第三章 线性系统的时域分析
§ 1 典型输入信号
0 t0
0 t)(
??
?
?
?? Rtr
t
r(t)
R
t
r(t)
Rt
r(t)
t0
2
1
)(
0 t0
0 t)(
S
SR
Rttr
?
?
?
?
?
??
3
2
1
)(
0 t0
0 t)(
S
SR
Rttr
?
?
?
?
?
??
一．阶跃函数
二．斜坡函数（匀速函数）
三．抛物线函数（匀加速函数）
R=1时，称为单位阶跃函数，记为 l(t) 。 R(S)=1/S。
R=1时，称为单位斜坡函数。
R=1/2时，称为单位抛物线函数。
ht
h t 0 t0
)(
??
?
?
?
??
??
? ?
h
Atr
及
?t
r(t)
?
1R ( s )
0 t0
0 t( t )
?
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?
?
?
???
??
?
h
0
s
A
R ( S )
)-tA s i n (r ( t )
22
?
?
?
?
?
?
?
??
h
1/h
t
r(t)
r(t)
t
四．脉冲函数
五．正弦函数
当 时，则称为单位脉冲函数。
?2.一阶系统的时域分析
1
1
?TS
1
1
)(
)s(
)(
)()(
)(
?
???
??
TssR
C
s
trtc
dt
tdc
T
一阶系统：以一阶微分方程作为运动方程的控
制系统。
T
t
etc
Ts
T
ssTs
sRssC
s
ttr
?
??
?
???
?
???
??
1)(
1
11
1
1
)()()(
1
R( s ) )(1)( 一, 单位阶跃响应
标准形式
传递函数
?
?
?
??
??
?
?
???
???
?????
?
0, 0 2 4
0, 0 5 3
%9898.0)(,4
%9595.0)(,3
%2.636 3 2.01)(,
1.
:
1
T
T
t
tcTt
tcTt
etcTt
s
可得调整时间
时
时
时
系统输出量的数值可以用时间常数去度量
说明
T
T
e
Tdt
tdc
T
t
T
t
t
数响应曲线上确定时间常可用此方法在单位阶跃
相应曲线的初始斜率为
11)(
1
.2
00
??
?
?
?
1
A
T
0.632
斜率 1/T
1/T
T1368.0
T t
r(t)
T
T t
r(t)
当输入信号为理想单位脉冲函数, 系统的输出称为
单位脉冲响应 。
1
]
1
1
[L)(
1
1
)(
1
1
)(
1)]([)(
1 T
t
e
TTs
tc
Ts
sR
Ts
sC
tLsR
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
二, 单位脉冲响应
,)(
t
)e-T ( 1c ( t )-r ( t )e( t )
TeT-tc ( t )
1
11
1Ts
1
C ( s )
s
1
R ( s )t r ( t )
T
t
-
T
t
-
2
22
2
Te
Ts
T
s
T
ss
??
??
??
??
?
????
?
?
??
时，
三, 单位斜坡响应
跟踪误差为 T。
1s
1
1Ts
1
C ( s )
s
1
R ( s )
2
1
r ( t )
43
2
2
3
1
3
3
2
?
?????
?
?
??
Ts
a
s
a
s
a
s
a
t
? ?
3
134
2
03
2
02
2
3
0202
0
3
31
1
1
1Ts
1
a
)1(
2
2
1
1Ts
1
!2
1
a
)1(1Ts
1
a
1
s
1
1Ts
1
a
TTs
s
T
Ts
T
ds
d
T
Ts
T
ds
d
s
T
s
ss
ss
s
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1
2
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)(
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C ( s )
22222
32
23
T
t
eTTtteTTTtttc
Ts
T
s
T
s
T
s
T
t ?
????????
?
?
????
?
四．单位抛物线响应
)()()()(
3
3
2
2
tr
dt
dtr
dt
dtr
dt
dtr
抛物线斜坡阶跃脉冲 ???
)1(21)( 22 T
t
eTTtttc
?
????
T
t
etc ??? 1)(
T
t
eTtc ?? 1)(
T
t-
TeT-tc( t ) ??
)()()()(
3
3
2
2
tc
dt
d
tc
dt
d
tc
dt
d
tc 抛物线斜坡阶跃脉冲 ???
五．结果分析
输入信号的关系为：
而时间响应间的关系为：
§ 3 二阶系统的时域分析
)()()(2)(d 222
2
trtc
dt
tdc
dt
tc
nnn ???? ???
s 2 n 2
2
2 nn s ???
?
??R(s) C(s)
)s (s n
n??
?
2
2
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R(s) C(s)
2sR ( s )
C ( s )
22
2
n
nn s ???
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??
?
R ( s ) ]
2s
[Lc ( t )
)2s ( s
G( S )
22
n1-
2
n
nn
n
s ???
?
??
?
??
?
?
?
二阶系统的定义：用二阶微分方程描述的系统。
微分方程的标准形式：
—阻尼比，? n? —无阻尼自振频率。
传递函数及方框图
等效的开环传函及方框图
02s
22
???
nn
s ???
1
2
2,1
???? ????
nn
js
s1
s2
21 ?? ?n
n??
一．单位阶跃响应
1.闭环极点的分布
二阶系统的特征方程为
两根为
位于平面的左半部
的取值不同,特征根不同。?
1s 21,2 ???? ???? nn
（ 1） （欠阻尼）有一对共轭复根10 ?? ?
s 1 1,2 n??? ???
s2
s1
s1 s2
s2
s1
s1
s2
1s 1 21,2 ????? ????? nn
nj?? ??? 1,2s 0
1s 01- 21,2 ????? ?????? nn j
（ 2） （临界阻尼），,两相等实根
（ 3） （过阻尼），,两不等实根
（ 4） （无阻尼），,一对纯虚根
（ 5）, 位于右半平面
)(
1
1)(
1
))((
21
1
2
C ( s )
10 ( 1 )
22
2
2
22
2
n
2
2
n
dn
n
dn
n
dndn
n
n
ss
s
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jsjs
s
s
sss
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??????
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???
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??
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??
?
?? 时
2.二阶系统的单位阶跃响应
?
?
?????
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?
?
?
?
?
?
??
????
2
2
2
-
-
2
-
1
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)s i n (
1
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1
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t
tt
d
t
d
t
d
t
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nn
t)dc o s (-1)090tds i n (-1c(t) 0)2( ??? ???? 时
t
n
nn
n
n
n
nn
n
n
ettc
sss
sssss
sC
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)( 1( 3 )
2
2
2
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2
时
)1(12
1
a,
)1(12
1
a
1
1
1
1
2
C ( s )
1s 1)4(
22
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22
1
2
2
2
1
22
2
2
2,1
???
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nn
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nn
s
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s
a
s
sss
一对实根
e
)1(12
1
e
)1(12
1
-1c ( t )
)1(-
22
)1(-
22
2
2
t
t
n
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???
???
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2
2
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2
-
1
a r c t g 1
)ts i n (
1
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-1c ( t )
01- ( 5 )
?
???
?
?
?
??
n
t
n
时
?一般 在 0.4—0.8间响应曲线较好
10 0 %)c( )c(-)c ( t ppp ?? ????
)c(|)c(-c ( t )| ????
t
c(t)
?2
tr tp ts
c(?)
二,二阶系统的性能指标
1.定义
超调量,
t r
上升时间,
pt峰值时间,单位阶跃响应达到第一个峰值所需时间。
)C( N ?
振荡次数,在调整时间内响应过程穿越其稳态值
次数的一半定义为振荡次数。
调整时间：单位阶跃响应进入到使下式成立所需时间。
，一般取 05.002.0 ???
单位阶跃响应第一次达到其稳态值所需时间。
1
a r c t g
1
)
1
(
1
t
1
tg,
1 )s i n
1
( c o s1)c ( t
,1)( tt
2
d
2
2
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2
2
r
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?
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rdrd
t
r
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t
tte
tc
rn
得
由此得
即时当
2.性能指标的计算
(1)上升时间 rt
2
2
pd
2
pdn
2
pdd
-
2
pd
-
n
2
-
1
,,
.,,,,,,3,2,,0,0s i n
0)co s
1
t( - s i n
)s i n
1
t( c o s-
0)co s
1
ts i n(-e
)s i n
1
t( c o se-
,0
dt
d c( t )
)s i n
1
( c o se-1c( t )
n
n
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?
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t
d
t
tt
dd
t
tt
tt
t
t
t
t
tt
p
p
p
n
则取因为第一个峰值时间
有由
（ 2）峰值时间 t
p
1 0 0 %e
1s i n
1
co s
s i n
1
co s
%1 0 0)s i n
1
( co se
1 0 0 %
)c(
)c(-)c( t
2
n
1
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p
2
2
2
-
p
p
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?
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?
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?
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?
?
d
d
d
d
pdpd
pdpd
t
tt
tt
p
（ 3）超调量
p?
1
1
ln3
t0, 0 5,
1
1
ln4
t0, 0 2,
1
1
ln
1
t,
0| 1)
1
s i n (
1
e-1|
tt )c(|)c(-c( t )|
2
s
2
s
2
n
s
2
2
-
s
n
n
n
d
t
a r ct gt
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?
??
?
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?
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?
???
?
?
???
??
?
??
?
?
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?????
取
取
解得
根据
1
tn-
2 e1
11 ?????
tn-
2 e1
1-1 ????
t 0, 90
02.0 4
0, 0 5 3s ??
?
?
?
???
??
??
n
n
??
??
? 时
（ 4）调整时间
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
)(
1
1
0)
1
s i n (
0)
1
s i n (
1
1
)()(
.
0)()(,)()(
0,
2
2
2
2
2
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?
??
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?
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????
????
??
?
ma r ct gttt
na r ct gt
a r ct gt
a r ct gtectc
ctcNctc
ttN
sds
d
d
d
t
s
n
代入得将
来计算
可由的次数之半穿越稳态值应
时间内系统响等于在振荡次数根据定义
（ 5） 振荡次数 N
表示取整数
并取整数得代入将
得令好等于
并不一定刚时因为当为小数为整数式中
(, )
)
2
-1
a rc t g
-1
1
ln
2
-1
N(N
,
-1
1
ln
1
2
1
1
,
2
,)(
c( t ),,,
2
2
2
2
n
2
2
N
t
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N
m
Nc
ttm
s
sn
s
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??
?
??
?
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??
?
?
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?
?
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??
?
??
?
阻尼振荡周期
2
T
d
d
d
s
T
t
N
?
?
?
?
:
,
,
)/(40, 5,
,1.
n
解
性能指标试求系统的动态
信号时入信号为单位阶跃
当输秒弧度
其中二阶系统如图所示例
?? ??
%3.16%1 0 0%1 0 0
)(91.0t
)(60.0t
46.35.0141
)(05.160
2
5.01
5.0
2
1
2
2
2
2
p
46.3
1
p
46.3
05.1
1
r
22
d
5.0
5.01
1
?????
???
???
?????
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
???
?
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??
?
?
ee
a r ct ga r ct g
n
n
n
秒
秒
弧度
?
)2(
2
n
nss ????
