§2~8 按位移求解平面问题 (位移法 )
一、平面应力问题,
1,由物理方程
（ 2-12）解出
2、把几何方程（ 2-3）
代入 (2-12a）
）（２～１６— a
E
E
E
xyxy
xyy
yxx
?
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)(
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1
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)(
)1(2
)(
1
)(
1
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b
y
u
x
vE
x
u
y
vE
y
v
x
uE
xy
y
x
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—
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---以位移分量作为基本未知量
把（ 2~16a）代入平衡微分方程（ 2~2）：
式（ 2~17）即为用位移表示的平衡微分方程，为按
位移求解平面应力问题的基本微分方程。
?（表示按位移求解平面应力问题时，解出的应力必须满
足平衡微分方程）
)172(
0)
2
1
2
1
(
1
0)
2
1
2
1
(
1
2
22
2
2
2
2
22
2
2
2
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y
x
f
x
v
yx
u
y
vE
f
y
u
yx
v
x
uE
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??
?
3,应力边界条件：把 （ 2 ~ 1 6 a ）代入应力边界条件 （ 2 ~ 1 5 ）
结论, 按位移求解平面应力问题,可归纳为根据 ( 2 ~ 1 7 )
式确定位移分量，并且要求满足边界条 件（ 2 ~ 1 8 ）或
（ 2 ~ 1 4 ），再用（ 2 ~ 8 ）式求出应变分量，用（ 2 ~ 1 6 ）
确定应力分量。
4,位移边界条件：仍为 （ 2 ~ 1 4 ）式
(2~18) 式即为用位移表示的应力边界条件，为按
位移求解平面应力问题时的应力边界条件。
)182(
)](
2
1
)([
1
)](
2
1
)([
1
2
2
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ys
xs
f
y
u
x
v
l
x
u
y
v
m
E
f
y
u
x
v
m
y
v
x
u
l
E
?
?
?
?
?
?
二、平面应变问题,
对平面应力方程的 E,μ作如下变换后即可得到
平面应变问题的相应方程和边界条件：
?
???
??
????
1,
11 2
EE
1,为按位移求解平面应力问题，要联立求解两个
二阶偏微分方程，因此比较麻烦，但在有限元法
中较方便。
2,按位移求解，原则上可适用于任何平面问题，
无论体力是不是常量，不论是哪一种边界问题。
三、讨论,
§2.9 按应力求解平面问题相容方程
2、变形相容（协调）方程（同一平面内 {??间的关系）
基本未知量 ? ? ? ?yxyxyx
xyyx,);,(;,?? ?
基本方程：用应力分量表示
1.平衡微分方程
0????? ?? xyxx fyx ??
0????? ?? yyxy fyx ??
（ 2-2）
由几何方程：
）（ 3~2???
?
?
?
?
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y
u
x
v
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v
x
u
xy
y
x
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将
?
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??
?
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?
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?
?
?
x
y
v
y
x
u
y
x
对
对
?
? 求两阶导数
yxx
v
y
u
yxxy
xyyx
??
??
???
?
???
?
?
??
?
?
??
??
?
??
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? ??? 22
2
2
2
2
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?
??
?
?
?
?
yx
v
x
xy
u
y
y
x
2
3
2
2
2
3
2
2
?
?
相加
)192(
2
2
2
2
2
?????????????? yxxy xyyx ???
注：（ 2-9）用应变表示的相容方程。表示同一平面内
一点处的三个应变分量必须相互协调，才能保证变形
发生开裂或相互嵌入（位移连续），位移存在且是 x,y
的连续函数。
开裂
嵌入
连续
用应力分量表示相容方程：
由物理方程
） （２～ 12
1
][
1
][
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
????
????
xyxy
xyy
yxx
G
E
E
代入（ 2-9）式得到
? ? ? ? ? ? yxxy xyxyyx ???????????? ???????? 22222 12(2-20)
由平衡方程
0????? ?? xyxx fyx ??
0????? ?? yyxy fyx ??
x
f
xyx
xxyx
?
