yx
z
?x ?y
?z
?xy
?yx
?yz
?zy?zx
?xz
第七章 空间问题的基本理论
§ 7-1平衡微分方程
应力分量：
{?}={?x;?y;?z;?xy;?xz;?yz}
体力分量：
{X}={X;Y;Z}
在物体内的任意一点 P,取 PA=dx,PB=dy,PC=dz,割
取一平行六面体，研究应力逐点变化的规律。
?xy
?xz
?yx
?zx? yz ?
zy
?x
? y
?z
dyyyy ??? ??
dzzzz ??? ??
dxxxx ??? ??
dyyyxyx ??? ??
x
y
z
0
dyyyzyz ??? ??
dzzzyzy ??? ??
dzzzxzx ??? ??
dxxxzxxz ??? ??
Z
X
Y
根椐平衡条件,0?? xF
0)(
)(
???
?
?
??
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
X d x d y d zd x d yd x d ydz
z
d x d zd x d zdy
x
d y d zd y d zdx
x
zx
zx
zx
yx
yx
yxx
x
x
?
?
?
?
?
??
?
?
00 ?? ?? zy FF 和：由 可得类似表达式，整理并两边除以
dxdydz
，注意到剪应力互等关系，得：
0??????? ??? Xzyx zxyxx ???
0??????? ??? Yzyx zyyxy ???
0??????? ??? zzyx zyzxz ???
（ 7-1）
由对三根轴的合力矩分别为零，可证明剪应力互等。
（ 7-1）为空间问题的平衡方程。
独力未知函数为 6个，平衡方程数目为 3个，问题是超
静定的。须考虑几何、物理方面关系。
§ 7-2几何及物理方程
平面问题中，通过研究度 oxy平面内平行于 x轴,y 轴
的线元 dx和 dy的变形得到几何方程，若用同样的方法分
析 oyz,ozx两平面内相应线元的变形，可得类似的方程。
在小变形情况下，在推导过程中，忽略第一次变形在以后
变形过程中的影响。可得下式：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
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?
x
w
z
u
z
v
y
w
y
u
x
v
z
w
y
v
x
u
xzyzxy
zyx
???
???
,,
,,
（ 7-8）
如用矩阵表示：
一、几何方程
? ? ? ?
T
xzyzxyzyx
xz
yz
xy
z
y
x
??????
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
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?
?
?
?
?
?
应变列阵：
? ?
T
x
w
z
u
z
v
y
w
y
u
x
v
z
w
y
v
x
u
x
w
z
u
z
v
y
w
y
u
x
v
z
w
y
v
x
u
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
几何方程：
（ 7-8)
二、变形相容方程（协调方程）
空间中，不同平面间应变分量的关系。即变形连续
性条件。
yxxy
xyyx
??
??
?
??
?
? ??? 2
2
2
2
2
zyyz
yzzy
??
??
?
??
?
? ??? 2
2
2
2
2
yxzx
xzxz
??
??
?
??
?
? ??? 2
2
2
2
2
)(2 2 zyxxzy xyxzyzx ??????????????? ????
)(2
2
xzyyzx
yzxyxzy
?
??
?
??
?
??
?
??
??
? ????
)(2 2 yxzzyx xzyzxyz ??????????????? ????
其中左边三个形式上是类似的，第一个为平面问题的
连续性方程。（推导见§ 2-8）
右边三式可按第一式由 x?y ? z ? x轮换字母获得。
三、物理方程,(广义虎克定律）
)]([
1
)]([
1
)]([
1
yxzz
xzyy
zyxx
E
E
E
?????
?????
?????
???
???
???
xyxy
zxzx
yzyz
E
E
E
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)1(2
)1(2
)1(2
?
?
?
?
?
?
（ 7-12）
若：
? ?
T
xzyzxyzyx
xz
yz
xy
z
y
x
][ ??????
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
则：物理方程用矩阵表示,? ? ? ?? ??? C? （ 7-12A）
式中：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
)1(200000
0)1(20000
00)1(2000
0001
0001
0001
1
][
?
?
?
??
??
??
E
C
用应变表示应力：
xzxzxyxy
yxzz
zxyy
zyxx
EE
E
E
E
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
)1(2;
)1(2
)
11
(
)21)(1(
)1(
)
11
(
)21)(1(
)1(
)
11
(
)21)(1(
)1(
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?;)1( yzyz E ??? ??
方程用矩阵表示,? ? ? ?? ?
?? D?
式中 [D]为弹性矩阵表示为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
?
?