三．计算举例
0, 0 2 )(118.1
14.32
46.314.2
2
t
N
0, 0 5 )(18 6 5.0
14.32
46.357.1
2
t
N
0, 0 2 )(14.2
45.0
ln4ln4
t
0, 0 5 )(57.1
45.0
ln3ln3
t
s
s
5.01
1
1
1
s
5.01
1
1
1
s
2
2
2
2
????
?
?
??
????
?
?
??
???
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次
次
秒
秒
?
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??
?
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d
d
n
n
.K
,1
%3.16
c( t )
,2
p
之值及内反馈系数
益试确定前置放大器的增
秒峰值时间
和调量
有超具阶跃响应
要求该系统的单位如图所示已知某控制系统方框图例
?
?
?
?
p
t
)1(10?ssK
s?
C(s)R(s)
ra d / s 3, 6 3
n
2
1
p
t
0, 5
%3.16%100
2
1/
p
p
)1(:
?
?
?
?
??
??
?
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??
?
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???
?
??
?
得
又
得
由
及参数
计算出二阶系统和由已知解
n
e
n
p
t
0, 2 6 3 32.1
10
2
101
n
2
2
2
2
s
2
R ( s )
C ( s )
( 3 )
10)101(
2
s
1 0 K
R ( s )
C ( s )
,( 2 )
??
???
??
?
???
?
?
????
???
?
?
K
K
n
n
s
n
n
Ks
解得
与标准形式比较
并化成标准形式求闭环传递函数
t 1s i ne
1
]
)1)(1(
[Lk ( t )
1)(0
s i n][Lk ( t )
0)(
2
c ( s )
2-
2
n
22
2
n1-
n
2
n
2
2
n1-
22
2
n
n
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??
?
n
t
nnnn
n
nn
jsjs
t
s
ss
四．二阶系统的脉冲响应
（ 1）无阻尼 脉冲响应
（ 2）欠阻尼 脉冲响应
][
12
]
)1(
)1(
[Lk ( t )
1)(
]
)(
[Lk ( t )
1)(
)1()1(
2
n
2
12
2
12
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2
2
n
2
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2
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n
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nn
nn
t
n
nn
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（ 3）临界阻尼 脉冲响应
（ 4）过阻尼 脉冲响应
1
e1
1s i n
1
)(
0)(
0
1
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1
)k ( t
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1
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0
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2
2
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p
2
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pn
p
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n
t
n
t
p
n
n
t
n
t d tedttk
ttk
e
积分有至从对
则
令在欠阻尼下
ttp
kmax
0
1+tp
脉冲响应与阶跃响应的关系
1
1
a r c t g
)1s i n (
-1z
)1()-(z
-1C ( t )
10
1
)(
)2(
)(
R ( s )
C ( s )
2
2
2
2
222
n
22
2
n
n
n
n
nn
n
z
a r ct g
t
s
SR
ssz
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?
?
?
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???
??
?
???
??
?
?
五．具有闭环零点的二阶系统的单位阶跃响应
二阶系统的闭环传函具有如下标准形式
当 时，对欠阻尼情况
222n
s
s
222
1
p
2
p
2
r
)1()(
z
0, 0 2
ln4
t
0, 0 5
ln3
t
%1 0 02
1
t
1
t
2
1
)(
????
??
?
??
??
?????
??
??
??
???
?
???
?
?????
??
?
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??
?
?
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??
?
?
?
?
nn
n
z
l
n
z
l
n
n
zl
e
这里
对应的性能指标为
5)~(2z n???
说明：
1.闭环负实零点的主要作用在于加速二阶系统的响应
过程 (起始段 )；
2.削弱系统阻尼，超调量大；
3.合理的取值范围为 。
(t)c(t)cc ( t )
2
)0()2)(0(
)(
2
c ( s )
)()()]0()([2)0()0()(s
21
2
n
2
.
2
n
2
2
n
22
.
2
??
??
??
?
??
?
??????
???
??
???
?
????
ss
csc
sR
ss
sRsccssccscsc
n
n
n
nnn
零状态响应
零输入响应
六 初始条件不为零的二阶系统的响应过程
当初始条件不为零时，求拉氏变换得
)()()(2)(d 222
2
trtcdt tdcdt tc nnn ???? ???
可见,具有相同的衰减振荡特性(t)c(t),c
21
)s i n (]
1
)0()0(
[)]0([)(c
)s i n (e-1( t )c
/1)( 1,0
n-
2
n
2
2
.
2
2
1
1-
1
??
??
??
??
?
??
?
??
?
?
?
??
??
???
?
te
cc
ct
t
SSR
d
n
n
d
t
t
时当取
。试求取系统的传递函数
响应已知某系统的单位阶跃例
tt ee 21c( t )
1.
?? ???
23
2
R ( s )
C ( s )
23
4s
s
1
23
2
)(
4)0()0(2)0(
431)0(2( 0 )c
2 32
)23(
24
2
1
1
11
)(
1)( 1)0(
2
22
2
2
2
??
??
??
?
??
??
?
????
????
??
??
??
?
?
?
?
??
??
ss
ssss
sc
sccsc
c
sss
ss
sss
sc
occ
n
n
nn
?
?
?
??
??
???则
:解
§ 4 高阶系统的时域分析
)1co s (1)(
2
1)(1
1
)2()(
)z-(sK
C ( s )
2
1 1
1
22
2
1
22
11
j
1j
kknk
q
i
r
k
ts
k
ts
i
r
k nknkk
k
nkknkkk
q
i i
i
nknk
k
i
q
j
m
teDeAtc
s
CsB
ss
A
s
s
ssss
nkii
???
???
????
???
?
?
?????
??
???
?
?
??
?????
?
?
? ?
??
? ?
?
??
??
?
Res1
s2
s3
n??5 n??
Im
在高阶系统的诸多闭环极点中，把无闭环零点靠近，且其
它闭环极点与虚轴的距离都在该复数极点与虚轴距离的五倍以
上，则称其为闭环主导极点。
一．闭环主导极点的概念
二．高阶系统单位阶跃响应的近似分析 ndj ?????
?
????
?
S
5|R e S|
1,2
3
2
1
1
1
1
1
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
2
)(
)(
)(
knknkkk
SS
kn
i
i
m
j
j
k
ss
kn
i
k
m
j
j
k
ssin
i
i
m
j
j
i
js
ss
sss
zs
K
ss
sss
zs
KD
ss
sss
zs
KA
k
k
i
????
?
????
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
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?
?
?
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?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
由此可见高阶系统的暂态响应是一阶和二阶系统。
暂态响应分量的合成则有如下结论：
（ 1）各分量衰减的快慢由指数衰减系数 及 决
定。系统的极点在 S平面左半部距虚轴愈远，相应的暂
态分量衰减愈快。
iS nkk??
（ 2）系数 和 不仅与 S平面中的极点位置有关，
并且与零点有关。
a.零极点相互靠近，且离虚轴较远,越小，对 影
响越小；
b.零极点很靠近，对 几乎没影响；
c.零极点重合（偶极子）,对 无任何影响；
d.极点 附近无零极点，且靠近虚轴，则对 影
响大。
iA kD
iA )(tc
)(tc
)(tc
iS )(tc
?5|R e S| 3 ?（ 3）若 时，则高阶系统近似成二阶系统分析。
§ 5 线性系统的稳定性与稳定判据
0,F ( S )0,R ( S )
)()(C ( S )
)()(MM ( P ) R ( t )D ( P ) C ( t )
)(
)(
)(
)(
D ( S )
M ( S )
f
0
则令
取拉式变换后有
设系统的运动方程为
??
???
??
SD
SM
SD
SM
SFSR
tfP
f
一．稳定的概念与定义
定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其过渡过程
随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称系统为渐近稳定，
简称稳定；反之若在初始扰动影响下，系统的过渡过程随
时间推移而发散，则称其不稳定。
二．线性系统稳定的充要条件
稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。
???
??
??
?
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
)(lim 0R eS
0)(lim 0R eS
)(A
)(
,0D ( S ) )1,2,3,.,, n(i S
C ( S )
t
i
t
i
)(
)(
i
1
i
1
D ( S )
( S )M
0
0
tc
tc
SS
eAtC
i
i
i
i
SSi
SD
SM
n
i
tS
i
n
i
SS
A
则若
则若
则
的根为
线性系统稳定的充要条件：
其特征根全部位于 S平面的左半部。
,
254
1
R( S )
C( S )
,
23
解
的稳定性。
试判断系统例
???
?
SSS
,
-2
3
S -1,
2
S -1,
1
S
02)(S
2
1)(S2)3S
2
1 )(S(S
025S
2
4S
3
S
故系统稳定。
负实部由于三个特征根都具有
???
???????
????
0asa...sasaD ( s ) 01
1-n
1-n
n
n ??????
三．稳定判据
1.Routh稳定判据
系统的特征方程为
必要条件
（ 1）特征方程的各项系数 ai(i=1,2,…,n) 都不为零；
（ 2）特征方程的各项系数 ai(i=1,2,…,n) 具有相同
的符号。
充分条件：
劳斯阵列第一列所有元素为正。
c c
b
b b
,,,,,,,,,,,,
.,,,,, cc s
.,,,,,, b b b s
.,,,,,a a a a s
.,,,,, a a a a s
1
3151
2
1
2131
1
1
761
3
1
541
2
1
321
1
2 1
3-n
321
2-n
7-n5-n3-n1-n
1-n
6-n4-n2-nn
n
b
baab
b
baab
a
aaaa
a
aaaa
a
aaaa
nnnn
n
nnnn
n
nnnn
n
nnnn
????
?
???
?
???
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
劳斯阵列
的个数。别该特征方程正实部根试用R o u t h 判据判
054s3s2ss
设有下列特征方程 例1,
234
?????
5 s
0 6 s
5 1s
0 4 2 s
5 3 1 s
,,
0
1
52-411
2
4-32 2
3
4
??
?
??
?
列写劳斯阵列解
符号改变一次
符号改变一次
。故有两个实部为正的根
次阵列第一列符号改变二
Routh,?
,
023s-s
,
3
解
正的特征根的个数。试应用判据判别实部为
设系统的特征方程为例
??
2 s
0 s
2 0 s
3- 1 s
0
2-3-
2
3
?
?
??
改变一次
改变一次
2.Routh判据的特殊情况
a.某行第一个元素为零，其余均不为零。
方法一,
有两实部为正的根。?
有两个实部为正的根。
则取得新方程乘以原方程以
?
??????
??
6
0
s
0 20
1
s
0 6 2 / 3-
2
s
0 7- 3
3
s
6 3- 1
4
s
067s-
2
3s-
3
3s
4
2)3s-
3
a)( s(s
,3,,)(
s
aas
改变一次
改变一次
方法二,
,
04-4s-7s-3s-2s-s
::
23456
解
。试确定正实部根的个数
已知系统特征方程为例
?? s
0 0 0 s
4- 3- 1 s
0 4- 3- 1 s
4- 7- 2- 1 s
3
4
5
6
06s-4s
ds
d F ( s )
04-3s-F ( s ):
3
24
??