??
?????
??
2
22 ??
y
f
yyx
yyxy
?
??
?????
??
2
22 ??
两式相加
y
f
yx
f
xyx
yyxxxy
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
???
22
222
2 ???
? ? ? ? ? ? yxxy xyxyyx ???????????? ???????? 22222 12
代入 （ 2-20）式,
化简（ 2-2）和（ 2-20）式化简（ ）和（ ）式
（ 2-21a）应力表示的相容方程
结论：
整理、化简,
注：对于平面应变问题用
?
??
??? 1
代换 ?
? ? ??
?
?
???
?
?
??
?
?
???
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???
?
?????
?
?
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???
?
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?
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y
f
x
f
xy
yx
yx ??? 1
1
2
2
2
2 （ 2— 21b）
1、按应力求解平面应力（应变）问题，可归
结为根据（ 2-2） 平 及（ 2-21） 容 ）求出应力分
量 {??，并要求在边界上满足应力边界条件
（ 2-15） 边,及位移单值条件 。
? ? ? ? ??
?
?
???
?
?
??
?
?????
???
?
???
?
?
??
?
?
y
f
x
f
xy
yx
yx ??? 12
2
2
2 (2-21a)
§2-10 应力函数 — 常体积力
一, 简化相容方程
当体力为常量时,fx=C,fy=C’
（ 2-21） 容 简化为,
? ? 02222 ????
?
?
???
?
?
??
?
?
yxxy ??
2
2
2
2
2
yx ?
??
?
???若令
— 拉普拉斯算子
? ? 02 ??? yx ?? （ 2— 22）
二,应力函数
为非齐次偏微分方程组
结论 1.当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变）
问题，可归结为根据（ 2-2） 平 及（ 2-22） 容 求出
应力分量 {??,并要求在边界上满足应力边界条件
（ 2-15） 边 及位移单值条件。
研究（ 2-2） 平 及（ 2-22） 容 的求解
由（ 2— 2） 平 式
0????? ?? xyxx fyx ??
0????? ?? yyxy fyx ??
1.对应的齐次偏微分方程的通解
所以存在一个具有全微分的函数 A（ x,y）
根据微分方程解的理论,（ 2— 2） 平 的解由两部分
组成对应的齐次偏微分方程的通解及其一个特解。
0???? ?? yx yxx ??
0???? ?? yx yxy ??
由第一式有 ? ?
xy
x
yx ????
? ? ??
全微分的充要条件
Q d yP d xdFFxQyP ??????? 有则存在若,
同理：将第二式写为
? ?
yx
y
xy ????
? ? ??
根据全微分充要条件，同样也存在另一个函数 B（ x,y）
x
yxAP
xy ?
???? ),(
1 ?
（ a）
? ?
y
yxAQ
x ?
???,
1 ?
（ b）
? ?
y
yxBQ
xy ?
????,
2 ?
(d)
? ?
x
yxBP
y ?
???,
2 ?
（ c）
比较（ a）（ c ）两式,由剪应力互等定理
? ? ? ?
y
yxB
x
yxA
?
??
?
?,,
xBP ?
????
yAQ ?
????
齐次偏微分方程的通解
yxxy xyyx ??
?????
?
????
?
???? 2
2
2
2
2;; ???
Φ — 平面应力函数（ Airy应力函数 ）
同理可以找到一个函数 Φ （ x,y），有
yxxy ?? ???
0;; **** ?????? xyxyyyxx yfxf ????
3.平衡方程 的通解
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
??
?
?
??
?
?
?
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?
yx
yf
x
xf
y
xy
yy
xx
2
2
2
2
2
?
?
?
（ 2— 23）
0????? ?? xyxx fyx ??
0????? ?? yyxy fyx ??
?
?
?
?
?
???
???
???
xyxyxy
yyy
xxx
*
*
*
???
???
???
2.平衡方程特解
3.平衡方程 的通解
0;; **** ?????? xyxyyyxx yfxf ????
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
??
?
?
