第四章 根轨迹法
§ 1 反馈系统的根轨迹
) (
,
.1
l o c u sr o o tS 轨迹。平面内变化的轨迹称根式的根在
闭环系统特征方程到无穷变化时开环系统某一参数从零
根轨迹的概念
C(s)R(s)
)15.0( ?SS K
2k-1 --1s
2k-1-1s,
02k2ss
22ss
2k
)(
)(
( s )
)2(
2
)(,
2
1
2
2
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???
??
???
?
?
两闭环极点为
系统的特征方程为
该系统的闭环传函为
图所示设有一单位反馈系统如例
ksR
sC
ss
k
SG
,k
,1-2kj-1 s 1/2k
-1s 1/2k
,s 210
2s 0s 0k
:0
1,2
21
21
21
沿上述直线趋于无穷远时
上位于垂直与实轴的直线
实部相同时
时
均为负实数时
同闭环极点与开环极点相时
极点分布的影响到无穷变化对系统闭环从下面分析参数
??
???
???
??
????
s
sk
k
-2 0
??K
??K
2k-1 --1s
2k-1-1s
2
1
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0, 5k
0, 5k
0, 5k0,
,,,
k
,,
2.
?
?
??
欠阻尼
临界阻尼
过阻尼动态性能
数确定对应的静态误差系
同时可以确定系统的型别根据坐标原点的根数稳态性能
即为临界增益
与虚轴交点处的右半平面根轨迹若越过虚轴进入稳定性
根轨迹与系统性能
s
)()(
)()(
( S )
kkk lfm hqn
)()(
)()(
KG ( S ) H ( S )
)(
)(
KH ( S )
)(
)(
KG ( S )
( S )
.3
11
11
HG
11
11
1
1
H
1
1
G
G ( S ) H ( S )1
G ( S )
j
m
j
i
n
i
j
h
j
i
f
i
G
j
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j
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q
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j
h
j
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i
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PSZS
K
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ZS
PS
ZS
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??
??
?
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??
??
??
?
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?
则
一般开环传函可以写成
函为如图所示系统的闭环传
点之间的关系闭环零极点与开环零极
G(s) C(s)R(s)
H(s)
,
,
,
,( 3 )
,;
( 2 )
,
,;
,( 1 )
:
找出闭环极点方法
通过图解的点的分布及根轨迹增益如何由已知的开环零极
迹法的基本任务根轨
益均有关开环极点以及根轨迹增闭环极点与开环零点
零点
闭环零点就是开环对于单位反馈系统的极点所组成函传
馈通路路传递函数的零点和反闭环零点由开环前向通
统根轨迹的增益环系
就等于开闭环系统根轨迹的增益对于单位反馈系统增益
根轨迹等于开环系统前向通道闭环系统根轨迹增益
结论
??
??
?
?
????
??
??
?
??????
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???
?
???
n
1
i
m
1
i
1
m
1
21
m21
)p-(s-)z-(sG ( s ) H ( s )
||
||K
|G ( s ) H ( s )|
)2,1,0,(i 3 6 01 8 0G ( s ) H ( s )
1|G ( s ) H ( s )|
)())((
)z-(s)z-) ( sz-K ( s
G ( s ) H ( s )
-1G ( s ) H ( s ) 0( s ) H ( s ) 1
,
.4
ii
i
n
i
i
i
n
ps
zs
i
pspsps
G
相角条件
幅值条件
的集合根轨迹是所有闭环极点
根轨迹方程
?
?
?
??
§ 2 绘制根轨迹的基本规则
)1,,1,0(
12
,
,
,4
,
3,
2,
1,
80.1
a
1 1
a
???
?
?
?
?
?
?
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? ?
mnl
mn
l
mn
ZP
n
i
m
i
ii
?
?
??
?
渐近线与实轴的交角
渐近线与实轴的交点
根轨迹的渐近线
远点终止于开环零点或无穷根轨迹起始于开环极点
根轨迹的起点与终点
于实轴的曲线根轨迹是连续的且对称
性根轨迹的连续性与对称
程的阶数环极点数或等于特征方根轨迹的分支数等于闭
根轨迹分支数
根轨迹的绘制规则一
,
G (S )
.
)22)(4(
1)K ( S
2
解
确定根轨迹的有关数据试根据目前所知的法则
为设控制系统的开环传函例
???
?
?
SSSS
)2( 3 0 0
)1( 1 8 0
)0( 60
67.1
14
)1()1()1()4(0
,3m-( 3 ) n
( 2 )
1Z
j--1P j,-1P - 4,P 0,P ( 1 )
3
5
)12(
a
3
3
)12(
a
3
1
)12(
a
a
1
4321
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????
????
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?????
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l
l
l
jj
mn
l
mn
l
mn
l
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??
??
?
?
?
?
