zU
zUzYy
例 5.求 y[(k+2)T]+y[(k+1)]+0.24y(kT)=u(kT)在单
位阶跃函数作用下的解。初始条件 y(0)=0,y(T)=1.
解,
§ 6 脉冲传递函数
,
)Z(GG)]S(GG[ZG ( Z )
( S )GG
( S )( S )GG( S )C
( S )( S )( S ) GGC ( S )
G ( Z )
21
*
21( Z )
( Z )C
*
21
( S )
( S )C
**
21
*
*
21
)Z(
)Z(C
(t)]Z[
(t)]Z [ C
*
*
*
*
*
???
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??
??
?
?
?
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G(S))(t?
)(*t?
T0 )(z?
c(t)
C(Z)
)(* tC
G1(S) G2(S)
)(* tC
C(t)
)(t?
T0
)(*t?
定义：输出脉冲序列的 Z变换与输入脉冲序列的 Z变换之比。
一,线性数字系统的开环脉冲传函
1.串联环节间无同步采样开关隔离时的脉冲传函
结论,没有采样开关隔离时两个线性环节串联,其脉
冲传函为这两个环节的传函相乘之积的 Z变换。
)()(
)()(
( S )( S )( S ) GG( S )C
( S )( S )G( S )M
( S )( S ) MG( S )C
( S )( S )GM ( S )
( S )( S ) MGC( S )
21( Z )
( Z )C
*
2
*
1
( S )
( S )C
**
1
*
2
*
**
1
*
**
2
*
*
1
*
2
*
*
ZGZG
SGSG
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?
?
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?
?
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?
?
G2(s)G1(s)T
0 C(t)
)(t? )(*t?
)(*tcm(t)
2.串联环节有同步采样开关时的脉冲传函
结论,有采样开关隔离时两个线性环节串联，其脉冲传
函为两个环节分别求 Z变换后的乘积。
可推广到 n个环节。
)e-1 ) ( Z-(Z
)e-Z ( 1
]Z[
( Z )GG(S)](S)GZ [ GG ( Z )
(S)]] Z [ GZ-[1(S)]ZZ [ G-(S)] Z [ G
](S)G-(S)Z [ G(S)](S)GZ [ GG ( Z )
(S)G-(S)G(S)G ) -(1(S)(S)GG(S)(S)GG
(S)G -1(S)G
)1()((S)(S)GG
(S)G
0
0
0
00
20
20
s
0
T-
s
0
T-
1 0 T-
1 0 T-
S
1
10,1 S
1
21
'
2
'
1
'
2
1-1-'
2
'
2
'
2
'
2
'
2
'
1
'
2
'
2
'
2
'
2
'
121
)('
2
'
1
)(
2
e-1
21
e-1
1
?
???
??
?
??
???
??
???
?
?
?
??
?
?
?
ST
STST
S
SGST
S
SGST
S
S
e
ee
e
eSG
令
G1(S) G2(S)
G2(s)零阶保持器
C(t))(t? )(
*t?
3.环节与零阶保持器串联时的脉冲传函零阶传函
解,
例 1.求右图所示的两个串联环节的脉冲传函,其中
)
0
10
)(1(
2
10
1-Z
Z
0
10
1 0 Z
]
1
[]
10, 1 S
1
Z[( Z )
2
( Z ) G
1
GG ( Z )
T
eZZ
Z
T
eZ
S
Z
?
??
?
?
?
?
?
?
??
)e-a( Z
e-1
]
S
) Z [Z-(1
]) Z [Z-(1
]Z[G ( Z )
0
0
S0-T
aT-
aT-
1
a
1
1-
a)S ( S
11-
1
S
e-1
?
?
??
?
??
?
?
aS
a
aS
G1(S) G2(S)
例 2.求右图所示二环节串联的脉冲传函,G1(s)G2(s)
同上。
例 3.设与零阶保持器串联的环节的传函为
G(S)=1/(S+1),试求脉冲传函
解,
解：
R(S) G
1(S)
H(S)
G2(S) C(S)
F(S) )(* SF
)(* SC
)(S?
