第二章 平面问题的基本理论
一, 平面应力问题
y
x
y
Z
t/2
简化为图示等厚度板
受载情况 --平行于板
面且沿板厚均匀分布
前后板面没有载荷；
此种情况即属平面应
力问题。
§2.1 平面应力与平面应变问题
2.平面应力问题的特征
1.引例,墙壁、座舱隔板等
薄板如图：厚度为 t,以薄板的中面为 xy面,以垂
直于中面的任一直线为 z轴,建立坐标系如图所
示。因板面上（ z=?t/2）不受力，所以有：
根据剪应力互等定理可知
0)(,0)(,0)(
222
??? ?????? tzzytzzxtzz ???
0,0,0 ??? ??? zyzxz
,0,0 ?? ?? yzxz
由于板很薄,外力又不沿厚度变化,应力沿板的厚度又是连续
分布的,因此,可以认为在整板的所有各点都有,
x
y
z
y
t/2t/2
所以,在薄板中只剩下平行于 x,y面的三个应力
分量，即：
此即为平面应力问题的特征。用单元体可表示如图；、,???? yxxyyx ?
? xy
? xy
? yx
? yx
? x? x
? y
? y
? y
? x
? xy
? yx
二, 平面应变问题
简化为等长度很长的截面柱体,载荷垂直于长度方
向，且沿长度方向不变 — 作为无限长柱体看待。
? y
? x
? xy
? xz
? yx
? yz
? z
? zx
? zy
x
y y
z
3.平面应力问题的定义;?x ;?y ?? xyxy ?
对于仅有平行于 xy面的三个应力分量的均质薄板
类问题，就称为平面应力问题。
1.引例, 水坝、隧洞等
? y
? x
? xy
? yx
z?
z?
2,平面应变问题的特征
(1)位移分量
),(),,(,00 yxvvyxuuw z ????? 且?
00
00
????
????
???
???
zyyzzy
zxxzzx；
三个应变分量。
,故仅考虑 ),();,();,(:0 yxyxyx
xyxyyyxxz ???????
????
对于无限长柱体，由于任一横截面都可看成对称截
面，而对称截面上的各点是不能产生沿 Z向的位移
的，因此,对任一截面都应有：
(2)应变分量
根据对称关系和剪应力互等定理有
(3) 应力分量
对于平面应变问体,真正独立的应力分量只有三个。
)(0)]([1
),();,();,();,(
???????
????????
??
yxzyxzz
zzyxxyyyxx
E
yxyxyxyx
???????
????
由于
0,,,?? zyxxyyx ?????
3.平面应变问题的定义
yxxyyx ???? ?,,
对于无限长柱体,所有的应变与位移都发生 xoy
面内，就称为平面应力问题。这类问题称为平面
应变问题
小结：平面问题基本未知量
平面应力问题 平面应变问题
),,(),,(),,( yxyxyx xyyx ???
1,应力分量
（ 3个）
)(),,(),,(),,( zxyyx yxyxyx ????
独立的（ 3个）
2,应变分量
)();,(),,(),,( zxyyx yxyxyx ????
独立的（ 3个）
),(),,(),,( yxyxyx xyyx ???
（ 3个）
3,位移分量
)(),,(),,( wyxvyxu
独立的（ 2个）
),(),,( yxvyxu
（ 2个）
???
???
??d
§2.2平衡微分方程
一,平面应力问题平衡方程
— 应力分量同体力分量之间的关系
1.研究对象 取单元体尺寸 dx,dy,单位厚度，
体积力 fx,fy。
(1)由于应力分量是点的位置坐标的函数，因此，
在单元体两个对应平面上,应力相差一个微量。
(2)由于单元体是
微小的，故，它的各
面上所受应力可认为
是均匀分布的，体力
也是均匀分布的。
? y
? yx
? x
? xy
dy
y
y
y
?
?
? ?
?
dx
x
xy
xy
?
