1 引言
第七章 非线性控制系统分析
非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。
非线性系统：如果一个控制系统, 包含一个或一个以上具有非
线性静特性的元件或环节, 则称这类系统为非线性系统, 其特
性不能用线性微分方程来描述 。
一, 控制系统中的典型非线性特性
下面介绍的这些特性中, 一些是组成控制系统的元件所固有
的, 如饱和特性, 死区特性和滞环特性等, 这些特性一般来
说对控制系统的性能是不利的；另一些特性则是为了改善系
统的性能而人为加入的, 如继电器特性, 变增益特性, 在控
制系统中加入这类特性, 一般来说能使系统具有比线性系统
更为优良的动态特性 。
非线性系统分析
?)( tx
?
?
?
?
?
?
?
atetk a s i g n e
atetke
)()(
)()(
饱和特性
式中
?a
线性区宽度
?k
线性区特性的斜率
)( te
??
?
??
???
0)(1
0)(1)(
te
tets i g n e
（ 2） 死区特性
? ???
?
??
??
ateta s i gn etek
atetx
)()()(
)(0)(
式中 ?a 死区宽度
k - 线性输出的斜率
式中 ??2 间隙宽度
?k 间隙特性斜率
危害：使系统输出信号在相位上产生滞后, 从而降低系统的相对
稳定性, 使系统产生自持振荡 。
危害：使系统输出信号在相位上产生滞后, 从而降低系统的相对
稳定性, 使系统产生自持振荡 。
（ 4） 继电器特性
? ?
? ?
??
?
?
?
?
??
??
?
0)()(
0)()(
0)()(
)(
txtb s i g n e
txtek
txtek
tx
?
?
?
?
?
功能：改善系统性能的切换元件
（ 4） 继电器特性
?
?
?
?
?
?
?
????
??
?
????
????
?
0)(,)(
0)(,)(
)()(
0)(,)(0
0)(,)(0
)(
temateb
temateb
atetb s i g n e
tematea
teatema
tx
?
?
?
?
变增益特性
?
?
?
?
?
?
atetek
atetek
tx
)()(
)()(
)(
2
1
式中 21,kk - 变增益特性斜率
a - 切换点
特点：使系统在大误差信号时具有较大的增益，从而使系统响应迅
速；而在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定
性。同时抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信号的准确度。
本质非线性：不能应用小偏差线性化概念将其线性化
非本质非线性：可以进行小偏差线性化的非线性特
二, 非线性控制系统的特性
（ 1）对于线性系统，描述其运动状态的数学模型量线性微分方程，
它的根本标志就在于能使用叠加原理。而非线性系统，其数学模型
为非线性微分方程，不能使用叠加原理。由于两种系统特性上的这
种差别，所以它的运动规律是很不相同的。目前，还没有像求解线
性微分方程那样求解非线性微分方程的通用方法。而对非线性系统，
一般并不需要求解其输出响应过程。通常是把讨论问题的重点放在
系统是否稳定，系统是否产生自持振荡，计算机自持振荡的振幅和
频率，消除自持振荡等有关稳定性的分析上。
（ 2） 在线性系统中, 系统的稳定性只与其结构和参数有关, 而与
初始条件无关 。 对于线性定常系统, 稳定性仅取决于特征根在 s平
面的分布 。 但非线性系统的稳定性除和系统的结构形式及参数有关
外, 还和初始条件有关 。 在不同的初始条件下, 运动的最终状态可
能完全不同 。 如有的系统初始值处于较小区域内时是稳定的, 而当
初始值处于较大区域内时则变为不稳定 。 反之, 也可能初始值大时
系统稳定, 。 甚至还会出现更为复杂的
情况 。
（ 3） 在非线性系统中, 除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两
种运动形式外, 往往即使无外作用存在, 系统也可能产生具有一定
振幅和频率的稳定的等幅振荡 。
自持振荡：无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振荡称为
自持振荡, 简称自振荡 。
改变非系统的结构和参数, 可以改变自持振荡的振幅和频率, 或消
除自持振荡 。
对线性系统, 围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式, 其中
不可能产生稳定的自持振荡 。
（ 4）在线性系统中，输入为正弦函数时，其输出的稳态分量也是
同频率的正弦函数，输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不
同，因此可以用频率响应来描述系统的固有特性。而非线性系统输
出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式。
三, 非线性系统的研究方法
现在尚无一般的通用方法来分析和设计非线性控制系统。
对非本质非线性系统
基于小偏差线性化概念来处理
对本质非线性系统
二阶系统：相平面法
高阶系统：描述函数法
2.相平面法
相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法。
一, 基本概念
设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述
),( xxfx ??? ? （ 1 ）
如果以 x 和 x? 作为变量，则可有
?
?
?
?
?
?
?
),( xxf
dt
xd
x
dt
dx
?
?
?
（ 2 ）
用第一个方程除第二个方程有
x
xxf
dx
xd
?
?? ),(
? （ 3 ）
这是一个以 x 为自变量，以 x? 为因变量的方程，如果能解出该方程，则
可以用 （ 2 ）式把 tx,的关系计算出来。因此对方程 （ 1 ）的研究，可以
用研究方程 （ 3 ）来代替。如果把方程 （ 1 ）看作质点的运动方程，则 x
代表质点的位置,x? 代表质点的速度 （因而也代表了质点的
动量）。用 x 和 x? 描述方程 （ 1 ）的解，也就是用质点的状态 （如位置和
动量）来表示质点的运动。在物理学中，这种不直接用时间变量而用
状态变量表示运动的方法称为相空间法，也称为状态空间法。在自动
控制理论中，把具有直角坐标的 x 和 x? 的平面称为相平面，相平面是二
维的状态空间。
二, 线性系统的相轨迹
设描述系统运动的微分方程为
02
2
??? xwxwx
nn
??? ?
分别取 x 和 x? 为 相 平 面 的 横 坐 标 和 纵 坐 标, 上 述 方 程 为,
02
2
??? xwxw
dt
dx
dx
xd
nn
?
?
?
则
x
xwxw
dx
xd
nn
?
??
2
2 ?
??
?
上式代表描述二阶系统 自由运动的相轨迹各点处的斜率，在 0?x 及
0?x?,即坐标原点 （ 0, 0 ）处的斜率为
0
0
?
dx
xd ?
，由此我们有奇点的
定义
奇点：相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇
点 。
（ 1 ）无阻尼运动形式 （ 0?? ）?
dx
xd ?
x
xw n
?
2
?
积分有 x d xwxdx n? ? ?? 2??
2
2
2
2
A
w
x
x
n
??
?
（ 2 ）欠阻尼运动形式 )10( ?? ?
（ 2 ）欠阻尼运动形式 )10( ?? ?
（ 3 ）过阻尼运动形式 （ 1?? ）
（ 4 ）负阻尼运动形式 （ 01 ??? ? ）
（ 5 ） 1???
（ 6）
三,相轨迹的绘制
（ 1 ）解析法 绘制相轨迹的关键在于找出 x 和 x? 的关系
用求解微分方程的办法找出 xx ?,的关系，从而可在相平面上绘制
相轨迹，这种方法称为解析法。解析法分为
a,消去参变量 t
由 ),( xxfx ??? ? 直接解出 )( tx,通过求导得到 )( tx? 。在这两个解中消去作为
参变量的 t,就得到 xx ?? 的关系。
例 设描述系统的微分方程为 0?? Mx??
其中 M 为常量，已知初始条件 xxx ?? )0(,0)0(? 。求其相轨迹。
解,Mx ????, 积分有
Mtx ??? ( 1 ) 再积分一次有
2
2
1
Mtxx ??? ? ( 2 )
由 ( 1 ),( 2 ) 式消去 t 有
)(2
2
?? xxMx ???
M = 1 M = - 1
b.直接积分法
dx
xd
x
dt
dx
dx
xd
dt
xd
x
?
?
?
?
??? ???
),( xxf
dx
xd
x ?
?
? ??
上式可分解为
dxxhxdxg )()( ???
