§ 4-7薄板圆孔应力集中
一、孔边应力集中：孔边附近区域应力发生局部
增大的现象。
特点,a.孔边周围应力局部增大（应力重新分布）
b.集中是在一定范围内，是局部现象，
超过一定距离就无影响。
c.集中同孔的形状有关，与孔的大小无关。
二、分析薄板（无限大）长度与高度 >>孔径。
略去体力分量，试求 {σ}。孔半径 a..
aq0=2q 2q
薄板可采用
直角坐标，
但圆孔采用
极坐标较方便
a
+q
q
q
q
q
q
q
x
y
0
A
?
qq
q
a
x
y q
?
q
r?
??r
0
问题可转化为两组问题
（ a） （ b）
（ a）为均匀应力场中由小圆孔引起的应力集中问题。
在远离孔的边界上受到 x和 y方向的均匀拉伸作用。
应力强度为 q。
（ b）为在远离孔的边界上受到 x方向的均匀拉伸、
y方向均匀压缩。
为研究孔边问题。采用极坐标
将薄板直边变换为圆边（采用极坐标方便）
取 b>>a,以 b为半径作一大圆。取包括圆孔在内的圆环研究
（ a）情况下，在半径为 b的圆周上，各点受力状态
都是两向等拉状态，即 ?x=q,?y=q,?xy=0，由坐标
变换式（ 4-7）
?
?
?
?
?
????
???
???
)s i n( co sco ss i n)(
co ss i n2co ss i n
co ss i n2s i nco s
22
22
22
????????
????????
????????
?
?
xyxyr
xyyx
xyyxr
得,?r=q,??=q,?r?=0 则问题转化为：
q
x
y
o
a
b
内半径为 a，外半径为 b的圆环，在外边界上受法向均
布压力 q。
根据（ 4-14）
当 b>>a时，（ a/b=0）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
0
)1(
)1(
'
2
2
'
2
2
'
?
?
?
?
?
r
r
a
q
r
a
q
r
（ 4-17）
q
q
q
a
x
y q
?
q
r?
??r
0
（ b）情况下,?x=q,?y=-q,?xy=0，由坐标变换式（ 4-7）
得：
则问题转化为：
? ?
? ?
?
???
?
???
?
2s i n
c o ss i n2
2c o s
s i nc o s 22
q
q
q
qq
brr
brr
??
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
????
???
???
)s i n( co sco ss i n)(
co ss i n2co ss i n
co ss i n2s i nco s
22
22
22
????????
????????
????????
?
?
xyxyr
xyyx
xyyxr
内半径为 a，外半径为 b的圆环，在外边界上
受径向分布面力 qcos2?,环向分布面力 -qsin2 ? 。
x
y
o
qcos2?
-qsin2 ?
非轴对称问题
采用半逆解法：
A）根据圆环外壁处的面力假设
σr 为某种函数，并求 ?,??r,
????? 2co s)(11 1222 rfrrrr ???????
???? ? 2s i n)()1( 2 rfrrr ???????
从外壁面力研究，设
由上二式，可看出：
（ c）?? 2c os)( rf?
(B)检查是否满足（ 4-6），并求待定函数：
将（ c）代入（ 4-6），得：
02c o s)(9)(9)(2)( 32
2
23
3
4
4
??
?
??
?
? ??? ?
dr
rdf
rdr
rfd
rdr
rfd
rdr
rfd
由于 θ 的任意性，必有：
ttt
t
DeCBeAetf
pppp
pppp
tftftftf
rter
rf
r
rf
r
rf
r
rf
224
4321
234
'''''')4(
'
3
''
2
)3()4(
)(
4,2,2,0:
01644:
0)(16)(4)(4)(:
ln,::
0)(
9
)(
9
)(
2
)(
?
?????
?????
????
????
??
????
根
特征方程
方程变为
引入代换欧拉型方程
?? 2c o s)(
.,,,
)(:
:ln
224
224
?
?
?????
????
?
DrcBrAr
DCBA
DrcBrArrf
rt
为任意常数
通解
还原用
(c) 由（ 4-5）式，求应力分量：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
???
????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
2s i n)
2
2(
2c o s)212(
2c o s)
4
2(
42
2
4
2
42
r
D
r
c
BAr
r
D
BAr
r
D
r
c
B
r
r
? ? 并求待定常数是否满足应力边界检查,).( ?D
? ?
0
62
260|
0
64
20|
42
2
42
??????
?????
?
?
?
a
D
a
c
BAa
a
D
a
c
B
ar
arr
arr
??
?
内边界
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q
b
D
b
c
bAb
q
b
D
b
c
B
br
brr
brr
??????????
????????
?
?
?
2
62
262s i n
2
|
2
64
22c o s
2
|
0
42
20
0
42
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
外边界
x
y
o
qcos2?
-qsin2 ?
8642
4
4
6
2
64
22
2
)()(4)(6)(41
])(1[
2
])(1[
])(4)(31[
2
])(1[)(
:
b
a
b
a
b
a
b
a
p
b
a
p
qa
D
b
a
p
qa
C
b
a
b
a
p
q
B
b
a
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pb
q
A
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
????
??
其中
解此代数方程
2
,,
2
,0
:0,
4
2 qaDqaCqBA
b
a
ab
??????
??? 得出时当
故应力分量：
])(321[2s i n
)31)(1(2s i n
])(31[2c o s
])(341[2c o s)]31)(1[(2c o s
4
2
2
2
2
2
2
4
4
2
2
2
2
2
2
b
a
r
a
q
r
a
r
a
q
r
a
q
b
a
r
a
q
r
a
r
a
q
rr
r
????
?????
???
??????
?
???
??
???
??
?
（ 4-18）
齐尔西解答
状况根据叠加原理
)194(
)31)(1(2s i n
2
)31(2c o s
2
)1(
2
)31)(1(2c o s
2
)1(
2
)().(.3
2
2
2
2
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
????
?????
?
r
a
r
aq
r
aq
r
aq
r
a
r
aq
r
aq
ba
o
rr
oo
oo
r
???
??
??
??
?
讨论：
.3,3
3|.|.
)2c o s21(|).1(
090m a x
0
?
??
??
?
?
应力集中系数倍提高了孔边最大应力比无孔时
孔边 o
ar
q
q
???
?
??
??
o
3qo
qo
qo
3qo
qo
qo
y
x
-qo
%16.0625/1
%425/1
:5
.,54)2(
4
4
2
2
??
??
?
???
r
a
r
a
ar
qyar
时
轴上应力就接近于均布在时当
孔边应力分布如图
简化为
)3(
2s i n
2
)2c o s1(
2
)2c o s1(
2
:)194(
0
0
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
???
r
r
a由叠加法可求：
q2
=
q1
+2 21 qq?
2 21 qq?
2 21 qq?22 1q q?
)()(,有圆孔远离边界问题应变任意的平面应力b
?1
?2
..,
,
)(,:
2211
321
问题解决回到上述
令
总可求出主应力
??
???
?? qq
严格地说是有误差的，
但解答有实用价值