4-3 极坐标中的应力函数
与相容方程 (A)
一,平面直角坐标系中，体积力为常数
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常数
零
1、应力表示的相容方程,（ 2-22）
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2．应力函数表示的相容方程,（ 2-24）
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二, 极坐标下的相容方程
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（ 2-23）
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在极坐标下对 x和 y的方向导数
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二,应力的坐标变换
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§4.4 应力的座标变换
一,坐标的旋转变换
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三,极坐标下的应力
比较
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可证明, 当 时,(4-5)能满足平微方程 (4-1)0??
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(4-5)
1.应力分量（采用应力函数表示，不计体力）
2.相容方程：（采用应力函数，不计体力）
小结：
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（ 4— 5）
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（ 4-6）
3,在略去体力分量按应力求解平面问题时，
可归结为根据（ 4-6）求出应力函数，然后
根据（ 4-5）求应力,并满足位移单值条件，
在边界上满足应力边界条件。
§4.5 轴对称问题的一般解
一, 轴对称问题：
构件的几何形状，受力及约束状态都关于通过 Z轴
的平面对称。故应力分量与 ?无关。 若不计体力
（ 1）平微方程：
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（ 2）几何方程：
（注意：一般情况下位移与有关）
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（ 3）物理方程不变：
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（ 4-3）
（ 4）相容方程：
二, 轴对称问题应力分量
与平衡方程 联立 0???
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CrBdrdr rr ????? ln2 ??
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2
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24ln22
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CrA ??? 2??
注意应力的有界性，必有 B’=0。式中的
常数重新命名：
由几何方程得：
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（ a）
由（ a）第一式积分：
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0)]()([1)()(1 11 ????????????? ? rfdfrrffrrurur u r ???? ??
? ???
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Dfdfrfrfr ??????? ? )()()()( 111 ???
对于两个独立的变量要保持等式恒成立，必须有
Ddr rdfrrf ??? )()( 11
（ d）
Ddfddf ???? ???? )()(
（ e）
求解,(d)为线性微分方程，可用分离变量法,
r
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?)(
)(
1
1
对于 (e)式求导得 0)()(
2
2 ?? ?
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1
（ f）
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将 (g)式带入 (b)式 ])1(2)1([1 Cr
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式中,A, C,F, I, K都是任意常数其中 F, I, K和 2-4节
中的 ?,u0, v0一样代表刚体的位移 (由位移边界确定 )
*对于平面应变问题
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（ 4— 12）
作业 4.2
??? s inc o s)( KIf ?? （ g）
将 (g)式带入 (b)式 ])1(2)1([1 Cr
r
A
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?? s inc o s KI ??
(h,f）代入（ c）式,??
? c o ss in KIFru ???
由 (e)得,??
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??? c o ss in)()( KID
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式中,A, C,F, I, K都是任意常数其中 F, I, K和 2-4节
中的 ?,u0, v0一样代表刚体的位移 (由位移边界确定 )
*对于平面应变问题
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（ 4— 12）
Thank Everybody !