则由 ? ?
?
x
x
x
x
dxxhxdxg
?
?
? ?
?? )()(
可找出 ?
xx ?
得关系
在上式中 由 Mx ???? 可有
Md xxdx
x
M
dx
xd
????? ??
?
?
积分有
)(2
)(
2
1
2
2
?
?
?
?
xxMx
xxMx
???
???
可见两种方法求出的相轨迹是相同的
（ 2） 图解法
a.等倾线法
等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线
原理：
),( xxfx ??? ?
因
dx
xd
xx
?
??? ?
故有
x
xxf
dx
xd
?
?? ),(
?
式中
dx
xd ?
为相轨迹在某一点的切线的斜率 令
dx
xd ?
??,则
x
xxf
?
? ),(
?? I
满足此方程的点
),( xx ?
出的斜率必为
?
，有上式确定的 xx ?? 关系曲线称为
等倾线。相轨迹必然以
?
的斜率经过等倾线
步骤：
a,根据等倾线方程式 I,做出不同 ? 值的等倾线
b,根轨初始条件确定相轨迹的起始点
c,从起始点处的等倾线向相邻的第二条等倾线画直线，它的斜率近似等
于这两条相邻等倾线斜率的平均值。再从该直线与第二条等倾线的交
点向相邻的第三条等倾线画直线。这段直线的斜率等于第二, 第三等倾
线斜率的平均值，如此继续下去，即可作出相轨迹。
例 做出 0??? xxx ??? 的相轨迹 1)0( ?x? 0)0( ?x
解,（ 1 ）等倾线方程
xx
dx
xd
x ??? ?
?
?
x
xx
dx
xd
?
?? ?
????
故等倾线方程为
xx
??
?
?
1
1
?
显然为直线
该等倾线的斜率为
?
?
?
?
?
1
1
tg
1???
?
90??
对应的相轨迹经过该等倾线的斜率为 ?? ?tg
?
45)1( ???? a r c t g?
9
4
2
1
5.0
0
2.0
4.0
11
4
3
5.2
2
8.1
6.1
4.1
2.1
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
7.5
3.11
4.18
6.26
6.33
45
3.51
59
7.5
4.18
6.26
7.33
45
3.51
59
2.68
7.78
??
??
??
??
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3.84
76
4.63
45
6.26
0
3.11
8.21
8.84
76
6.71
2.68
4.63
61
58
4.54
50
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
b,? 法
原理：
),( xxfx ??? ? 这里 ),( xxf ? 是单值连续函数
xwxxfxwx
22
),( ??? ???
式中适当选择 w 值，以使下面定义的 ? 函数值在所讨论的 x, x? 取值范
围内，既不太大也不太小。 ? 函数定义如下
2
2),(
),(
w
xwxxf
xx
?
?
?
??
? 函数值取决于变量 x 和 x?,而当 x 和 x? 变化很小时 ),( xx?? 可以看作一
个常量。
0)(
1
2
??? ?xwx??
x
xw
dx
xd
?
? )(
1
2
???
?
积分有
? ?
22
11
22
1
2
2
11
22
1
22
1
2
1
2
))()(()()(
)()(
2
1
)(
2
1
)(
Ax
w
x
x
w
x
xwxwxx
dxxwxdx
??????
??????
???
??
??
?
??
??
??
这是一个以 )0,( 1? 为圆心，以 2112 )()( ???? xwxA ? 为半径的圆弧。 ),( 11 wxx ?
附近的相轨迹可用这段圆弧来代替
做图步骤
①在
w
x
x
?
? 平面上，根据初始状态的坐标 （ ),
?
?
?
?
w
x
x 计算出
?
?
②以 （ )0,?? 为圆心，过初始状态作一小段圆弧，使系统的状态从
),(
w
x
x
?
?
?
转移到 ),(
1
1
w
x
x
?
③根据 1x 和
w
x
1
?
求出 1? 后，以 )0,( 1? 为圆心，作过 ),(
1
1
w
x
x
?
的一段圆弧。系
统状态又以 ),(
1
1
w
x
x
?
转移到 ),(
2
2
w
x
x
?
例：试用 ? 法做出由初始状态 0)0(,1)0( ?? xx ? 的系统 03 ??? xxx ??? 的相轨迹
解：原方程变为
3
xxx ??? ???
取,1?? 则
xxxxx ?????
3
???
则 xxxxx ????
3
),( ???
相轨迹的起始点为 )0,1(1A
以原点为圆心,1 为半径做一圆弧
四,由相轨迹求时间解
1,根据
x
x
t
?
?
?? 求时间解
在 xx ?? 坐标上
t
x
x
?
?
??
x
x
t
?
?
???
在
w
x
x
?
? 坐标上
)(
1
w
x
x
w
t
?
?
??
由图可见
AB
AB
AB
x
x
t
?
?
??
BC
BC
BC
x
x
t
?
?
??
CD
CD
CD
x
x
t
?
?
??
x?? 从相平面图上横坐标上选取
x? 从相平面图上纵坐标上选取，但应是 x? 对应的 x? 的平均值
CD
CD
CD x
x
t
?
?
??
x?? 从相平面图上横坐标上选取
x? 从相平面图上纵坐标上选取，但应是 x? 对应的 x? 的平均值
2,根据 dx
x
t
?
?
?
1
求时间解
dt
dx
x ??
dx
x
tt
x
x
?
??
2
1
1
12
?
以
x
为横坐标，
x?
1
为纵坐标
则有如下轨迹
dx
x
t
B
A
x
x
AB ?
?
?
1
便是阴影部分的面积
3,根据圆弧近似求时间解
w
t
wt
?
?
?
?
相轨迹上由 A 点运动到 D 点的时间为
)(1 321 ??? ??????
w
tttt CDBCABAD
五, 非线性系统的相平面分析
1,基本概念
实奇点：奇点位于对应的线性工作区域内
虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外
极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹, 所有极限环附
近的相轨迹都将卷向极限环, 或从极限环卷出 。 极限环内部 （ 或外
部 ） 的相轨迹, 总是不可能穿过极限环而进入它的外部 （ 或内部 ） 。
（ 1） 稳定极限环 在极限环附近, 起始于极限环外部或内部的相
轨迹均收敛与该极限环 。 这时, 系统表现为等幅持续振荡 。
（ 2）不稳定极限环 在极限环附近的相轨迹是从极限环发散出去。
在这种情况下，如果相轨迹起始于极限环内，则该相轨迹收敛于极
限环内的奇点，如果相轨迹起始于极限环外，则该相轨迹发散至无
穷远。
（ 3）半稳定极限环 如果起始于极限环外部的相轨迹，从极限
环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹，收敛于极限环 ;
或者相反，起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环，而起
始于极限环内部各点的相轨迹收敛于圆点。
一般非线性系统可用分段线性微分方程来描述。在相平面的不
同区域内，代表该非线性系统运动规律的微分方程是线性的，
因而每个区域内的相轨迹都是线性系统的相轨迹，仅在不同区
域的边界上相轨迹要发生转换。区域的边界线称为开关线或转
换线。因此，一般非线性系统相轨迹实际上就是分段线性系统相轨
迹，我们只需做好相轨迹在开关线上的衔接工作。用相平面法分析
非线性系统的一般步骤：
（ 1） 将非线性特性用分段的直线特性来表示, 写出相应线段的数
学
表达式 。
（ 2） 首先在相平面上选择合适的坐标, 一般常用误差及其导数分
别为横纵坐标 。 然后将相平面根据非线性特性分成若干区域, 使非
线性特性在每个区域内都呈线性特性 。
（ 3） 确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置 。
（ 4） 在各个区域内分别画出各自的相轨迹 。
（ 5） 将相邻区域的相轨迹, 根据在相邻两区分界线上的点对于相
邻两区具有相同工作状态的原则连接起来, 便得到整个非线性系统
的相轨迹 。
（ 6） 基于该相轨迹, 全面分析二阶非线性系统的动态及稳态特性
例
2.非线性系统方框图如图所示, 试取其系统在输入信号
（ 1 ） )(1)( tRtr ?? （ 2 ） vtRtr ??)( 作用下的相轨迹，并分析该
系统的特性。
1?k 1?K 1?T 初始状态 0)0( ?c 0)0( ?c?
