4-6 厚壁圆环或圆筒受均布压力
设厚壁圆筒, 内半径 a
外半径 b
(厚度取为单位 1)
qaqb
a
b
受内压
ba qq 外压
为轴对称应力分布
解,(一 )应力分量,据 (4-11)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
0
2
2
2
2
rr
r
C
r
A
C
r
A
??
?
??
?
?
其中 A,C为常数，须由边界条件确定
其边界条件：
?
?
?
?
??
?
?
0)(
|
arr
aarr q
??
?内边界
外边界
?
?
?
?
??
?
?
0)(
|
brr
bbrr q
??
?
注意到
0)(,0)( ?? ?? brrarr ?? ?? 自然满足
故边界条件提供两个独立的方程，常数 A、
C由边界条件确定。
(二 )考虑位移单值条件,
由 (4-12)式的第二式,
??? c o ss i n KIFru ???
?????
???????
2
2
11
11
||
||
???
???
?
?
rr uu
uu?
0?? B由于 ?的任意性
故应力分量写成,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
0
2
2
rr
r
C
r
A
C
r
A
??
?
??
?
?
引入代换,)ln( rte t ???? （ a）
代入（ A）后：
044 2
2
3
3
4
4
?????? dtddtddtd
线性齐次方程，对应特征方程：
044 234 ??? ??? 根为 2,2,0,0 4321 ???? ????
齐次方程解, DCeB t eAt tt ????? 22
利用（ a）还原：通解
DCrrBrrA ????? 22 lnln （ 4— 10）
其中, A,B,C,D为任意常数。
2、应力分量,（ 4-10）带入（ 4-9）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?????
????
0
2)ln23(
2)ln21(
2
2
rr
r
CrB
r
A
crBC
r
A
??
?
??
?
?
（ 4— 11）
三、位移分量,（ 4-11) 代 (4-3) 代（ 4-2
??
? ?????? )31[()1(1)(1
2 ?????? ? Br
A
EE rr
?cr )1(2]ln)1(2 ?? ????
??
? ????????? ]ln)1(2)3[()1(1)(1
2 rBr
A
EE r ??????? ??
?c)1(2 ???
由几何方程得：
0
1
)1(2ln)1(2)3()1([
1
)1(2]ln)1(2)31[()1(
1
2
2
??
?
?
?
?
?
?????????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????????
?
?
r
u
r
uu
r
CrBB
r
A
Er
u
r
u
CrB
r
A
Er
u
r
r
???
?
?
????
?
????
（ a）
由（ a）第一式积分：
由（ a）第二式，将（ b）带入，整理：
??
? ???????? )]1( l n)1(2)31[()1(1 rrrB
r
A
Eu r ???
? )()1(2 1 ?? fCr ???
（ b）
)(4 ??? fEBru ????
积分后,)()(4
1 rfdfE
Bru ???? ???
?
再将（ b）,（ c）带入第三式，整理：
???? dfddfdr rdfrrf )()()()( 11 ????
由于 的任意性，要使上式成立，必有r,?
Fdr rdfrrf ?? )()( 11
（ d）
Fdfddf ??? ???? )()(
（ e）
其通解,
将 (h)、（ f） 代入（ c）式
???? c o ss i n4 KIHrEBru ????
位移分量：
])1(2)1(2
)31()1( l n)1(2)1([1
CrBr
BrrBr
r
A
E
u r
??
???
????
????????
?? s inc o s KI ??
???? c o ss i n4 KIHrEBru ????
（ 4— 12）
式中,1.A,B,C,H,I,K都是任意常数
2.H,I,K和 2-4节中的 ?,u0,v0一样代表刚体的
位移 (由位移边界来确定 )
*对于平面应变问题
?? ??,,EE 换成
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