第六章 控制系统的校正 前面几章中讨论了控制系统几种基本方法。掌握了这些基本方法，就可以对控制系统进行定性分析和定量计算。本章讨论另一命题，即如何根据系统预先给定的性能指标，去设计一个能满足性能要求的控制系统。基于一个控制系统可视为由控制器和被控对象两大部分组成，当被控对象确定后，对系统的设计实际上归结为对控制器的设计，这项工作称为对控制系统的校正。 在实际过程中，既要理论指导，也要重视实践经验，往往还要配合许多局部和整体的试验。所谓校正，就是在系统中加入一些其参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，从而满足给定的各项性能指标。工程实践中常用的校正方法，串联校正、反馈校正和复合校正。 §6－1 系统的设计与校正问题 一．控制系统的性能指标 时域指标 稳态 型别、静态误差系数 动态 超调、调整时间 频域指标 开环频率 增益穿越频率、幅值裕度和相位裕度 闭环频率 谐振峰值、谐振频率 目前，工业技术界多习惯采用频率法，故通常通过近似公式进行两种指标的互换。 （1）二阶系统频域指标与时域指标的关系 谐振峰值 (6-1) 谐振频率 (6-2) 带宽频率 (6-3) 截止频率 (6-4) 相位裕度  (6-5) 超调量  (6-6) 调节时间  (6-7) （2）高阶系统频域指标与时域指标 谐振峰值 (6-8) 超调量 (6-9) 调节时间 (6-10)  二．系统带宽的选择 带宽频率是一项重要指标。既能以所需精度跟踪输入信号，又能拟制噪声扰动信号。在控制系统实际运行中，输入信号一般是低频信号，而噪声信号是高频信号。 如果输入信号的带宽为 则  (6-11)  图6-1 系统带宽的选择 三．校正方式 串联校正 一般接在系统误差测量点之后和放大器之前，串联接于系统前向通道之中 反馈校正 接在系统局部反馈通路中 前馈校正 又称顺馈校正。单独作用于开环控制系统，也可作为反馈控制系统的附加校正而组成复合控制系统。 复合校正 在反馈控制回路中，加入前馈校正通路，组成有机整体。  (a) 串联校正  (b)反馈校正 图6-2 串联校正与反馈校正  (a)前馈校正（对给定值处理） (b)前馈校正（对扰动的补偿） 图6-3前馈校正图  (a) 复合校正按扰动的复合控制方式  (b) 按输入补偿的复合控制  图6-4复合校正 串联校正和反馈校正的应用场合、要求和特点 串联校正 串联校正装置 有源 参数可调整，运放加RC网络，电动（气动）单元构成的PID调节器。有源 有放大器 阻抗匹配，接在前向通路能量较低的部位。 反馈校正 不需要放大器，可消除系统原有部分参数波动对系统性能的影响，在性能指标要求较高的控制系统中，常常兼用串联校正和反馈校正。 四．基本控制规律 （1）比例（P）控制规律  (6-12) 提高系统开环增益，减小系统稳态误差，但会降低系统的相对稳定性。   （a）P控制器 (b)PD控制器 图6-5 P控制器P控制器和PD控制器 （2）比例-微分（PD）控制规律  (6-13) PD控制规律中的微分控制规律能反映输入信号的变化趋势，产生有效的早期修正信号，以增加系统的阻尼程度，从而改善系统的稳定性。在串联校正时，可使系统增加一个的开环零点，使系统的相角裕度提高，因此有助于系统动态性能的改善。 单独用微分也很少，对噪声敏感。 （3）积分（I）控制规律 具有积分（I）控制规律的控制器，称为I控制器。  (6-14) 输出信号与其输入信号的积分成比例。为可调比例系数。当消失后，输出信号有可能是一个不为零的常量。在串联校正中，采用I控制器可以提高系统的型别（无差度），有利提高系统稳态性能，但积分控制增加了一个位于原点的开环极点，使信号产生的相角滞后，于系统的稳定不利。不宜采用单一的I控制器。 （4）比例-积分（PI）控制规律 具有积分比例-积分控制规律的控制器，称为PI控制器。   图6-6 积分控制器I和PI控制器  (6-15) 输出信号同时与其输入信号及输入信号的积分成比例。为可调比例系数， 为可调积分时间系数。 开环极点，提高型别，减小稳态误差。 右半平面的开环零点，提高系统的阻尼程度，缓和PI极点对系统产生的不利影响。只要积分时间常数足够大，PI控制器对系统的不利影响可大为减小。