?? s辅助方程
4- s
0 1 6, 7- s
4- 1, 5- s
0 6- 4 s
4- 3- 1 s
4- 3- 1 s
4- 7- 2- 1 s
0
1
2
3
4
5
6
b.劳斯表某行全为零
说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。
。另外二根为
再由原特征方程得
。得出产生全零行的根为
求解辅助方程
有一个实部为正的根。
符号改变一次
2
3
2
1
-,
0)1)(4)(1(s
:
,2
0)1)(4(43)(
,
222
2224
j
sss
j
sssssF
??
?????
??
???????
?
?
,
K,-1S
K
R o u t h,:
解
至范围应取多大问垂线之左部位于
闭环极点全的取值范围。如果要求的开环增益
判据确定使系统稳定试应用设系统如图所示例
?
)125.0)(11.0( ?? SSS K
C(S)R(S)
-
s
14
-5 6 0
s
14 s
40 1 s
,
04014s
:4 0,K,
)10)(4(
)(
:
0
1
2
3
23
?
?
?
?
?
?
?
????
?
???
??
K
K
K
Kss
Ksss
K
s
相应的劳斯表为
程由上式得系统的特征方式中
系统闭环传递函为
14K0 5 6 0K0
0
14
K-5 6 0
0K
,
*
*
*
????
??
即
应有为使系统稳定
3.Routh判据的应用
4, 8K0, 6 7 5
19227
27-K s
11
27)-(K-165
s
27-K 11 s
15 1 s
0)27(1511s
,,1s
,1
*
*
0
1
*
1
1
*
2
1
3
1
*
1
2
1
3
1
1
??
??
?????
??
??
K
R o u t h
Kss
s
ss
则解得
表为相应的
得代入原特征方程则令
垂线之左平面上全部位于若要求闭环极点在
0
a a 0
a a a
a a a
0
a a
a a
0
3-n-1n
4-n2-nn
5-n3-n -1n
3
2-nn
3-n-1n
2
11
???
???
???
?n
a
0
a a 0 0 0 0
0 a 0 0 0 0
0 a 0 0 0 0
0 0 a a 0 0
0 0 a a 0 0
0 0 a a a 0
0 0 a a a 0
0 0 a a a a
0 0 a a a a
02
1
0
2-nn
3-n-1n
4-n2-nn
5-n3-n-1n
6-n4-n2-nn
7-n5-n3-n-1n
???
?
?
?
???????
?
?
?
?
?
?
n
4.Hurwitz判据
设系统的特征方程为：
则系统稳定的充要条件是由特征方程的系数 ai(i=1,2,…,n)
构成的主行列式及其主对角线上的各阶主子式均为正，即
0a 0asasasa n01-1n-1nnn ?????? ?
,
0105s3ss2s
.
234
解
该系统的稳定性。试用霍尔维兹判据判断
设系统的特征方程式为例
?????
系统是不稳定的?
??????
?????????
????????????
04 5 0
5 1 0
10 3 2
0 5 1
10
0451051015
5 1 0
10 3 2
0 5 1
07103
3 2
5 1
01
10 3 2 0
0 5 1 0
0 10 3 2
0 0 5 1
4
3
214
§ 6 反馈系统的误差与偏差
)()()(c
)()()(
r trpt
tctcte r
??
??
1.误差的定义
一．误差
期望输出 cr(t)与实际输出 c(t)之差定义为反馈系统响应
r(t)的误差信号，即
算子, 反映 cr(t)与 r(t)之间的比例微分或积分
等基本函数关系，当系统所要完成的控制任务已确定时，
便是已知的。
dt
dp? )(p?
2.反馈系统 的确定
一非单位反馈系统如图 (a)所示，其等效方框图为图 (b)。
)(p?
)(p?
1( p )
1,H ( s )
1 / H ( s )( s )
)(/)()( )(
?
?
??
?
?
?
故对单位反馈系统
图知由 sHsRsCb r
R(s)
F(s)
C(s)G
2(s)G1(s)H(s)1/H(s)
Cr(s) E(s) +
-
(b)图
F(s)
G1(s) G2(s)
H(s)
Y(s)
R(s) )(s?
-
+ C(s)
(a)图
差与偏差的关系也可以用下图来表示误
或
而由偏差定义有
即
)(E ( s ) H ( s ) E ( s )( s )
Y ( s )-R ( s )( s )
Y ( s )-R ( s )H ( s ) E ( s )
)()(C ( s )-( s ) R ( s )
C ( s )-( s )CE ( s )
)()(( t )
H ( S )
1
H ( s)
1
r
s
sCsR
tytr
??
?
?
?
???
?
?
???
?
??
?
G1(S) G2(S)
H(S)
Y(S)
C(S)
E(S)
R(S) )(S?
)(S?
-
F(S)
3.偏差的定义
说明：
1）误差是从系统输出端来定义的，它是输出的希望
值与实际值之差，这种方法定义的误差在性能指标提
法中经常使用，但在实际系统中有时无法测量，因而
一般只具有数学意义。
2）偏差是从系统的输入端来定义的，它是系统输入
信号与主反馈信号之差，这种方法定义的误差，在实
际系统中是可以测量的，因而具有一定的物理意义。
3）对单位反馈系统而言，误差与偏差是一致的。
4）有些书上对误差、偏差不加区分，只是从不同的
着眼点（输入、输出点）来定义，但在本书是加以区
分的。
( t )-c( t )e
)()()(e
ff
f
?
?? tctct
frf4.系统响应扰动信号的误差
crf(t)为系统响应扰动信号 f(t)的期望输出，
考虑到实际系统应不受扰动信号的影响，故应
有 crf(t) = 0，这样
§ 7 反馈系统的稳态误差及计算
G ( s )1
R ( s )
( s ) H ( s )( s ) GG1
R ( s )
( s )
21
?
?
?
??
R(s) C(s)
Y(s)
F(s)
G1(s) G2(s)
H(s)
-
+)(s?
稳态误差：反馈系统误差信号 e(t)的稳态分量，记作 ess(t)。
动态误差：反馈系统误差信号 e(t)的暂态分量，记作 ets(t)。
一．响应控制信号 r(t)的稳态误差
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
E ( s )
)(
)(
G ( s )1
1
)(
1
)(
)(
( s )
2
1
sR
sR
sD
sM
sR
sD
sM
sD
sM
sHsR
sE
ee
e
e
???
?
?
????
),()()( tetete ssts ??
对稳定系统,0)( ??? tet ts
0t (t)e( s )e
e ( t )
)(
)(
)(
)(
b
)(
)(
)(
)(
a
-s
b
s-s
a
E ( s )
ssts
l
1
n
1
'
2
1
i
2
1
'i
l
1 i
i
n
1 i
i
???
??
??
??
??
??
??
??
??
i
t
i
i
ts
i
i
i
i
ie
i
i
i
ie
ii
ii
ebea
R
R
D
M
sR
sR
sD
sM
?
?
?
?
?
?
（ 1） R(s)仅有单极点时
)(se? i?设 si为的 极点,为 R(s)的极点，则
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
'
2
1
'
2
1
t
i
ii
l
i
ie
t
i
ii
l
i i
ie
ss
i
i
e
R
R
e
R
R
D
M
te
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
?
?
一般认为在 t > ts 之后动态误差 ets(t)基本消失，这
时只含有稳态误差 ess(t),即
对于稳定系统的闭环极点都具有负实部，所以有
由此可看出,ess(t)不仅和描述系统特性的闭环传
函 有关，而且还取决于控制输入的极点 。
)(se? i?
0)( li m
t
?
??
te ts
t
s
'
21
t
1-i-r
2
1
1
0
ss
e
)(
)(
)(
e
1 ) !-i-(r
t
])(
)(
)(
)([
!
1
( t )e
i
i
sR
sR
s
s
sR
sR
s
ds
d
i
i
rl
i
e
s
r
r
i
e
i
i
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
?
?
（ 2） R(s)含有重极点时
当控制输入 r(t)的拉氏变换 R(s)含有 r重
的极点，而其余 l–r个极点各不相同时。
??s
R(s) C(s)
Y(s)
F(s)
G1(s) G2(s)
H(s)
-
+)(s?
)(
)(
)(
)(
)(E
)(
)(
)(1
)(
)(
)(
)(1
)(
)(E
)(
)()()(1
)(
)(c
)()(e
2
1
f
2
ef
2
f
21
2
f
f
sF
sF
sD
sN
s
sD
sN
sG
sG
s
sF
sG
sG
s
sF
sHsGsG
sG
s
tct
f
?
?
?
???
?
??
?
??
???
二．反馈系统响应扰动信号 f(t)的稳态误差
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
??
???
rk
t
t
irr
i
i
s
e
ir
t
sF
s
ds
d
i
1i
s'
2
1
ef
1
s
r
2
1
ef
1
0i
ss
i
i
e
( s )F
)(F
( s )
)!1(
])-(s
)(
)(F
( s )[
!
1
( t )e
?
?
?
?
?
?
??
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??
??
??
k
i
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i
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iefss
k
i
t
i
n
i
ts
if
i
ii
e
F
F
te
ebeate
1 2
1
11
)(
)(
)()(
)(
?
?
?
?
?
?
（ 1） F(s)只含有单根时
（ 2）当 F(s)含有重根时
??s
设 F(s)含有 r 重 的极点，其余 k–r 重极
点个不相同。
)()0()()0(( 0 ) s R ( s )( 0 ) R ( s ) E ( s )
)0(( 0 ) s( 0 )( s )
)(
L!
12
2!
1
2
..
2!
1'
?????
?
??????????
????????
sRssRs
s
ll
eeee
eeee
三．误差系数
误差传递函数为
这是一个无穷级数，它的收敛域是 s = 0 邻域，这相当于
在时间域内 时成立的误差级数。因此在所有初始
条件为零的条件下，对上式进行拉氏变换，就得到稳态
误差表达,
??t
将 在 s = 0 的邻域内展开成 Taylor级数，有)(s
e?
)(
1
)(1
1
)(
)(( s )
sHsGsR
sE
e ????
( s ) R ( s )E ( s ) e??
1.一般方法
)(
)()()()(
0
)(
)(
.
10
?
?
?
?
?????
i
i
i
l
lss
trc
trctrctrcte ??
同理可得
则稳态误差可以写成
)()0(
)()0(( t )r( 0 )( 0 ) r ( t )e ( t )
)()(
l!
1
....
2!
1
..
?? ????
??????
tr
tr
ll
e
eee
?
?
?
?
0
)(
f s s )(( t )e
i
i
fi tfc
这里 ci,cfi称为误差系数。
)0( )(i!1 ieic ?? 令
)(
)(
1
1
G ( s ) H ( s )
1
1
sN
sM
sasa
sbsb
s
K
vn
vn
m
m
?
??
???
?
?
?
?
?
?
2.系统阶次较高时（这里介绍一种简便算法）
（ 1）将已知的开环传函按升幂排列成如下形式
（ 2）写出多项式比值形式的误差传递函数
（ 3）对上式用长除法得
（ 4）求 E(s)
?? ??????? )()()()()(E ( s )
10e sRscssRcsRcsRs
i
i
)()(
)(
)()(1
1)(
e sNsM
sM
sHsGs ?????
?? ?????? ii scsccs 10e )(
1)s ( s
2
( s )G
10, 2 s
5
( s )G
,1 ( t ),f(t)
t,r ( t ),
21 ????