?
?
?
?
dy
y
yx
yx
?
?
?
?
?
dx
x
x
x
?
?
?
?
?
x
y
x
f
y
f
C
注：
2.静力平衡条件：
剪应力互等：上式即为材料力学中的剪应力互等
定理 (正负号有差别 )
0
22
)(
22
)(
??
?
??
?
?
?
?
? dy
dx
dy
dxdy
y
dx
dy
dx
dydx
x
yx
yx
yx
xy
xy
xy
?
?
?
?
?
?
化简 dyydxx yxyxxyxy ?????
?
? ???? 21:
)12(,?? yxxy ??即可得 略去高阶微量
? ? 0M C
(1)对单元体形心取矩平衡,
? y
? yx
? x
? xy
dy
y
y
y
?
?
? ?
?
dx
x
xy
xy
?
?
?
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dy
y
yx
yx
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?
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?
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dx
x
x
x
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x
y
x
f
y
f
C
（ 3）平衡方程,
:0)2( ?? xF
)2~2(—
??
?
?
?
化简得 0,??????? xyxx fyx ??
由同理 00,??
?
??
?
???
y
yxy
y fyxF
??
0)(
)(
???
?
?
??
?
?
?
?
d x d yfdxdxdy
y
dydydx
x
xyx
yx
yx
x
x
x
?
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? y
? yx
? x
? xy
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y
y
y
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dx
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?
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y
yx
yx
?
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?
?
?
dx
x
x
x
?
?
?
?
?
x
y
x
f
y
f
C
由式（ 2-2）可知：两个方程包含三个未知量，属超
静定问题，要想求应力分量，还须找出几何方程。
二,平面应变问题的平衡方程
由于在ｘ、ｙ面内的受力平衡同平面应力问题的
情况完全相同，故方程 (２ -２）同样适用于平面应
变问题。
对于平面应变问题在 z方向上有正应力，但它们不随 z
的变化而变化，所以能保持自平衡。
0????? ?? xyxx fyx ??
0????? ?? yyxy fyx ??
§2.3 几何方程
一, 几何变形图
— 应变分量与位移分量之间的关系
u
v
x
y
o
P
o
Bo
AoP
A
B
a
b
dxxuu ???
dxxvv ???
dyyvv ???
dyyuu ???
PoAo=dx,y向微
分线段 PoBo=dy,
且 PoAo?AoBo
BBAAPP ooo ???,,
位移分量是点的位置坐标
的函数 ;因此,线段两端的
位移相差一个微量。
二, 线应变
三, 剪应变
x
u
dx
udx
x
uu
x x
?
????
??
??:向线应变
a
b
u
v
x
y
o
P
o
Bo
AoP
A
B
dxxuu ???
dxxvv ???
dyyvv ???
dyyuu ??? y
v
dy
vdy
y
vv
y y
?
??
?
?
??
??:向线应变
通过两正交微分线段的角位移研究
?
?
?
x
v
dx
vdx
x
vv
?
????
??
?a
y
u
dy
udy
y
u
u
?
?
?
?
?
?
?
?b
y
u
x
v
xy ?
??
?
???? ba?
四,几何方程
五,刚体位移
） （ 32 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
y
u
x
v
y
v
x
u
xy
y
x
?
?
?
(1)由几何方程可知，给定 u,v可完全确定 ?x,?y,?xy
(2)给定 ?x,?y,?xy，不能完全确定 u,v；关于此论点
可以从下面的, 刚体位移的讨论中可以看出来。
由
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
x
v
y
u
y
v
x
u
xy
y
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
（ｃ）
）（）（
） （ｂ）（
） （ａ）（
0
21
2
1
x
x
y
y
xv
yu
ff
f
f
---刚体位移
---是待定常数，要由约束条件决定。
要想使得上式对任何（ x,ｙ ）都满足只有,
x
x
y
y ff
????