解：死区特性的数字表达式为
?
?
?
?
?
???
??
?
?
??
??
?
eeee
eeee
ee
x
0
线性部分微分方程为
KxccT ?? ???
而
cre ??
故有 rrTKxeeT ?????? ????
根据死区特性，系统可分为三个区
I 区 rrTeeT ?????? ???
?
ee ?
II 区
rrTeeKeeT ??????
?
????? )(
?
ee ??
III 区
rrTeeKeeT ??????
?
????? )(
?
ee ??
（ 1 ） )(1)( tRtr ??
三个区的微分部分分别为
I 0?? eeT ??? ?
ee ?
II 0)( ????
?
??? eeKeeT
?
ee ??
III 0)( ???? ?
??? eeKeeT
?ee ??
在 I 区
???
Tde
ed 1?
常量 说明相轨迹是斜率为
T
1
?
的直线或 0?e? 的横
轴
在 II 区
e
eeKe
de
ed
?
??
?
)( ??
??
奇点为 ?
? eee ??,0
奇点正好位于 I, II 区分界线上
令
??
de
ed ?
则有等倾线方程
??
??
?
1
)(
?
?
eeK
e
这里斜率为
??
?
1
K
得直线方程过
)0,(
?
e
点
2
5.1
2.1
1.1
5.0
1
0
1
??
??
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
45
4.63
7.78
7.5
4.63
90
45
6.26
?
?
?
?
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3.64
3.56
50
8.84
6.26
45
0
45
??
??
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
同理在 III 区，等倾线为
??
??
?
1
)(
?
?
eeK
e
起始坐标
0)0()0()0()0(
)0()0()0()0(
?????
?????
ccre
RcRcre
????（ 2 ） vtRtr ??)(
veeT ?? ??? ?ee ? 渐近线 ve ??
veeKeeT ???? )( ???? ?ee ? 实奇点 )0,( ?e
K
v
?
veeKeeT ???? )( ???? ?ee ?? 虚奇点 ( 0,?e
K
v
? )
例 1 求下列方程的奇点，并确定奇点类型
（ 1 ） 02 2 ??? xxx ???
（ 2 ） 0)1( 2 ???? xxxx ???
解,奇点
0
0
?
dx
xd ?
dx
xd
xx
?
??? ?
x
xxf
dx
xd
?
?? ),(
?
故可由
0),(,0 ??? xxfxx ????
来确定奇点
（ 1 ）
)(
2
1
2
xxx ??? ???
令
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
0
0
0)(
2
1
0
2
x
x
xx
x
?
?
?
在奇点处，将
),( xxf ?
进行泰勒 ( T a y l o r ) 级数展开
xxx
x
xxf
xx
x
xxf
fxxf
x
x
x
x
2
1
)(
),(
)(
),(
)0,0(),(
0
0
0
0
???
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
故有
0
2
1
??x??
特征方程
0
2
1
2
???
2
1
j???
故奇点为中心点
?
e
（ 2 ）
xxxx ??? ??? )1(
2
?
?
?
?
?
0
0
x
x?
xxx ?? ???
即
0??? xxx ???
01
2
??? ??
2
31 j?
??
所以为不稳定焦点
m
?
e
例 3
解,
)(1
0
tr
KxeeT
cer
KxccT
?
???
?
??
?? ??????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
M
M
M s i g n ex
0
0
?
?
?
??
??
mee
mee
ee
meee
eeme
??
?
?
???
???
0
0
0
0
?
?
?
?
e
e
e
e
?
?
?
?
I 0?? eeT ???
?
?
?
????
????
0,
0,
emeee
eeeme
?
?
??
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II 0??? KMeeT
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0,emee
ee
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III 0??? KMeeT
???
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???
??
0,emee
ee
?
?
?
I 区 相轨迹斜率为
T
1
?
的直线或 0?e
?
II, III 区 等倾线
?? ?
?
?
?
?
11
KM
e
KM
e ??
渐近线
KMeKMe ???? ??0?
衰减振荡，最终稳态误差为常值
-
N ( A )
3.描述函数法
一, 本质非线性特性的谐波线性化
1,谐波线性化：具有
本质非线性的非线性
元件在正弦输入作用
下, 在其非正弦周期函数的输出响应中, 假设只有基波分量有意义,
从而将本质非线性特性在这种假设下视为线性特性的一种近似 。
2,基波假设：自振状态下，非线性部分和线性部分的输入、输出均可
视为为同频率的正弦信号 （这里自振即 0)( ?tr ）
3,应用描述函数法分析非线性系统的前提
a.非线性特性具有奇对称心
b.非线性系统具有图 a所时的典型结构
c.非线性部分输出 x(t)中的基波分量最强
d.非线性部分 G(s)的低通滤波效应较好
4,描述函数
定义 描述函数的模等于非正线周期输出的基波 )s i n ()( 111 ??? wtxtx 的
振幅与输入正弦 wtAte s i n)( ? 的振幅 A 之比 Ax 1,其幅值为正线输
出 )(1 tx 相对正弦输入 )( te 的相移 1?,因此
11)( ?jeAxAN ?
b.非线性特性的描述函数的求取方法
设
wtAte s i n)( ?
为非线性元件的正弦输入
其非线性周期输出 )( tx 付立叶级数为
)s i nc o s()(
1
wtBn w tAAtx
n
n
n
??? ?
?
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?
)s i n (
1
n
n
n
n wtxA ???? ?
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式中 ??
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2
0
c o s)(
1
n w t d w ttxA
n
n
n
nnnn
B
A
a r c t gBAx
wtn w t dtxnB
???
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?
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?
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22
2
0
1
)(s i n)()(
若非线性特性是奇对称的，则 )(,0 txA ?
?
的基波分量为
wtBwtAtx s i nc o s)(
111
??
)s i n (
11
??? wtx
这里 ??
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2
0
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1
wtw t dtxA
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1
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)(
)(s i n)(
1
B
A
j a r c t g
e
A
BA
AN
B
A
a r ct gBAx
wtwt dtxB
?
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???
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?
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二．典型非线性特性的描述函数
（ 1） 饱和特性的描述函数
饱和特性数学表达式为
???
???
?
???
???
??
??
?
?
?
?
wt
wt
wt
wtkA
b
wtkA
tx
1
11
1
0
s i n
s i n
)(
由于 x ( t ) 为单值积对称函数，故有 0,0 01 ?? AA
??
?
?
2
0
1
)(s i n)(
1
wtw t dtxB
? ?
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????
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21
11
2
1
2
11
2
22
1
2
1
2
1
111
1
0
0
1
0
2
2
0
2
)(1ar c s i n
2
)(
0
)(1ar c s i n
2
)(1)(1
2
1
ar c s i n
2
14
s i n1s i n1s i n
2
1
ar c s i n
2
14
c o s2s i n
4
1
2
14
c o s2s i n
2
12
c o s)2c o s1(
2
14
c o s)(s i n
2
4
)(s i n)(s i ns i n
4
1
1
1
2
1
1
1
1
A
a
A
a
A
a
ke
A
x
AN
BBAx
A
a
A
a
A
a
A
k
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
k
A
a
A
a
A
k
A
a
A
k
A
a
wtwt
kA
A
a
d wtwt
kA
wtbwtwt d
kA
wtwt dbwtwt dwtkA
B
A
j a r c t g
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???
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（ 2）死区特性描述函数
wtAte s i n)( ?
死区特性数学表达式为
wtAte s i n)( ?
死区特性数学表达式为
?
?
?
?
?
?
?
???
???
??
??
0
0
)s i n(
0
)(
1
11
1
???
???
?
wt
wt
wt
awtAktx
x ( t ) 为单值奇对称函数，故有
0,0,0
101
??? ?AA
?