)1(2
21
00000
0
)1(2
21
0000
00
)1(2
21
000
0001
11
000
1
1
1
000
11
1
)21)(1(
)1(
][
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?E
D
注意,[D]=[C]-1
四、体积应变：
由（ 7-12A)：
zyxe ??? ???
)(
21
zyx
zyx
E
e
???
?
???
??
?
?
???
令,σx+ σy +σz=Θ
?
?
?
????
E
e zyx
?
???
21
?体积应力
?体积应变
体积弹性模量?21 ?E
(7-13)
物理方程的另一形式：
])1[(
1
)]()1[(
1
????
?????
???
???????
x
zyxxx
E
E
由：
解出：
)(1 1 ???? ???? xx E
将（ 7-13）代入后：
???
E
e ?21 (7-13)
?21 ????
Ee
)21(1 xx eE ????? ????
同理有其他：
)21(1 yy eE ????? ????
)21(1 zz eE ????? ????
xyxyxzxzyzyz
EEE ?
???????? )1(2)1(2)1(2 ??????
空间问题：
基本未知函数 15个：
yxxyzxzxzyyzzyx ????????? ???,,,,,
应力分量（ 6个）：
位移分量（ 3个）：
wvu,,
yxxyzxzxzyyzzyx ????????? ???,,,,,
应变分量（ 6个）：
基本方程 15个：
平衡微分方程 3个（ 7-1）；几何方程 6个（ 7-8）；物理
方程 6个（ 7-12）。加上边界条件可解空间问题。
（ 7-14）
§ 7-3物体内任一点的应力状态
一、任一平面上的应力：
n
x y
z y?
yx?
yz?
x?
xy?
xz?
z?
zx?
zy?
P
设任一点 P的 6个应力分量已知
yxxyzxzx
zyyzzyx
????
?????
??
?
,
,,,,
求：经过 P点的任一
斜截面的应力
n?
n?设平面为 ABC,外法线为
n,其方向余弦为：
nzn
mynxn
?
??
),co s (
,),co s (,),co s ( ?
A
B
C
x y
z
y?
yx?
yz?
x?
xy?
xz?
z?
zx?
zy?
C
A
B
n设三角形 ABC面积为,
P
则：
SS ABC ??
SnS
SmSSS
BP A
AP CBP C
??
???? ?
若,ABC面上的总应力为 Sn
其在坐标轴上的投影为：
nnn ZYX,,
nX
nY
nZ
n?
n?
Sn
由四面体 PABC的平衡
zxyxxn
zxyxxn
x
nm
S
V
XXS
VXSnSmSSX
F
???
???
???
?
?
??
??????????
??
?
?
:
0
0
除以
00 ?? ?? zy FF同理：有
yzxzzn
xyzyyn
zxyxxn
mnZ
nmY
nmX
???
???
???
???
???
???
?
?
?
（ 7-2）
求 ABC面上的正应力与剪应力：
将 Xn,Yn,Zn向 n轴投影：
nnnn nZmYX ??? ??
将（ 7-2）代入，可得其正应力公式：
xyzxyzzyxn lmnlmnnm ??????? 222222 ?????? ?
（ 7-3）其剪应力：
22222
222222
nnnnn
nnnnnn
ZYX
ZYXS
??
??
?????
?????? （ 7-4）
二、弹性体的应力边界条件：
当面 ABC为 物体的边界面时，则其应力分量
nnn ZYX,,
成为面力分量
ZYX,,
yzxzzn
xyzyyn
zxyxxn
mnZ
nmY
nmX
???
???
???
???
???
???
?
?
?
由
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? Zmn
Ynm
Xnm
syzsxzsn
sxyszysy
szxsyxsx
???
???
???
???
???
???
?
?
?
（ 7-5）
其中：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 为应力分量的边界值syzsxzsxyszsysx ??????,,,,,
例：已知受力物体中某点的应力分量,σx=0,σy=2a、
σz=a, τxy=a,τyz=0,τzx=2a。 试求作用在过此
点的平面 x+3y+z=1上的沿坐标轴方向的应力分量，
及该平面上的正应力、剪应力。
解,1）求平面 x+3y+z=1的 法线方向余弦
由：
11
1
222 ???? CBA
A?
11
3
222 ???? CBA
Bm
11
1
222 ???? CBA
Cn
2）求应力分量在坐标轴上的投影
由：（ 7-2）
aamnZ
aanmY
aanmX
yzxzzn
xyzyyn
zxyxxn
905.0
11
3
111.2
11
7
508.1
11
5
?????