?? ）（）（ 21
?? ??? dx xddy yd ff )(,)( 21
oo vu ?、,ｏ
则 vfuf oo xxyy ?????? ?? )(;)(,21
??
?
?
?
?????
??????
?
xxxv
yyyu
vvf
uuf
oo
oo
??
??
)(
)(
2
1
上式是在应变分量均为零的情况下得出的，
因此该位移
由（ c）式得：
谢谢各位！
一, 平面应力问题
y
x
y
Z
t/2
简化为图示等厚度板
受载情况 --平行于板
面且沿板厚均匀分布
前后板面没有载荷；
此种情况即属平面应
力问题。
§2.1 平面应力与平面应变问题
2.平面应力问题的特征
1.引例,墙壁、座舱隔板等
薄板如图：厚度为 t,以薄板的中面为 xy面,以垂
直于中面的任一直线为 z轴,建立坐标系如图所
示。因板面上（ z=?t/2）不受力，所以有：
根据剪应力互等定理可知
0)(,0)(,0)(
222
??? ?????? tzzytzzxtzz ???
0,0,0 ??? ??? zyzxz
,0,0 ?? ?? yzxz
由于板很薄,外力又不沿厚度变化,应力沿板的厚度又是连续
分布的,因此,可以认为在整板的所有各点都有,
x
y
z
y
t/2t/2
所以,在薄板中只剩下平行于 x,y面的三个应力
分量，即：
此即为平面应力问题的特征。用单元体可表示如图；、,???? yxxyyx ?
? xy
? xy
? yx
? yx
? x? x
? y
? y
? y
? x
? xy
? yx
二, 平面应变问题
简化为等长度很长的截面柱体,载荷垂直于长度方
向，且沿长度方向不变 — 作为无限长柱体看待。
? y
? x
? xy
? xz
? yx
? yz
? z
? zx
? zy
x
y y
z
3.平面应力问题的定义;?x ;?y ?? xyxy ?
对于仅有平行于 xy面的三个应力分量的均质薄板
类问题，就称为平面应力问题。
1.引例, 水坝、隧洞等
? y
? x
? xy
? yx
z?
z?
2,平面应变问题的特征
(1)位移分量
),(),,(,00 yxvvyxuuw z ????? 且?
00
00
????
????
???
???
zyyzzy
zxxzzx；
三个应变分量。
,故仅考虑 ),();,();,(:0 yxyxyx
xyxyyyxxz ???????
????
对于无限长柱体，由于任一横截面都可看成对称截
面，而对称截面上的各点是不能产生沿 Z向的位移
的，因此,对任一截面都应有：
(2)应变分量
根据对称关系和剪应力互等定理有
(3) 应力分量
对于平面应变问体,真正独立的应力分量只有三个。
)(0)]([1
),();,();,();,(
???????
????????
??
yxzyxzz
zzyxxyyyxx
E
yxyxyxyx
???????
????
由于
0,,,?? zyxxyyx ?????
3.平面应变问题的定义
yxxyyx ???? ?,,
对于无限长柱体,所有的应变与位移都发生 xoy
面内，就称为平面应力问题。这类问题称为平面
应变问题
小结：平面问题基本未知量
平面应力问题 平面应变问题
),,(),,(),,( yxyxyx xyyx ???
1,应力分量
（ 3个）
)(),,(),,(),,( zxyyx yxyxyx ????
独立的（ 3个）
2,应变分量
)();,(),,(),,( zxyyx yxyxyx ????
独立的（ 3个）
),(),,(),,( yxyxyx xyyx ???
（ 3个）
3,位移分量
)(),,(),,( wyxvyxu
独立的（ 2个）
),(),,( yxvyxu
（ 2个）
???
???