与实轴的交角为
为其渐近线与实轴的交点条根轨迹终止于无穷远
实轴有四条根轨迹且对称于
和无穷远终止于
根轨迹起始于
?
?
?
-4 -3 -2 -1
?
0
ds
dk
0
ds
d
)(.6
,
.5
)(
)(
1
1
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?S
ZS
PS
i
m
i
i
n
i
分离点与会合点根轨迹与实轴的交点
则该区域必是根轨迹
数之和为奇数若其右边开环零极点个实轴上的某一区域
实轴上的根轨迹
)(5 7 7.1 4 2 3.0
0263
0)]2)(1([
3 0 0,1 8 0,60 1,
,
)2)(1(
)()(.
21
2
ds
d
aa
舍
解
试画出其根轨迹
传函为已知某负反馈系统开环例
????
???
???
???
??
?
?
??
??
??
?s
sss
SSS
k
SHSG
???
)(5 7 7.1 4 2 3.0
0263
0)]2)(1([
3 0 0,1 8 0,60 1,
,
)2)(1(
)()(.
21
2
ds
d
aa
舍
解
试画出其根轨迹
传函为已知某负反馈系统开环例
????
???
???
???
??
?
?
??
??
??
?s
sss
SSS
k
SHSG
???
??
-2 -1
? 0
6K ( r a d / S ) 2 0
02- 0k3-
0kj23-j-
,
( 2 )
K 0)]) H ( jG ( jI m [ 1
0,)]) H ( jG ( jR e [ 1
0)) H ( jG ( j1
0)()(1( 1 )
.7
C2,31
32
23
c
????
????
???
??
??
??
???
??
???
???
???
??
??
?
由此解得
交点可求得根轨迹与虚轴的接上例
判据应用
及解得
令
得代入把
根轨迹与虚轴的交点
R o u t h
sHsGjs
??
??
?
??
?
??
???????
????????
m
lj
j
jl
n
j
jl
n
lj
j
jl
m
j
jl
ZZPZ
PPZP
11
Zl
11
Pl
)()(180
)()(180
:
:
8.
?
?
?
?
与实轴正方向的夹角
点处的切线方向根轨迹进入开环复数零入射角
与实轴正方向的夹角
点处的切线方向根轨迹离开开环复数极出射角
角根轨迹的出射角与入射
?
?
?
∠ （ p1-p2）
∠ （ p1-z1） ∠ （ p1-p3）
θp1
A
z1 p3
p2
p1
)()()()3 6 01 8 0(
3 6 01 8 0)()()(
312111
00
1
00
3121111
ppppzpi
ippppzp
p
p
????????????
???????????
?
?
,
G (S )
.
)5.15.0)(5.15.0)(5.2(
j)-2j ) ( S21, 5 ) ( SK ( S
解
迹试绘制系统的概略根轨
设系统开环传函为例
jSjSSS ?????
????
?
????????
????????
?
5.149117-90-1211991535.63180
7937-90-1 0 8, 5-59195 6,5-180
,( 4 )
( 3 )
180 ( 2 )
][ - 2, 5,- [ 0,- 1, 5 ]
- 2,5p j 1, 5- 0,5p j 1, 5-- 0,5p 0p ( 1 )
z1
p2
4321
??????
????
?
?????
?
?
入射角出射角
无分离点
一条渐近线
实轴上的根轨迹
起始点
??
?
?
-1-2
θ1=108.5°
90°59 °
37 °
19 °
56.5 °
???????? 7937905.1 0 859195.561 8 0
2 ????????p?
?
?
? ?
90 ° 121 °
153 °
199 °
63.5 ° 117 °
???????? 5.149117901211991535.631801 ????????z?
??
-2
?
?
0
n
1
i
0
1i
-1n
n
1i
i
n21
n21
01
-1n
-1n
n
0,s
a)( -as
,
0)s-(s)s-)(ss-(s
,s,,s,s
0asasas
.9
as
s
i
i
i
n
???
????
?
?????
?
?
?
?
故有对于稳定系统
有关系由代数方程根与系数的
则有设根为
闭环极点的和与积
?
?
?
322j-3s-s--3s
-3s
02s3ss
0G ( s ) H ( s )1,
..2
)2)(1(
)()(.
213
321
23
32,1
???????
???
????
??
??
??
?
j
ss
k
sjs
sss
k
sHsG
解
三闭环极点试确定这种情况下的第闭环极点
的两个的根轨迹与虚轴相交时已知系统例
:
,
G(S)H(S)
1.
.
K
.10
20)4S4 ) ( SS ( S
K
||||||
||||||
2
21
21
解
的草图试绘制该系统的根轨迹
传函为已知负反馈系统的开环例
根轨迹的绘制二
开环增益的求取
???
???
???
?
?
mlll
nlll
ZSZSZS
PSPSPS
l ?
?