?
?
?
2
0
1
)(s i n)(
1
wtw t dtxB
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2
111
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2
)(1ar c s i n
2
2
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2
122
c o s)2s i n
4
1
2
1
(
4
s i n)s i n(
4
111
1
A
a
A
aka
kakA
wtkawtwtkA
w t d w tawtAk
?
?
???
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2
)(1a r c s i n
2
2
)(
A
a
A
a
A
ak
AN
?
?
（ 3） 间隙特性的描述函数
A
A
AA
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???
2
1s in
)
2
1ar cs in (
2)s in (
1
1
1
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????
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????
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wtwtAk
wtAk
wtwtAk
x
1
1
)s i n(
2
)(
2
0)s i n(
)( tx 为奇对称，但非单值 0
0
?A
?
?
?
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2
0
1
)(c o s)(
1
wtw t dtxA =
?
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2
0
2
)(c o s)s i n()(c o s)()(c o s)s i n(
2
1
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??
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???
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wtw t dwtAkwtw t dAkwtw t dwtAk
=
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1
1
s i n2c o s
4
s i n)(s i n2c o s
4
2
2
2
0
wtKwt
kA
wtAkwtKwt
kA
=
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????????????
111
s i n)2c o s1(
4
)(s i n)()11(
4
2
???????
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K
kA
AkAkK
kA
=
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?????????? )
2
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2
1(21
44
)()
2
1)((
2
2
2
A
K
A
kAkA
Ak
A
Akk
kA ?
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A
k
A
k
k
kA
A
k
kk
kA
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22
2
2
2
22
2
2 ??
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= )22(2
2
A
kk ??
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??
= )1(4
A
k ?
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2
0
1
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1
w t d w ttxB =
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2
0
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1
1
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2
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???
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w t d w twtAkw t d w tAkw t d w twtAk
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11
1
co s)2s i n
4
1
2
1
(co s)(co s2s i n
4
1
2
1
(
2
2
2
0
2
0 ??
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???
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???? wtkwtwtkAwtAkwtkwtwtkA
= ?
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2
1(2)
2
1a r c s i n (
2 AAAA
kA ?????
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1
1
2
1
2
111
)(
B
A
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e
A
BA
A
A
j
A
B
AN
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4
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2
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2
1a r c s i n (
2
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AA
k
j
AAAA
k ?
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??????
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??A
（ 4）继电特性描述函数
A
me
meA
A
e
eA
0
2
02
0
1
01
ar c s in
)s in (
ar c s in
s in
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)( tx 奇对称 00 ?A
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wt
wtM
wt
tx
2
21
1
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1
w t d w ttxA
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1
w t d w ttxB
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2020
12
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2
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A
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A
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M
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A
A
j
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)1(
2
)(1)(1(
2 02020
?????? M
A
Me
j
A
e
A
me
A
M
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1?m
20 )(14)(
A
e
A
MAN ??
?
00 ?e
A
MAN
?
4)( ?
1??M
2
020 4)(14)(
A
Mej
A
e
A
MAN
?? ???
（ 5） 变增益特性的描述函数
)()()( 21 ANANAN ??
= )()()()( 2131211 ANANANAN ???
111 )( kAN ?
0,0
01
?? AA
w t d w twtAkB s i ns i n
1 2
0
11 ?
?
?
?
Ak
Ak
wtwtAk
wt d wtAk
1
1
2
0
1
2
0
2
1
0
4
4
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4
1
2
14
s i n
4
?
?
?
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?
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??
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?
?
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??
?
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wtAe
wtAkekx
s i n
s i n
11
?
??
1
1
)( k
A
B
AN ??
(6)典型非线性环节串联时的描述函数
两非线性环节串联时，第二个非线性环节不符和谐波线性化的条件，
故不存在描述函数 )(2 AN,求取串联环节的传递函数时应求取其等效非
线性特性的描述函数。
例 1求取非线性环节的等效形式
解,
axMy
eeeekx
??
??? 00 )(
令 )( 0eeka ??
0e
k
a
e ??? 即 0e
k
a
???
例 2
)(
22
??? xky
)(
11
??? ekx
? ?
1
2
121
1
2
12121112
)()(
k
kkk
ek
k
ekkkekky
?
?????
????
?
?
?
?
? ?
?????????
三,非线性控制系统的描述函数分析
(1)控制系统的稳定性分析
)()(1
)()(
)(
)(
jwGAN
jwGAN
jwR
jwC
?
?
特征方程为
)(
1
)(
0)()(1
AN
jwG
jwGAN
??
??
非线性特性的负倒描述函数
相当于
1)( ??jwG
N y q u i s t 图上分析斜波线性化系统稳的准则是
（ a ） )( jwG 不包围
)(
1
AN
? 曲线则系统稳定
（ b ） )( jwG 包围
)(
1
AN
? 曲线则系统不稳定
（ c ） )( jwG 于
)(
1
AN
? 曲线相交，则可能产生自持振荡
（ 2） 典型非线性特性对系统的稳定性的影响
例 1 设含理想继电器特性的系统方框图如图所式。试确定其自持
振荡的振幅和角频率。
解：该继电特性的描述函数为
A
M
AN
?
4
)( ?,这里 M = 1,其负倒特性为
A
AN 4)(
1 ?
???
虽然当 A 从 ??0 变化时
)(
1
AN
? 从 ??0 变化
即
)(
1
AN
? 在 N y q u i s t 图上为负实轴
线性部分
)2)(1(
10
)(
??
?
sss
sG
)()(Re
)2)(1(
10
)( jwGjIjwG
jwjwjw
jwG
m
??
??
?
?
?
2 7 0)(0)(
90)()(0
??????
??????
?
jwGjwGw
jwGjwGw
)( jwG
与
)(
1
AN
? 的交点为稳定极限环
)23(
10
)(
2
??
?
sss
sG
? ?23
10
)(
2
???
?
jwwjw
jwG
? ?
? ?)3()2(
3210
222
2
www
jww
j
??
??
??
)45(
)2(10
45
30
24
2
24
??
?
?
??
??
www
w
j
ww
由
)(
1
)(
AN
jwG ??
有,
)(
1
)(Re
0
0
AN
jwG ??
舍负2
0)(
0
0
??
?
w
jwGI
m
故 0
24
44)2(5)2(
30
A
?
??
??
?
解得,12.2
18
430
0
?
?
?
?
A
因此自持振荡的振幅和频率为
2,12.2
00
?? wA
例 2, 研究如图所示的非线性系统，图中 7.0,7.1 0 ?? eM,试判断是否存
在自振；若有自振，求出自振的振幅和频率。
继电特性的描述函数为
)1(
2
))(1)(1(
2
)(
2
02020
?????? m
A
Me
j
A
e
A
me
A
M
AN
??
这里 1?m 故有
200
0
0
0
200
0
2
0
)(1
4
)(
)(1
4
1
4
)(
A
e
A
e
AN
k
e
M
A
e
A
e
e
M
A
e
A
M
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??
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???
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?
?
?
?
??
?
??
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)(
4
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1
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1
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0
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?
?
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???
e
A
e
A
A
B
A
BAN
??
极大值 2
0
?
e
A
A
e
0
0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6
)(
1
AN
? - 7, 8 9 - 4, 8 1 - 2, 7 4 - 2, 1 4 - 1, 8 1 - 1, 6 4
2
1
0, 8 0, 9 0, 9 5 1
- 1, 5 7 - 1, 6 4 - 2 - 2, 6 5 -?
线性部分
)(
0
jwGk
w
1 2 0 1 5 0 1 8 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 4 0 0
)( jwG?
- 1 5 6, 9
0
- 1 6 6, 9
0
- 1 7 5, 2
0
- 1 8 0
0
- 1 9 0, 2
0
- 1 9 8, 4
0
- 2 1 1
0
)(
0
jwGK
5, 7 0 8 3, 8 6 7 2, 7 4 9 2, 2 3 4 1, 4 0 6 0, 9 4 2 0, 4 7 8
由图可知,交点处 2 0 0?w 时有
84.1
38.0
7.0
38.0
76.0
92.0
7.0
92.0
2
0
1
0
???
