§4.5 轴对称问题的一般解
一, 轴对称问题：
构件的几何形状，受力及约束状态都关于通过 Z轴
的平面对称。故应力分量与 ?无关。 若不计体力
（ 1）平微方程：
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
0
21
0
1
?
???
??
?
?
??
??
?
??
K
rrr
K
rrr
rr
r
rrr
??
?
?
?
?
???
00
0
rdr
d rr ???? 恒等式
（ 2）几何方程：
（注意：一般情况下位移与有关）
（ 3）物理方程不变：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
0
1
r
u
r
u
r
u
r
uu
r
r
u
r
rr
r
r
r
??
??
?
?
?
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?
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?
?
??
?
????
????
r
r
r
r
rr
EG
E
E
)1(2
)(
1
)(
1
（ 4-3）
二, 轴对称问题应力分量：
与平衡方程 联立 0???
???
?
r
r
dr
dr
CrBr ????? ln)( ???
CrBdrdr rr ????? ln2 ??
24ln22
CBrB
r
A
r
????????
（ 4）相容方程,
0))(1( 2
2
??? ??? rdrdrdrd
24ln22
CBrB
r
A ????????
??
CrAr ?? 2?
CrA ??? 2??
注意应力的有界性，必有 B’=0。式中的
常数重新命名：
由几何方程得：
0
1
])1()1([
1
])1()1[(
1
2
2
??
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
????
?
?
r
u
r
uu
r
C
r
A
Er
u
r
u
C
r
A
Er
u
r
r
r
??
?
?
??
?
??
（ a）
由（ a）第一式积分：
)(])1()1([1 ??? frCrAEu r ?????? （ b）
0)]()([1)()(1 11 ????????????? ? rfdfrrffrrurur u r ???? ??
? ???
??
?
?
)()(
),(
1 rfdfu
f
u
??
?
?
?
?
Dfdfrfrfr ??????? ? )()()()( 111 ???
对于两个独立的变量要保持等式恒成立，必须有
Ddr rdfrrf ??? )()( 11
（ d）
Ddfddf ???? ???? )()(
（ e）
求解,(d)为线性微分方程，可用分离变量法,
r
dr
Drf
rdf ?
?)(
)(
1
1
对于 (e)式求导得 0)()(
2
2 ?? ?
?
? f
d
fd
通解为, DFrrf ??)(
1
（ f）
??? s i nc o s)( KIf ?? （ g）
将 (g)式带入 (b)式, ])1(2)1([1 Cr
r
A
Eu r ?? ?????
?? s inc o s KI ??
(h,f）代入（ c）式,??
? c o ss i n KIFru ???
由 (e)得, ??
?
??? c o ss i n)()( KID
d
dfDdf ???????? (h)
式中,A, C,F, I, K都是任意常数其中 F, I, K和 2-4节中
的 ?,u0, v0一样代表刚体的位移 (由位移边界来确定 )
*对于平面应变问题
?
?
?? ?? 1,1,2
EE 换成
?? s inc o s KI ?? ])1()1([1 Cr
r
A
Eu r ?? ?????
??? c o ss i n KIFru ???
（ 4— 12）
§4.6 厚壁圆环或圆筒受均布压力
二, 应力边界条件
厚壁圆筒内半径 a,外半径 b(取单位厚度 )
qaqb
a
b
受内压
ba qq 外压
该问题可简化为轴对称
问题求解
一, 计算模型,
受力：
?
?
?
?
??
?
?
0)(
|
arr
aarr q
??
?内边界
外边界
?
?
?
?
??
?
?
0)(
|
brr
bbrr q
??
?
（ 4-11）
三, 应力分量
注意到 0)(,0)( ??
?? brrarr ?? ??
自然满足
?
?
?
?
?
????
????
?
?
bbrr
aarr
qC
b
A
qC
a
A
2
2
|
|
?
? 联立求解
22
22
22
22
,)( ab qbqaCab qqbaA baab ???? ??
0
2
2
??
???
??
rr
r
C
r
A
C
r
A
??
?
??
?
?
据 (4-11)式
代入（ 4-11）即得拉密（ lame）解答
（ 4-13）
bar q
b
a
r
a
q
a
b
r
b
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
?
?
?
?
?
???
ba q
b
a
r
a
q
a
b
r
b
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
?
?
?
?
?
???
四,位移分量,
五, 特例
??
?
?
?
???
?????
??
??
? c o ss i n
)]1()1([1
KIFru
Cr
r
A
E
u r?
若适当给定约束条件，无刚性位移
00|,| 2/0 ??????? IKFuu ?????
