§4.9 半平面体在边界上受集中力
一, 计算模型
p
单位厚度的受力体一个边界为平
面，而在平面以下为无限大的物
体。略去体力分量，取单位厚度
上所受力为 P，应用逆解法求 {σ }。
1,计算简图
2.边界条件
0,0
22
?? ???? ?? ???? ?? r
二, 拉梅 — 麦克斯韦尔直角坐标方程
1,主应力迹线坐标系
主应力 正交，两个主力
的迹线可以构成正交坐标系 21 ?? 和
?
2S
O X
Y
1?2
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o
x
φ
y
?
正向增加逆针向转时为逆针向为正而且转到 S??? 21
1s
2,主应力坐标下的方程
根据斜方向上的应力公式
21
21
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??? （ 2）
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2
1
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y
x
（ 3）
（ 1）　0???? ?? yx yxx ??
0???? ?? yx yxy ??
把（ 3）式代入（ 1）式得
02c o s22s in2s in22c o s ?????? ???????? ???? ?? ?????? yyxxx
21,,02s in,12c os0 dsdydsdx ????? ???,则若
02)(
21
?? ???? ???? ss ?
(5)
22
1
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ds
则有
0
2
21
1
1 ????? ? ???s (6a)
0
1
21
2
2 ????? ? ???s
(6b)同理
三, 半无限平面受法向集中力的应力计算
直线 00
2 ???? ????
?? 上与 显然它们是主应力迹线
另一组主应力迹线与其正交，故必为一组半圆弧
p
o
x
φ
y
?
0
2
????? ? ???? ??? (7a)
0??? ????
(7b)
????? ??? c o sKDK ??????
Fd ?? ????
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2/
2/
c o s
由（ 7b） ),(?? ? f?
根据边界条件
0
2
??? ????
知道 0)( ?? ??
? f
???? ? c o s2 F??
平衡方程变为,1 ???
X向平衡
2
??K
此时,等应力圆—的分布规律）半平面内
??1
极坐标中圆方程,?? c o sD?
)0(,2 ???? ???? ???? DF而
? ?解答采用直角坐标表示） ?2
? ? ? ? ? ?? ?TT ?1???
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0
c o s2
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lm
ml
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2
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2
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2
222
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yxF
yx
xyF
yx
xF
yxxy
x
x
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可求出）（）（）由（ 几物 3424224 ?????
代入几何方程
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Fuu
E
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位移分量.1
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四, 半无限平面受法向集中力的位移计算
可求出）（）（）由（ 几物 3424224 ?????
代入几何方程
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Fu
位移分量.1
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)(c o sln2 ????? fEFu ???
),(co s)ln(2,co s2 ?????????? ??? fEFuE Fuu ?????????
)()(s in)ln(2 1 ???????? fdfEFu ???? ?
? ?????
?????
0)()(s in)ln(
2
)(s in
2
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1
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E
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F
f
E
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Gff ??? )()( 11 ???
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Gf
fd ?
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)(
1
1
(b)
(c)
代入 （ a)
(d)
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(e)
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c o ss in
)1(
lnc o s
2
IF
E
F
EE
F
u
IF
EE
F
u
为待定常数。，其中,KIGH,,
结构对称，荷载对称,00 ??
?? u处环向位移在
00| 0 ??????? GHGHu ???
GHKI
E
F
E
F
E
Fu
KI
E
F
E
Fu
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??????
?????
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c o ss inc o s)1(2s in)1(2lns in2
s inc o ss in)1(2lnc o s2
])1(2R e [c o s)1(2)()( ???????? ieEFEFff ???????
??? s inc o s)( KIf ??
??????? s inc o ss in)1(2)( KIEFf ????
????? s in)1(2)(* ?? EFf
???????????? c o ss inc o s)1(2)(s in)1(2)( KIEFGfEFdf ??????????
（ f） 带入（ d）
2,沉降量计算
”正向一致取“与”，正向一致取“与 ?? ?? ?? uu说明：
条件确定。表示刚体位移，由约束I
的相对沉限。对于基点的任一点
。求边界上距荷载的水平距离为
，沉限不能确定，选基点不定，当约束不能确定时，
BM
s
BI
oy
x
P
ρB
s
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1
ln
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S
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ln
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§4.10 半平面体在边界上受分布力
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c o ss in2
c o ss in
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yxF
yx
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yx
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x
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ml
lm
ml
lm
ml
yyx
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二, 分布力作用下的应力
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yxqd
d
yx
yxqd
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yx
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xy
y
x
由引起的应力处的应力分量
求任一点的面力作用于边界集度为
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)(2
])([
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])([
2
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222
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I
c
1
.
,
1
,
c
?的沉陷的一点
处求距分布中点分布集度的边界上
平面体长度为设单位力均匀分布在半
K
c
C1
?dcdF 1?
ρ
B
dρ
s
x
2cx?
2c 2c 2cx?
I
:,则常量对于均布荷载 ?q
二, 基础沉降
1.位移影响线
二, 基础沉降
1.位移影响线
)274(
)()(
[
)(
)(
)(
)(
[
]
)(
)(
)(
)(
[
22
2
22
2
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2222
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byx
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ay
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,
1
,
c
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处求距分布中点分布集度的边界上
平面体长度为设单位力均匀分布在半 K
c
C1
?dcdF 1?
ρ
B
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s
x
2cx?
2c 2c 2cx?
I
:,则常量对于均布荷载 ?q
的距离。与基点为
点的距离到为其中
沉陷的引起的求由由
Bds
KdF
d
s
Ec
s
E
dF
d
KdF
ki
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ln
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ln
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K
kiki
cx
cx
cx
cx
kiki
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看成常数：，积分时将
则取很远设基点为简化上式变化随由于
则沉陷点在均布力之外若
)()2ln1( ln2
)(
)14ln ()
12
12
ln (2
2
2
c
c
s
c
b
c
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c
S
c
x
c
x
F
ki
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则沉陷。（在均布力的中点若 )0?xIK
??
2/
0
ln4
c
ki d
s
Ec ????
0
)284
?
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kiF
cc 式，但仍为（）式，常数积分结果仍为（
代换。：的数值。对于平面应变
）查出在内）可以由表（值为整数时（当
?
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??
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1
,
1
140
2
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EF
c
x
c
x
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Thank Everyone !