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?
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?
yx
yf
x
xf
y
xy
yy
xx
2
2
2
2
2
?
?
?
（ 2-23）
0????? ?? xyxx fyx ??
0????? ?? yyxy fyx ??
?
?
?
?
?
???
???
???
xyxyxy
yyy
xxx
*
*
*
???
???
???
将 （ 2-23）代入（ 2-22） 容
02
2
2
2
2
2
2
2
???
?
?
???
?
?
???
?
??
???
?
???
?
?
??
?
?
xyxy
? ? 02
2
2
2
????
?
?
???
?
?
??
?
?
yxxy ??
（ 2-22） 容
可记为, 022 ???? 04 ???或
这里 Φ（ x,y）为双调和函数
注：满足 02 ??? 的 Φ函数称 调和函数
展开后,
02 4
4
22
4
4
4
?? ????? ???? ?? yyxx （ 2— 24）
结论：
1.当 应力函数 Φ为满足双调和方程的双调和函数时
（ 2— 23）可以同时满足 （ 2-2） 平 及（ 2-22） 容,故
（ 2— 23）为 （ 2-2） 平 及（ 2-22） 容 的解。
（ 2— 24）为用应力函数表示的相容方程
2.当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变）
问题，可归结为根据（ 2-24） 容 求出应力函数 Φ,
然后根据（ 2— 23）求出应力分量 {??并要求在边界
上满足应力边界条件（ 2-15） 边,及位移单值条件
（多连体时）。
[多连体的位移单值条件 ]
单连体：具有一个连续的边界 。
多连体：具有两个以上互不相交的连续的边界。
位移单值条件：一点处的位移是单值 的。
*按应力求解时，要利用位移单值条件，才能
完全确立应力分量
[例题 ]习题 2— 3（略）
解,1.验证是否满足平衡微分方程
由, 0????? ?? xyxx fyx ??
0????? ?? yyxy fyx ??
将 ?x=?y=-q,?xy=0代入
00)0()( ???????? yxq
00)()0( ???????? yqx
故满足
q
x
y
q
O
将 ?x=?y=-q,?xy=0代入，自然满足
三,满足边界条件,
q
ql
qm
x
y
?x
?y
?yx
?xy
? ? ? ? ??
?
?
???
?
?
??
?
?????
???
?
???
?
?
??
?
?
y
f
x
f
xy
yx
yx ??? 12
2
2
2由,
由,
? ? ? ?
? ? ? ? y
sysxy
xsxysx
fm
fm
??
??
??
??
?
?
qmfqlf yx ????,
将 ?x=?y=-q,?xy=0,代入
二,满足相容方程
三,满足边界条件,
将 ?x=?y=-q,?xy=0代入，自然满足
q
ql
qm
x
y
?x
?y
?yx
?xy
? ? ? ? ??
?
?
???
?
?
??
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?????
???
?
???
?
?
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y
f
x
f
xy
yx
yx ??? 12
2
2
2由：
由：
? ? ? ?
? ? ? ? y
sysxy
xsxysx
fm
fm
??
??
??
??
?
?
qmfqlf yx ????,
将 ?x=?y=-q,?xy=0,代入
四,位移单值条件,
2）求位移,
qmqmqmqml
qlqlqlmql
????????
????????
)()0(
)0()( 满足
1）求应变：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
????
0
1
)1()(
1
)1()(
1
??
?????
?????
xyxy
xyy
yxx
G
E
q
E
E
q
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0
)1(
)1(
y
u
x
v
E
q
y
v
E
q
x
u
xy
y
x
?
??
??
（ 1）
（ 2）
（ 3）
)()1(
)()1(
2
1
xfy
E
q
v
yfx
E
q
u
???
???
?
?
代入（ 3）得
dx
xdf
dy
ydf )()( 21 ??
于是有,
,)(1 ???dy ydf
??dx xdf )(2
由（ 1）、（ 2）式积分
结论：所给应力解答满足平衡微分方程、相容方
程、且在边界上满足应力边界条件，对于多连通
域满足位移单值条件，故为问题的解。
上式为线性函数，为单值函数。
积分：
0
0
)1(
)1(
vxy
E
q
v
uyx
E
q
u
????