?
?
试计算系统的稳态误差信号
扰动其中输入信号设控制系统如图所示例
0, 1( t )rcr( t )c( t )e
1( t )r,)(
- 0, 0 0 3C 0, 1 1C 0, 1C 0C
0 0 3.011.01.0
2.02.110
0, 2 s1, 2 ss
1
1
)(
)(
)(
,0)(( 1 ):
.
10ssr
.
3210
32
32
32
)1(
2
12.0
5
e
????
??
????
?
????
???
??
?
??
???
?
??
故又
误差系数
得误差传函令解
ttr
sss
sss
sR
sE
s
sF
SSS
?
C(s)R(s)
Y(s)
F(s)
G1(s) G2(s)- +)(s?
3.0|||e|e
,
1.0)2.0(1.0e
- 0, 2f ( t )c( t ) 1 ( t )f ( t )
026.002.02.0
1)(
)(
)(
,0)(( 2 )
ssrss
ssrss
0
2
)1(
2
12.0
5
)1(
2
ef
???
???????
????
?????
??
?
???
?
??
?
ssf
ssf
ssf
SSS
SSf
e
ee
e
ss
sF
sE
s
sR
取此在随动系统设计中常
因方向是变化的有时作用到系统的扰动
得扰动误差传函令
?
?
)1()1)(1(
)1()1)(K ( 1
G ( S ) H ( S )
21
21
sTsTsTs
sss
vn
v
m
????
???
?
?
? ???
（ 1）系统型别
四．稳态误差终值的计算
设系统的开环传函为
称为零型系统
称为 I 型系统
称为 II 型系统
系统的型别以 来划分?
0??
1??
2??
优点,1．可以根据已知的输入信号形式，迅速判
断是否存在稳态误差及稳态误差的大小。
2．系统阶数 m,n的大小与系统型别无关，且
不影响稳态误差的数值。
)()(lim)(s lime
0s0s
ss sRsssE e???
??
。控制系统的稳态误差值
时和
试求当输入信号分别为
传递函数为设单位反馈系统的开环例
,s i n)(
2
1
)(
,
1
G ( s )
,
2
wttrttr
Ts
??
?
2.利用终值定理计算
应用终值定理的条件是 sE(s)在 s右半平面及虚
轴上解析，或者说 sE(s)的极点位于左半平面（包括
坐标原点）。
因而是允许的。际所求一致但与实
在坐标原点不解析尽管在数学上
由终值定理
时
时当
解
,
,)(
lims E ( s )lime
( 2 )
e t
T)-T ( teTe( t )
-( s ) R( s )E ( s ) ( 1 )
R( s ) tr ( t )
( s ):
1 / T )s ( s
1
0s0s
ss
ss
-2
1 / TS
T
S
T
S
T
1 / T )(SS
1
S
12
2
1
/1
S
( S )1
1
e
T
t
22
22
3
ssE
TSG
????
????
??
?????
??
???
?
??
??
??
.
0
)s()1(
lim)(lim)(e
,
,,0)(e,
s i n
1
c o s
1
)(e
s i n
1
c o s
11
e ( t )
s
1
1
s1
1
1
1
)s()1(
)()(E ( s )
s
R ( s ) )3(
22
2
00
ss
ss
22
22
22
ss
22
22
2222
2222
32
222222
22
e
22
的错误结论
否则得出算稳态误差值不能采用终值定理来计
所以此时轴上不解析应当注意正弦函数在虚这里
?
??
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
???
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
Ts
s
ssE
t
T
T
t
T
T
t
t
T
T
t
T
T
e
T
T
T
Ts
T
T
Ts
T
T
Ts
s
sRs
ss
Tt
1
1
)(1
1
l i m)(
)(1
1
l i me
00
ss
p
ss ksG
sR
sG
s
?
?
?
?
?
?
??
3．静态误差系数
已知
定义 速度误差系数
???? ? )(limk 0v ssGs
v
s
s kssGssG
s 1)(l i m 11)(1 1l i me
0
20ss ????
?
?
)()(1 1l i m)(l i me
00ss
sRsGsssE
ss ?
??
??
1R ( s ) 1( t )r ( t ) ( a ) s??
定义 位置误差系数
)(limk 0p ???? ? sGs
1R ( s )t r ( t ) )( 2sb ??
1
)(l i m
11
)(1
1
l i me 2
0
30ss
as
s ksGsssG
s ??
?
?
?
?
定义 加速度误差系数
???? ? )(l i mk 20a sGss
1R ( s ) t21r ( t ) )( 32 sc ??
k
1
t
2
1
0
k
1
t
0 0
k1
1
1 ( t )
II I 0
a
2
v
p
??
?
?
输入
型型型差
型别误
,
)(2,
1.,
,G ( S ) 0:1
2
210
1S
K
2
解
时的误差系数当输入
定误差及误差级数。
的给定稳在三种典型输入下系统试计算
是型系统的开环传递函数设例
ttRRtr
R
???
?
?
1
e tr( t )
1
e tr( t )
1
1
1
1
e 1 ( t )r( t )
0k,0k k,k
,0
SS
2
2
1
SS
SS
avp
????
????
?
?
?
??
???
a
v
p
k
k
kk
时
时
时
所以型由于系统为
32
1)(K
2K-
e
..
1)(K
K
e
.
K1
1
e
1s
ke
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
1
1
1
1
( s )
???
?
??????
??
?
?
?
??
ks
s
??
?
?
?
?
?
?
???????
)(
)1(
)(
)1(
)(
1
1
)(e
)0(C )0(C )0(C
..
3
.
2ssr
..
2
1
2
.
10
tr
K
k
tr
K
k
tr
k
t
eee
23212
2
2101
1
ssr
2
..
21
.
2
210
322ssr
2
2
1
2ssr
ssr
)1(
)(
)1(
)
2
1
()(e
)( (t)r
2
1
)(
)1()1(1
1
)(e )(
)1(1
1
)(e )(
1
1
)(e 1)(
2
R
K
k
tRR
K
k
tRtRRt
RtrtRR
tRtRRtr
K
k
t
K
k
k
tttr
K
k
t
k
tttr
k
ttr
K
t
?
??
?
????
???
???
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
??
?
时当
时当
时当
时当
§ 8 顺馈控制的误差分析
)()(
)(
)(
)()(
,0)()()()(
( s ) ] F ( s )G( s )( s ) G ( s ) G[GC ( s ) ]-s)( s ) G ( s ) [ R (G
( s ) F ( s ) ]GC ( s )-s)( s ) G ( s ) [ R (G( s ) F ( s )Gc ( s )
( s )G
1
1
f1cc
1cf
1
SGSG
SG
SG
tctf
sGsGsGsG
c
f
fc
?
?
??
???
???
这时
的影响。对则可消除扰动信号
若取
为顺馈通道传递函数
R(s) C(s)
G1(s) Gf(s)
Gc(s) G(s)
F(s)
+
一．应用顺馈补偿扰动信号对系统输出的影响
说明：
1.顺馈补偿实际上是应用开环控制方法去补偿
扰动信号的影响，所以它不改变反馈系统的特
性（如稳定性）。
2.对补偿装置的参数要求有较高的稳定性，否
则削弱补偿效果。
3.由于顺馈补偿的存在，可降低对反馈系统的
要求，因可测干扰由顺馈完全或近似补偿，由
其他干扰引起的误差可由反馈系统予以消除。
力矩为可测。设作为扰动信号的负载对系统输出的影响矩
以补偿负载力偿传递函数试确定顺馈通道中的补函数
为综合放大器传递为滤波传递函数对象传递函数
为被控其中其方框图如下设有一位臵随动系统例
,
),(.
( s )G,( s ),
)(,,15.
1
C2
LM
sG
G
sG
C(S)
Kf/KD
G1(S)
K
Gc(S) G
2(S) G(S)
Gf(S)
F(S)=-ML(S)
R(S)
)1( ?STS
K
M
D
11?STB
T)(T
1
)1(
-G ( S )
,)(
)1(
( S )( S ) GG
( s )G
-( S )G
0( S )( S ) G( S ) GG( S )G
,
( S ) ] F ( S )( S ) G( S ) GG( S )G ( S ) [ G
)( S ) G ( S ) F ( S( S ) G( S ) GG( S ) F ( S )G ( S ) GC ( S )
)()(:
B
1
1
1
2c
f
1
2c1f
2c1f
2c1f
??
?
?
???
???
?
??
?
??
??
??
?
Ts
ST
KK
K
SG
ST
KK
K
K
tctf
B
D
f
B
D
f
ST
K
K
B
D
f
取物理可实现为保证
由此得
在上式中需有
出无影响如果要求负载力矩对输
的影响对输出扰动信号解
G1(S) G2(S)
Gbc(S)
R(S) C(S))(s?
1)(,)(
( s )( s ) GG1
( s ) ]G( s )( s ) [ GG
)(1
)(
( s )G
])([
)()(1
( s )( s ) GG( s )( s ) GG
)(
)(
)(
( s ) R ( s )( s ) GGC ( s ) ]-( s ) [ R ( s )( s ) GG
( s ) R ( s )( s ) GG( s )( s )( s ) GGC ( s )
eq)(
1
bc2
bc12
eq
eq
eq
)(1
G ( S )
21
2bc21
eq
2bc21
2bc21
2
???
?
?
?
??
?
?
??
?
?
???
??
??
?
sSG
s
s
s
sGsGsR
sC
s
SGbc
SG
则时取
环传函为其等效开
?
1.原理：
二．应用顺馈减小系统控制信号的误差
在反馈基础上引
入控制信号的微
分作为系统的附
加输入从而减小 号的误差。系统响应控制信
)1s(as)1s( 1 / kkG
,/1
])1ss [ a)sk(G
S,( S )G
( S ) ]( S ) GG-[11]( S )( S ) [ GGG
G ( s )( s )G 1,)(
1)sasass ( aG ( S )
1
1
1
n
n
2
vveq
1
11
1
1
n
nvv1eq
1bc
bc2bc2eq
21
1
-1n
-1n
n
n
??????
?
???????
?
??
??
?????
?
?
?
?
sasa
k
ksasak
sG
k
n
n
v
v
n
n
v
?
?
?
则取
则取
则又设
引入顺馈后
开环传递函数为设系统无顺馈通道时的
?
??
?
2.对误差和稳定性的影响
a.误差
由上式可见系统型别由 I型提高到 II型。
)1(
)1(
/,/1
s,s( s )G 1)(
1
1
1
3
12
121
1
2
2bc1
1
????
??
?
??
???
?
?
sasasas
ssk
G
kak
sG
n
n
n
n
kk
a
v
eq
vv
vv
?
则
并且
若取
??
??
系统由 I型变为 III型，从而使稳定性能大为提高。
b.稳定
影响。因而对系统稳定性没有
系统的特征方程为
0kssasasa( s )1( s )1
v
2
1
3
2
1n
n ??????????