)45(315 3
)135(225 2
135 1
45 0
2
( 3 )
[ 0,- 4 ] ( 2 )
j4--2Pj 4,-2P- 4,P0,P( 1 )
4
7
a
4
5
a
4
3
a
4a
4
)12(
a
4
224
a
4321
??
??
?
?
????
????
???
???
?
???
?????
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
l
l
l
l
l
渐近线
实轴上的根轨迹
开环极点为
0-4
p1p2
p3
p4
A
10jS 02 6 02 6 S
2 6 0k 0
k S
0 S
k 26 S
0 80 8 S
k 36 1 S
0k8 0 S3 6 S8SS
)6(
90
9090)1 8 0(1 8 0
( 5 )
j 2, 5--2s j 2, 5-2s -2s
0201 8 s6ss
0)]204)(4([
)()4(
2
26
8k-8026
0
26
8k-8026
1
2
3
4
234
p4
2
4
1
2
4
1
p3
321
23
2
ds
d
????
??
?????
??
???????
????
????
????
?
?
??
得
根轨迹与虚轴的交点
出射角
解得
的分离点与实轴交点根轨迹
?
????
?
? tgtg
ssss
1006, 2 5 )(46, 51, 5
5.225.22)5.24()5.24(K
)7(
2222
A
?????
??????
点的增益A
8, 1 6k
1, 1 j( 4 )
- 7 1, 6( 3 )
- 2, 3
( 2 )
135,45
25.1 ( 1 )
c
pi
a
a
?
??
?
?
???
??
?
?
?
?
?
?
??
分离点
-3 -2.5
:
2)2S3) ( SS ( S
G ( S ) H ( S ) 2.
2
解
例
???
?
K
高阶系统的试差求解
0 24 11 1
24- 11- 1-
1, 5 2 5, 0 1 1 1, 1 1
1- 96.0
25
24
- 2 2, 5- 9, 9 9- 0, 9-
5, 0 3 2 7, 1 1 1, 3 1
0, 9- 88.0
2 7, 1
24
- 1 8, 9 7- 7, 9 1- 0, 7-
0, 7- 7.0
35
24
- 24 35 12 1
0243512
23
?
???
???
??
????
取
取
取
sss
? ?
? ?
?
?? ??
???
?
?
?
?
?
?
???
??
§ 3 广义根轨迹
,,
2.
1)-m-n,0,1,(
1.
:,
,1 8 0
i 3 6 00G ( S ) H ( S )
1|G ( S ) H ( S )|
1G ( S ) H ( S ) 0G ( S ) H ( S )-1
.
2
a
则该区域为根轨迹极点为偶数某一区域若其右侧的零
实轴上的根轨迹
渐近线与实轴的交角
现说明如下改相关的一些规则需作修
只是与相角条件根轨迹的绘制基本相同零度根轨迹的绘制与
分别为故幅值条件和相角条件
对于正反馈系统
零度根轨迹一
?
?
??
??
???
?
??
?
l
mn
l ?
?
.K,
G ( S ) H ( S )
.
0]G ( j w ) H ( j w )-I m [ 1
0]G ( j w ) H ( j w )-R e [ 1
.4
)()(0
)()(0
.3
C
)22)(3(
2)K ( S
11
zl
11
pl
2
确定临界增益图试绘制该系统的根轨迹
传函为设某正反馈系统的开环例
根轨迹与虚轴的交点
入射角与出射角
???
?
?
??
?
??
?
?
?
???????
???????
??
??
SSS
m
lj
j
jl
n
j
jl
n
lj
j
jl
m
j
jl
ZZPZ
PPZP
?
?
?
?
.0
1G ( S ) H ( S )
0)()(1,:
)22)(3(
2)k ( S
2
根轨迹的规则来绘制因此需按
这样根轨迹方程为
则有因给定系统为正反馈解
?
??
??
???
?
SSS
SHSG
3k0 3k
6.71
6.716.269045900
( 4 )
- 0, 8s 0223 6 s2 1 s4s
0][
( 3 )
1 8 0,0
1,0 ( 2 )
-2Z
j--1pj,-1p- 3,p
1m3,n )1(
c|)2(0|
|( - 3 )-0||j)-(-1-0||j)(-1-0|
c
p3
2
1
1
1
p2
23
)2(
)22)(3(
ds
d
aa
2
2
a
1
321
2
????
??
?????????
?????
?
?
??
?
????
??
??
?
??
???
临界增益
出射角
根轨迹与实轴交点
无需计算
渐近线
开环零点
开环极点
?
??????
?
?
?
??
?
?
a r ct ga r ct g
l
ass
sss
l
-3 -2 -1
p2
p3
k1p1 Kc=3
,
,
)164(
3)2S-k ( - S
G ( S ) H ( S )
.
)(S,
,
.
