第四章 平面问题的极坐标解答
4-1 极坐标下的平衡方程
一．极坐标与直角坐标系
P
x
y
o
y
x
r
? 平面上任一点 P:直角坐标 P(x,y)
极坐标 r－向径,?－极角 P(r,?)
??
?
?
?
?
?
s in
c o s
ry
xx
x
ya r c tgyxr ??? ?,222
求解平面问题时，对于圆，楔，扇型构件，
因为极坐标使其边界与坐标线一致，因而使
边界条件简单，使问题易于求解。
二．极坐标中应力分量，体力分量的表示
研究构件在极坐标中的应力状态：取一
微元体［用一对 r坐标线和一对 ?坐标线］
记号：应力分量
径向应力　,r? （正应力）
　 ?? r （剪应力）
环向应力（切向应力）
?? －正应力
rr ?? －剪应力
??
?? r
??
?? r
其符号规定与直角坐标系情况类同。
?r
krk
? ?r?
?r
?r?
?d?
0
r
三,平衡微分方程
可以通过坐标变换直接由直角坐标下的平衡微分
方程（ 2-2）得到，为了较深对积坐标下的应力
应变的理解这里仍旧单元体的平衡推导。
体力分量,
rK －体力向径向投影,?K
－ 体力向切向投影
krk?
??
?r?
drrr??? ??
?? r
??
???? d???
?? r
???? dr???
仍取微元体研究,
ＰＡＣＢ ??
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?
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ddrrCA
rdBP
)(
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?r
?r dr
rr?
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P
A
C
B
x
y
r
厚度为１，体力 （ rK, ?K ）
2 ） PB ? A C,PA ? BC
?
?
?
方向在
方向在
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??
?r
r
产生附加影响
? ? 0rF由
0
2
c o s
2
c o s)(
2
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2
s i n)())((
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dr
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d
dr
d
drdrdddrrdr
r
rr
r
r
r
r
r
注：１） ? ?d 微小
　 ? si n
22
?? dd
?
co s
2
?d
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krk?
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???? d???
?? r
???? dr???
?r dr
rr?
?? ?
?r? dr
rr?
?? ??
?? r
y
?
P
A
C
B
d?0 x??
dr
r
整理，略去高一阶小量，除以 r d r d ?,利用剪应力
互等定理
0????????? Krrrr rrr ?? ?????
同理,? ? 0?F
0
2
???
?
?
?
?
?
?
??? ?
?
??
K
rrr
rr
平衡微分方程,
01 ????????? rrrr Krrr ?? ?????
021 ???????? ???? ???? Krrr rr
（ 4— 1）
尚可利用 ? ? 0pM 可证明 ?? ?? rr ? （剪应力互等定理）
§4.2 极坐标中的几何方程及
物理方程
一、极坐标中的应变分量与位移分量：
1、应变分量,
?
?
?
?
?
?
?
?
)),
),
),(
直角的改变（剪应变径向和环向两线段之间（
向正应变）环向线段的正应变（环（
向正应变）径向线段的正应变（径
??
??
??
?
?
r
r
rr
2、位移分量
环向位移
径向位移
?
?
?u
u r
二, 几何方程
（ 1）位移分两步
欲 研究平面弹性体在极坐标下的变形，选取径向线段
PA=dr,研究。?rdBP ??
第一步,P A, PB 只有径向位移
（不考虑环向位移）
P A P ′ A ′, P B P ′ B ′
ur
A'A
drP
y
?0 x
d? r
B'
p'B
?? dr uu rr ???
drruu rr ???
各点坐标为 ),(),,(),,( ???? drBdrrArP ??
各点位移列表
点
径向位移
环向位移
drruu rr ??? ?? dr uu rr ???
ru
0 0 0
P A B
ur
由径向位移产生的应变分量：
径向线 PA的正应变,
PA
PPAA
PA
PAAP
r
'''' ??????
r
u
r
udrruu
r
r
r
r
r ?
??
?
????
??? (a)
环向 PB的正应变,
r
u
rd
rddur
PB
PBBP
PB
PBBP
rr ?????
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
)(
''' 1
(b)
0
B
P p'
A'
B'
? x
y
d? r dr
A
B1
?? dr uu rr ??? dr
ruu rr ???
径向 PA的转角,0?? (c)
环向线 PB的转角：
?
?
??
rd
uduu
PB
PPBB r
r
r ??
??
???
)(''
?? ?
?? ru
r
1 (d)
故剪应变,
??? ? ?
???? r
r
u
r
1 (e)
ur
0
B
P p'
A'
B'
? x
y
d? r dr
A
B1 β
第二步,在第一步的基础上,PA,PB只有环向移
（不考虑径向位移）
?
?
?
?
?
?
?
d
u
uBBB
dr
r
u
uAAA
uPPP
?
?
??
?
?
??
?
''':'
''':'
''':'
径向线 P‘A‘线应变,0'' '''''' ????? AP APAPr? (f)
? drP'
A'
B'
d? r
o x
y
u?
A2P''
A''B''
A1
drruu ??? ??
?
???? duu ???
0 0 0
点
径向位移
环向位移 dr
r
uu
?
?? ?
? ??
?? duu
?
??
?u
P? A? B?
d?
? P'
A'
dr
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A''
B''
r
u?
环向 P‘B‘线应变：
?
?
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?
?
? rd
uduu
BP
PPBB
BP
BPBP ??
??
??????
)(
''
''''''
''
''''''
0 x
y
??
?
? ?
???? u
r
1 (g)
径向线 P'A'转角：
环向线 P'B'的转角：
r
u
PO
PP
AOAAPA
??
?
?
?
???
?
???????? 121
r
u
dr
udr
r
u
u
AP
AA
AP
PPAA
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
??
???????
??
?
?
?
?
?
?
)(
2
(h)
A2
A1
ω?
??
（ 2）叠加后，总的径向、环向应变、剪应变为
几何方程
剪应变：
r
u
r
u ????? ?
?
?????
?
?
?
?
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u
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r
u
r
uu
r
r
u
r
rr
r
r
r
??
??
?
?
?
??
?
?
?
1
（ 4-2）
是由径向位移产生的环向应变 ；
r
u?
r
ur
是由环向位移产生的刚体转动角度 ；
?
?
?
?
?
??
??????
????
???
???
???
?
???
r
rrr
三, 物理方程
由于极坐标也是正交坐标系，故物理方程形式不变：
平面应力：
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
?
?
?
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???
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?
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???
?
?
???
?
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rrr
r
rr
E
G
E
E
)1(2
)(
1
)(
1
2
2
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??
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??
?
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??
?
????
????
r
r
r
r
rr
EG
E
E
)1(2
)(
1
)(
1
（ 4-3）
平面应变：
?
??
? ?????? 1,1 2
EE
?
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rr
r
rr
E
E
E
)1(2
)
1
(
1
)
1
(
1
2
2
（ 4-4）
Thank Everybody !