第四章 根轨迹法 一、本章内容提要: 1.介绍了系统开环传递函数的极点、零点已知的条件下确定闭环系统的根轨迹法，并分析系统参量变化时对闭环极点位置的影响； 2.根据闭环特征方程得到相角条件和幅值条件由此推出绘制根轨迹的基本法则； 3.根轨迹绘制：常规根轨迹、参数根轨迹、零度根轨迹、时滞系统根轨迹; 4. 根轨迹法分析系统性能 二、本章教学目的及要求: 1.掌握根轨迹的基本概念；正确理解开环零极点、闭环零极点及根轨迹的含义； 2.掌握控制系统根轨迹的绘制方法； 3.正确绘制出不同参量变化对系统根轨迹图 4. 能够运用根轨迹法对控制系统进行分析； 5. 明确闭环零、极点的分布和系统阶跃响应的定性关系。 三、本章重点、难点 1.重点：根轨迹的绘制利用根轨迹分析控制系统 2.关键点：根轨迹方程，幅值条件，相角条件 3.难点：时滞系统根轨迹的绘制 四、本章学习方法 通过具体习题练习掌握根轨迹绘制方法，不要死记硬背各种绘制法则，要多总结归纳典型极、零点分布对根轨迹的大致图形。 §4-1 根轨迹的基本概念 本节重点:：掌握根轨迹的基本概念 本节难点：根轨迹的正确绘制 一．问题的提出 高阶系统的平稳性、快速性的分析以及暂态指标的估算。 引例 Xr(s) XC(s)   特征方程式 ： S+K=0 特 征 根 ： S= -K 当K1由0→∞变化时，闭环特征根在S平面上移动的轨迹城根轨迹，不仅直观的表示了K 变化时间闭环特征根的变化，还给出了参数时闭环特征根在S平面上分布的影响。可判定系统的稳定性，确定系统的品质。  J（ω） —∞ σ 0 二、 定义 指当系统开环放大倍数K （通常由Kg或K1表示）由零变到无穷时，闭环极点（系统特征根）在S平面上变动的轨迹。 根轨迹是根据系统开环传递函数的零、极点，求出闭环极点一般方法,是控制系统分析一种图解方法。 三． 根轨迹法的依据（根轨迹方程） 已知系统 系统开环传函:   闭环系统特征方程式: 1+W（S）=0 或 W（S）= -1 ， 即  2. 依据条件 幅值条件 ： 相角条件： ∠W(S)=±180°（1+2μ）， μ=0，1，2…… 或 开环有限零点到S的矢量长度方程 1 = 开环极点到S的矢量长度方程 kg m n m n ∑∠(s+zi) -∑∠(s+pj)=∑αi -∑ βj = i=1 j=1 i=1 j=1  — 开环有限零点到S的矢量幅角 βj —开环极点到S的矢量幅角 3. 基本思想 根据幅值条件确定根轨迹上某一点对应的增益， 由相角条件确定根轨迹上的某点位置。 小结:根轨迹的依据 §4-2 根轨迹的绘制法则 本节重点:：掌握根轨迹的绘制方法 本节难点：根轨迹的出射角和入射角，以及根轨迹和虚轴的交点 一 绘制常规根轨迹一般法则 1. 起点 （Kg =0） 当Kg =0 闭环系统特征根即由开环系统特征方程式决定  即闭环极点也就是开环极点,根轨迹从开环极点出发。 2. 终点（Kg = ∞） 闭环系统特征方程式   开环零点（有限，无限）为根轨迹终点。 设N（S）为m阶，有m个有限开环零点，还有n-m个无限零点 3 、根轨迹数与对称性 条数：开环极点数，n条 对称性：对称于实轴，特征根为实数或为共轭复数，根轨迹必然对称于实轴 4 、实轴上的根轨迹 在S平面实轴上的线段上存在根轨迹的条件是：线段右侧开环零点（有限零点）和开环极点数之和为奇数。 5、 分离点和会合点 满足：  或  由此求出的要代入Kg中，只有Kg为正时，才是分离式会合点。 对于阶次较高，可采用图解法确定重根，在复平面若有分离点式会合点，必对称于实轴。 6 、渐近线 （1）渐近线条数： n-m条，趋向无穷远处分之的渐近线渐近线倾角   （2）渐近线交点： 伸向无穷远出与实轴交于一点 坐标（-δ，j0）  7 、根轨迹出射角和入射角 出射角 ： 或  ：开环有限零点到被测起点的矢量幅角。 ：除被测起点外，所有开环极点的矢量幅角 入射角 ：  8.根轨迹与虚轴交点 可用S=jω代入特征方程求解，或者利用劳斯判据确定。 根轨迹与虚轴的交点出现虚根，系统处于稳定的临界状态。故可由此确定根轨迹与虚轴的交点 9 、根轨迹的特性 连续性：闭环系统特征方程的根是连续变化的，即根轨迹是连续变化的曲线或直线。 