2
2
解
图试绘制该系统的根轨迹
开环传递函数为设某非最小相位系统的例
零点或极点和平面的右半部具有开环非最小相位系统
平面的左半部点均位于反馈系统的全部开环极最小相位系统
迹非最小相位系统的根轨二
??
?
?
SSS
S
3, 0 7k,3, 1 4 0k 0,
3.5 3.5
3, 6 0
2
1Z -3Z 3j2-2P 0P
1
)164(
3)-2Sk ( S
,
1
)164(
3)2S-k ( - S
3,21
P3P2
a
2121
2
2
2
2
?????
????
???
?
?
?????
?
??
?
??
??
?
??
??
?
?
?
?
mn
l
SSS
SSS
标准化处理为
-1)()(
0)()(1
2,
)()(1
)(
R ( S )
C ( S )
,
)(
)(
( S )X
( S )X
)-(tX( t ) X
.,
,)()(,
1,
.
1
1
1
2
12
12
?
??
?
?
??
?
?
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?
?
?
S
S
S
s
S
S
eSHSG
eSHSG
eSHSG
eSG
e
SX
eSX
tXtX
?
?
?
?
?
?
?
?
?
根轨迹方程为
特征方程为
时滞系统的根轨迹
为时滞系统包含时滞环节的系统称时滞系统
为时滞这种环节称为时滞环节
滞后一定时间比其输入信号输出信号时滞环节
时滞系统
时滞系统的根轨迹三
X2(t)
X1(t)
?
C(S)G(S)
H(S)
R(S)
- se ??
1 8 0
-1,
,
G ( S ) H ( S ) e
.
3.573 6 01 8 0)P-(S-)Z-(S
)(3.57)(e
ee
3 6 01 8 0e)P-(S -)Z-(S
)j(S 1e
1
ke
1
s-
m
1
n
1
ii
s-
j)j(-s-
m
1
n
1
s-
ii
-
s-
1
1
根轨迹绘制故按
根轨迹方程为解
迹草图试绘制时滞系统的根轨
开环传函为设某负反馈时滞系统的例
故有
相角条件
幅值条件
?
??
?
??
?
?
?????
?????
??
??????
???
?
?
? ?
???
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S
S
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s
i
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i
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m
i
i
r a d
ee
i
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?
?
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????????
?
??
??
????
??
分支复平面内的完整根轨迹
按上述方法可绘制在区间内选取一系列值，／在虚轴０－
即满足便是满足相角条件的点两直线的交点直线
的角为做一条与实轴正方向夹过开环极点
做实轴的平行线并过点在虚轴上选一点
相角条件的点现在在复平面寻找满足
则相角条件写成令
复平面上的根轨迹
根轨迹的相角条件相同故与绘制
所以相角条件变为在实轴上由于
实轴上的根轨迹
??
????
??
??
???
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????
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?
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c,
3.571 8 0)1(
,,
3.571 8 01b,
),0(,,a,
jS
5 7, 31 8 05 7, 31 8 01)(s
5 7, 31 8 01)(s-,,0
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1 8 0
i 3 6 01 8 01S-
,0
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111
111
11
11
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P
j
i
.
645.0,1
][ 1)(s
a r c t g
,
( 4 )
)/-(1
0][
/,
-s
)(lim lim lim
)3(
'
'
1
''
js
''
'
1
ds
d
-s
)1(
)(
-s
1
-s
'
图由此绘制出主根轨迹如
解得时
则坐标设根轨迹与虚轴的交点
根轨迹与虚轴的交点
分离点坐标为
根轨迹趋向与直线时当
环极点也是给定系统的一个开
由于
实轴的根轨迹
???
????
????
??
???
???
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K
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s
s
s
Ke
s
Ke
S
ds
d
S
ds
d
S
??? '?
'?
?j
?-1
?j
i=0
i=0
i=1
i=1
?2j
?2j
0 K
0
jW
主
根
轨
迹
图
01
0k1)a S ( S1)(SS
01
.
01,
0180
.
,
)1(
)1a S ( S
2
a)1 ) ( SS ( S
K
Q ( S )
( s )
2
??
?????
??
??
??
?
??
kSS
P
则可写成
即
为设反馈系统的开环传函例
征方程化为如下形式
特根轨迹规则一样只是把和与绘制参量根轨迹的方法
轨迹称为反馈系统的参量根参量为参变量的根轨迹
以非开环增益的其他参量的普通根轨迹为区别与以开环增益为
四参量根轨迹
?
??
-1
,
,
G ( S ) H ( S )
2.
a)S ( S
10
解
为参变量的根轨迹图试绘制以
传函为设某负反馈系统的开环例
a
?
?
p1
p2
10?
?
????
180
1809090180
)4(
10s
-a (3)
0 )2(
10-jP 10jP 0Z )1(
01
01G(S)H(S)1
p1
p1
s
10s
s
10)(s-s2s
ds
da
s
10s
12
)12(
a
21 1
10S
as
a)S ( S
10
2
2
2
2
2
2
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????