Y(S) -
H ( Z )GG1
)Z(GG
R ( Z )
( Z )
21
H ( Z )GG1
1
R ( Z )
( Z )
**
21
**
*
21
*
21
21
21
21
( Z )( Z )GGC ( Z )
( S )H)G(G-( S )( S )
( S )( S ) H ( S )( S ) GG-R ( S )( S )
3
H ( S ) C ( S )Y ( S )
Y ( S )-R ( S )( S )
( S )( S )( S ) GGC ( S )
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
C
R
?
??
??
?
?
?
而
对上式采样得
式得由上
二,线性数字控制系统的闭环传函
例 1
H(S)
D(S) G(S)R(S) X(S) C(S))(S?-
)()(1
)()(
R ( Z )
C ( Z )
( S )( S ) DGH1
)()()(*
****
)()(1
( S )R*
*****
**
****
*
( S )C
( S )( S ) E( S ) DG( S )C
( S )E
( S )( S ) E( S ) DGH-( S )R( S )E
( S )( S ) EH ( S ) G ( S ) D-R ( S )E ( S )
H ( S ) C ( S )-R ( S )E ( S )
( S )( S ) ED( S )X ( S )D ( S ) EX ( S )
( S )G ( S ) XC ( S )
**
***
**
*
ZDZGH
ZGZD
SRSDSG
SDSGH
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
例 2.试求右图所示系统的闭环传函
解：
C(s)
)e-1 ) ( Z-(Z
21e
)1(
1
)Z-(1
)1(
1)1(
ZG ( Z )
)(1
)(
R ( z)
C ( z)
-1
1-1
2
-1
0
?
?
??
??
?
?
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?
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eZ
SS
Z
SSS
e
zG
zG
ST
12
11-
11-1-
11-
1-
11-
1-
1-1
21e
21e)e-- 1) ( Z(Z
21e
)e-- 1) ( Z(Z
21e
)e-- 1) ( Z(Z
21e
R ( Z )
C ( Z )
1
?
?
?
?
?
?
??
??
???
??
??
??
?
?
?
?
eZZ
eZ
eZ
eZ
eZ
eZ
S
e ST01 ? )1( 1?SS
R(s)
- 10 ?T
例 3.试求取如图所示线性数字系统的闭环传函
解,
§ 7 稳定性分析
故对应于单位圆的外部
平面的右半部对应时当
故对应于单位圆的内部
平面的左半部对应时当
平面的单位圆平面的虚轴对应因此
由
由当
当
而
1e|Z|
S 1
1e|Z|
S 1
ZS
- Z
1|Z| jS 0
TZ e|Z| eeZ jS
eZ
0
0
00
000
0
0
T
T
TT
0
TjTT
T
2
S
ST
??
??
??
??
????
???
?????
??????????
???
?
?
??
???
?
][S
][Z
一,S平面与 Z平面的映射关系
(1)
(2)
(3)
结论,S平面的稳定区域在 Z平面上的影象是单位圆内部区域
系统是稳定的
部特征根的模小于
或全平面的单位圆内于系统特征方程的根均位充要条件是
定的则线性数字控制系统稳设特征方程的根为
方程为由此得闭环系统的特征
17 9 5.06 1 8.05.0|||Z|
6 1 8.05.05 2 8.15.05.0
2
6 3 2.0411
Z
1.
,:
,Z,Z,Z
0)(1
22
21
1,2
n21
21
)(1
)(
R ( Z )
C ( Z )
21
21
?
?????
?????
???
?
??
?
?
Z
j
Z
ZHGG
ZHGG
ZGG
?
H(S)
G1(S) G2(S) C(S)R(S) -Y(S)
二,线性数字系统稳定的充要条件
例 1.试分析特征方程为 Z2-Z+0.632=0的系统的稳定性,
解,
.