?????
?????
???
???
???
?
?
?
3）求该平面上的正应力、剪应力：
由：
a
lmnlmnnm xyzxyzzyxn
63 7.2
222222
?
?????? ??????? ?
（ 7-3）
或,anZmYX
nnnn 637.2???? ??
22222
222222
nnnnn
nnnnnn
ZYX
ZYXS
??
??
?????
?????由：
aZYX nnnnn 771.02222 ????? ??
注：平面上总应力
22222 nnnnnn ZYXS ????? ??
§ 7-3主应力、最大与最小的应力
在计算任一平面上的应力时，方向余弦 l,m,n可变化，但
均为有限值，故必存在某个平面，其上正应力取得极值。
一、主平面、主应力、主方向
主平面：正应力取得极值的平面。
主应力：主平面上的正应力。
主方向：主应力的方向，也称应力主向。
在主平面上，正应力取极值、剪应力为零 。
二、主应力的确定：
x y
z
y?
yx?
yz?
x?
xy?
xz?
z?
zx?
zy?
C
A
B
n设主平面存在，其外法线为 n，
方向余弦,l,m,n
则：其上应力：
0?
?
n
n
?
?? ?
在 x,y.z轴上的投影为：
?
?
?
nZ
mY
lX
n
n
n
?
?
? 代入（ 7-2）
????
????
????
nmlnZ
mlnmY
lnmlX
yzxzzn
xyzyyn
zxyxxn
????
????
????
0)(
0)(
0)(
????
????
????
nml
nml
nml
zyzxz
zyyxy
zxyxx
????
????
???? (a)
又有：方向余弦的关系,1
222 ??? nml
故 l,m,n不同时为零，（ a)有非零解的条件：
0?
?
?
?
????
????
????
zyzxz
yzyxy
xzxyx
展开后：
032213 ???? III ???
即：
(b)
其中：
zyxI ??? ???1
2222 xzyzxyzyxyzyxI ????????? ??????
?????? 2223 2 xyzxzyyzxxzyzxyzyxI ????????????
I1, I2, I3分别称为应力分量的第一、第二、
第三不变量。
求解（ b） 式：由代数方程理论：设方程有实根，为
σ1,σ2,σ3则方程可写为：
0))()(( 321 ???? ??????
（ c）
展开：
0)(
)(
321133221
2
321
3
????
????
??????????
?????
032213 ???? III ???
(b)
与（ b） 比较后：
3211 ??? ???I
1332212 ?????? ???I
3213 ????I
用主应力表示的
应力不变量
三、主应力的极值性：
取主方向为坐标轴，设 ?1??2??3，任一外法线为 n、
方向余弦为 l,m,n的斜面上得正应力：
xyzxyzzyxn lmnlmnnm ??????? 222222 ?????? ?
（ 7-3）
由：
322212 ???? nmn ??? ?得：
1222 ??? nml? 222 1 nml ???
3222122 )1( ???? nmnmn ?????得：
由于 ?1??2??3
)()( 3122121 ?????? ????? nmn
故 ?1??n ?1为最大正应力
同理：
3222212 )1( ???? mmn ????? ??由：
可证明,?n??3 ?3为最小正应力
四、三个主应力方向互相垂直：
设,?1
111,,nm?
?2
222,,nm?
?3
333,,nm?
应满足
0)(
0)(
0)(
1111
1111
1111
????
????
????
nml
nml
nml
zyzxz
zyyxy
zxyxx
????
????
????
0)(
0)(
0)(
3333
333
3333
????
????
????
nml
nml
nml
zyzxz
zyyxy
zxyxx
????
????
????
0)(
0)(
0)(
2222
222
2222
????
????
????
nml
nml
nml
zyzxz
zyyxy
zxyxx
????
????
????
（ 1）
（ 3）
（ 2）
（ 1）中分别乘以 222,,nm?
（ 2）中分别乘以
111,,nm ??? ?
相加
2??
2m?
2n?
? ?1???
? ?1m??
)( 1n??
? ? 0)( 21212121 ???? nnmm????
同理：
? ? 0)( 23232332 ???? nnmm????
? ? 0)( 31313131 ???? nnmm????
若：
321 ??? ??
0)( 212121 ??? nnmm??
0)( 232323 ??? nnmm??
0)( 313131 ??? nnmm??
三个主方向
互相垂直
最大剪应力,
研究主单元体：
x y
z
2?
1?
3?