??
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????
?
??
?
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?
?
?
??
?
出射角
轨迹与实轴交点
渐近线 l
l
§ 1 反馈系统的根轨迹
) (
,
.1
l o c u sr o o tS 轨迹。平面内变化的轨迹称根式的根在
闭环系统特征方程到无穷变化时开环系统某一参数从零
根轨迹的概念
C(s)R(s)
)15.0( ?SS K
2k-1 --1s
2k-1-1s,
02k2ss
22ss
2k
)(
)(
( s )
)2(
2
)(,
2
1
2
2
?
??
???
??
???
?
?
两闭环极点为
系统的特征方程为
该系统的闭环传函为
图所示设有一单位反馈系统如例
ksR
sC
ss
k
SG
,k
,1-2kj-1 s 1/2k
-1s 1/2k
,s 210
2s 0s 0k
:0
1,2
21
21
21
沿上述直线趋于无穷远时
上位于垂直与实轴的直线
实部相同时
时
均为负实数时
同闭环极点与开环极点相时
极点分布的影响到无穷变化对系统闭环从下面分析参数
??
???
???
??
????
s
sk
k
-2 0
??K
??K
2k-1 --1s
2k-1-1s
2
1
?
??
0, 5k
0, 5k
0, 5k0,
,,,
k
,,
2.
?
?
??
欠阻尼
临界阻尼
过阻尼动态性能
数确定对应的静态误差系
同时可以确定系统的型别根据坐标原点的根数稳态性能
即为临界增益
与虚轴交点处的右半平面根轨迹若越过虚轴进入稳定性
根轨迹与系统性能
s
)()(
)()(
( S )
kkk lfm hqn
)()(
)()(
KG ( S ) H ( S )
)(
)(
KH ( S )
)(
)(
KG ( S )
( S )
.3
11
11
HG
11
11
1
1
H
1
1
G
G ( S ) H ( S )1
G ( S )
j
m
j
i
n
i
j
h
j
i
f
i
G
j
h
j
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q
i
j
l
j
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i
j
h
j
j
l
j
i
q
i
i
f
i
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PSZS
K
PSPS
ZSZS
PS
ZS
PS
ZS
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?????
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??
??
??
?
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?
?
?
则
一般开环传函可以写成
函为如图所示系统的闭环传
点之间的关系闭环零极点与开环零极
G(s) C(s)R(s)
H(s)
,
,
,
,( 3 )
,;
( 2 )
,
,;
,( 1 )
:
找出闭环极点方法
通过图解的点的分布及根轨迹增益如何由已知的开环零极
迹法的基本任务根轨
益均有关开环极点以及根轨迹增闭环极点与开环零点
零点
闭环零点就是开环对于单位反馈系统的极点所组成函传
馈通路路传递函数的零点和反闭环零点由开环前向通
统根轨迹的增益环系
就等于开闭环系统根轨迹的增益对于单位反馈系统增益
根轨迹等于开环系统前向通道闭环系统根轨迹增益
结论
??
??
?
?
????
??
??
?
??????
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???
n
1
i
m
1
i
1
m
1
21
m21
)p-(s-)z-(sG ( s ) H ( s )
||
||K
|G ( s ) H ( s )|
)2,1,0,(i 3 6 01 8 0G ( s ) H ( s )
1|G ( s ) H ( s )|
)())((
)z-(s)z-) ( sz-K ( s
G ( s ) H ( s )
-1G ( s ) H ( s ) 0( s ) H ( s ) 1
,
.4
ii
i
n
i
i
i
n
ps
zs
i
pspsps
G
相角条件
幅值条件
的集合根轨迹是所有闭环极点
根轨迹方程
?
?
?
??
§ 2 绘制根轨迹的基本规则
)1,,1,0(
12
,
,
,4
,
3,
2,
1,
80.1
a
1 1
a
???
?
?
?
?
?
?
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? ?
mnl
mn
l
mn
ZP
n
i
m
i
ii
?
?
??
?
渐近线与实轴的交角
渐近线与实轴的交点
根轨迹的渐近线
远点终止于开环零点或无穷根轨迹起始于开环极点
根轨迹的起点与终点
于实轴的曲线根轨迹是连续的且对称
性根轨迹的连续性与对称
程的阶数环极点数或等于特征方根轨迹的分支数等于闭
根轨迹分支数
根轨迹的绘制规则一
,
G (S )
.
)22)(4(
1)K ( S
2
解
确定根轨迹的有关数据试根据目前所知的法则
为设控制系统的开环传函例
???
?
?
SSSS
)2( 3 0 0
)1( 1 8 0
)0( 60
67.1
14
)1()1()1()4(0
,3m-( 3 ) n
( 2 )
1Z
j--1P j,-1P - 4,P 0,P ( 1 )
3
5
)12(
a
3
3
)12(
a
3
1
)12(
a
a
1
4321
????