10、 闭环极点特性 当n ＞m≥2时，闭环系统极点之和等于开环系统极点之和且为数  闭环极点之积和开环零、极点之间具有  当开环系统具有等于零的极点时  即闭环极点之积与轨迹增益成正比。 11．辅助定性依据 （1） 对应任一Kg，闭环极点之和保持不变，即一些闭环极点向右移动，另一些极点向左移动 已求得闭环系统的某些极点，可以求出其他极点 由此可以迅速确定根轨迹大致形状。 二.例题 例 系统开环传递函数  ，  试绘制系统根轨迹草图 解：1+， ，  系统特征方程式 ： 起点： （三重极点）； 终点 ：无开环零点 2 、实轴上根轨迹（,- 1/τ） 3 、渐进线 倾角 ：  与实轴交点： 根轨迹三条分支，Kg = 0 从开环极点出发，当Kg → ∞，沿渐进线趋向∞ 4 、分离点 -3（S+1/τ）2 = 0 可得分离点 S = - 1/τ 5 、根轨迹与虚轴交点 系统处于稳定的临界状态 特征方程式：     解得： ，    三. 常见的几种根轨迹草图  小结：根轨迹的绘制 §4-3 参数根轨迹及多回路系统根轨迹 本节重点：参数根轨迹及多回路系统根轨迹 本节难点: 时滞根轨迹的确定 一 参数根轨迹（广义根轨迹） 1. 概念 以不同于Kg（K1）的参数为参变量的根轨迹称为参数或广义根轨迹. 用参数根轨迹可以分析系统中的各种参数，如开环零，极点位置，时间常数或反馈参数等对系统性能的影响 2. 绘制方法 Kg为可变参量时，特征方程  选其他参数时，引入等效传递函数概念 把特征方程化为上述形式，以所选参量a代替Kg位置:1+ 可利用绘制常规根轨迹的各种规则进行绘制。 3.例题 Xr(s) XC(s) 求： 当a 由0→∞闭环系统特征根变动的轨迹？ 解： 1） 系统特征方程：S2 + aS + K1 = 0 用不包含a的其余项去除方程两边，则有  2） 等效系统开环传递函数： 也称原系统等效开环传递函数： 3） 根轨迹绘制 起点：开环极点 ；终点：开环零点 0； 分离点：， 即: 分离点应在S= -，在负实轴上  在分离点处 ： 系统分析：随着a增大，系统特性变化; 即从 a=0时， 无阻尼; ξ=0，等幅振荡 2<a<∞时， 过阻尼; ξ>1 单调上升 0<a<2时， 欠阻尼0<ξ1, 衰减振荡 二 多回路系统根轨迹 根轨迹不仅适用于单回路系统，而且适用于多回路系统 例1 系统如图, 试绘制参数a的根轨迹 Xr(s) E(s) XC(s) — 解：系统开环传递函数  系统特征方程  即  等效开环传递函数: 令K1为不同的值，在a 取不同参量时，选择适当的a数值，系统具有较好的相对稳定性。 小结：参数根轨迹 §4-4 时滞系统的根轨迹 本节重点：时滞系统的根轨迹 本节难点：时滞系统根轨迹绘制 一 迟后系统 1. 概念 时滞元件的系统称为时滞系统. Xr（s） Xc（s） Xr(s) _ XC(s) 2.处理方法 (1) 近似法 在有些条件下，e—τs可以近似处理，用e—τs使用极不方便，  或  或  只取前两项： (2) 规则法 开环传递函数  闭环特征方程：  考虑到 其中： 幅值条件：  幅角条件： τ≠0时，相角条件取决于ω，沿虚轴连续变化，对一定Kg，不是有几个特征根，而是无限多个特征根，相应存在无限多条根轨迹。 二 正反馈系统根轨迹（零度根轨迹） 幅值条件相同　　　零度等相角条件 绘制法则：与常规不同 渐近线倾角 , k=0，±1，±2，… 2 、实轴上，其右方开环零，极点之和为偶数。 3 、出射角   4. 正反馈与负反馈根轨迹比较 小结：时滞根轨迹 §4-5 根轨迹法分析控制系统 应用场合: 1 、确定闭环极、零点分布（试探法） 2 、参数变化对系统稳定性影响 3 、估算瞬态性能，稳态性能 4 、设计系统，由性能→参数 一 系统稳定性分析 主要有两类：1、非最小相位系统 如： 2、具有局部正反馈系统 例  其根轨迹为：   0  0<K<14 稳定 64<K<195 14<K<64 不稳定 K>195 二 瞬态性能分析和开环系统参数确定 1、 有β（闭环系统极点张角）→超前量 因β=cos—1ξ 2 、由闭环极点实部→调节时间 3 、由性能指标要求→闭环（主导）极点大致位置 4 、由瞬态性能指标→开换系统放大系数或其他参数 例  若要求闭环系统等位阶跃响应最大超调量≤18% ,试确定Kg。 