? ?GG
eq
。求顺馈传函完全复现
型及实现对到型反馈系统的型别提高原
要求图如图所示设位臵随动系统的方框例
)(,)(
,.
sGtr
III
bc
R(s) C(s)
Gbc(s)
-
+
)1( 2 2?sTs
k
11 1?sT
k
22221
1
2
2
2
2
2
2
bc
1
2
2
21
2
1
)1(
K
1
1
k
1
)1(
k
eq
211bc
2bc
1bc2
eq
21
21
/ /1
)(
1
( s )G
,)()2(
)1(1
][
( s )G
/1 ( s )G
( s )( s ) GG-1
( s ) ]G( s )( s ) [ GG
( s )G
)1)(1(
kk
G ( s ) ( 1 ),
2
2
2
1
1
22
2
kTk
ss
k
ssT
sG
tr
sTsT
kkssT
s
s
ks
sTsTs
STSK
STKSTS
??
??
?
??
?
??
?
??
?
??
??
?
?
??
?
?
??
??
??
??
则
则的完全复现若实现对
取
引入反馈后
无反馈解
§ 1 典型输入信号
0 t0
0 t)(
??
?
?
?? Rtr
t
r(t)
R
t
r(t)
Rt
r(t)
t0
2
1
)(
0 t0
0 t)(
S
SR
Rttr
?
?
?
?
?
??
3
2
1
)(
0 t0
0 t)(
S
SR
Rttr
?
?
?
?
?
??
一．阶跃函数
二．斜坡函数（匀速函数）
三．抛物线函数（匀加速函数）
R=1时，称为单位阶跃函数，记为 l(t) 。 R(S)=1/S。
R=1时，称为单位斜坡函数。
R=1/2时，称为单位抛物线函数。
ht
h t 0 t0
)(
??
?
?
?
??
??
? ?
h
Atr
及
?t
r(t)
?
1R ( s )
0 t0
0 t( t )
?
?
?
?
?
???
??
?
h
0
s
A
R ( S )
)-tA s i n (r ( t )
22
?
?
?
?
?
?
?
??
h
1/h
t
r(t)
r(t)
t
四．脉冲函数
五．正弦函数
当 时，则称为单位脉冲函数。
?2.一阶系统的时域分析
1
1
?TS
1
1
)(
)s(
)(
)()(
)(
?
???
??
TssR
C
s
trtc
dt
tdc
T
一阶系统：以一阶微分方程作为运动方程的控
制系统。
T
t
etc
Ts
T
ssTs
sRssC
s
ttr
?
??
?
???
?
???
??
1)(
1
11
1
1
)()()(
1
R( s ) )(1)( 一, 单位阶跃响应
标准形式
传递函数
?
?
?
??
??
?
?
???
???
?????
?
0, 0 2 4
0, 0 5 3
%9898.0)(,4
%9595.0)(,3
%2.636 3 2.01)(,
1.
:
1
T
T
t
tcTt
tcTt
etcTt
s
可得调整时间
时
时
时
系统输出量的数值可以用时间常数去度量
说明
T
T
e
Tdt
tdc
T
t
T
t
t
数响应曲线上确定时间常可用此方法在单位阶跃
相应曲线的初始斜率为
11)(
1
.2
00
??
?
?
?
1
A
T
0.632
斜率 1/T
1/T
T1368.0
T t
r(t)
T
T t
r(t)
当输入信号为理想单位脉冲函数, 系统的输出称为
单位脉冲响应 。
1
]
1
1
[L)(
1
1
)(
1
1
)(
1)]([)(
1 T
t
e
TTs
tc
Ts
sR
Ts
sC
tLsR
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
二, 单位脉冲响应
,)(
t
)e-T ( 1c ( t )-r ( t )e( t )
TeT-tc ( t )
1
11
1Ts
1
C ( s )
s
1
R ( s )t r ( t )
T
t
-
T
t
-
2
22
2
Te
Ts
T
s
T
ss
??
??
??
??
?
????
?
?
??
时，
三, 单位斜坡响应
跟踪误差为 T。
1s
1
1Ts
1
C ( s )
s
1
R ( s )
2
1
r ( t )
43
2
2
3
1
3
3
2
?
?????
?
?
??
Ts
a
s
a
s
a
s
a
t
? ?
3
134
2
03
2
02
2
3
0202
0
3
31
1
1
1Ts
1
a
)1(
2
2
1
1Ts
1
!2
1
a
)1(1Ts
1
a
1
s
1
1Ts
1
a
TTs
s
T
Ts
T
ds
d
T
Ts
T
ds
d
s
T
s
ss
ss
s
???
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
??
??
?
)1(
2
1
2
1
)(
1
1
C ( s )
22222
32
23
T
t
eTTtteTTTtttc
Ts
T
s
T
s
T
s
T
t ?
????????
?
?
????
?
四．单位抛物线响应
)()()()(
3
3
2
2
tr
dt
dtr
dt
dtr
dt
dtr
抛物线斜坡阶跃脉冲 ???
)1(21)( 22 T
t
eTTtttc
?
????
T
t
etc ??? 1)(
T
t
eTtc ?? 1)(
T
t-
TeT-tc( t ) ??
)()()()(
3
3
2
2
tc
dt
d
tc
dt
d
tc
dt
d
tc 抛物线斜坡阶跃脉冲 ???
五．结果分析
输入信号的关系为：
而时间响应间的关系为：
§ 3 二阶系统的时域分析
)()()(2)(d 222
2
trtc
dt
tdc
dt
tc
nnn ???? ???
s 2 n 2
2
2 nn s ???
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??R(s) C(s)
)s (s n
n??
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2
2
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R(s) C(s)
2sR ( s )
C ( s )
22
2
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2s
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22
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2
n
nn
n
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??
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??
?
?
?
二阶系统的定义：用二阶微分方程描述的系统。
微分方程的标准形式：
—阻尼比，? n? —无阻尼自振频率。
传递函数及方框图
等效的开环传函及方框图
02s
22
???
nn
s ???
1
2
2,1
???? ????
nn
js
s1
s2
21 ?? ?n
n??
一．单位阶跃响应
1.闭环极点的分布
二阶系统的特征方程为
两根为
位于平面的左半部
的取值不同,特征根不同。?
1s 21,2 ???? ???? nn
（ 1） （欠阻尼）有一对共轭复根10 ?? ?
s 1 1,2 n??? ???
s2
s1
s1 s2
s2
s1
s1
s2
1s 1 21,2 ????? ????? nn
nj?? ??? 1,2s 0
1s 01- 21,2 ????? ?????? nn j
（ 2） （临界阻尼），,两相等实根
（ 3） （过阻尼），,两不等实根
（ 4） （无阻尼），,一对纯虚根
（ 5）, 位于右半平面
)(
1
1)(
1
))((
21
1
2
C ( s )
10 ( 1 )
22
2
2
22
2
n
2
2
n
dn
n
dn
n
dndn
n
n
ss
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s
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2.二阶系统的单位阶跃响应
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?????
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??
????
2
2
2
-
-
2
-
1
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)s i n (
1
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1
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t
tt
d
t
d
t
d
t
n
nn
t)dc o s (-1)090tds i n (-1c(t) 0)2( ??? ???? 时
t
n
nn
n
n
n
nn
n
n
ettc
sss
sssss
sC
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2
2
2
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2
时
)1(12
1
a,
)1(12
1
a
1
1
1
1
2
C ( s )
1s 1)4(
22
2
22
1
2
2
2
1
22
2
2
2,1
???
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?????
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????????
???
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?????
nnnn
nn
n
nn
s
a
s
a
s
sss
一对实根
e
)1(12
1
e
)1(12
1
-1c ( t )
)1(-
22
)1(-
22
2
2
t
t
n
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???
???
???
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2
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1
a r c t g 1
)ts i n (
1
e
-1c ( t )
01- ( 5 )
?
???
?
?
?
??
n
t
n
时
?一般 在 0.4—0.8间响应曲线较好
10 0 %)c( )c(-)c ( t ppp ?? ????
)c(|)c(-c ( t )| ????
t
c(t)
?2
tr tp ts
c(?)
二,二阶系统的性能指标
1.定义
超调量,
t r
上升时间,
pt峰值时间,单位阶跃响应达到第一个峰值所需时间。
)C( N ?
振荡次数,在调整时间内响应过程穿越其稳态值
次数的一半定义为振荡次数。
调整时间：单位阶跃响应进入到使下式成立所需时间。
，一般取 05.002.0 ???
单位阶跃响应第一次达到其稳态值所需时间。
1
a r c t g
1
)
1
(
1
t
1
tg,
1 )s i n
1
( c o s1)c ( t
,1)( tt
2
d
2
2
r
2
2
r
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t
r
a r c t g
t
tte
tc
rn
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由此得
即时当
2.性能指标的计算
(1)上升时间 rt
2
2
pd
2
pdn
2
pdd
-
2
pd
-
n
2
-
1
,,
.,,,,,,3,2,,0,0s i n
0)co s
1
t( - s i n
)s i n
1
t( c o s-
0)co s
1
ts i n(-e
)s i n
1
t( c o se-
,0
dt
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)s i n
1
( c o se-1c( t )
n
n
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d
t
tt
dd
t
tt
tt
t
t
t
t
tt
p
p
p
n
则取因为第一个峰值时间
有由
（ 2）峰值时间 t
p
1 0 0 %e
1s i n
1
co s
s i n
1
co s
%1 0 0)s i n
1
( co se
1 0 0 %
)c(
)c(-)c( t
2
n
1
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p
2
2
2
-
p
p
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d
d
d
d
pdpd
pdpd
t
tt
tt
p
（ 3）超调量
p?
1
1
ln3
t0, 0 5,
1
1
ln4
t0, 0 2,
1
1
ln
1
t,
0| 1)
1
s i n (
1
e-1|
tt )c(|)c(-c( t )|
2
s
2
s
2
n
s
2
2
-
s
n
n
n
d
t
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??
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?????
取
取
解得
根据
1
tn-
2 e1
11 ?????
tn-
2 e1
1-1 ????
t 0, 90
02.0 4
0, 0 5 3s ??
?
?
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???
??
??
n
n
??
??
? 时
（ 4）调整时间
??
?
?
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?
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)(
1
1
0)
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0)
1
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1
1
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0,
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2
2
2
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ma r ct gttt
na r ct gt
a r ct gt
a r ct gtectc
ctcNctc
ttN
sds
d
d
d
t
s
n
代入得将
来计算
可由的次数之半穿越稳态值应
时间内系统响等于在振荡次数根据定义
（ 5） 振荡次数 N
表示取整数
并取整数得代入将
得令好等于
并不一定刚时因为当为小数为整数式中
(, )
)
2
-1
a rc t g
-1
1
ln
2
-1
N(N
,
-1
1
ln
1
2
1
1
,
2
,)(
c( t ),,,
2
2
2
2
n
2
2
N
t
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N
m
Nc
ttm
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s
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?
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2
T
d
d
d
s
T
t
N
?
?
?
?
:
,
,
)/(40, 5,
,1.
n
解
性能指标试求系统的动态
信号时入信号为单位阶跃
当输秒弧度
其中二阶系统如图所示例
?? ??
%3.16%1 0 0%1 0 0
)(91.0t
)(60.0t
46.35.0141
)(05.160
2
5.01
5.0
2
1
2
2
2
2
p
46.3
1
p
46.3
05.1
1
r
22
d
5.0
5.01
1
?????
???
???
?????
????
?