????
????
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?????
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l
l
l
jj
mn
l
mn
l
mn
l
?
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??
??
??
?
?
?
?
与实轴的交角为
为其渐近线与实轴的交点条根轨迹终止于无穷远
实轴有四条根轨迹且对称于
和无穷远终止于
根轨迹起始于
?
?
?
-4 -3 -2 -1
?
0
ds
dk
0
ds
d
)(.6
,
.5
)(
)(
1
1
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?
?
?
?
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?
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??
?
?
?S
ZS
PS
i
m
i
i
n
i
分离点与会合点根轨迹与实轴的交点
则该区域必是根轨迹
数之和为奇数若其右边开环零极点个实轴上的某一区域
实轴上的根轨迹
)(5 7 7.1 4 2 3.0
0263
0)]2)(1([
3 0 0,1 8 0,60 1,
,
)2)(1(
)()(.
21
2
ds
d
aa
舍
解
试画出其根轨迹
传函为已知某负反馈系统开环例
????
???
???
???
??
?
?
??
??
??
?s
sss
SSS
k
SHSG
???
)(5 7 7.1 4 2 3.0
0263
0)]2)(1([
3 0 0,1 8 0,60 1,
,
)2)(1(
)()(.
21
2
ds
d
aa
舍
解
试画出其根轨迹
传函为已知某负反馈系统开环例
????
???
???
???
??
?
?
??
??
??
?s
sss
SSS
k
SHSG
???
??
-2 -1
? 0
6K ( r a d / S ) 2 0
02- 0k3-
0kj23-j-
,
( 2 )
K 0)]) H ( jG ( jI m [ 1
0,)]) H ( jG ( jR e [ 1
0)) H ( jG ( j1
0)()(1( 1 )
.7
C2,31
32
23
c
????
????
???
??
??
??
???
??
???
???
???
??
??
?
由此解得
交点可求得根轨迹与虚轴的接上例
判据应用
及解得
令
得代入把
根轨迹与虚轴的交点
R o u t h
sHsGjs
??
??
?
??
?
??
???????
????????
m
lj
j
jl
n
j
jl
n
lj
j
jl
m
j
jl
ZZPZ
PPZP
11
Zl
11
Pl
)()(180
)()(180
:
:
8.
?
?
?
?
与实轴正方向的夹角
点处的切线方向根轨迹进入开环复数零入射角
与实轴正方向的夹角
点处的切线方向根轨迹离开开环复数极出射角
角根轨迹的出射角与入射
?
?
?
∠ （ p1-p2）
∠ （ p1-z1） ∠ （ p1-p3）
θp1
A
z1 p3
p2
p1
)()()()3 6 01 8 0(
3 6 01 8 0)()()(
312111
00
1
00
3121111
ppppzpi
ippppzp
p
p
????????????
???????????
?
?
,
G (S )
.
)5.15.0)(5.15.0)(5.2(
j)-2j ) ( S21, 5 ) ( SK ( S
解
迹试绘制系统的概略根轨
设系统开环传函为例
jSjSSS ?????
????
?
????????
????????
?
5.149117-90-1211991535.63180
7937-90-1 0 8, 5-59195 6,5-180
,( 4 )
( 3 )
180 ( 2 )
][ - 2, 5,- [ 0,- 1, 5 ]
- 2,5p j 1, 5- 0,5p j 1, 5-- 0,5p 0p ( 1 )
z1
p2
4321
??????
????
?
?????
?
?
入射角出射角
无分离点
一条渐近线
实轴上的根轨迹
起始点
??
?
?
-1-2
θ1=108.5°
90°59 °
37 °
19 °
56.5 °
???????? 7937905.1 0 859195.561 8 0
2 ????????p?
?
?
? ?
90 ° 121 °
153 °
199 °
63.5 ° 117 °
???????? 5.149117901211991535.631801 ????????z?
??
-2
?
?
0
n
1
i
0
1i
-1n
n
1i
i
n21
n21
01
-1n
-1n
n
0,s
a)( -as
,
0)s-(s)s-)(ss-(s
,s,,s,s
0asasas
.9
as
s
i
i
i
n
???
????
?
?????
?
?
?
?
故有对于稳定系统
有关系由代数方程根与系数的
则有设根为
闭环极点的和与积
?
?
?
322j-3s-s--3s
-3s
02s3ss
0G ( s ) H ( s )1,
..2
)2)(1(
)()(.
213
321
23
32,1
???????
???
????
??
??
??
?
j
ss
k
sjs
sss
k
sHsG
解
三闭环极点试确定这种情况下的第闭环极点
的两个的根轨迹与虚轴相交时已知系统例
:
,
G(S)H(S)
1.
.