???
A
A
e
A
A
e
稳定
第七章 非线性控制系统分析
非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。
非线性系统：如果一个控制系统, 包含一个或一个以上具有非
线性静特性的元件或环节, 则称这类系统为非线性系统, 其特
性不能用线性微分方程来描述 。
一, 控制系统中的典型非线性特性
下面介绍的这些特性中, 一些是组成控制系统的元件所固有
的, 如饱和特性, 死区特性和滞环特性等, 这些特性一般来
说对控制系统的性能是不利的；另一些特性则是为了改善系
统的性能而人为加入的, 如继电器特性, 变增益特性, 在控
制系统中加入这类特性, 一般来说能使系统具有比线性系统
更为优良的动态特性 。
非线性系统分析
?)( tx
?
?
?
?
?
?
?
atetk a s i g n e
atetke
)()(
)()(
饱和特性
式中
?a
线性区宽度
?k
线性区特性的斜率
)( te
??
?
??
???
0)(1
0)(1)(
te
tets i g n e
（ 2） 死区特性
? ???
?
??
??
ateta s i gn etek
atetx
)()()(
)(0)(
式中 ?a 死区宽度
k - 线性输出的斜率
式中 ??2 间隙宽度
?k 间隙特性斜率
危害：使系统输出信号在相位上产生滞后, 从而降低系统的相对
稳定性, 使系统产生自持振荡 。
危害：使系统输出信号在相位上产生滞后, 从而降低系统的相对
稳定性, 使系统产生自持振荡 。
（ 4） 继电器特性
? ?
? ?
??
?
?
?
?
??
??
?
0)()(
0)()(
0)()(
)(
txtb s i g n e
txtek
txtek
tx
?
?
?
?
?
功能：改善系统性能的切换元件
（ 4） 继电器特性
?
?
?
?
?
?
?
????
??
?
????
????
?
0)(,)(
0)(,)(
)()(
0)(,)(0
0)(,)(0
)(
temateb
temateb
atetb s i g n e
tematea
teatema
tx
?
?
?
?
变增益特性
?
?
?
?
?
?
atetek
atetek
tx
)()(
)()(
)(
2
1
式中 21,kk - 变增益特性斜率
a - 切换点
特点：使系统在大误差信号时具有较大的增益，从而使系统响应迅
速；而在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定
性。同时抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信号的准确度。
本质非线性：不能应用小偏差线性化概念将其线性化
非本质非线性：可以进行小偏差线性化的非线性特
二, 非线性控制系统的特性
（ 1）对于线性系统，描述其运动状态的数学模型量线性微分方程，
它的根本标志就在于能使用叠加原理。而非线性系统，其数学模型
为非线性微分方程，不能使用叠加原理。由于两种系统特性上的这
种差别，所以它的运动规律是很不相同的。目前，还没有像求解线
性微分方程那样求解非线性微分方程的通用方法。而对非线性系统，
一般并不需要求解其输出响应过程。通常是把讨论问题的重点放在
系统是否稳定，系统是否产生自持振荡，计算机自持振荡的振幅和
频率，消除自持振荡等有关稳定性的分析上。
（ 2） 在线性系统中, 系统的稳定性只与其结构和参数有关, 而与
初始条件无关 。 对于线性定常系统, 稳定性仅取决于特征根在 s平
面的分布 。 但非线性系统的稳定性除和系统的结构形式及参数有关
外, 还和初始条件有关 。 在不同的初始条件下, 运动的最终状态可
能完全不同 。 如有的系统初始值处于较小区域内时是稳定的, 而当
初始值处于较大区域内时则变为不稳定 。 反之, 也可能初始值大时
系统稳定, 。 甚至还会出现更为复杂的
情况 。
（ 3） 在非线性系统中, 除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两
种运动形式外, 往往即使无外作用存在, 系统也可能产生具有一定
振幅和频率的稳定的等幅振荡 。
自持振荡：无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振荡称为
自持振荡, 简称自振荡 。
改变非系统的结构和参数, 可以改变自持振荡的振幅和频率, 或消
除自持振荡 。
对线性系统, 围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式, 其中
不可能产生稳定的自持振荡 。
（ 4）在线性系统中，输入为正弦函数时，其输出的稳态分量也是
同频率的正弦函数，输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不
同，因此可以用频率响应来描述系统的固有特性。而非线性系统输
出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式。
三, 非线性系统的研究方法
现在尚无一般的通用方法来分析和设计非线性控制系统。
对非本质非线性系统
基于小偏差线性化概念来处理
对本质非线性系统
二阶系统：相平面法
高阶系统：描述函数法
2.相平面法
相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法。
一, 基本概念
设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述
),( xxfx ??? ? （ 1 ）
如果以 x 和 x? 作为变量，则可有
?
?
?
?
?
?
?
),( xxf
dt
xd
x
dt
dx
?
?
?
（ 2 ）
用第一个方程除第二个方程有
x
xxf
dx
xd
?
?? ),(
? （ 3 ）
这是一个以 x 为自变量，以 x? 为因变量的方程，如果能解出该方程，则
可以用 （ 2 ）式把 tx,的关系计算出来。因此对方程 （ 1 ）的研究，可以
用研究方程 （ 3 ）来代替。如果把方程 （ 1 ）看作质点的运动方程，则 x
代表质点的位置,x? 代表质点的速度 （因而也代表了质点的
动量）。用 x 和 x? 描述方程 （ 1 ）的解，也就是用质点的状态 （如位置和
动量）来表示质点的运动。在物理学中，这种不直接用时间变量而用
状态变量表示运动的方法称为相空间法，也称为状态空间法。在自动
控制理论中，把具有直角坐标的 x 和 x? 的平面称为相平面，相平面是二
维的状态空间。
二, 线性系统的相轨迹
设描述系统运动的微分方程为
02
2
??? xwxwx
nn
??? ?
分别取 x 和 x? 为 相 平 面 的 横 坐 标 和 纵 坐 标, 上 述 方 程 为,
02
2
??? xwxw
dt
dx
dx
xd
nn
?
?
?
则
x
xwxw
dx
xd
nn
?
??
2
2 ?
??
?
上式代表描述二阶系统 自由运动的相轨迹各点处的斜率，在 0?x 及
0?x?,即坐标原点 （ 0, 0 ）处的斜率为
0
0
?
dx
xd ?
，由此我们有奇点的
定义
奇点：相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇
点 。
（ 1 ）无阻尼运动形式 （ 0?? ）?
dx
xd ?
x
xw n
?
2
?
积分有 x d xwxdx n? ? ?? 2??
2
2
2
2
A
w
x
x
n
??
?
（ 2 ）欠阻尼运动形式 )10( ?? ?
（ 2 ）欠阻尼运动形式 )10( ?? ?
（ 3 ）过阻尼运动形式 （ 1?? ）
（ 4 ）负阻尼运动形式 （ 01 ??? ? ）
（ 5 ） 1???
（ 6）
三,相轨迹的绘制
（ 1 ）解析法 绘制相轨迹的关键在于找出 x 和 x? 的关系
用求解微分方程的办法找出 xx ?,的关系，从而可在相平面上绘制
相轨迹，这种方法称为解析法。解析法分为
a,消去参变量 t
由 ),( xxfx ??? ? 直接解出 )( tx,通过求导得到 )( tx? 。在这两个解中消去作为
参变量的 t,就得到 xx ?? 的关系。
例 设描述系统的微分方程为 0?? Mx??
其中 M 为常量，已知初始条件 xxx ?? )0(,0)0(? 。求其相轨迹。
解,Mx ????, 积分有
Mtx ??? ( 1 ) 再积分一次有
2
2
1
Mtxx ??? ? ( 2 )
由 ( 1 ),( 2 ) 式消去 t 有
)(2
2
?? xxMx ???