解：分离点时Kg=17，Kg>240 闭环系统不稳定 由图查得：β≤60% 做β=60度直线，交点A，B为满足性能指标要求的闭环子系统主导极点： 幅值条件：   由特性 ∑ =∑=常数  -1.2-1.2+j2.1-j2.1+S3= -10 S3= -10+2.4= -7.6 S3为另一闭环系统实极点。 小结：根轨迹分析 第四章小结习题课 例 所示系统同时满足下述条件，限用根轨迹法 Xr（s） E(s) Xc(s) 1 、单位斜坡转入下的稳态误差  2 、阶跃响应无超调 试确定K1的数值 解 ：求K1应满足两个条件：稳定性，稳定误差； 阶跃响应要求   ,   应   校验K1≥4时闭环系统稳定性 特征方程 ：D（S）= S（S+3）2 + K1=0 S3 +6S2 +9S+K1=0 S3 1 9 S2 6 K1 S1 （6×9-K）/6 S0 K 系统稳定条件 6×9-K>0 满足误差要求的K ∴K<54 ∴4 ≤K＜54 要求阶跃响应无超调，必须保证闭环特征根均为负实数，可由根轨迹法确定K值  开环极点： P1=0，P2，p3= -3 分离点： K= -s(s+3) 2 ,分离点 d= -1 d点对应的K 1值，d代入模方程   0  闭环特征根为负实根的K 1范围 0〈K1≤4 故综上,满足误差条件和阶跃响应 K1=4 已知控制系统开环传递函数  试绘制系统的根轨迹 解： 1 开环极点，0，-5，-20，-50 零点：-0.125 2 实轴上根轨迹（-0.125~-5）， （-20~-50） 3 渐进线   4 、确定分离点和会合点 本题中，零点，极点之间距离相差很大，如零点—0.125与极点9之间进相距0.125，而零点—0.125与极点—50之间却相差49.875，故可做如下简化： 在绘制原点附近的轨迹时，舍去远离原点的极点影响；在绘制远离原点的轨迹时，舍去零点和一个零极点影响。 求原点附近根轨迹和会合点 传递函数可简化为： 0  略去远离原点的极点，原点处有二重极点，右侧无零点， 极点，其分离角±90度， 确定会合点 此时特征方程：S2 +KS +0.125K=0   解之 S1= - 0.25 会合点;S2= 0 重极点分离点 ii）求远离原点的根轨迹和分离角 略去原点附近的开环 （零点-0.125和极点） 传递函数可化为： K S(S+5)(S+20)(S+50) 特征方程 ： jw S(S+5)(S+20)(S+50)+K=0 K=-S(S+5)(S+20)(S+50)由 0  由  得  解之 S1= -2.26 , S2= -40.3 难题分析： 例1 ，非最小相位系统 试绘制根轨迹，并确定使系统稳定的Kg范围 解：1 、起点：0，1，此处有根号 2 、终点：-1 3 、渐进线 θ=±60度 ±180度， -σ= -2/3 4 、分离点 dk1 = 0 ds 3s2 +10s3 +21s2 +24s-16=0 S1=0.45 S 2=-2.5 5 、交点 S(S-1)(S2 +4S+16)+Kg(S+1)=0 ω4 -12ω2 +Kg=0 -3ω2 +（Kg-16）ω =0 得ω =0，±2.56, ±1.56 , Kg=35.7,23.3 6.  23.3<Kg<35.7 已知负反馈系统试绘制系统根轨迹,当在负实轴上有一个零点，即  ， 0≤ a ＜1，分析系统稳定性 解：原系统根轨迹 1. 开环极点 0，0，-1 2. 渐进线;σ= -1/3 3 分离点 K= -S2 （S+1） 由  , （3S2 +2S）= 0 分离点为S=0,对应 K=0,K为任何正值均不稳定 二 增加零点-a后 1 、开环极点 0，0，-1；零点-a ，（0≤a＜1＝ 2 、渐进线 φ= ±90°σ= （-1+a）/2 可见加零点后，只要K>0x系统均能稳定。 病题分析： 设 非最小相位系统 ，试绘制系统根轨迹 症状1 ： 起点：0，-5； 终点：2 实轴上根轨迹[-∞，-5]，[0，2] 渐进线 ； j K=0 -5 0 k→∞ 病因：根轨迹方程理解不透,正负反馈学习时机械记忆 医治：  根轨迹方程1+Gk（s）=0