??d
§2.2平衡微分方程
一,平面应力问题平衡方程
— 应力分量同体力分量之间的关系
1.研究对象 取单元体尺寸 dx,dy,单位厚度，
体积力 fx,fy。
(1)由于应力分量是点的位置坐标的函数，因此，
在单元体两个对应平面上,应力相差一个微量。
(2)由于单元体是
微小的，故，它的各
面上所受应力可认为
是均匀分布的，体力
也是均匀分布的。
? y
? yx
? x
? xy
dy
y
y
y
?
?
? ?
?
dx
x
xy
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?
?
?
?
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dy
y
yx
yx
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?
?
?
?
dx
x
x
x
?
?
?
?
?
x
y
x
f
y
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C
注：
2.静力平衡条件：
剪应力互等：上式即为材料力学中的剪应力互等
定理 (正负号有差别 )
0
22
)(
22
)(
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?
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?
?
?
?
? dy
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y
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yx
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xy
xy
?
?
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?
?
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化简 dyydxx yxyxxyxy ?????
?
? ???? 21:
)12(,?? yxxy ??即可得 略去高阶微量
? ? 0M C
(1)对单元体形心取矩平衡,
? y
? yx
? x
? xy
dy
y
y
y
?
?
? ?
?
dx
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xy
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?
?
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y
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?
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（ 3）平衡方程,
:0)2( ?? xF
)2~2(—
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化简得 0,??????? xyxx fyx ??
由同理 00,??
?
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???
y
yxy
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d x d yfdxdxdy
y
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x
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?
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?
?
x
y
x
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y
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C
由式（ 2-2）可知：两个方程包含三个未知量，属超
静定问题，要想求应力分量，还须找出几何方程。
二,平面应变问题的平衡方程
由于在ｘ、ｙ面内的受力平衡同平面应力问题的
情况完全相同，故方程 (２ -２）同样适用于平面应
变问题。
对于平面应变问题在 z方向上有正应力，但它们不随 z
的变化而变化，所以能保持自平衡。
0????? ?? xyxx fyx ??
0????? ?? yyxy fyx ??
§2.3 几何方程
一, 几何变形图
— 应变分量与位移分量之间的关系
u
v
x
y
o
P
o
Bo
AoP
A
B
a
b
dxxuu ???
dxxvv ???
dyyvv ???
dyyuu ???
PoAo=dx,y向微
分线段 PoBo=dy,
且 PoAo?AoBo
BBAAPP ooo ???,,
位移分量是点的位置坐标
的函数 ;因此,线段两端的
位移相差一个微量。
二, 线应变
三, 剪应变
x
u
dx
udx
x
uu
x x
?
????
??
??:向线应变
a
b
u
v
x
y
o
P
o
Bo
AoP
A
B
dxxuu ???
dxxvv ???
dyyvv ???
dyyuu ??? y
v
dy
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y
vv
y y
?
??
?
?
??
??:向线应变
通过两正交微分线段的角位移研究
?
?
?
x
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四,几何方程
五,刚体位移
） （ 32 ?
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?
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y
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x
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y
x
?
?
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(1)由几何方程可知，给定 u,v可完全确定 ?x,?y,?xy
(2)给定 ?x,?y,?xy，不能完全确定 u,v；关于此论点
可以从下面的, 刚体位移的讨论中可以看出来。
由
?
?
?
?
?
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?
?
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） （ｂ）（
） （ａ）（
0
21
2
1
x
x
y
y
xv
yu
ff
f
f
---刚体位移
---是待定常数，要由约束条件决定。
要想使得上式对任何（ x,ｙ ）都满足只有,
x
x
y
y ff
????
?? ）（）（ 21
?? ??? dx xddy yd ff )(,)( 21
oo vu ?、,ｏ
则 vfuf oo xxyy ?????? ?? )(;)(,21
??
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?
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?????
??????
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xxxv
yyyu
vvf
uuf
oo
oo
??
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)(
)(
2
1
上式是在应变分量均为零的情况下得出的，
因此该位移
由（ c）式得：
谢谢各位！