M = 1 M = - 1
b.直接积分法
dx
xd
x
dt
dx
dx
xd
dt
xd
x
?
?
?
?
??? ???
),( xxf
dx
xd
x ?
?
? ??
上式可分解为
dxxhxdxg )()( ???
则由 ? ?
?
x
x
x
x
dxxhxdxg
?
?
? ?
?? )()(
可找出 ?
xx ?
得关系
在上式中 由 Mx ???? 可有
Md xxdx
x
M
dx
xd
????? ??
?
?
积分有
)(2
)(
2
1
2
2
?
?
?
?
xxMx
xxMx
???
???
可见两种方法求出的相轨迹是相同的
（ 2） 图解法
a.等倾线法
等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线
原理：
),( xxfx ??? ?
因
dx
xd
xx
?
??? ?
故有
x
xxf
dx
xd
?
?? ),(
?
式中
dx
xd ?
为相轨迹在某一点的切线的斜率 令
dx
xd ?
??,则
x
xxf
?
? ),(
?? I
满足此方程的点
),( xx ?
出的斜率必为
?
，有上式确定的 xx ?? 关系曲线称为
等倾线。相轨迹必然以
?
的斜率经过等倾线
步骤：
a,根据等倾线方程式 I,做出不同 ? 值的等倾线
b,根轨初始条件确定相轨迹的起始点
c,从起始点处的等倾线向相邻的第二条等倾线画直线，它的斜率近似等
于这两条相邻等倾线斜率的平均值。再从该直线与第二条等倾线的交
点向相邻的第三条等倾线画直线。这段直线的斜率等于第二, 第三等倾
线斜率的平均值，如此继续下去，即可作出相轨迹。
例 做出 0??? xxx ??? 的相轨迹 1)0( ?x? 0)0( ?x
解,（ 1 ）等倾线方程
xx
dx
xd
x ??? ?
?
?
x
xx
dx
xd
?
?? ?
????
故等倾线方程为
xx
??
?
?
1
1
?
显然为直线
该等倾线的斜率为
?
?
?
?
?
1
1
tg
1???
?
90??
对应的相轨迹经过该等倾线的斜率为 ?? ?tg
?
45)1( ???? a r c t g?
9
4
2
1
5.0
0
2.0
4.0
11
4
3
5.2
2
8.1
6.1
4.1
2.1
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
7.5
3.11
4.18
6.26
6.33
45
3.51
59
7.5
4.18
6.26
7.33
45
3.51
59
2.68
7.78
??
??
??
??
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3.84
76
4.63
45
6.26
0
3.11
8.21
8.84
76
6.71
2.68
4.63
61
58
4.54
50
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
b,? 法
原理：
),( xxfx ??? ? 这里 ),( xxf ? 是单值连续函数
xwxxfxwx
22
),( ??? ???
式中适当选择 w 值，以使下面定义的 ? 函数值在所讨论的 x, x? 取值范
围内，既不太大也不太小。 ? 函数定义如下
2
2),(
),(
w
xwxxf
xx
?
?
?
??
? 函数值取决于变量 x 和 x?,而当 x 和 x? 变化很小时 ),( xx?? 可以看作一
个常量。
0)(
1
2
??? ?xwx??
x
xw
dx
xd
?
? )(
1
2
???
?
积分有
? ?
22
11
22
1
2
2
11
22
1
22
1
2
1
2
))()(()()(
)()(
2
1
)(
2
1
)(
Ax
w
x
x
w
x
xwxwxx
dxxwxdx
??????
??????
???
??
??
?
??
??
??
这是一个以 )0,( 1? 为圆心，以 2112 )()( ???? xwxA ? 为半径的圆弧。 ),( 11 wxx ?
附近的相轨迹可用这段圆弧来代替
做图步骤
①在
w
x
x
?
? 平面上，根据初始状态的坐标 （ ),
?
?
?
?
w
x
x 计算出
?
?
②以 （ )0,?? 为圆心，过初始状态作一小段圆弧，使系统的状态从
),(
w
x
x
?
?
?
转移到 ),(
1
1
w
x
x
?
③根据 1x 和
w
x
1
?
求出 1? 后，以 )0,( 1? 为圆心，作过 ),(
1
1
w
x
x
?
的一段圆弧。系
统状态又以 ),(
1
1
w
x
x
?
转移到 ),(
2
2
w
x
x
?
例：试用 ? 法做出由初始状态 0)0(,1)0( ?? xx ? 的系统 03 ??? xxx ??? 的相轨迹
解：原方程变为
3
xxx ??? ???
取,1?? 则
xxxxx ?????
3
???
则 xxxxx ????
3
),( ???
相轨迹的起始点为 )0,1(1A
以原点为圆心,1 为半径做一圆弧
四,由相轨迹求时间解
1,根据
x
x
t
?
?
?? 求时间解
在 xx ?? 坐标上
t
x
x
?
?
??
x
x
t
?
?
???
在
w
x
x
?
? 坐标上
)(
1
w
x
x
w
t
?
?
??
由图可见
AB
AB
AB
x
x
t
?
?
??
BC
BC
BC
x
x
t
?
?
??
CD
CD
CD
x
x
t
?
?
??
x?? 从相平面图上横坐标上选取
x? 从相平面图上纵坐标上选取，但应是 x? 对应的 x? 的平均值
CD
CD
CD x
x
t
?
?
??
x?? 从相平面图上横坐标上选取
x? 从相平面图上纵坐标上选取，但应是 x? 对应的 x? 的平均值
2,根据 dx
x
t
?
?
?
1
求时间解
dt
dx
x ??
dx
x
tt
x
x
?
??
2
1
1
12
?
以
x
为横坐标，
x?
1
为纵坐标
则有如下轨迹
dx
x
t
B
A
x
x
AB ?
?
?
1
便是阴影部分的面积
3,根据圆弧近似求时间解
w
t
wt
?
?
?
?
相轨迹上由 A 点运动到 D 点的时间为
)(1 321 ??? ??????
w
tttt CDBCABAD
五, 非线性系统的相平面分析
1,基本概念
实奇点：奇点位于对应的线性工作区域内
虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外
极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹, 所有极限环附
近的相轨迹都将卷向极限环, 或从极限环卷出 。 极限环内部 （ 或外
部 ） 的相轨迹, 总是不可能穿过极限环而进入它的外部 （ 或内部 ） 。
（ 1） 稳定极限环 在极限环附近, 起始于极限环外部或内部的相
轨迹均收敛与该极限环 。 这时, 系统表现为等幅持续振荡 。
（ 2）不稳定极限环 在极限环附近的相轨迹是从极限环发散出去。
在这种情况下，如果相轨迹起始于极限环内，则该相轨迹收敛于极
限环内的奇点，如果相轨迹起始于极限环外，则该相轨迹发散至无
穷远。
（ 3）半稳定极限环 如果起始于极限环外部的相轨迹，从极限
环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹，收敛于极限环 ;
或者相反，起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环，而起
始于极限环内部各点的相轨迹收敛于圆点。
一般非线性系统可用分段线性微分方程来描述。在相平面的不
同区域内，代表该非线性系统运动规律的微分方程是线性的，
因而每个区域内的相轨迹都是线性系统的相轨迹，仅在不同区
域的边界上相轨迹要发生转换。区域的边界线称为开关线或转
换线。因此，一般非线性系统相轨迹实际上就是分段线性系统相轨
迹，我们只需做好相轨迹在开关线上的衔接工作。用相平面法分析
非线性系统的一般步骤：
（ 1） 将非线性特性用分段的直线特性来表示, 写出相应线段的数
学
表达式 。
（ 2） 首先在相平面上选择合适的坐标, 一般常用误差及其导数分
别为横纵坐标 。 然后将相平面根据非线性特性分成若干区域, 使非
线性特性在每个区域内都呈线性特性 。
（ 3） 确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置 。
（ 4） 在各个区域内分别画出各自的相轨迹 。
（ 5） 将相邻区域的相轨迹, 根据在相邻两区分界线上的点对于相
邻两区具有相同工作状态的原则连接起来, 便得到整个非线性系统
的相轨迹 。
（ 6） 基于该相轨迹, 全面分析二阶非线性系统的动态及稳态特性
例
2.非线性系统方框图如图所示, 试取其系统在输入信号
（ 1 ） )(1)( tRtr ?? （ 2 ） vtRtr ??)( 作用下的相轨迹，并分析该
系统的特性。
1?k 1?K 1?T 初始状态 0)0( ?c 0)0( ?c?