C
A
B
n
z
?x ?y
?z
?xy
?yx
?yz
?zy?zx
?xz
第七章 空间问题的基本理论
§ 7-1平衡微分方程
应力分量：
{?}={?x;?y;?z;?xy;?xz;?yz}
体力分量：
{X}={X;Y;Z}
在物体内的任意一点 P,取 PA=dx,PB=dy,PC=dz,割
取一平行六面体，研究应力逐点变化的规律。
?xy
?xz
?yx
?zx? yz ?
zy
?x
? y
?z
dyyyy ??? ??
dzzzz ??? ??
dxxxx ??? ??
dyyyxyx ??? ??
x
y
z
0
dyyyzyz ??? ??
dzzzyzy ??? ??
dzzzxzx ??? ??
dxxxzxxz ??? ??
Z
X
Y
根椐平衡条件,0?? xF
0)(
)(
???
?
?
??
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
X d x d y d zd x d yd x d ydz
z
d x d zd x d zdy
x
d y d zd y d zdx
x
zx
zx
zx
yx
yx
yxx
x
x
?
?
?
?
?
??
?
?
00 ?? ?? zy FF 和：由 可得类似表达式，整理并两边除以
dxdydz
，注意到剪应力互等关系，得：
0??????? ??? Xzyx zxyxx ???
0??????? ??? Yzyx zyyxy ???
0??????? ??? zzyx zyzxz ???
（ 7-1）
由对三根轴的合力矩分别为零，可证明剪应力互等。
（ 7-1）为空间问题的平衡方程。
独力未知函数为 6个，平衡方程数目为 3个，问题是超
静定的。须考虑几何、物理方面关系。
§ 7-2几何及物理方程
平面问题中，通过研究度 oxy平面内平行于 x轴,y 轴
的线元 dx和 dy的变形得到几何方程，若用同样的方法分
析 oyz,ozx两平面内相应线元的变形，可得类似的方程。
在小变形情况下，在推导过程中，忽略第一次变形在以后
变形过程中的影响。可得下式：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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x
w
z
u
z
v
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w
y
u
x
v
z
w
y
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x
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xzyzxy
zyx
???
???
,,
,,
（ 7-8）
如用矩阵表示：
一、几何方程
? ? ? ?
T
xzyzxyzyx
xz
yz
xy
z
y
x
??????
?
?
?
?
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应变列阵：
? ?
T
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z
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x
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w
y
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x
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x
w
z
u
z
v
y
w
y
u
x
v
z
w
y
v
x
u
?
?
?
?
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几何方程：
（ 7-8)
二、变形相容方程（协调方程）
空间中，不同平面间应变分量的关系。即变形连续
性条件。
yxxy
xyyx
??
??
?
??
?
? ??? 2
2
2
2
2
zyyz
yzzy
??
??
?
??
?
? ??? 2
2
2
2
2
yxzx
xzxz
??
??
?
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2
2
2
2
)(2 2 zyxxzy xyxzyzx ??????????????? ????
)(2
2
xzyyzx
yzxyxzy
?
??
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??
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??
??
? ????
)(2 2 yxzzyx xzyzxyz ??????????????? ????
其中左边三个形式上是类似的，第一个为平面问题的
连续性方程。（推导见§ 2-8）
右边三式可按第一式由 x?y ? z ? x轮换字母获得。
三、物理方程,(广义虎克定律）
)]([
1
)]([
1
)]([
1
yxzz
xzyy
zyxx
E
E
E
?????
?????
?????
???
???
???
xyxy
zxzx
yzyz
E
E
E
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)1(2
)1(2
)1(2
?
?
?
?
?
?
（ 7-12）
若：
? ?
T
xzyzxyzyx
xz
yz
xy
z
y
x
][ ??????
?
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?
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?
?
? ?
?
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??
?
?
?
?
?
?
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??
?
?
?
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?
则：物理方程用矩阵表示,? ? ? ?? ??? C? （ 7-12A）
式中：
?
?
?
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?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
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??
??
??
?
)1(200000
0)1(20000
00)1(2000
0001
0001
0001
1
][
?
?
?
??
??
??
E
C
用应变表示应力：
xzxzxyxy
yxzz
zxyy
zyxx
EE
E
E
E
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??
?
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??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
)1(2;
)1(2
)
11
(
)21)(1(
)1(
)
11
(
)21)(1(
)1(
)
11
(
)21)(1(
)1(
?
?
?
?
?
?
?
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??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?;)1( yzyz E ??? ??
方程用矩阵表示,? ? ? ?? ?
?? D?