??
?
?
?
?
?????
0
)1(1)1(
?
??
u
r
E
C
rE
Au
r
1.只受内压 0,0 ?? ba qq
aar q
a
b
r
b
q
a
b
r
b
1)(
1)(
,
1)(
1)(
2
2
2
2
?
?
?
?
?
?? ???
qa
??
r?
显然,拉“（压）,?? ??? ""r
aarrr
a
q|σσ
q
ab
ab
???
?
?
?
?m a x
2
2
m a x
1)/(
1)/(
??
r?
??
qb
0,0 ?? ba qq
bbr q
b
a
r
a
q
b
a
r
a
2
2
2
2
)(1
)(1
,
)(1
)(1
?
?
??
?
?
?? ??? (4-14)
”受压均为,-,??? r
发生在内壁）（ bar q
b
a 2)(1
2
?
?????
1|/|
,2|/|
?
??? ?
b
arb
q
qab
?
?
?
?
而外壁
时，内壁当
bbrrarr q??? ?? |,0| ??
2.只受外压
3,无限域开圆孔
)0 ??? ba qbq （时：内压作用下：当
aabr qr
aq
ba
b
br
b
2
2
22
2
22
2
)11(
)11(
lim ??
?
?
??
??
?
aab qr
aq
ba
b
br
b
2
2
22
2
22
2
)11(
)11(
lim ?
?
?
?
???
?
r?
??
?qa
r
验证圣维南原理，在 处，
应力很小，可以不计，即在内压
qa 作用下,b??处影响可不计。
ar ??
(4)针孔问题（应力集中）
受外压 qb内径 a?0时：
bbar qq
b
a 2)(1
2|
2
??
?
?????
孔虽然很小，但孔边应力却提高了近 2倍，
这就是应力集中现象。实际工作中孔边
发生开裂，就是这个原因。
[例 1]：曲梁纯弯曲问题的弹力解答
曲梁区域由两对圆弧坐标线和两条径线围成，
设厚度为单位 1
x0 a
b
M
?
由于是纯弯曲，各截面 M相同，因而应力
分量与 ?无关，为轴对称问题。
解,(一 )应力分量,据 (4-11)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?????
????
0
2)ln23(
2)ln21(
2
2
rr
r
CrB
r
A
CrB
r
A
??
?
??
?
?
其中 A,B,C为常数，须由边界条件确定
其边界条件：
?
?
?
?
?
?
?
0)(
0|
arr
arr
??
?内边界
外边界
?
?
?
?
?
?
?
0)(
0|
brr
brr
??
?
主（长）边界：
上边界次（短）边界：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0)(
|
0|
???
???
???
?
?
?
r
b
a
b
a
Mr d r
dr
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
（ 6）
（ 7）
下边界
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0)(
|
0|
0
0
0
??
??
??
?
?
?
r
b
a
b
a
Mr d r
dr
（ 8）
（ 9）
（ 10）
其中（ 2）、（ 4）、（ 7）、（ 10）满足
由：（ 1）、（ 2）：
02)ln21(
02)ln21(
2
2
????
????
CbB
b
A
CaB
a
A
由：（ 5）或（ 8）
0}]2)ln21({[ 2 ???? baCrBrAr
（ a)
(b)
(c)
由：（ 6）或（ 9）
MabCaabbabBabA ???????? )()]lnln()[(ln 222222 (d)
从上式可见，（ a),(b)满足（ c)必满足。联立
（ a),(b),(d)求解：
)]lnln(2[
)(2
ln4
2222
22
22
aabbab
S
M
C
S
abM
B
S
a
b
bMa
A
?????
?
?
?
222222 )( l n4)(
b
abaabS ???其中：
故应力分量表达式：
)lnlnln(
4
)lnlnln(
4
2222
2
22
22
2
22
ab
r
a
a
b
r
b
a
b
r
ba
S
M
r
a
a
b
r
b
a
b
r
ba
S
M
r
??????
???
??
?
讨论：位移分量确定：
须给出位移约束条件。设
0,0,0
0
20
?
?
?
??
?
?
??
r
v
vu
ba
rr
r
?
?
? 处和
代入：
])1(2)1(2
)31()1( l n)1(2)1([1
CrBr
BrrBr
r
A
E
u r
??
???
????
????????
得,N=0,K=0
])1(2)1(
ln)1(2)1[(
1
00
00
0
CrBr
rBr
r
A
E
H
??
??
????
????
代回位移表达式（ 4-12）即得位移分量
本例可见，尽管位移分量中含多值函数项（ ?
项），但
Thank Everybody !