解：死区特性的数字表达式为
?
?
?
?
?
???
??
?
?
??
??
?
eeee
eeee
ee
x
0
线性部分微分方程为
KxccT ?? ???
而
cre ??
故有 rrTKxeeT ?????? ????
根据死区特性，系统可分为三个区
I 区 rrTeeT ?????? ???
?
ee ?
II 区
rrTeeKeeT ??????
?
????? )(
?
ee ??
III 区
rrTeeKeeT ??????
?
????? )(
?
ee ??
（ 1 ） )(1)( tRtr ??
三个区的微分部分分别为
I 0?? eeT ??? ?
ee ?
II 0)( ????
?
??? eeKeeT
?
ee ??
III 0)( ???? ?
??? eeKeeT
?ee ??
在 I 区
???
Tde
ed 1?
常量 说明相轨迹是斜率为
T
1
?
的直线或 0?e? 的横
轴
在 II 区
e
eeKe
de
ed
?
??
?
)( ??
??
奇点为 ?
? eee ??,0
奇点正好位于 I, II 区分界线上
令
??
de
ed ?
则有等倾线方程
??
??
?
1
)(
?
?
eeK
e
这里斜率为
??
?
1
K
得直线方程过
)0,(
?
e
点
2
5.1
2.1
1.1
5.0
1
0
1
??
??
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
45
4.63
7.78
7.5
4.63
90
45
6.26
?
?
?
?
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3.64
3.56
50
8.84
6.26
45
0
45
??
??
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
同理在 III 区，等倾线为
??
??
?
1
)(
?
?
eeK
e
起始坐标
0)0()0()0()0(
)0()0()0()0(
?????
?????
ccre
RcRcre
????（ 2 ） vtRtr ??)(
veeT ?? ??? ?ee ? 渐近线 ve ??
veeKeeT ???? )( ???? ?ee ? 实奇点 )0,( ?e
K
v
?
veeKeeT ???? )( ???? ?ee ?? 虚奇点 ( 0,?e
K
v
? )
例 1 求下列方程的奇点，并确定奇点类型
（ 1 ） 02 2 ??? xxx ???
（ 2 ） 0)1( 2 ???? xxxx ???
解,奇点
0
0
?
dx
xd ?
dx
xd
xx
?
??? ?
x
xxf
dx
xd
?
?? ),(
?
故可由
0),(,0 ??? xxfxx ????
来确定奇点
（ 1 ）
)(
2
1
2
xxx ??? ???
令
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
0
0
0)(
2
1
0
2
x
x
xx
x
?
?
?
在奇点处，将
),( xxf ?
进行泰勒 ( T a y l o r ) 级数展开
xxx
x
xxf
xx
x
xxf
fxxf
x
x
x
x
2
1
)(
),(
)(
),(
)0,0(),(
0
0
0
0
???
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
故有
0
2
1
??x??
特征方程
0
2
1
2
???
2
1
j???
故奇点为中心点
?
e
（ 2 ）
xxxx ??? ??? )1(
2
?
?
?
?
?
0
0
x
x?
xxx ?? ???
即
0??? xxx ???
01
2
??? ??
2
31 j?
??
所以为不稳定焦点
m
?
e
例 3
解,
)(1
0
tr
KxeeT
cer
KxccT
?
???
?
??
?? ??????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
M
M
M s i g n ex
0
0
?
?
?
??
??
mee
mee
ee
meee
eeme
??
?
?
???
???
0
0
0
0
?
?
?
?
e
e
e
e
?
?
?
?
I 0?? eeT ???
?
?
?
????
????
0,
0,
emeee
eeeme
?
?
??
??
II 0??? KMeeT
???
?
?
?
??
?
0,emee
ee
?
?
?
III 0??? KMeeT
???
?
?
?
???
??
0,emee
ee
?
?
?
I 区 相轨迹斜率为
T
1
?
的直线或 0?e
?
II, III 区 等倾线
?? ?
?
?
?
?
11
KM
e
KM
e ??
渐近线
KMeKMe ???? ??0?
衰减振荡，最终稳态误差为常值
-
N ( A )
3.描述函数法
一, 本质非线性特性的谐波线性化
1,谐波线性化：具有
本质非线性的非线性
元件在正弦输入作用
下, 在其非正弦周期函数的输出响应中, 假设只有基波分量有意义,
从而将本质非线性特性在这种假设下视为线性特性的一种近似 。
2,基波假设：自振状态下，非线性部分和线性部分的输入、输出均可
视为为同频率的正弦信号 （这里自振即 0)( ?tr ）
3,应用描述函数法分析非线性系统的前提
a.非线性特性具有奇对称心
b.非线性系统具有图 a所时的典型结构
c.非线性部分输出 x(t)中的基波分量最强
d.非线性部分 G(s)的低通滤波效应较好
4,描述函数
定义 描述函数的模等于非正线周期输出的基波 )s i n ()( 111 ??? wtxtx 的
振幅与输入正弦 wtAte s i n)( ? 的振幅 A 之比 Ax 1,其幅值为正线输
出 )(1 tx 相对正弦输入 )( te 的相移 1?,因此
11)( ?jeAxAN ?
b.非线性特性的描述函数的求取方法
设
wtAte s i n)( ?
为非线性元件的正弦输入
其非线性周期输出 )( tx 付立叶级数为
)s i nc o s()(
1
wtBn w tAAtx
n
n
n
??? ?
?
?
?
)s i n (
1
n
n
n
n wtxA ???? ?
?
?
?
式中 ??
?
?
2
0
c o s)(
1
n w t d w ttxA
n
n
n
nnnn
B
A
a r c t gBAx
wtn w t dtxnB
???
?
?
?
?
?
22
2
0
1
)(s i n)()(
若非线性特性是奇对称的，则 )(,0 txA ?
?
的基波分量为
wtBwtAtx s i nc o s)(
111
??
)s i n (
11
??? wtx
这里 ??
?
?
2
0
1
)(c o s)(
1
wtw t dtxA
1
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
11
2
0
1
)(
)(s i n)(
1
B
A
j a r c t g
e
A
BA
AN
B
A
a r ct gBAx
wtwt dtxB
?
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???
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二．典型非线性特性的描述函数
（ 1） 饱和特性的描述函数
饱和特性数学表达式为
???
???
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???
???
??
??
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wt
wt
wt
wtkA
b
wtkA
tx
1
11
1
0
s i n
s i n
)(
由于 x ( t ) 为单值积对称函数，故有 0,0 01 ?? AA
??
?
?
2
0
1
)(s i n)(
1
wtw t dtxB
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21
11
2
1
2
11
2
22
1
2
1
2
1
111
1
0
0
1
0
2
2
0
2
)(1ar c s i n
2
)(
0
)(1ar c s i n
2
)(1)(1
2
1
ar c s i n
2
14
s i n1s i n1s i n
2
1
ar c s i n
2
14
c o s2s i n
4
1
2
14
c o s2s i n
2
12
c o s)2c o s1(
2
14
c o s)(s i n
2
4
)(s i n)(s i ns i n
4
1
1
1
2
1
1
1
1
A
a
A
a
A
a
ke
A
x
AN
BBAx
A
a
A
a
A
a
A
k
A
a
A
a
A
a
A
a
A
a
A
k
A
a
A
a
A
k
A
a
A
k
A
a
wtwt
kA
A
a
d wtwt
kA
wtbwtwt d
kA
wtwt dbwtwt dwtkA
B
A
j a r c t g
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???
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???