PI控制器主要用来改善控制系统的稳态性能。 （5）比例（PID）控制规律  图6-7 PID控制器 具有积分比例-积分控制规律的控制器，称为PI控制器。  (6-16)   (6-17)   如果 增加一个极点，提高型别，稳态性能 两个负实零点，动态性能比PI更具优越性 I积分发生在低频段，稳态性能(提高) D微分发生在高频段，动态性能(改善)。 §6－2常用校正装置及其特性 一．无源校正网络 1.无源超前校正 一般而言，当控制系统的开环增益增大到满足其静态性能所要求的数值时，系统有可能不稳定，或者即使能稳定，其动态性能一般也不会理想。在这种情况下，需在系统的前向通路中增加超前校正装置，以实现在开环增益不变的前题下，系统的动态性能亦能满足设计的要求。本节先讨论超前校正网络的特性，而后介绍基于频率响应法的超前校正装置的设计过程。   (a) (b) 图6-8无源超前网络 图6-8为常用的无源超前网络。假设该网络信号源的阻抗很小，可以忽略不计，而输出负载的阻抗为无穷大，则其传递函数为 时间常数分度系数  (6-18) 注：?采用无源超前网络进行串联校正时，整个系统的开环增益要下降倍，因此需要提高放大器增益加以补偿，见图6-9所示。此时的传递函数 (6-19)  图6-9带有附加放大器的无源超前校正网络 (超前网络的零极点分布见图6-8(b)所示。由于故超前网络的负实零点总是位于负实极点之右，两者之间的距离由常数决定。可知改变和T(即电路的参数)的数值，超前网络的零极点可在s平面的负实轴任意移动。 ( 对应式(6-19)得  (6-20)  (6-21) 画出对数频率特性如图6-10所示。显然，超前网络对频率在之间的输入信号有明显的微分作用，在该频率范围内输出信号相角比输入信号相角超前，超前网络的名称由此而得。  频率特性  最大超前角及最大超前角处幅值与分度系数的关系曲线  图6-10无源超前网络特性 由(6-21)知  (6-22) 将上式对求导并令其为零，得最大超前角频率  (6-23) 将(6-23) 代入(6-22)，得最大超前角  (6-24)  故在最大超前角频率处，具有最大超前角，正好处于频率与的几何中心。 的几何中心为  (6-25) 即几何中心为。   (6-26) 由式(6-24) 和式(6-26)可画出最大超前相角与分度系数a及与a的关系曲线。如图6-16(b)。。但a不能取得太大(为了保证较高的信噪比),a一般不超过20由图可知，这种超前校正网络的最大相位超前角一般不大于。如果需要大于的相位超前角，则要在两个超前网络相串联来实现，并在所串联的两个网络之间加一隔离放大器，以消除它们之间的负载效应。 2.无源滞后网络  图6-11无源滞后网络 条件：如果信号源的内部阻抗为零，负载阻抗为无穷大，则滞后网络的传递函数为 时间常数分度系数  (6-27)  图6-12无源滞后网络特性 由图6-12可知(同超前网络，滞后网络在时，对信号没有衰减作用，时，对信号有积分作用，呈滞后特性，时，对信号衰减作用为，b越小，这种衰减作用越强。 (同超前网络，最大滞后角，发生在几何中心，称为最大滞后角频率，计算公式为  (6-28)  ( 6-29) (采用无源滞后网络进行串联校正时，主要利用其高频幅值衰减的特性，以降低系统的开环截止频率，提高系统的相位裕度。滞后网络怎么能提高系统的相位裕度呢？ 在设计中力求避免最大滞后角发生在已校系统开环截止频率附近。选择滞后网络参数时，通常使网络的交接频率远小于。一般取  (6-30) 此时，滞后网络在处产生的相位滞后按下式确定  将代入上式  (6-31) b与和20lgb的关系如图6-13所示。  图6-13 b与和20lgb的关系 3.无源滞后-超前网络  图6-14 无源滞后-超前网络  图6-15 无源滞后-超前网络频率特性 传递函数为   (6-32) 令设 ，则有， ，a是该方程的解 式(6-32)表示为  (6-33) 将(6-33)写成频率特性  滞后超前的伯特图如图6-15所示。 求相角为零时的角频率   (  (   (6-34) 当的频段，校正网络具有相位滞后特性 的频段，校正网络具有相位超前特性。 二．