K
.10
20)4S4 ) ( SS ( S
K
||||||
||||||
2
21
21
解
的草图试绘制该系统的根轨迹
传函为已知负反馈系统的开环例
根轨迹的绘制二
开环增益的求取
???
???
???
?
?
mlll
nlll
ZSZSZS
PSPSPS
l ?
?
)45(315 3
)135(225 2
135 1
45 0
2
( 3 )
[ 0,- 4 ] ( 2 )
j4--2Pj 4,-2P- 4,P0,P( 1 )
4
7
a
4
5
a
4
3
a
4a
4
)12(
a
4
224
a
4321
??
??
?
?
????
????
???
???
?
???
?????
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
l
l
l
l
l
渐近线
实轴上的根轨迹
开环极点为
0-4
p1p2
p3
p4
A
10jS 02 6 02 6 S
2 6 0k 0
k S
0 S
k 26 S
0 80 8 S
k 36 1 S
0k8 0 S3 6 S8SS
)6(
90
9090)1 8 0(1 8 0
( 5 )
j 2, 5--2s j 2, 5-2s -2s
0201 8 s6ss
0)]204)(4([
)()4(
2
26
8k-8026
0
26
8k-8026
1
2
3
4
234
p4
2
4
1
2
4
1
p3
321
23
2
ds
d
????
??
?????
??
???????
????
????
????
?
?
??
得
根轨迹与虚轴的交点
出射角
解得
的分离点与实轴交点根轨迹
?
????
?
? tgtg
ssss
1006, 2 5 )(46, 51, 5
5.225.22)5.24()5.24(K
)7(
2222
A
?????
??????
点的增益A
8, 1 6k
1, 1 j( 4 )
- 7 1, 6( 3 )
- 2, 3
( 2 )
135,45
25.1 ( 1 )
c
pi
a
a
?
??
?
?
???
??
?
?
?
?
?
?
??
分离点
-3 -2.5
:
2)2S3) ( SS ( S
G ( S ) H ( S ) 2.
2
解
例
???
?
K
高阶系统的试差求解
0 24 11 1
24- 11- 1-
1, 5 2 5, 0 1 1 1, 1 1
1- 96.0
25
24
- 2 2, 5- 9, 9 9- 0, 9-
5, 0 3 2 7, 1 1 1, 3 1
0, 9- 88.0
2 7, 1
24
- 1 8, 9 7- 7, 9 1- 0, 7-
0, 7- 7.0
35
24
- 24 35 12 1
0243512
23
?
???
???
??
????
取
取
取
sss
? ?
? ?
?
?? ??
???
?
?
?
?
?
?
???
??
§ 3 广义根轨迹
,,
2.
1)-m-n,0,1,(
1.
:,
,1 8 0
i 3 6 00G ( S ) H ( S )
1|G ( S ) H ( S )|
1G ( S ) H ( S ) 0G ( S ) H ( S )-1
.
2
a
则该区域为根轨迹极点为偶数某一区域若其右侧的零
实轴上的根轨迹
渐近线与实轴的交角
现说明如下改相关的一些规则需作修
只是与相角条件根轨迹的绘制基本相同零度根轨迹的绘制与
分别为故幅值条件和相角条件
对于正反馈系统
零度根轨迹一
?
?
??
??
???
?
??
?
l
mn
l ?
?
.K,
G ( S ) H ( S )
.
0]G ( j w ) H ( j w )-I m [ 1
0]G ( j w ) H ( j w )-R e [ 1
.4
)()(0
)()(0
.3
C
)22)(3(
2)K ( S
11
zl
11
pl
2
确定临界增益图试绘制该系统的根轨迹
传函为设某正反馈系统的开环例
根轨迹与虚轴的交点
入射角与出射角
???
?
?
??
?
??
?
?
?
???????
???????
??
??
SSS
m
lj
j
jl
n
j
jl
n
lj
j
jl
m
j
jl
ZZPZ
PPZP
?
?
?
?
.0
1G ( S ) H ( S )
0)()(1,:
)22)(3(
2)k ( S
2
根轨迹的规则来绘制因此需按
这样根轨迹方程为
则有因给定系统为正反馈解
?
??
??
???
?
SSS
SHSG
3k0 3k
6.71
6.716.269045900
( 4 )
- 0, 8s 0223 6 s2 1 s4s
0][
( 3 )
1 8 0,0
1,0 ( 2 )
-2Z
j--1pj,-1p- 3,p
1m3,n )1(
c|)2(0|
|( - 3 )-0||j)-(-1-0||j)(-1-0|
c
p3
2
1
1
1
p2
23
)2(
)22)(3(
ds
d
aa
2
2
a
1
321
2
????
??
?????????
?????
?
?
??
?
????
??
??
?
??
???
临界增益
出射角
根轨迹与实轴交点
无需计算
渐近线
开环零点
开环极点
?
??????
?
?
?
??
?