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（ 2）死区特性描述函数
wtAte s i n)( ?
死区特性数学表达式为
wtAte s i n)( ?
死区特性数学表达式为
?
?
?
?
?
?
?
???
???
??
??
0
0
)s i n(
0
)(
1
11
1
???
???
?
wt
wt
wt
awtAktx
x ( t ) 为单值奇对称函数，故有
0,0,0
101
??? ?AA
?
?
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?
2
0
1
)(s i n)(
1
wtw t dtxB
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111
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2
)(1ar c s i n
2
2
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2
122
c o s)2s i n
4
1
2
1
(
4
s i n)s i n(
4
111
1
A
a
A
aka
kakA
wtkawtwtkA
w t d w tawtAk
?
?
???
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2
)(1a r c s i n
2
2
)(
A
a
A
a
A
ak
AN
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（ 3） 间隙特性的描述函数
A
A
AA
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???
2
1s in
)
2
1ar cs in (
2)s in (
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1
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????
???
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wtwtAk
wtAk
wtwtAk
x
1
1
)s i n(
2
)(
2
0)s i n(
)( tx 为奇对称，但非单值 0
0
?A
?
?
?
?
2
0
1
)(c o s)(
1
wtw t dtxA =
?
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?
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?????
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?
2
0
2
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2
1
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??
??
?
???
?
wtw t dwtAkwtw t dAkwtw t dwtAk
=
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???
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1
1
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4
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4
2
2
2
0
wtKwt
kA
wtAkwtKwt
kA
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?
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111
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4
)(s i n)()11(
4
2
???????
?
K
kA
AkAkK
kA
=
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2
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2
1(21
44
)()
2
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2
2
2
A
K
A
kAkA
Ak
A
Akk
kA ?
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A
k
A
k
k
kA
A
k
kk
kA
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22
2
2
2
22
2
2 ??
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2
A
kk ??
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= )1(4
A
k ?
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1
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2
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11
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4
1
2
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2
2
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2
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= ?
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2
1(2)
2
1a r c s i n (
2 AAAA
kA ?????
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1
1
2
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111
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B
A
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e
A
BA
A
A
j
A
B
AN
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4
)1()
2
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2
1a r c s i n (
2
??
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?????
AA
k
j
AAAA
k ?
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??????
?
??A
（ 4）继电特性描述函数
A
me
meA
A
e
eA
0
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02
0
1
01
ar c s in
)s in (
ar c s in
s in
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)( tx 奇对称 00 ?A
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???
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???
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wtM
wt
tx
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21
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M
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2020
12
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2
2
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A
e
A
meM
M
wt d wtM
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A
A
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)1(
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2 02020
?????? M
A
Me
j
A
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A
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A
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20 )(14)(
A
e
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A
MAN
?
4)( ?
1??M
2
020 4)(14)(
A
Mej
A
e
A
MAN
?? ???
（ 5） 变增益特性的描述函数
)()()( 21 ANANAN ??
= )()()()( 2131211 ANANANAN ???
111 )( kAN ?
0,0
01
?? AA
w t d w twtAkB s i ns i n
1 2
0
11 ?
?
?
?
Ak
Ak
wtwtAk
wt d wtAk
1
1
2
0
1
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0
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0
4
4
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4
1
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14
s i n
4
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??
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wtAe
wtAkekx
s i n
s i n
11
?
??
1
1
)( k
A
B
AN ??
(6)典型非线性环节串联时的描述函数
两非线性环节串联时，第二个非线性环节不符和谐波线性化的条件，
故不存在描述函数 )(2 AN,求取串联环节的传递函数时应求取其等效非
线性特性的描述函数。
例 1求取非线性环节的等效形式
解,
axMy
eeeekx
??
??? 00 )(
令 )( 0eeka ??
0e
k
a
e ??? 即 0e
k
a
???
例 2
)(
22
??? xky
)(
11
??? ekx
? ?
1
2
121
1
2
12121112
)()(
k
kkk
ek
k
ekkkekky
?
?????
????
?
?
?
?
? ?
?????????
三,非线性控制系统的描述函数分析
(1)控制系统的稳定性分析
)()(1
)()(
)(
)(
jwGAN
jwGAN
jwR
jwC
?
?
特征方程为
)(
1
)(
0)()(1
AN
jwG
jwGAN
??
??
非线性特性的负倒描述函数
相当于
1)( ??jwG
N y q u i s t 图上分析斜波线性化系统稳的准则是
（ a ） )( jwG 不包围
)(
1
AN
? 曲线则系统稳定
（ b ） )( jwG 包围
)(
1
AN
? 曲线则系统不稳定
（ c ） )( jwG 于
)(
1
AN
? 曲线相交，则可能产生自持振荡
（ 2） 典型非线性特性对系统的稳定性的影响
例 1 设含理想继电器特性的系统方框图如图所式。试确定其自持
振荡的振幅和角频率。
解：该继电特性的描述函数为
A
M
AN
?
4
)( ?,这里 M = 1,其负倒特性为
A
AN 4)(
1 ?
???
虽然当 A 从 ??0 变化时
)(
1
AN
? 从 ??0 变化
即
)(
1
AN
? 在 N y q u i s t 图上为负实轴
线性部分
)2)(1(
10
)(
??
?
sss
sG
)()(Re
)2)(1(
10
)( jwGjIjwG
jwjwjw
jwG
m
??
??
?
?
?
2 7 0)(0)(
90)()(0
??????
??????
?
jwGjwGw
jwGjwGw
)( jwG
与
)(
1
AN
? 的交点为稳定极限环
)23(
10
)(
2
??
?
sss
sG
? ?23
10
)(
2
???
?
jwwjw
jwG
? ?
? ?)3()2(
3210
222
2
www
jww
j
??
??
??
)45(
)2(10
45
30
24
2
24
??
?
?
??
??
www
w
j
ww
由
)(
1
)(
AN
jwG ??
有,
)(
1
)(Re
0
0
AN
jwG ??
舍负2
0)(
0
0
??
?
w
jwGI
m
故 0
24
44)2(5)2(
30
A
?
??
??
?
解得,12.2
18
430
0
?
?
?
?
A
因此自持振荡的振幅和频率为
2,12.2
00
?? wA
例 2, 研究如图所示的非线性系统，图中 7.0,7.1 0 ?? eM,试判断是否存
在自振；若有自振，求出自振的振幅和频率。
继电特性的描述函数为
)1(
2
))(1)(1(
2
)(
2
02020
?????? m
A
Me
j
A
e
A
me
A
M
AN
??
这里 1?m 故有
200
0
0
0
200
0
2
0
)(1
4
)(
)(1
4
1
4
)(
A
e
A
e
AN
k
e
M
A
e
A
e
e
M
A
e
A
M
AN
??
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???
?
?
?
?
?
??
?
??
1
)(
4
)(1
1
4)(
1
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0
2
0
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?
?
?
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?
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??
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???
e
A
e
A
A
B
A
BAN
??
极大值 2
0
?
e
A
A
e
0
0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6
)(
1
AN
? - 7, 8 9 - 4, 8 1 - 2, 7 4 - 2, 1 4 - 1, 8 1 - 1, 6 4
2
1
0, 8 0, 9 0, 9 5 1
- 1, 5 7 - 1, 6 4 - 2 - 2, 6 5 -?
线性部分
)(
0
jwGk
w
1 2 0 1 5 0 1 8 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 4 0 0
)( jwG?
- 1 5 6, 9
0
- 1 6 6, 9
0
- 1 7 5, 2
0
- 1 8 0
0
- 1 9 0, 2
0
- 1 9 8, 4
0
- 2 1 1
0
)(
0
jwGK
5, 7 0 8 3, 8 6 7 2, 7 4 9 2, 2 3 4 1, 4 0 6 0, 9 4 2 0, 4 7 8
由图可知,交点处 2 0 0?w 时有
84.1
38.0
7.0
38.0
76.0
92.0
7.0
92.0
2
0
1
0
???
???
A
A
e
A
A
e
稳定