式中 [D]为弹性矩阵表示为：
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
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?
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?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
?
?
)1(2
21
00000
0
)1(2
21
0000
00
)1(2
21
000
0001
11
000
1
1
1
000
11
1
)21)(1(
)1(
][
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?E
D
注意,[D]=[C]-1
四、体积应变：
由（ 7-12A)：
zyxe ??? ???
)(
21
zyx
zyx
E
e
???
?
???
??
?
?
???
令,σx+ σy +σz=Θ
?
?
?
????
E
e zyx
?
???
21
?体积应力
?体积应变
体积弹性模量?21 ?E
(7-13)
物理方程的另一形式：
])1[(
1
)]()1[(
1
????
?????
???
???????
x
zyxxx
E
E
由：
解出：
)(1 1 ???? ???? xx E
将（ 7-13）代入后：
???
E
e ?21 (7-13)
?21 ????
Ee
)21(1 xx eE ????? ????
同理有其他：
)21(1 yy eE ????? ????
)21(1 zz eE ????? ????
xyxyxzxzyzyz
EEE ?
???????? )1(2)1(2)1(2 ??????
空间问题：
基本未知函数 15个：
yxxyzxzxzyyzzyx ????????? ???,,,,,
应力分量（ 6个）：
位移分量（ 3个）：
wvu,,
yxxyzxzxzyyzzyx ????????? ???,,,,,
应变分量（ 6个）：
基本方程 15个：
平衡微分方程 3个（ 7-1）；几何方程 6个（ 7-8）；物理
方程 6个（ 7-12）。加上边界条件可解空间问题。
（ 7-14）
§ 7-3物体内任一点的应力状态
一、任一平面上的应力：
n
x y
z y?
yx?
yz?
x?
xy?
xz?
z?
zx?
zy?
P
设任一点 P的 6个应力分量已知
yxxyzxzx
zyyzzyx
????
?????
??
?
,
,,,,
求：经过 P点的任一
斜截面的应力
n?
n?设平面为 ABC,外法线为
n,其方向余弦为：
nzn
mynxn
?
??
),co s (
,),co s (,),co s ( ?
A
B
C
x y
z
y?
yx?
yz?
x?
xy?
xz?
z?
zx?
zy?
C
A
B
n设三角形 ABC面积为,
P
则：
SS ABC ??
SnS
SmSSS
BP A
AP CBP C
??
???? ?
若,ABC面上的总应力为 Sn
其在坐标轴上的投影为：
nnn ZYX,,
nX
nY
nZ
n?
n?
Sn
由四面体 PABC的平衡
zxyxxn
zxyxxn
x
nm
S
V
XXS
VXSnSmSSX
F
???
???
???
?
?
??
??????????
??
?
?
:
0
0
除以
00 ?? ?? zy FF同理：有
yzxzzn
xyzyyn
zxyxxn
mnZ
nmY
nmX
???
???
???
???
???
???
?
?
?
（ 7-2）
求 ABC面上的正应力与剪应力：
将 Xn,Yn,Zn向 n轴投影：
nnnn nZmYX ??? ??
将（ 7-2）代入，可得其正应力公式：
xyzxyzzyxn lmnlmnnm ??????? 222222 ?????? ?
（ 7-3）其剪应力：
22222
222222
nnnnn
nnnnnn
ZYX
ZYXS
??
??
?????
?????? （ 7-4）
二、弹性体的应力边界条件：
当面 ABC为 物体的边界面时，则其应力分量
nnn ZYX,,
成为面力分量
ZYX,,
yzxzzn
xyzyyn
zxyxxn
mnZ
nmY
nmX
???
???
???
???
???
???
?
?
?
由
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? Zmn
Ynm
Xnm
syzsxzsn
sxyszysy
szxsyxsx
???
???
???
???
???
???
?
?
?
（ 7-5）
其中：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 为应力分量的边界值syzsxzsxyszsysx ??????,,,,,
例：已知受力物体中某点的应力分量,σx=0,σy=2a、
σz=a, τxy=a,τyz=0,τzx=2a。 试求作用在过此
点的平面 x+3y+z=1上的沿坐标轴方向的应力分量，
及该平面上的正应力、剪应力。
解,1）求平面 x+3y+z=1的 法线方向余弦
由：
11
1
222 ???? CBA
A?
11
3
222 ???? CBA
Bm
11
1
222 ???? CBA
Cn
2）求应力分量在坐标轴上的投影
由：（ 7-2）
aamnZ
aanmY
aanmX
yzxzzn
xyzyyn
zxyxxn
905.0
11
3
111.2
11
7
508.1
11
5
?????