?
a r ct ga r ct g
l
ass
sss
l
-3 -2 -1
p2
p3
k1p1 Kc=3
,
,
)164(
3)2S-k ( - S
G ( S ) H ( S )
.
)(S,
,
.
2
2
解
图试绘制该系统的根轨迹
开环传递函数为设某非最小相位系统的例
零点或极点和平面的右半部具有开环非最小相位系统
平面的左半部点均位于反馈系统的全部开环极最小相位系统
迹非最小相位系统的根轨二
??
?
?
SSS
S
3, 0 7k,3, 1 4 0k 0,
3.5 3.5
3, 6 0
2
1Z -3Z 3j2-2P 0P
1
)164(
3)-2Sk ( S
,
1
)164(
3)2S-k ( - S
3,21
P3P2
a
2121
2
2
2
2
?????
????
???
?
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?????
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?
?
?
?
mn
l
SSS
SSS
标准化处理为
-1)()(
0)()(1
2,
)()(1
)(
R ( S )
C ( S )
,
)(
)(
( S )X
( S )X
)-(tX( t ) X
.,
,)()(,
1,
.
1
1
1
2
12
12
?
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?
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??
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S
S
S
s
S
S
eSHSG
eSHSG
eSHSG
eSG
e
SX
eSX
tXtX
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根轨迹方程为
特征方程为
时滞系统的根轨迹
为时滞系统包含时滞环节的系统称时滞系统
为时滞这种环节称为时滞环节
滞后一定时间比其输入信号输出信号时滞环节
时滞系统
时滞系统的根轨迹三
X2(t)
X1(t)
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C(S)G(S)
H(S)
R(S)
- se ??
1 8 0
-1,
,
G ( S ) H ( S ) e
.
3.573 6 01 8 0)P-(S-)Z-(S
)(3.57)(e
ee
3 6 01 8 0e)P-(S -)Z-(S
)j(S 1e
1
ke
1
s-
m
1
n
1
ii
s-
j)j(-s-
m
1
n
1
s-
ii
-
s-
1
1
根轨迹绘制故按
根轨迹方程为解
迹草图试绘制时滞系统的根轨
开环传函为设某负反馈时滞系统的例
故有
相角条件
幅值条件
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分支复平面内的完整根轨迹
按上述方法可绘制在区间内选取一系列值，／在虚轴０－
即满足便是满足相角条件的点两直线的交点直线
的角为做一条与实轴正方向夹过开环极点
做实轴的平行线并过点在虚轴上选一点
相角条件的点现在在复平面寻找满足
则相角条件写成令
复平面上的根轨迹
根轨迹的相角条件相同故与绘制
所以相角条件变为在实轴上由于
实轴上的根轨迹
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c,
3.571 8 0)1(
,,
3.571 8 01b,
),0(,,a,
jS
5 7, 31 8 05 7, 31 8 01)(s
5 7, 31 8 01)(s-,,0
)2(
1 8 0
i 3 6 01 8 01S-
,0
)1(
111
111
11
11
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j
jS
P
j
i
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645.0,1
][ 1)(s
a r c t g
,
( 4 )
)/-(1
0][
/,
-s
)(lim lim lim
)3(
'
'
1
''
js
''
'
1
ds
d
-s
)1(
)(
-s
1
-s
'
图由此绘制出主根轨迹如
解得时
则坐标设根轨迹与虚轴的交点
根轨迹与虚轴的交点
分离点坐标为
根轨迹趋向与直线时当
环极点也是给定系统的一个开
由于
实轴的根轨迹
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s
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s
Ke
S
ds
d
S
ds
d
S
??? '?
'?
?j
?-1
?j
i=0
i=0
i=1
i=1
?2j
?2j
0 K
0
jW
主
根
轨
迹
图
01
0k1)a S ( S1)(SS
01
.
01,
0180
.
,
)1(
)1a S ( S
2
a)1 ) ( SS ( S
K
Q ( S )
( s )
2
??
?????
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?
??
kSS
P
则可写成
即
为设反馈系统的开环传函例
征方程化为如下形式
特根轨迹规则一样只是把和与绘制参量根轨迹的方法
轨迹称为反馈系统的参量根参量为参变量的根轨迹
以非开环增益的其他参量的普通根轨迹为区别与以开环增益为
四参量根轨迹
?
??
-1
,
,
G ( S ) H ( S )
2.
a)S ( S
10
解
为参变量的根轨迹图试绘制以
传函为设某负反馈系统的开环例
a
?
?
p1
p2
10?
?
????
180
1809090180
)4(
10s
-a (3)
0 )2(
10-jP 10jP 0Z )1(
01
01G(S)H(S)1
p1
p1
s
10s
s
10)(s-s2s
ds
da
s
10s
12
)12(
a
21 1
10S
as
a)S ( S
10
2
2
2
2
2
2
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出射角
轨迹与实轴交点
渐近线 l
l