有源校正网络 实际控制系统中广泛采用无源网络进行串联校正，但在放大器级间接入无源校正网络后，由于负载效应问题，有时难以实现希望的规律。此外，复杂网络的设计和调整也不方便。因此，需要采用有源校正装置。 §6－3串联校正 一．串联超前校正（基于频率响应法） 用频率法对系统进行校正的基本思路是：通过所加校正装置，改变系统开环频率特性的形状，即要求校正后系统的开环频率特性具有如下特点： (低频段的增益充分大，满足稳态精度的要求； (中频段的幅频特性的斜率为-20dB/dec,并具有较宽的频带，这一要求是为了系统具有满意的动态性能； (高频段要求幅值迅速衰减，以较少噪声的影响。 用频率法对系统进行超前校正的基本原理，是利用超前校正网络的相位超前特性来增大系统的相位裕量，以达到改善系统瞬态响应的目点。为此，要求校正网络最大的相位超前角出现在系统的截止频率（剪切频率）处。 对截止频率没有特别要求时。 用频率法对系统进行串联超前校正的一般步骤可归纳为： (根据稳态误差的要求，确定开环增益K。 (根据所确定的开环增益K，画出未校正系统的波特图，计算未校正系统的相位裕度。 (根据截止频率的要求，计算超前网络参数a和T；关键是选择最大超前角频率等于要求的系统截止频率，即，以保证系统的响应速度，并充分利用网络的相角超前特性。显然，成立的条件是 (6-35) 由上式可求出a  (6-36) 由(6-36)求出Ｔ。 (验证已校正系统的相位裕度。 (由给定的相位裕度值，计算超前校正装置提供的相位超前量，即  是用于补偿因超前校正装置的引入，使系统截止频率增大而增加的相角滞后量。值通常是这样估计的：如果未校正系统的开环对数幅频特性在截止频率处的斜率为-40dB/dec，一般取；如果为-60dB/dec则取。 (根据所确定的最大相位超前角按 (6-37) 算出a的值。 (计算校正装置在处的幅值10lga (图6-10)。由未校正系统的对数幅频特性曲线，求得其幅值为-10lga处的频率，该频率就是校正后系统的开环截止频率，即。 (确定校正网络的转折频率。 ， (画出校正后系统的波特土，并演算相位裕度时候满足要求？如果不满足，则需增大值，从第(步，开始重新进行计算。 例６-1.某一单位反馈系统的开环传递函数为，设计一个超前校正装置，使校正后系统的静态速度误差系数,相位裕度，增益裕度不小于10dB。 解：(根据对静态速度误差系数的要求，确定系统的开环增益K。 ，  当时，未校正系统的开环频率特性为  (绘制未校正系统的伯特图，如图6-16中的蓝线所示。由该图可知未校正系统的相位裕度为 *也可计算  (根据相位裕度的要求确定超前校正网络的相位超前角  (由式(6-37)知  (超前校正装置在 处的幅值为  ，据此，在为校正系统的开环对数幅值为 对应的频率，这一频率就是校正后系统的截止频率 *也可计算  图6-16 校正后系统框图 (计算超前校正网络的转折频率  ，  为了补偿因超前校正网络的引入而造成系统开环增益的衰减，必须使附加放大器的放大倍数为a=4.2 (校正后系统的框图如图6-17所示，其开环传递函数为   图6-17 校正后系统框图 对应的伯特图中红线所示。由该图可见，校正后系统的相位裕度为，增益裕度为，均已满足系统设计要求。 基于上述分析，可知串联超前校正有如下特点： (这种校正主要对未校正系统中频段进行校正，使校正后中频段幅值的斜率为-20dB/dec，且有足够大的相位裕度。 (超前校正会使系统瞬态响应的速度变快。由例6-1知，校正后系统的截止频率由未校正前的6.3增大到9。这表明校正后，系统的频带变宽，瞬态响应速度变快；但系统抗高频噪声的能力变差。对此，在校正装置设计时必须注意。 (超前校正一般虽能较有效地改善动态性能，但未校正系统的相频特性在截止频率附近急剧下降时，若用单级超前校正网络去校正，收效不大。因为校正后系统的截至频率向高频段移动。在新的截至频率处，由于未校正系统的相角滞后量过大，因而用单级的超前校正网络难以获得较大的相位裕度。 二．串联滞后校正(基于频率响应法) 由于滞后校正网络具有低通滤波器的特性，因而当它与系统的不可变部分串联相连时，会使系统开环频率特性的中频和高频段增益降低和截止频率减小，从而有可能使系统获得足够大的相位裕度，它不影响频率特性的低频段。由此可见，滞后校正在一定的条件下，也能使系统同时满足动态和静态的要求。 