0)(,
0D ( Z )
:,
,,
1
1
定性判据判别采样系统的稳应用
整理后得变换进行
程求出采样系统的特征方
其步骤如下判据既可用
变换后进行征方程代入闭环采样系统的特令
R o u t h
D
R o u t h
ZZ
?
?
?
?
?
??
?
?
,
40
0 18-
40 2
2 1
04022,
039)(119)(117)45(
Z
0
1
2
3
23
1
12
1
13
1
1
1
1
有两根在单位圆外系统不稳定
整理得
得令
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
三,Routh稳定判据
例 1.设闭环采样系统的特征方程为 D(Z)=45Z3-
117Z2-39=0判断其稳定性,
解,
(1)
(2)
(3)
r(t)
-
T
Se
TS??1 )05.01)(1.01(
2 ssS ??
? ?
? ?
? ?
0 0, 3 4
0 1, 4 3
0, 3 4 3, 6 8
1, 6 5 2, 3 3
034.065.168.32, 3 3
0,G ( Z )1
3.0
)Z-(1
)ZZ-(1G ( Z )
G ( S )
0
1
2
3
23
0 1 8 5.0
)1(1.0
1 3 5.0
)1(4.0
1-Z
0, 4
1.04.0
1
3.0
1)-(Z
2 T Z
1-
20
1.0
10
4.03.0
S
2
1-
)20)(10(
)e-4 0 0 ( 1
)05.01)(1.01(
)e-2 ( 1
20102
2
2
TS-
2
- T S
系统是稳定的
则
?
????
??
????
????
????
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
??
??
?
?
?
?
???
Z
Z
Z
Z
eZ
Z
eZ
Z
Z
Z
SSS
SSS
SSS
TT
例 2.判断如图所示系统的稳定性,采样周期 T=0.2(秒 )
解,
-R(S) G(S)
C(S)
T
1 7, 3K0,
00, 1 5 8 K-2, 7 3 6,00, 1 5 8 K
0, 1 5 8 K-2, 7 3 6
0 1, 2 6 4
0, 1 5 8 K-2, 7 3 6 0, 1 5 8 K
0)K1 5 8.07 3 6.2(2 6 4.10, 1 5 8 K
1)-(
0K1 5 8.00, 3 6 8 )-1 ) (-(
Z
0Z)3 6 8.01(0, 3 6 8 )-1 ) ( Z-(Z
0Z)e1()eZ1 ) (-(ZG ( Z )1
Z)e1()eZ)(1Z(
Z)e1(
]-Z[
][Z)Z(G
11
1
0
1
11
2
1
2
1
2
-1
1
1-1
1
-1
1
-1
1
4
K
T4
4
KT4
T4
4
KT4
T4
4
K
)Z(G1
)Z(G
R ( Z )
C ( Z )
)eZ)(1Z(
Z)e1(
4
K
KS
1
S
1
4
K
)4S(S
K
1
010
010
01
0
T4
0
T4
11
1
??
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?
?
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??
?
?
?
?
?
解得
并整理得两边同乘以
代入上式得令
则
例 3.设采样系统的方框图如图所示,其中
采样周期 T=0.25S,求能使系统稳定的 K1值范围
:
,25.0
,)(,3
1
)4(
1
解
值范围求能使系统稳定的
采样周期其中图所示设采样系统的方框图如例
KST
SG SS K
?
? ?
解,
§ 8 采样系统动态特性的分析
速度误差系数
或位置误差系数
即
),Z(G)1Z(l i mK
l i m
)Z(G1
)1Z(
l i me
R ( Z )t,r( t )
G ( Z ) ][1l i mK,G ( Z )l i mK
l i ml i me
R ( Z )
,
l i me
E ( Z )
)z(E)1z(l i m)t(el i me
1z
v
K
T
)Z(G)1Z(
T
1z
- 1 )(Z
ZT
1z
ss
- 1 )(Z
ZT
1z
P
1z
P
K1
1
)Z(G1
1
1z
)Z(G1
)1Z(
1z
ss
1Z
Z
)Z(G1
)Z(R)1Z(
1z
ss
)Z(G1
)Z(R
1z
ss
t
ss
v
00
2
0
2
0
P
1Z
Z
??