????
??
??
谢谢各位！
一、平面应力问题,
1,由物理方程
（ 2-12）解出
2、把几何方程（ 2-3）
代入 (2-12a）
）（２～１６— a
E
E
E
xyxy
xyy
yxx
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
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)1(2
)(
1
)(
1
2
2
)162(
)(
)1(2
)(
1
)(
1
2
2
b
y
u
x
vE
x
u
y
vE
y
v
x
uE
xy
y
x
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—
?
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?
---以位移分量作为基本未知量
把（ 2~16a）代入平衡微分方程（ 2~2）：
式（ 2~17）即为用位移表示的平衡微分方程，为按
位移求解平面应力问题的基本微分方程。
?（表示按位移求解平面应力问题时，解出的应力必须满
足平衡微分方程）
)172(
0)
2
1
2
1
(
1
0)
2
1
2
1
(
1
2
22
2
2
2
2
22
2
2
2
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x
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yx
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y
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y
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yx
v
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3,应力边界条件：把 （ 2 ~ 1 6 a ）代入应力边界条件 （ 2 ~ 1 5 ）
结论, 按位移求解平面应力问题,可归纳为根据 ( 2 ~ 1 7 )
式确定位移分量，并且要求满足边界条 件（ 2 ~ 1 8 ）或
（ 2 ~ 1 4 ），再用（ 2 ~ 8 ）式求出应变分量，用（ 2 ~ 1 6 ）
确定应力分量。
4,位移边界条件：仍为 （ 2 ~ 1 4 ）式
(2~18) 式即为用位移表示的应力边界条件，为按
位移求解平面应力问题时的应力边界条件。
)182(
)](
2
1
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1
)](
2
1
)([
1
2
2
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y
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x
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E
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?
二、平面应变问题,
对平面应力方程的 E,μ作如下变换后即可得到
平面应变问题的相应方程和边界条件：
?
???
??
????
1,
11 2
EE
1,为按位移求解平面应力问题，要联立求解两个
二阶偏微分方程，因此比较麻烦，但在有限元法
中较方便。
2,按位移求解，原则上可适用于任何平面问题，
无论体力是不是常量，不论是哪一种边界问题。
三、讨论,
§2.9 按应力求解平面问题相容方程
2、变形相容（协调）方程（同一平面内 {??间的关系）
基本未知量 ? ? ? ?yxyxyx
xyyx,);,(;,?? ?
基本方程：用应力分量表示
1.平衡微分方程
0????? ?? xyxx fyx ??
0????? ?? yyxy fyx ??
（ 2-2）
由几何方程：
）（ 3~2???
?
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x
y
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y
x
u
y
x
对
对
?
? 求两阶导数
yxx
v
y
u
yxxy
xyyx
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???
?
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2
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?
相加
)192(
2
2
2
2
2
?????????????? yxxy xyyx ???
注：（ 2-9）用应变表示的相容方程。表示同一平面内
一点处的三个应变分量必须相互协调，才能保证变形
发生开裂或相互嵌入（位移连续），位移存在且是 x,y
的连续函数。
开裂
嵌入
连续
用应力分量表示相容方程：
由物理方程
） （２～ 12
1
][
1
][
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
??
????
????
xyxy
xyy
yxx
G
E
E
代入（ 2-9）式得到
? ? ? ? ? ? yxxy xyxyyx ???????????? ???????? 22222 12(2-20)
由平衡方程
0????? ?? xyxx fyx ??
0????? ?? yyxy fyx ??
x
f
xyx
xxyx
?
??
?????
??
2
22 ??
y
f
yyx
yyxy
?
??
?????
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2
22 ??
两式相加
y
f
yx
f
xyx
yyxxxy
?
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???
22
222
2 ???