?
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???
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?
ee
a r ct ga r ct g
n
n
n
秒
秒
弧度
?
)2(
2
n
nss ????
三．计算举例
0, 0 2 )(118.1
14.32
46.314.2
2
t
N
0, 0 5 )(18 6 5.0
14.32
46.357.1
2
t
N
0, 0 2 )(14.2
45.0
ln4ln4
t
0, 0 5 )(57.1
45.0
ln3ln3
t
s
s
5.01
1
1
1
s
5.01
1
1
1
s
2
2
2
2
????
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次
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秒
秒
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d
d
n
n
.K
,1
%3.16
c( t )
,2
p
之值及内反馈系数
益试确定前置放大器的增
秒峰值时间
和调量
有超具阶跃响应
要求该系统的单位如图所示已知某控制系统方框图例
?
?
?
?
p
t
)1(10?ssK
s?
C(s)R(s)
ra d / s 3, 6 3
n
2
1
p
t
0, 5
%3.16%100
2
1/
p
p
)1(:
?
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???
?
??
?
得
又
得
由
及参数
计算出二阶系统和由已知解
n
e
n
p
t
0, 2 6 3 32.1
10
2
101
n
2
2
2
2
s
2
R ( s )
C ( s )
( 3 )
10)101(
2
s
1 0 K
R ( s )
C ( s )
,( 2 )
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???
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???
?
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????
???
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?
K
K
n
n
s
n
n
Ks
解得
与标准形式比较
并化成标准形式求闭环传递函数
t 1s i ne
1
]
)1)(1(
[Lk ( t )
1)(0
s i n][Lk ( t )
0)(
2
c ( s )
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2
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n
2
n
2
2
n1-
22
2
n
n
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n
t
nnnn
n
nn
jsjs
t
s
ss
四．二阶系统的脉冲响应
（ 1）无阻尼 脉冲响应
（ 2）欠阻尼 脉冲响应
][
12
]
)1(
)1(
[Lk ( t )
1)(
]
)(
[Lk ( t )
1)(
)1()1(
2
n
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2
12
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2
2
n
2
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2
n
2
n
tt
nn
nn
t
n
nn
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（ 3）临界阻尼 脉冲响应
（ 4）过阻尼 脉冲响应
1
e1
1s i n
1
)(
0)(
0
1
1s i n
1
)k ( t
tt,
)1(0
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2
2
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2
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t
n
t
p
n
n
t
n
t d tedttk
ttk
e
积分有至从对
则
令在欠阻尼下
ttp
kmax
0
1+tp
脉冲响应与阶跃响应的关系
1
1
a r c t g
)1s i n (
-1z
)1()-(z
-1C ( t )
10
1
)(
)2(
)(
R ( s )
C ( s )
2
2
2
2
222
n
22
2
n
n
n
n
nn
n
z
a r ct g
t
s
SR
ssz
zs
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?
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???
??
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???
??
?
?
五．具有闭环零点的二阶系统的单位阶跃响应
二阶系统的闭环传函具有如下标准形式
当 时，对欠阻尼情况
222n
s
s
222
1
p
2
p
2
r
)1()(
z
0, 0 2
ln4
t
0, 0 5
ln3
t
%1 0 02
1
t
1
t
2
1
)(
????
??
?
??
??
?????
??
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???
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???
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?????
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?
nn
n
z
l
n
z
l
n
n
zl
e
这里
对应的性能指标为
5)~(2z n???
说明：
1.闭环负实零点的主要作用在于加速二阶系统的响应
过程 (起始段 )；
2.削弱系统阻尼，超调量大；
3.合理的取值范围为 。
(t)c(t)cc ( t )
2
)0()2)(0(
)(
2
c ( s )
)()()]0()([2)0()0()(s
21
2
n
2
.
2
n
2
2
n
22
.
2
??
??
??
?
??
?
??????
???
??
???
?
????
ss
csc
sR
ss
sRsccssccscsc
n
n
n
nnn
零状态响应
零输入响应
六 初始条件不为零的二阶系统的响应过程
当初始条件不为零时，求拉氏变换得
)()()(2)(d 222
2
trtcdt tdcdt tc nnn ???? ???
可见,具有相同的衰减振荡特性(t)c(t),c
21
)s i n (]
1
)0()0(
[)]0([)(c
)s i n (e-1( t )c
/1)( 1,0
n-
2
n
2
2
.
2
2
1
1-
1
??
??
??
??
?
??
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??
?
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?
??
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???
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te
cc
ct
t
SSR
d
n
n
d
t
t
时当取
。试求取系统的传递函数
响应已知某系统的单位阶跃例
tt ee 21c( t )
1.
?? ???
23
2
R ( s )
C ( s )
23
4s
s
1
23
2
)(
4)0()0(2)0(
431)0(2( 0 )c
2 32
)23(
24
2
1
1
11
)(
1)( 1)0(
2
22
2
2
2
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sc
occ
n
n
nn
?
?
?
??
??
???则
:解
§ 4 高阶系统的时域分析
)1co s (1)(
2
1)(1
1
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)z-(sK
C ( s )
2
1 1
1
22
2
1
22
11
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k
nkknkkk
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?
Res1
s2
s3
n??5 n??
Im
在高阶系统的诸多闭环极点中，把无闭环零点靠近，且其
它闭环极点与虚轴的距离都在该复数极点与虚轴距离的五倍以
上，则称其为闭环主导极点。
一．闭环主导极点的概念
二．高阶系统单位阶跃响应的近似分析 ndj ?????
?
????
?
S
5|R e S|
1,2
3
2
1
1
1
1
1
1
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)(
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)(
)(
2
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SS
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
由此可见高阶系统的暂态响应是一阶和二阶系统。
暂态响应分量的合成则有如下结论：
（ 1）各分量衰减的快慢由指数衰减系数 及 决
定。系统的极点在 S平面左半部距虚轴愈远，相应的暂
态分量衰减愈快。
iS nkk??
（ 2）系数 和 不仅与 S平面中的极点位置有关，
并且与零点有关。
a.零极点相互靠近，且离虚轴较远,越小，对 影
响越小；
b.零极点很靠近，对 几乎没影响；
c.零极点重合（偶极子）,对 无任何影响；
d.极点 附近无零极点，且靠近虚轴，则对 影
响大。
iA kD
iA )(tc
)(tc
)(tc
iS )(tc
?5|R e S| 3 ?（ 3）若 时，则高阶系统近似成二阶系统分析。
§ 5 线性系统的稳定性与稳定判据
0,F ( S )0,R ( S )
)()(C ( S )
)()(MM ( P ) R ( t )D ( P ) C ( t )
)(
)(
)(
)(
D ( S )
M ( S )
f
0
则令
取拉式变换后有
设系统的运动方程为
??
???
??
SD
SM
SD
SM
SFSR
tfP
f
一．稳定的概念与定义
定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其过渡过程
随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称系统为渐近稳定，
简称稳定；反之若在初始扰动影响下，系统的过渡过程随
时间推移而发散，则称其不稳定。
二．线性系统稳定的充要条件
稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。
???
??
??
?
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
)(lim 0R eS
0)(lim 0R eS
)(A
)(
,0D ( S ) )1,2,3,.,, n(i S
C ( S )
t
i
t
i
)(
)(
i
1
i
1
D ( S )
( S )M
0
0
tc
tc
SS
eAtC
i
i
i
i
SSi
SD
SM
n
i
tS
i
n
i
SS
A
则若
则若
则
的根为
线性系统稳定的充要条件：
其特征根全部位于 S平面的左半部。
,
254
1
R( S )
C( S )
,
23
解
的稳定性。
试判断系统例
???
?
SSS
,
-2
3
S -1,
2
S -1,
1
S
02)(S
2
1)(S2)3S
2
1 )(S(S
025S
2
4S
3
S
故系统稳定。
负实部由于三个特征根都具有
???
???????
????
0asa...sasaD ( s ) 01
1-n
1-n
n
n ??????
三．稳定判据
1.Routh稳定判据
系统的特征方程为
必要条件
（ 1）特征方程的各项系数 ai(i=1,2,…,n) 都不为零；
（ 2）特征方程的各项系数 ai(i=1,2,…,n) 具有相同
的符号。
充分条件：
劳斯阵列第一列所有元素为正。
c c
b
b b
,,,,,,,,,,,,
.,,,,, cc s
.,,,,,, b b b s
.,,,,,a a a a s
.,,,,, a a a a s
1
3151
2
1
2131
1
1
761
3
1
541
2
1
321
1
2 1
3-n
321
2-n
7-n5-n3-n1-n
1-n
6-n4-n2-nn
n
b
baab
b
baab
a
aaaa
a
aaaa
a
aaaa
nnnn
n
nnnn
n
nnnn
n
nnnn
????
?
???
?
???
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
劳斯阵列
的个数。别该特征方程正实部根试用R o u t h 判据判
054s3s2ss
设有下列特征方程 例1,
234
?????
5 s
0 6 s
5 1s
0 4 2 s
5 3 1 s
,,
0
1
52-411
2
4-32 2
3
4
??
?
??
?
列写劳斯阵列解
符号改变一次
符号改变一次
。故有两个实部为正的根
次阵列第一列符号改变二
Routh,?
,
023s-s
,
3
解
正的特征根的个数。试应用判据判别实部为
设系统的特征方程为例
??
2 s
0 s
2 0 s
3- 1 s
0
2-3-
2
3
?
?
??
改变一次
改变一次
2.Routh判据的特殊情况
a.某行第一个元素为零，其余均不为零。
方法一,
有两实部为正的根。?
有两个实部为正的根。
则取得新方程乘以原方程以
?
??????
??
6
0
s
0 20
1
s
0 6 2 / 3-
2
s
0 7- 3
3
s
6 3- 1
4
s
067s-
2
3s-
3
3s
4
2)3s-
3
a)( s(s
,3,,)(
s
aas
改变一次
改变一次
方法二,
,
04-4s-7s-3s-2s-s
::
23456
解
。试确定正实部根的个数
已知系统特征方程为例
?? s
0 0 0 s
4- 3- 1 s
0 4- 3- 1 s
4- 7- 2- 1 s
3
4
5
6
06s-4s
ds
d F ( s )
04-3s-F ( s ):
3
24
??
?? s辅助方程
4- s
0 1 6, 7- s
4- 1, 5- s
0 6- 4 s
4- 3- 1 s
4- 3- 1 s
4- 7- 2- 1 s
0
1
2
3
4
5
6
b.劳斯表某行全为零
说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。
。另外二根为
再由原特征方程得
。得出产生全零行的根为
求解辅助方程
有一个实部为正的根。
符号改变一次
2
3
2
1
-,
0)1)(4)(1(s
:
,2
0)1)(4(43)(
,
222
2224
j
sss
j
sssssF
??
?????
??
???????
?
?
,
K,-1S
K
R o u t h,:
解
至范围应取多大问垂线之左部位于
闭环极点全的取值范围。如果要求的开环增益
判据确定使系统稳定试应用设系统如图所示例
?
)125.0)(11.0( ?? SSS K
C(S)R(S)
-
s
14
-5 6 0
s
14 s
40 1 s
,
04014s
:4 0,K,
)10)(4(
)(
:
0
1
2
3
23
?