??
?
?
?
??
???
???
?
?
?
???
?
?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
-R(S)
C(S)
G(S)E(S)T
三,稳态误差计算
(1)输入信号为单位节约函数 r(t)=1(t)
(2)输入信号为单位斜坡函数
)Z(G)1Z(l i mK
l i m
)Z(G1
)1z(
l i me
R ( Z )
t)t(r,
2
1z
a
K
T
)Z(G)1Z(
T
1z
)1Z(2
1)Z ( ZT
1z
ss
)1Z(2
1)Z ( ZT
2
2
1
a
2
0
2
2
0
3
2
0
3
2
0
??
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
时即
0型系统
1型系统
3型系统
2型系统
系统类型
稳态误差终值 输
入 r(t)=1(t) r(t)=t 221)( ttr ?
? ?
?0
0
0
0
00
pk?1
1
vk
T0
ak
T20
(3)输入信号为单位抛物线信号
Se ST01 ?? )( aSS K?
)(E ( Z )
e
0)()1(limK
83.0e
)()1(limK
0e )(limK
)(
6 3 2.0
0, 3 6 81, 3 6 8 Z-Z
ss
2
1
a
7 3 2.0
6 2 3.0
ss
6 2 3.0
7 3 2.0
1
v
1
1
ss
1
P
)3 6 8.0)(1(
2 6 4.03 6 8.0
2
2
2
0
0
ZR
ZGZ
ZGZ
ZG
ZG
ZZ
K
T
z
K
T
z
K
z
ZZ
Z
a
v
P
??
?
?
?
?
?
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?
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???
???
???
???
?????
?
例 1.右图所示系统中的
参数 a=1,k=1,T0=1,试
求在 r(t)=1(t),r(t)=t
及 r(t)=t2/2时的稳态
误差,
解,
§ 9 线性离散系统的数字校正
D ( Z ) D ( Z ),
)()(1
1
R ( Z )
( Z )
( Z )
)()(1
)()(
R ( Z )
C ( Z )
( Z )
)()(
)(-1
( Z ) ]-G ( Z ) [ 1
( Z )
e
e
ZZG
Z
e
ZGZDZGZD
ZGZD
?
?
?
?
??
?
???
?
???
得
?
R(S) G(S)D(Z)
-
散系统或数字系统。完全跟踪控制信号的离
从而内结束响应过程且能在有限个采样周期响应误差
在各采样时刻上无稳态在典型控制信号下最小拍系统
,,
.:
一,数字控制器的脉冲传函
二,最小拍系统的脉冲传函
Z-1
ZA
ZR
Z-12
Z1ZT
]
2
t
Z [
Z-1
ZT
Z [ t ]
Z-1
1
]tZ [ 1
1-
31-
1-1-2
0
2
21-
1-
0
1-
?
）（
）（
）（
可写成由此可见，其一般形式
）（
）（
）（
）（
?
?
?
?
?
1.G(Z)的零极点均位于单位圆内几种典型输入
信号的 Z变换分别为,
即可。式中取在项数最少所含
及为满足要求需使由以上二式可看出
或
对单位反馈系统有
设因子具有
因此要求有根据最小拍的定义
1 )(( 3 ),
)()(,
)()](1[C ( Z )
)()( C ( Z )
)(1)(
( 3 ) )()1()(
,)1()(
,0)(,
)1(
)(
)()1(lim
)()()1(lim)(
1
1
1
1
1
1
1
1
?
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???
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????
????
??
??
?
???
????
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?