?????
?????
???
???
???
?
?
?
3）求该平面上的正应力、剪应力：
由：
a
lmnlmnnm xyzxyzzyxn
63 7.2
222222
?
?????? ??????? ?
（ 7-3）
或,anZmYX
nnnn 637.2???? ??
22222
222222
nnnnn
nnnnnn
ZYX
ZYXS
??
??
?????
?????由：
aZYX nnnnn 771.02222 ????? ??
注：平面上总应力
22222 nnnnnn ZYXS ????? ??
§ 7-3主应力、最大与最小的应力
在计算任一平面上的应力时，方向余弦 l,m,n可变化，但
均为有限值，故必存在某个平面，其上正应力取得极值。
一、主平面、主应力、主方向
主平面：正应力取得极值的平面。
主应力：主平面上的正应力。
主方向：主应力的方向，也称应力主向。
在主平面上，正应力取极值、剪应力为零 。
二、主应力的确定：
x y
z
y?
yx?
yz?
x?
xy?
xz?
z?
zx?
zy?
C
A
B
n设主平面存在，其外法线为 n，
方向余弦,l,m,n
则：其上应力：
0?
?
n
n
?
?? ?
在 x,y.z轴上的投影为：
?
?
?
nZ
mY
lX
n
n
n
?
?
? 代入（ 7-2）
????
????
????
nmlnZ
mlnmY
lnmlX
yzxzzn
xyzyyn
zxyxxn
????
????
????
0)(
0)(
0)(
????
????
????
nml
nml
nml
zyzxz
zyyxy
zxyxx
????
????
???? (a)
又有：方向余弦的关系,1
222 ??? nml
故 l,m,n不同时为零，（ a)有非零解的条件：
0?
?
?
?
????
????
????
zyzxz
yzyxy
xzxyx
展开后：
032213 ???? III ???
即：
(b)
其中：
zyxI ??? ???1
2222 xzyzxyzyxyzyxI ????????? ??????
?????? 2223 2 xyzxzyyzxxzyzxyzyxI ????????????
I1, I2, I3分别称为应力分量的第一、第二、
第三不变量。
求解（ b） 式：由代数方程理论：设方程有实根，为
σ1,σ2,σ3则方程可写为：
0))()(( 321 ???? ??????
（ c）
展开：
0)(
)(
321133221
2
321
3
????
????
??????????
?????
032213 ???? III ???
(b)
与（ b） 比较后：
3211 ??? ???I
1332212 ?????? ???I
3213 ????I
用主应力表示的
应力不变量
三、主应力的极值性：
取主方向为坐标轴，设 ?1??2??3，任一外法线为 n、
方向余弦为 l,m,n的斜面上得正应力：
xyzxyzzyxn lmnlmnnm ??????? 222222 ?????? ?
（ 7-3）
由：
322212 ???? nmn ??? ?得：
1222 ??? nml? 222 1 nml ???
3222122 )1( ???? nmnmn ?????得：
由于 ?1??2??3
)()( 3122121 ?????? ????? nmn
故 ?1??n ?1为最大正应力
同理：
3222212 )1( ???? mmn ????? ??由：
可证明,?n??3 ?3为最小正应力
四、三个主应力方向互相垂直：
设,?1
111,,nm?
?2
222,,nm?
?3
333,,nm?
应满足
0)(
0)(
0)(
1111
1111
1111
????
????
????
nml
nml
nml
zyzxz
zyyxy
zxyxx
????
????
????
0)(
0)(
0)(
3333
333
3333
????
????
????
nml
nml
nml
zyzxz
zyyxy
zxyxx
????
????
????
0)(
0)(
0)(
2222
222
2222
????
????
????
nml
nml
nml
zyzxz
zyyxy
zxyxx
????
????
????
（ 1）
（ 3）
（ 2）
（ 1）中分别乘以 222,,nm?
（ 2）中分别乘以
111,,nm ??? ?
相加
2??
2m?
2n?
? ?1???
? ?1m??
)( 1n??
? ? 0)( 21212121 ???? nnmm????
同理：
? ? 0)( 23232332 ???? nnmm????
? ? 0)( 31313131 ???? nnmm????
若：
321 ??? ??
0)( 212121 ??? nnmm??
0)( 232323 ??? nnmm??
0)( 313131 ??? nnmm??
三个主方向
互相垂直
最大剪应力,
研究主单元体：
x y
z
2?
1?
3?
C
A
B
n