不难看出，滞后校正的不足之处是：校正后系统的截止频率会减小，瞬态响应的速度要变慢；在截止频率处，滞后校正网络会产生一定的相角滞后量。为了使这个滞后角尽可能地小，理论上总希望两个转折频率越小越好，但考虑物理实现上的可行性，一般取为宜。 (在系统响应速度要求不高而抑制噪声电平性能要求较高的情况下，可考虑采用串联滞后校正。 (保持原有的已满足要求的动态性能不变，而用以提高系统的开环增益，减小系统的稳态误差。 如果所研究的系统为单位反馈最小相位系统，则应用频率法设计串联滞后校正网络的步骤如下： (根据稳态性能要求，确定开环增益K； (利用已确定的开环增益，画出未校正系统对数频率特性曲线，确定未校正系统的截止频率、相位裕度和幅值裕度； (选择不同的，计算或查出不同的值，在伯特图上绘制曲线； (根据相位裕度要求，选择已校正系统的截止频率；考虑到滞后网络在新的截止频率处，会产生一定的相角滞后，因此，下列等式成立：  (6-38) 根据(6-38)的计算结果，在曲线上可查出相应的值。 (根据下述关系确定滞后网络参数b和T如下：  (6-39)  (6-40) 式(6-39)成立的原因是显然的，因为要保证已校正系统的截止频率为上一步所选的值，就必须使滞后网络的衰减量20lgb在数值上等于未校正系统在新截止频率上的对数幅频值，该值在未校正系统的对数幅频曲线上可以查出，于是，通过式(6-39)可以算出b值。 根据(6-40)，由已确定的b值，可以算出滞后网络的T值。如果求得的T值过大难以实现，则可将(6-40)式中的系数0.1适当增大，例如在范围内选取，而的估计值应在范围内确定。 (验算已校正系统的相位裕度和幅值裕度。 例6-2. 控制系统如图6-18所示。若要求校正后的静态速度误差系数等于，相位裕度不低于，幅值裕度不小于10dB，截止频率不小于2.3rad/s，设计串联校正装置。  图6-18 控制系统 解：(首先确定开环增益K  (未校正系统开环传递函数应取  画出未校正系统的对数幅频渐进特性曲线，如图6-19所示。  图6-19 例6-2对数幅频渐进特性曲线 由图可得可算出   说明未校正系统不稳定，且截止频率远大于要求值。在这种情况下，采用串联超前校正是无效的。可以证明，当，， 而截止频率也向右移动。 考虑到，本例题对系统截止频率值要求不大，故选用串联滞后校正，可以满足需要的性能指标。 (计算    于是，由与的曲线（玫瑰红色），可查得时，可满足要求。由于指标要求，故值可在范围内任取。考虑到(取值较大时，已校正系统响应速度较快(滞后网络时间常数T值较小，便于实现，故选取。然后，在图6-19上查出。也可计算。 (计算滞后网络参数 利用(6-39)式  b=0.09 再利用式(6-40)   bT=3.7s 则滞后网络的传递函数  (验算指标(相位裕度和幅值裕度)   满足要求。未校正前的相位穿越频率，，，校正后的相位穿越频率。 求幅值裕度  串联超前校正和串联滞后校正方法的适用范围和特点 (超前校正是利用超前网络的相角超前特性对系统进行校正，而滞后校正则是利用滞后网络的幅值在高频衰减特性； (用频率法进行超前校正，旨在提高开环对数幅频渐进线在截止频率处的斜率(-40dB/dec提高到-20dB/dec)，和相位裕度，并增大系统的频带宽度。频带的变宽意味着校正后的系统响应变快，调整时间缩短。 (对同一系统超前校正系统的频带宽度一般总大于滞后校正系统，因此，如果要求校正后的系统具有宽的频带和良好的瞬态响应，则采用超前校正。当噪声电平较高时，显然频带越宽的系统抗噪声干扰的能力也越差。对于这种情况，宜对系统采用滞后校正。 (超前校正需要增加一个附加的放大器，以补偿超前校正网络对系统增益的衰减。 (滞后校正虽然能改善系统的静态精度，但它促使系统的频带变窄，瞬态响应速度变慢。如果要求校正后的系统既有快速的瞬态响应，又有高的静态精度，则应采用滞后-超前校正。 有些应用方面，采用滞后校正可能得出时间常数大到不能实现的结果。 三．串联滞后-超前校正 这种校正方法兼有滞后校正和超前矫正的优点，即已校正系统响应速度快，超调量小，抑制高频噪声的性能也较好。