? ? ? ? ? ? yxxy xyxyyx ???????????? ???????? 22222 12
代入 （ 2-20）式,
化简（ 2-2）和（ 2-20）式化简（ ）和（ ）式
（ 2-21a）应力表示的相容方程
结论：
整理、化简,
注：对于平面应变问题用
?
??
??? 1
代换 ?
? ? ??
?
?
???
?
?
??
?
?
???
?
???
?
?????
?
?
?
???
?
?
??
?
?
y
f
x
f
xy
yx
yx ??? 1
1
2
2
2
2 （ 2— 21b）
1、按应力求解平面应力（应变）问题，可归
结为根据（ 2-2） 平 及（ 2-21） 容 ）求出应力分
量 {??，并要求在边界上满足应力边界条件
（ 2-15） 边,及位移单值条件 。
? ? ? ? ??
?
?
???
?
?
??
?
?????
???
?
???
?
?
??
?
?
y
f
x
f
xy
yx
yx ??? 12
2
2
2 (2-21a)
§2-10 应力函数 — 常体积力
一, 简化相容方程
当体力为常量时,fx=C,fy=C’
（ 2-21） 容 简化为,
? ? 02222 ????
?
?
???
?
?
??
?
?
yxxy ??
2
2
2
2
2
yx ?
??
?
???若令
— 拉普拉斯算子
? ? 02 ??? yx ?? （ 2— 22）
二,应力函数
为非齐次偏微分方程组
结论 1.当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变）
问题，可归结为根据（ 2-2） 平 及（ 2-22） 容 求出
应力分量 {??,并要求在边界上满足应力边界条件
（ 2-15） 边 及位移单值条件。
研究（ 2-2） 平 及（ 2-22） 容 的求解
由（ 2— 2） 平 式
0????? ?? xyxx fyx ??
0????? ?? yyxy fyx ??
1.对应的齐次偏微分方程的通解
所以存在一个具有全微分的函数 A（ x,y）
根据微分方程解的理论,（ 2— 2） 平 的解由两部分
组成对应的齐次偏微分方程的通解及其一个特解。
0???? ?? yx yxx ??
0???? ?? yx yxy ??
由第一式有 ? ?
xy
x
yx ????
? ? ??
全微分的充要条件
Q d yP d xdFFxQyP ??????? 有则存在若,
同理：将第二式写为
? ?
yx
y
xy ????
? ? ??
根据全微分充要条件，同样也存在另一个函数 B（ x,y）
x
yxAP
xy ?
???? ),(
1 ?
（ a）
? ?
y
yxAQ
x ?
???,
1 ?
（ b）
? ?
y
yxBQ
xy ?
????,
2 ?
(d)
? ?
x
yxBP
y ?
???,
2 ?
（ c）
比较（ a）（ c ）两式,由剪应力互等定理
? ? ? ?
y
yxB
x
yxA
?
??
?
?,,
xBP ?
????
yAQ ?
????
齐次偏微分方程的通解
yxxy xyyx ??
?????
?
????
?
???? 2
2
2
2
2;; ???
Φ — 平面应力函数（ Airy应力函数 ）
同理可以找到一个函数 Φ （ x,y），有
yxxy ?? ???
0;; **** ?????? xyxyyyxx yfxf ????
3.平衡方程 的通解
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
??
?
?
??
?
?
?
??
?
yx
yf
x
xf
y
xy
yy
xx
2
2
2
2
2
?
?
?
（ 2— 23）
0????? ?? xyxx fyx ??
0????? ?? yyxy fyx ??
?
?
?
?
?
???
???
???
xyxyxy
yyy
xxx
*
*
*
???
???
???
2.平衡方程特解
3.平衡方程 的通解
0;; **** ?????? xyxyyyxx yfxf ????
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
??
?
?
??
?
?
?
??
?
yx
yf
x
xf
y
xy
yy
xx
2
2
2
2
2
?
?
?
（ 2-23）
0????? ?? xyxx fyx ??
0????? ?? yyxy fyx ??
?
?
?
?
?
???
???