?
?
?
?
?
?
????
?
???
??
K
K
K
Kss
Ksss
K
s
相应的劳斯表为
程由上式得系统的特征方式中
系统闭环传递函为
14K0 5 6 0K0
0
14
K-5 6 0
0K
,
*
*
*
????
??
即
应有为使系统稳定
3.Routh判据的应用
4, 8K0, 6 7 5
19227
27-K s
11
27)-(K-165
s
27-K 11 s
15 1 s
0)27(1511s
,,1s
,1
*
*
0
1
*
1
1
*
2
1
3
1
*
1
2
1
3
1
1
??
??
?????
??
??
K
R o u t h
Kss
s
ss
则解得
表为相应的
得代入原特征方程则令
垂线之左平面上全部位于若要求闭环极点在
0
a a 0
a a a
a a a
0
a a
a a
0
3-n-1n
4-n2-nn
5-n3-n -1n
3
2-nn
3-n-1n
2
11
???
???
???
?n
a
0
a a 0 0 0 0
0 a 0 0 0 0
0 a 0 0 0 0
0 0 a a 0 0
0 0 a a 0 0
0 0 a a a 0
0 0 a a a 0
0 0 a a a a
0 0 a a a a
02
1
0
2-nn
3-n-1n
4-n2-nn
5-n3-n-1n
6-n4-n2-nn
7-n5-n3-n-1n
???
?
?
?
???????
?
?
?
?
?
?
n
4.Hurwitz判据
设系统的特征方程为：
则系统稳定的充要条件是由特征方程的系数 ai(i=1,2,…,n)
构成的主行列式及其主对角线上的各阶主子式均为正，即
0a 0asasasa n01-1n-1nnn ?????? ?
,
0105s3ss2s
.
234
解
该系统的稳定性。试用霍尔维兹判据判断
设系统的特征方程式为例
?????
系统是不稳定的?
??????
?????????
????????????
04 5 0
5 1 0
10 3 2
0 5 1
10
0451051015
5 1 0
10 3 2
0 5 1
07103
3 2
5 1
01
10 3 2 0
0 5 1 0
0 10 3 2
0 0 5 1
4
3
214
§ 6 反馈系统的误差与偏差
)()()(c
)()()(
r trpt
tctcte r
??
??
1.误差的定义
一．误差
期望输出 cr(t)与实际输出 c(t)之差定义为反馈系统响应
r(t)的误差信号，即
算子, 反映 cr(t)与 r(t)之间的比例微分或积分
等基本函数关系，当系统所要完成的控制任务已确定时，
便是已知的。
dt
dp? )(p?
2.反馈系统 的确定
一非单位反馈系统如图 (a)所示，其等效方框图为图 (b)。
)(p?
)(p?
1( p )
1,H ( s )
1 / H ( s )( s )
)(/)()( )(
?
?
??
?
?
?
故对单位反馈系统
图知由 sHsRsCb r
R(s)
F(s)
C(s)G
2(s)G1(s)H(s)1/H(s)
Cr(s) E(s) +
-
(b)图
F(s)
G1(s) G2(s)
H(s)
Y(s)
R(s) )(s?
-
+ C(s)
(a)图
差与偏差的关系也可以用下图来表示误
或
而由偏差定义有
即
)(E ( s ) H ( s ) E ( s )( s )
Y ( s )-R ( s )( s )
Y ( s )-R ( s )H ( s ) E ( s )
)()(C ( s )-( s ) R ( s )
C ( s )-( s )CE ( s )
)()(( t )
H ( S )
1
H ( s)
1
r
s
sCsR
tytr
??
?
?
?
???
?
?
???
?
??
?
G1(S) G2(S)
H(S)
Y(S)
C(S)
E(S)
R(S) )(S?
)(S?
-
F(S)
3.偏差的定义
说明：
1）误差是从系统输出端来定义的，它是输出的希望
值与实际值之差，这种方法定义的误差在性能指标提
法中经常使用，但在实际系统中有时无法测量，因而
一般只具有数学意义。
2）偏差是从系统的输入端来定义的，它是系统输入
信号与主反馈信号之差，这种方法定义的误差，在实
际系统中是可以测量的，因而具有一定的物理意义。
3）对单位反馈系统而言，误差与偏差是一致的。
4）有些书上对误差、偏差不加区分，只是从不同的
着眼点（输入、输出点）来定义，但在本书是加以区
分的。
( t )-c( t )e
)()()(e
ff
f
?
?? tctct
frf4.系统响应扰动信号的误差
crf(t)为系统响应扰动信号 f(t)的期望输出，
考虑到实际系统应不受扰动信号的影响，故应
有 crf(t) = 0，这样
§ 7 反馈系统的稳态误差及计算
G ( s )1
R ( s )
( s ) H ( s )( s ) GG1
R ( s )
( s )
21
?
?
?
??
R(s) C(s)
Y(s)
F(s)
G1(s) G2(s)
H(s)
-
+)(s?
稳态误差：反馈系统误差信号 e(t)的稳态分量，记作 ess(t)。
动态误差：反馈系统误差信号 e(t)的暂态分量，记作 ets(t)。
一．响应控制信号 r(t)的稳态误差
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
E ( s )
)(
)(
G ( s )1
1
)(
1
)(
)(
( s )
2
1
sR
sR
sD
sM
sR
sD
sM
sD
sM
sHsR
sE
ee
e
e
???
?
?
????
),()()( tetete ssts ??
对稳定系统,0)( ??? tet ts
0t (t)e( s )e
e ( t )
)(
)(
)(
)(
b
)(
)(
)(
)(
a
-s
b
s-s
a
E ( s )
ssts
l
1
n
1
'
2
1
i
2
1
'i
l
1 i
i
n
1 i
i
???
??
??
??
??
??
??
??
??
i
t
i
i
ts
i
i
i
i
ie
i
i
i
ie
ii
ii
ebea
R
R
D
M
sR
sR
sD
sM
?
?
?
?
?
?
（ 1） R(s)仅有单极点时
)(se? i?设 si为的 极点,为 R(s)的极点，则
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
'
2
1
'
2
1
t
i
ii
l
i
ie
t
i
ii
l
i i
ie
ss
i
i
e
R
R
e
R
R
D
M
te
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
?
?
一般认为在 t > ts 之后动态误差 ets(t)基本消失，这
时只含有稳态误差 ess(t),即
对于稳定系统的闭环极点都具有负实部，所以有
由此可看出,ess(t)不仅和描述系统特性的闭环传
函 有关，而且还取决于控制输入的极点 。
)(se? i?
0)( li m
t
?
??
te ts
t
s
'
21
t
1-i-r
2
1
1
0
ss
e
)(
)(
)(
e
1 ) !-i-(r
t
])(
)(
)(
)([
!
1
( t )e
i
i
sR
sR
s
s
sR
sR
s
ds
d
i
i
rl
i
e
s
r
r
i
e
i
i
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
?
?
（ 2） R(s)含有重极点时
当控制输入 r(t)的拉氏变换 R(s)含有 r重
的极点，而其余 l–r个极点各不相同时。
??s
R(s) C(s)
Y(s)
F(s)
G1(s) G2(s)
H(s)
-
+)(s?
)(
)(
)(
)(
)(E
)(
)(
)(1
)(
)(
)(
)(1
)(
)(E
)(
)()()(1
)(
)(c
)()(e
2
1
f
2
ef
2
f
21
2
f
f
sF
sF
sD
sN
s
sD
sN
sG
sG
s
sF
sG
sG
s
sF
sHsGsG
sG
s
tct
f
?
?
?
???
?
??
?
??
???
二．反馈系统响应扰动信号 f(t)的稳态误差
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
??
???
rk
t
t
irr
i
i
s
e
ir
t
sF
s
ds
d
i
1i
s'
2
1
ef
1
s
r
2
1
ef
1
0i
ss
i
i
e
( s )F
)(F
( s )
)!1(
])-(s
)(
)(F
( s )[
!
1
( t )e
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
??
k
i
t
i
i
iefss
k
i
t
i
n
i
ts
if
i
ii
e
F
F
te
ebeate
1 2
1
11
)(
)(
)()(
)(
?
?
?
?
?
?
（ 1） F(s)只含有单根时
（ 2）当 F(s)含有重根时
??s
设 F(s)含有 r 重 的极点，其余 k–r 重极
点个不相同。
)()0()()0(( 0 ) s R ( s )( 0 ) R ( s ) E ( s )
)0(( 0 ) s( 0 )( s )
)(
L!
12
2!
1
2
..
2!
1'
?????
?
??????????
????????
sRssRs
s
ll
eeee
eeee
三．误差系数
误差传递函数为
这是一个无穷级数，它的收敛域是 s = 0 邻域，这相当于
在时间域内 时成立的误差级数。因此在所有初始
条件为零的条件下，对上式进行拉氏变换，就得到稳态
误差表达,
??t
将 在 s = 0 的邻域内展开成 Taylor级数，有)(s
e?
)(
1
)(1
1
)(
)(( s )
sHsGsR
sE
e ????
( s ) R ( s )E ( s ) e??
1.一般方法
)(
)()()()(
0
)(
)(
.
10
?
?
?
?
?????
i
i
i
l
lss
trc
trctrctrcte ??
同理可得
则稳态误差可以写成
)()0(
)()0(( t )r( 0 )( 0 ) r ( t )e ( t )
)()(
l!
1
....
2!
1
..
?? ????
??????
tr
tr
ll
e
eee
?
?
?
?
0
)(
f s s )(( t )e
i
i
fi tfc
这里 ci,cfi称为误差系数。
)0( )(i!1 ieic ?? 令
)(
)(
1
1
G ( s ) H ( s )
1
1
sN
sM
sasa
sbsb
s
K
vn
vn
m
m
?
??
???
?
?
?
?
?
?
2.系统阶次较高时（这里介绍一种简便算法）
（ 1）将已知的开环传函按升幂排列成如下形式
（ 2）写出多项式比值形式的误差传递函数
（ 3）对上式用长除法得
（ 4）求 E(s)
?? ??????? )()()()()(E ( s )
10e sRscssRcsRcsRs
i
i
)()(
)(
)()(1
1)(
e sNsM
sM
sHsGs ?????
?? ?????? ii scsccs 10e )(
1)s ( s
2
( s )G
10, 2 s
5
( s )G
,1 ( t ),f(t)
t,r ( t ),
21 ????
?
?
试计算系统的稳态误差信号
扰动其中输入信号设控制系统如图所示例
0, 1( t )rcr( t )c( t )e
1( t )r,)(
- 0, 0 0 3C 0, 1 1C 0, 1C 0C
0 0 3.011.01.0
2.02.110
0, 2 s1, 2 ss
1
1
)(
)(
)(
,0)(( 1 ):
.
10ssr
.
3210
32
32
32
)1(
2
12.0
5
e
????
??
????
?
????
???
??
?
??
???
?
??
故又
误差系数
得误差传函令解
ttr
sss
sss
sR
sE
s
sF
SSS
?
C(s)R(s)
Y(s)
F(s)
G1(s) G2(s)- +)(s?