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ZZ
ZZ
ZRZ
ZRZ
ZZ
ZZZ
ZZ
e
Z
ZA
ZZ
ZRZZe
e
e
e
e
e
ss
e
z
e
z
ss
?
?
?
?
?
上述输入系统只需一拍完全跟踪
）（）（）（）（
）式得）、（）、（由（
）（
）（）（
，则，）（
）（
??
??
?????
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???
??
???????
?
???
n-2-1-
1-
11-
21
1-
ZZ Z
ZZA-ZRZC
631
Z-1Z
Z-1-1Z
11ZA
1
Z-1
1
ZR
?
?
e
n
Z
ZZZ
t
C*(t)
T0 2T0 5T0
2.典型控制信号作用下的脉冲传函
(1) 当 r(t)=1(t)时
两拍跟踪上输入
这里
TT3T2
1TTT2T
( Z )A ( Z )-R( Z )C( Z )
2)1(1)(
21)1()(
2 T)(
TT2T
)1(
T
R( Z )
0
3
0
2
0
00
2
0
1
0
2121
2121
e
1
0
0
2
0
1
021
1
0
??
??
??
?????
???????
?
??????
??????
??
?????
?
?
???
???
???
???
?
???
?
?
n
n
n
ZnZZ
ZZnZZ
ZZZZ
ZZZZ
ZZA
ZnZZ
Z
Z
?
?
T0 4T0 t
C*(t)
(2) 当 r(t)=t时
三拍时跟踪上输入
取
?
?
????
??
???????
???????
????
?????
?
?
?
???
????
????
??
????
?
??
42
0
32
0
22
0
32131
32131
e
22
0
12
0
42
0
32
0
22
0
12
0
31
112
0
T8T5.41, 5 T
)()()()(
33)1(1)(
331)1()(
1( Z ) 3 0, 5 T0, 5 T)(
T8T5.4T20, 5 T
)1(2
)1(T
R( Z )
ZZZ
ZZAZRZC
ZZZZZ
ZZZZZ
ZZZA
ZZZZ
Z
ZZ
?
??
T0 3T0 t
C*(t)(3) 当 r(t)=t2/2时
)(
1
)1(
33
)1)((
)331(-1
D ( Z )
)1()(,
2
)(
)(
1
)1(
2
)1)((
)21(-1
D ( Z )
)1()(,)(
)(
1
1)1)((
)1(-1
D ( Z )
1)( )(1)(
)()(
)(-1
D ( Z )
21
321
31
321
31
e
2
21
21
21
21
21
e
1
1
21
1
1
e
e
e
ZGZ
ZZZ
ZZG
ZZZ
ZZ
t
tr
ZGZ
ZZ
ZZG
ZZ
ZZttr
ZGZ
Z
ZZG
Z
ZZttr
ZZG
Z
?
???
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???
?
?
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????
?
?
?
?
??
?
????
?
?
?
?
?
????
?
?
?
时当
时当
时当
3.数字控制器的脉冲传函
典型输入 调整时间闭环脉冲传递函数
r(t) R(z)
1(t)
)(Ze? )(Z?
st
11
1
??Z
11 ?? Z 1?Z
0T
t
21
1
0
)1( ?
?
? Z
ZT 21 )1( ?? Z 2T0
3T0
212 ?? ? ZZ
2
2
0t
31
112
0
)1(2
)1(
?
??
?
?
Z
ZZT 31 )1( ?? Z 321 33 ??? ?? ZZZ
rmlnlnqlmp
lnrmZD
mnZZGlr
azazaz
pp
pp
???????
??
?
?
????
????
?
?
?
故有即式
次多项分子为次多项式的分母为则项式
次多分子为次多项式的的分母为当然有
应具有如下要求为了工程上可实现
,,,
,)(,
,)(,
p)(q
bzbzbzb
D ( Z )
D ( Z ),
1
1
1
q1-q
1-q
1
q
0
?