当未校正系统不稳定，且对校正后的系统的动态和静态性能(响应速度、相位裕度和稳态误差)均有较高要求时，显然，仅采用上述超前校正或滞后校正，均难以达到预期的校正效果。此时宜采用串联滞后-超前校正。 串联滞后-超前校正，实质上综合应用了滞后和超前校正各自的特点，即利用校正装置的超前部分来增大系统的相位裕度，以改善其动态性能；利用它的滞后部分来改善系统的静态性能，两者分工明确，相辅相成。 串联滞后-超前校正的设计步骤如下： (根据稳态性能要求，确定开环增益K； (绘制未校正系统的对数幅频特性，求出未校正系统的截止频率、相位裕度及幅值裕度等； (在未校正系统对数幅频特性上，选择斜率从-20dB/dec 变为-40dB/dec的转折频率作为校正网络超前部分的转折频率；  图6-20 滞后-超前网络零极点 这种选法可以降低已校正系统的阶次，且可保证中频区斜率为-20dB/dec，并占据较宽的频带。  (根据响应速度要求，选择系统的截止频率和校正网络的衰减因子；要保证已校正系统截止频率为所选的，下列等式应成立：  (6-41) ( ( ( 滞后超前网络贡献的幅值衰减的最大值，未校正系统的幅值量，滞后超前网络超前部分在处贡献的幅值。 ，可由未校正系统对数幅频特性的-20dB/dec延长线在处的数值确定。因此，由(6-41)式求出a值。 (根据相角裕度要求，估算校正网络滞后部分的转折频率； (校验已校正系统开环系统的各项性能指标。 例6-3 (书p242例6-5)未校正系统开环传递函数为 。设计校正装置，使系统满足下列性能指标：(在最大指令速度为时，位置滞后误差不超过；(相位裕度为；(幅值裕度不低于10dB；(过渡过程调节时间不超过3s。 解：(确定开环增益。。 (作为校正系统对数幅频特性渐近曲线，如图6-21所示。由图得未校正系统截止频率   ，表明未校正系统不稳定。 (分析为何要采用滞后超前校正？ A如果采用串联超前校正，要将未校正系统的相位裕度从，至少选用两级串联超前网络。显然，校正后系统的截止频率将过大，可能超过25rad/s。利用 ，，比要求的指标提高了近10倍。还有几个原因：(伺服电机出现饱和，这是因为超前校正系统要求伺服机构输出的变化速率超过了伺服电机的最大输出转速之故。，，于是，0.38s的调节时间将变得毫无意义；(系统带宽过大，造成输出噪声电平过高；(需要附加前置放大器，从而使系统结构复杂化。 B如果采用串联滞后校正，可以使系统的相角裕度提高到左右，但是对于该例题要求的高性能系统，会产生严重的缺点。(滞后网络时间常数太大， 由计算出，(T=2000s，无法实现。(响应速度指标不满足。由于滞后校正极大地减小了系统的截止频率，使得系统的响应迟缓。 (设计滞后超前校正  上述分析表明，纯超前校正和纯滞后校正都不宜采用。研究图6-21可以发现（步骤(的要求，即-20dB/dec 变为-40dB/dec的转折频率作为校正网络超前部分的转折频率）。  ，,,考虑到中频区斜率为-20dB/dec，故应在范围内选取。由于-20dB/dec的中频区应占据一定宽度，故选，相应的（从图上得到，亦可计算）  由(a=50，此时，滞后-超前校正网络的传递函数可写为 (根据相角裕度要求，估算校正网络滞后部分的转折频率；   (   (验算精度指标。，，满足要求。  图6-21 滞后超前校正例6-3系统对数频率特性 例6-4 已知某一单位反馈控制系统如图6-22所示。设计一串联校正装置，使校正后的系统同时满足下列性能指标要求：(跟踪输入时的稳态误差为0.1；(相位裕度为  图6-22 单位反馈控制系统 解：由于2型系统才能跟踪加速度信号，为此假设校正装置为PI控制器，其传递函数为  校正后系统的开环传递函数为  根据稳态误差的要求     所以PI控制器传递函数为 例6-5 已知某一控制系统如图6-23所示，其中为PID控制器，它的传递函数为，要求校正后系统的闭环极点为和-100，确定PID控制器的参数。  图6-23 例6-5图 解：希望的闭环特征多项式为   校正后系统的闭环传递函数为    令，则得 由此可见，微分系数远小于比例系数和积分常数，这种情况在实际应用中经常会碰到，尤其是在过程控制系统中。因此，在许多场合用PID调节器就能满足系统性能要求。 §6－4 反馈校正及其参数的确定             第六章 小结