3.0|||e|e
,
1.0)2.0(1.0e
- 0, 2f ( t )c( t ) 1 ( t )f ( t )
026.002.02.0
1)(
)(
)(
,0)(( 2 )
ssrss
ssrss
0
2
)1(
2
12.0
5
)1(
2
ef
???
???????
????
?????
??
?
???
?
??
?
ssf
ssf
ssf
SSS
SSf
e
ee
e
ss
sF
sE
s
sR
取此在随动系统设计中常
因方向是变化的有时作用到系统的扰动
得扰动误差传函令
?
?
)1()1)(1(
)1()1)(K ( 1
G ( S ) H ( S )
21
21
sTsTsTs
sss
vn
v
m
????
???
?
?
? ???
（ 1）系统型别
四．稳态误差终值的计算
设系统的开环传函为
称为零型系统
称为 I 型系统
称为 II 型系统
系统的型别以 来划分?
0??
1??
2??
优点,1．可以根据已知的输入信号形式，迅速判
断是否存在稳态误差及稳态误差的大小。
2．系统阶数 m,n的大小与系统型别无关，且
不影响稳态误差的数值。
)()(lim)(s lime
0s0s
ss sRsssE e???
??
。控制系统的稳态误差值
时和
试求当输入信号分别为
传递函数为设单位反馈系统的开环例
,s i n)(
2
1
)(
,
1
G ( s )
,
2
wttrttr
Ts
??
?
2.利用终值定理计算
应用终值定理的条件是 sE(s)在 s右半平面及虚
轴上解析，或者说 sE(s)的极点位于左半平面（包括
坐标原点）。
因而是允许的。际所求一致但与实
在坐标原点不解析尽管在数学上
由终值定理
时
时当
解
,
,)(
lims E ( s )lime
( 2 )
e t
T)-T ( teTe( t )
-( s ) R( s )E ( s ) ( 1 )
R( s ) tr ( t )
( s ):
1 / T )s ( s
1
0s0s
ss
ss
-2
1 / TS
T
S
T
S
T
1 / T )(SS
1
S
12
2
1
/1
S
( S )1
1
e
T
t
22
22
3
ssE
TSG
????
????
??
?????
??
???
?
??
??
??
.
0
)s()1(
lim)(lim)(e
,
,,0)(e,
s i n
1
c o s
1
)(e
s i n
1
c o s
11
e ( t )
s
1
1
s1
1
1
1
)s()1(
)()(E ( s )
s
R ( s ) )3(
22
2
00
ss
ss
22
22
22
ss
22
22
2222
2222
32
222222
22
e
22
的错误结论
否则得出算稳态误差值不能采用终值定理来计
所以此时轴上不解析应当注意正弦函数在虚这里
?
??
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
?
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?
?
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Ts
s
ssE
t
T
T
t
T
T
t
t
T
T
t
T
T
e
T
T
T
Ts
T
T
Ts
T
T
Ts
s
sRs
ss
Tt
1
1
)(1
1
l i m)(
)(1
1
l i me
00
ss
p
ss ksG
sR
sG
s
?
?
?
?
?
?
??
3．静态误差系数
已知
定义 速度误差系数
???? ? )(limk 0v ssGs
v
s
s kssGssG
s 1)(l i m 11)(1 1l i me
0
20ss ????
?
?
)()(1 1l i m)(l i me
00ss
sRsGsssE
ss ?
??
??
1R ( s ) 1( t )r ( t ) ( a ) s??
定义 位置误差系数
)(limk 0p ???? ? sGs
1R ( s )t r ( t ) )( 2sb ??
1
)(l i m
11
)(1
1
l i me 2
0
30ss
as
s ksGsssG
s ??
?
?
?
?
定义 加速度误差系数
???? ? )(l i mk 20a sGss
1R ( s ) t21r ( t ) )( 32 sc ??
k
1
t
2
1
0
k
1
t
0 0
k1
1
1 ( t )
II I 0
a
2
v
p
??
?
?
输入
型型型差
型别误
,
)(2,
1.,
,G ( S ) 0:1
2
210
1S
K
2
解
时的误差系数当输入
定误差及误差级数。
的给定稳在三种典型输入下系统试计算
是型系统的开环传递函数设例
ttRRtr
R
???
?
?
1
e tr( t )
1
e tr( t )
1
1
1
1
e 1 ( t )r( t )
0k,0k k,k
,0
SS
2
2
1
SS
SS
avp
????
????
?
?
?
??
???
a
v
p
k
k
kk
时
时
时
所以型由于系统为
32
1)(K
2K-
e
..
1)(K
K
e
.
K1
1
e
1s
ke
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
1
1
1
1
( s )
???
?
??????
??
?
?
?
??
ks
s
??
?
?
?
?
?
?
???????
)(
)1(
)(
)1(
)(
1
1
)(e
)0(C )0(C )0(C
..
3
.
2ssr
..
2
1
2
.
10
tr
K
k
tr
K
k
tr
k
t
eee
23212
2
2101
1
ssr
2
..
21
.
2
210
322ssr
2
2
1
2ssr
ssr
)1(
)(
)1(
)
2
1
()(e
)( (t)r
2
1
)(
)1()1(1
1
)(e )(
)1(1
1
)(e )(
1
1
)(e 1)(
2
R
K
k
tRR
K
k
tRtRRt
RtrtRR
tRtRRtr
K
k
t
K
k
k
tttr
K
k
t
k
tttr
k
ttr
K
t
?
??
?
????
???
???
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
??
?
时当
时当
时当
时当
§ 8 顺馈控制的误差分析
)()(
)(
)(
)()(
,0)()()()(
( s ) ] F ( s )G( s )( s ) G ( s ) G[GC ( s ) ]-s)( s ) G ( s ) [ R (G
( s ) F ( s ) ]GC ( s )-s)( s ) G ( s ) [ R (G( s ) F ( s )Gc ( s )
( s )G
1
1
f1cc
1cf
1
SGSG
SG
SG
tctf
sGsGsGsG
c
f
fc
?
?
??
???
???
这时
的影响。对则可消除扰动信号
若取
为顺馈通道传递函数
R(s) C(s)
G1(s) Gf(s)
Gc(s) G(s)
F(s)
+
一．应用顺馈补偿扰动信号对系统输出的影响
说明：
1.顺馈补偿实际上是应用开环控制方法去补偿
扰动信号的影响，所以它不改变反馈系统的特
性（如稳定性）。
2.对补偿装置的参数要求有较高的稳定性，否
则削弱补偿效果。
3.由于顺馈补偿的存在，可降低对反馈系统的
要求，因可测干扰由顺馈完全或近似补偿，由
其他干扰引起的误差可由反馈系统予以消除。
力矩为可测。设作为扰动信号的负载对系统输出的影响矩
以补偿负载力偿传递函数试确定顺馈通道中的补函数
为综合放大器传递为滤波传递函数对象传递函数
为被控其中其方框图如下设有一位臵随动系统例
,
),(.
( s )G,( s ),
)(,,15.
1
C2
LM
sG
G
sG
C(S)
Kf/KD
G1(S)
K
Gc(S) G
2(S) G(S)
Gf(S)
F(S)=-ML(S)
R(S)
)1( ?STS
K
M
D
11?STB
T)(T
1
)1(
-G ( S )
,)(
)1(
( S )( S ) GG
( s )G
-( S )G
0( S )( S ) G( S ) GG( S )G
,
( S ) ] F ( S )( S ) G( S ) GG( S )G ( S ) [ G
)( S ) G ( S ) F ( S( S ) G( S ) GG( S ) F ( S )G ( S ) GC ( S )
)()(:
B
1
1
1
2c
f
1
2c1f
2c1f
2c1f
??
?
?
???
???
?
??
?
??
??
??
?
Ts
ST
KK
K
SG
ST
KK
K
K
tctf
B
D
f
B
D
f
ST
K
K
B
D
f
取物理可实现为保证
由此得
在上式中需有
出无影响如果要求负载力矩对输
的影响对输出扰动信号解
G1(S) G2(S)
Gbc(S)
R(S) C(S))(s?
1)(,)(
( s )( s ) GG1
( s ) ]G( s )( s ) [ GG
)(1
)(
( s )G
])([
)()(1
( s )( s ) GG( s )( s ) GG
)(
)(
)(
( s ) R ( s )( s ) GGC ( s ) ]-( s ) [ R ( s )( s ) GG
( s ) R ( s )( s ) GG( s )( s )( s ) GGC ( s )
eq)(
1
bc2
bc12
eq
eq
eq
)(1
G ( S )
21
2bc21
eq
2bc21
2bc21
2
???
?
?
?
??
?
?
??
?
?
???
??
??
?
sSG
s
s
s
sGsGsR
sC
s
SGbc
SG
则时取
环传函为其等效开
?
1.原理：
二．应用顺馈减小系统控制信号的误差
在反馈基础上引
入控制信号的微
分作为系统的附
加输入从而减小 号的误差。系统响应控制信
)1s(as)1s( 1 / kkG
,/1
])1ss [ a)sk(G
S,( S )G
( S ) ]( S ) GG-[11]( S )( S ) [ GGG
G ( s )( s )G 1,)(
1)sasass ( aG ( S )
1
1
1
n
n
2
vveq
1
11
1
1
n
nvv1eq
1bc
bc2bc2eq
21
1
-1n
-1n
n
n
??????
?
???????
?
??
??
?????
?
?
?
?
sasa
k
ksasak
sG
k
n
n
v
v
n
n
v
?
?
?
则取
则取
则又设
引入顺馈后
开环传递函数为设系统无顺馈通道时的
?
??
?
2.对误差和稳定性的影响
a.误差
由上式可见系统型别由 I型提高到 II型。
)1(
)1(
/,/1
s,s( s )G 1)(
1
1
1
3
12
121
1
2
2bc1
1
????
??
?
??
???
?
?
sasasas
ssk
G
kak
sG
n
n
n
n
kk
a
v
eq
vv
vv
?
则
并且
若取
??
??
系统由 I型变为 III型，从而使稳定性能大为提高。
b.稳定
影响。因而对系统稳定性没有
系统的特征方程为
0kssasasa( s )1( s )1
v
2
1
3
2
1n
n ??????????
? ?GG
eq
。求顺馈传函完全复现
型及实现对到型反馈系统的型别提高原
要求图如图所示设位臵随动系统的方框例
)(,)(
,.
sGtr
III
bc
R(s) C(s)
Gbc(s)
-
+
)1( 2 2?sTs
k
11 1?sT
k
22221
1
2
2
2
2
2
2
bc
1
2
2
21
2
1
)1(
K
1
1
k
1
)1(
k
eq
211bc
2bc
1bc2
eq
21
21
/ /1
)(
1
( s )G
,)()2(
)1(1
][
( s )G
/1 ( s )G
( s )( s ) GG-1
( s ) ]G( s )( s ) [ GG
( s )G
)1)(1(
kk
G ( s ) ( 1 ),
2
2
2
1
1
22
2
kTk
ss
k
ssT
sG
tr
sTsT
kkssT
s
s
ks
sTsTs
STSK
STKSTS
??
??
?
??
?
??
?
??
?
??
??
?
?
??
?
?
??
??
??
??
则
则的完全复现若实现对
取
引入反馈后
无反馈解