???
xyxyxy
yyy
xxx
*
*
*
???
???
???
将 （ 2-23）代入（ 2-22） 容
02
2
2
2
2
2
2
2
???
?
?
???
?
?
???
?
??
???
?
???
?
?
??
?
?
xyxy
? ? 02
2
2
2
????
?
?
???
?
?
??
?
?
yxxy ??
（ 2-22） 容
可记为, 022 ???? 04 ???或
这里 Φ（ x,y）为双调和函数
注：满足 02 ??? 的 Φ函数称 调和函数
展开后,
02 4
4
22
4
4
4
?? ????? ???? ?? yyxx （ 2— 24）
结论：
1.当 应力函数 Φ为满足双调和方程的双调和函数时
（ 2— 23）可以同时满足 （ 2-2） 平 及（ 2-22） 容,故
（ 2— 23）为 （ 2-2） 平 及（ 2-22） 容 的解。
（ 2— 24）为用应力函数表示的相容方程
2.当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变）
问题，可归结为根据（ 2-24） 容 求出应力函数 Φ,
然后根据（ 2— 23）求出应力分量 {??并要求在边界
上满足应力边界条件（ 2-15） 边,及位移单值条件
（多连体时）。
[多连体的位移单值条件 ]
单连体：具有一个连续的边界 。
多连体：具有两个以上互不相交的连续的边界。
位移单值条件：一点处的位移是单值 的。
*按应力求解时，要利用位移单值条件，才能
完全确立应力分量
[例题 ]习题 2— 3（略）
解,1.验证是否满足平衡微分方程
由, 0????? ?? xyxx fyx ??
0????? ?? yyxy fyx ??
将 ?x=?y=-q,?xy=0代入
00)0()( ???????? yxq
00)()0( ???????? yqx
故满足
q
x
y
q
O
将 ?x=?y=-q,?xy=0代入，自然满足
三,满足边界条件,
q
ql
qm
x
y
?x
?y
?yx
?xy
? ? ? ? ??
?
?
???
?
?
??
?
?????
???
?
???
?
?
??
?
?
y
f
x
f
xy
yx
yx ??? 12
2
2
2由,
由,
? ? ? ?
? ? ? ? y
sysxy
xsxysx
fm
fm
??
??
??
??
?
?
qmfqlf yx ????,
将 ?x=?y=-q,?xy=0,代入
二,满足相容方程
三,满足边界条件,
将 ?x=?y=-q,?xy=0代入，自然满足
q
ql
qm
x
y
?x
?y
?yx
?xy
? ? ? ? ??
?
?
???
?
?
??
?
?????
???
?
???
?
?
??
?
?
y
f
x
f
xy
yx
yx ??? 12
2
2
2由：
由：
? ? ? ?
? ? ? ? y
sysxy
xsxysx
fm
fm
??
??
??
??
?
?
qmfqlf yx ????,
将 ?x=?y=-q,?xy=0,代入
四,位移单值条件,
2）求位移,
qmqmqmqml
qlqlqlmql
????????
????????
)()0(
)0()( 满足
1）求应变：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
????
0
1
)1()(
1
)1()(
1
??
?????
?????
xyxy
xyy
yxx
G
E
q
E
E
q
E
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
0
)1(
)1(
y
u
x
v
E
q
y
v
E
q
x
u
xy
y
x
?
??
??
（ 1）
（ 2）
（ 3）
)()1(
)()1(
2
1
xfy
E
q
v
yfx
E
q
u
???
???
?
?
代入（ 3）得
dx
xdf
dy
ydf )()( 21 ??
于是有,
,)(1 ???dy ydf
??dx xdf )(2
由（ 1）、（ 2）式积分
结论：所给应力解答满足平衡微分方程、相容方
程、且在边界上满足应力边界条件，对于多连通
域满足位移单值条件，故为问题的解。
上式为线性函数，为单值函数。
积分：
0
0
)1(
)1(
vxy
E
q
v
uyx
E
q
u
????
????
??
??
谢谢各位！