?
4.G(Z)有单位圆外零极点时
(1)D(Z)须具有有理分式
(2)D(Z)须是一个稳定的装置其极点须都在单位
圆内
(3)设 Φ(Z)的分母是 Z的 r次多项式,分之为 Z的 l
次多项式
样周期内完成过渡过程可在有限个采就只有有限项了
则其余各项均为零的分母只有若取
过程为无穷长这表明系统的脉冲响应
可展开成无穷多项输出在单位脉冲信号作用下
可以表示成设
抵消
相应的零点来靠含有非单位圆内的零点
如对象但一般情况下我们不用零点来抵消
相应的或就只有靠有非单位圆内的极点
含如对象的极点也须在单位圆内所以定
且闭环系统须稳的极点须在单位圆内根据
,
C ( Z )
,,)(
ggC ( Z )
)(,
)(
)(
.
)(,)(
).(,
)()(,
)(,( Z ),
,D ( Z )( 2 ),
1
10
1
21
1
1
1
1
1
10
r
l
rlrl
r
rlrl
rr
rr
ll
ll
e
ZZZ
ZZ
ZZ
ZC
rl
ZZZ
ZZZ
Z
Z
ZZG
ZD
ZZD
ZG
????
???
?
?
?
?
????
?
????
?
????
????
??
?
?
?
?
???
???
????
?
?
?
?
(4) Φ(Z)=D(Z)G(Z)Φe(Z)
)( ( * ),)(
31,2 ( * )
Z
)()1(
)(
,0,)1(
,)4(),3()(
)()()1-(lim)()1-(lime
1)-(Z
A ( Z )
R ( Z )
)(,,
11
ss
应具有的结构形式
式即为最小拍系统的阶次不大于且
或取
则要使因子相应的
还含有的约束外除了满足上面可见
由于
的统一式为单位加速度单位斜坡对于单位阶跃
ZlrZ
ZZ
Z
eZ
Z
ZZRzzEz
ZR
e
e
SS
e
e
zz
??
?
??
??
?
???
?
??
?
?
?
?
?
?
?
Z0H G(S)
应有一个圆上极点应有一个圆外零点
根据这些知点它有一个单位圆外的零可知从
至少应为
的分母分子次数差可见
)(,)(
,,)(
1
)(1,3,2
)0 1 8.0)(1 3 5.0)(1(
1, 1 8 )0, 0 4 7 ) ( Z7, 3 2 ( Z
)105.0)(11.0(
1 0 01
)(
2.0
ZZ
ZG
lr
Zmnnm
ZZZ
SSS
e
ZZG
e
S
??
?
?????
???
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
例,右图所示系统,
其中采样周期 T=0.2S,
Gn(S)=(1-e-0.2S)/S,
G(S)=100/S(0.1S+1)(0.05S+1)要求在单位
阶跃输入下实现最小拍响应,试求 D(Z)
解,
两拍后完全跟踪输入
解得利用
即选分母为
则由的分子为设根据这些约束
?????
??
??
?????
?????
??
??
?
??
?
??
??
?
?
?
??
??
?
?
???
321-
5 4 1.04 5 9.0
D ( Z ) G ( Z )1
D ( Z ) G ( Z )
)5 4 1.0)(0 4 7.0(
)0 1 8.0)(1 3 5.0(0 6 3.0
( Z )G ( Z )
( Z )
)5 4 1.0)(11, 1 8 )0, 4 5 9 ( Z
22
2
0, 4 5 9 Z
)(C( Z )
D ( Z )
( Z ) ( Z )
0, 5 4 10, 4 5 9,k( Z ),-1 ( Z )
)(1
( Z )
181
( Z )
,,
181( Z ),
23
2
22
ZZ
ZR
Z
)Z(Z
Z
).k ( Z
Zn - mr - l
),.k ( Z
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
Z
Z(Z
e
Z
e
e
e
?
?
