§4.7 薄板圆孔应力集中
一, 孔边应力集中,孔边附近区域应力发生局部增大的现象。
特点,a.孔边周围应力局部增大（应力重新分布）
b.集中是在一定范围内，是局部现
象，超过一定距离就无影响。
c.集中同孔的形状有关，与孔的大小无关。
1,模型：分析薄板（无限大）长度与高度 >>孔径。
略去体力分量，试求 {σ}。孔半径 a。
a p 薄板可采用直角坐标，圆孔采用极坐标较方便。
研究孔问题采用极坐标。
二, 受力模型
将薄板直边变换为圆边（采用极坐标方便）
在半径为 b的圆周上，各点受力状态都是两向
等拉状态，即 ?x=q,?y=p,?xy=0，由坐标变换
式（ 4-7）求得及坐标下的应力分量。
?
?
?
?
?
????
???
???
)s i n( co sco ss i n)(
co ss i n2co ss i n
co ss i n2s i nco s
22
22
22
????????
????????
????????
??
?
?
xyxy
xyyx
xyyx
取 b>>a,以 b为半径作一大圆。取包括圆孔在内的
圆环研究
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
lm
mlp
lm
mlr
r
r
00
0
?
?
? ?
?
?
?
（ 1）
2,应力边界条件
a
p x
y
0
A
?
qq
q
(a)
?? ? 2c o s22 pp ??
?? ? 2c o s22 pp ??
?? ?? 2s in2p??
0???
0????
??? b?
① r??②
y
o
x
(b)
?? ? 2c o s22 pp ??
?? ?? 2s in2p??
?? ? 2c o s22 pp ??
三, 极坐标下问题的平衡方程和相容方程
1,平衡方程
0???????? ? ??????? ?????
02 ??????? ???? ??? ?????
2.相容方程
0))(( 22
2
2
2
??
?
??
?
??
?
?
?? ???????
0)]()([ 22
2
??
?
??
?
?
?
?
?? ????????即
四,求应力函数
根据远场应力的边界条件可以设三个应力分量可能
的形式分别为：
（ 2）
（ 3）
把（ 3）式分别代入（ 2）式得
由（ 4）式得到两组方程：
???? ? 2co s)()( fF ??
???? ? 2co s)()( gG ?? ??? ?? 2s in)(h?
（ 3）
02c o s)2( ??????? ????? hgfddfGFddF
02s in)22( ??? ??? hgddh
）GFddGFdd ??? ()(2
2
???
02)](4)()([ 22
2
?????? ????? c ongfgfddgfdd+
第一组
0??? GFddF??
0()(2
2
???? ）GFddGFdd ???
（ 4）
（ 5）
利用应力的有界性，由方程组（ 5）解得
第二组
BAF ??? 2)( ??
BAG ?? 2)( ??
02 ???? hgfddf??
022 ??? hgddh??
0)(4)()( 22
2
?????? gfgfddgfdd ????
2
2
??
DCgf ???
（ 6）
（ 7）
（ 8）
（ 9）
（ 10）
由（ 10）式得到 （ 11）
(8)式减去（ 9）式并把（ 10）式代入其中后可以得到
h的通解
h的一个特解
0)()( 22 ???????? ???????? DCddhddfgfddhddf
EDChf ????? 22 221 ??
由此得出
EDChg ???? 22 223 ??
（ 14）式代入（ 9）式
02344)(2 22 ????????? EDChddhhhgddh ??????
（ 12）
（ 13）
（ 14）
EDChddh 234 22 ???? ????
（ 15）
（ 16）
EDCh 21221 22* ??? ??
42
2
2
1
22
1
???
GEDCh ????
把 h代到（ 13）、（ 14）式中得到
得出应力的函数表达式
42 2
1
??
GEDf ???
4
2
2
1
??
GECg ???
(17)
由于应力是有界的, C=0
????? ? 2c o s)21( 422 GEDBA ??????
???? ? 2c o s)21( 42 GEBA ?????
???? ?? 2s in)212( 42 GED ???
(18)
五, 利用应力边界条件确定常数
得出待定常数 B,E
?? ? 2c o s21 EB ?? ?2c o s22 pp ??
?? ? 2c o s21 EB ?? ?2c o s22 pp ??
?? ?? 2s in21 E?? ?2s in2p??
pEpB ??,2
r?? 0??? 0????又有条件
02c os)2(2 422 ??????? ?? ? rGprDprA
02s in)22( 42 ???? ?? ?? rGprD
六,含圆孔的无限大板单向均匀拉伸下的解
由此得出常数 A,D,G
prA 221? prD 22?? prG 4
2
3?
????? ? 2co s2)341(2)1( 4
4
2
2
2
2 prrpr
??????
???? ? 2co s2)31(2)1( 4
4
2
2 prpr
????
???? ?? 2s in2)321( 4
4
2
2 prr
????
(19)
七, 圆孔的应力集中
讨论圆孔边的应力场
????? ? 2co s2)341(2)1( 4
4
2
2
2
2 prrpr
??????
???? ? 2co s2)31(2)1( 4
4
2
2 prpr
????
???? ?? 2s in2)321( 4
4
2
2 prr
????
.3|)(
)2c os21(|).1(
090m a x ??
??
?
?
???
??
??
?? pa
3,3 ?应力集中系数倍提高了孔边最大应力比无孔时
o
3qo
qo
qo
3qo
qo
qo
y
x
-qo %16.0625/1
%425/1
:5
.,54)2(
4
4
2
2
??
??
?
???
r
a
r
a
ar
qyar
时
轴上应力就接近于均布在时当
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
2s in
2
)2c o s1(
2
)2c o s1(
2
:
0
0
0
??
??
??简化后
孔边应力分布如图)3(
八, 双向拉伸的解
由叠加法可求：
q2
q1
=
+
q1
q2
)()(
)()(
)()(
21
21
21
qq
qq
qq
??????
???
???
???
???
???
??
??
??
b,任意平面应力状态态下圆孔的应力集中
作业
?1
?2
..,
,
)(,:
2211
321
问题解决回到上述
令
总可求出主应力
??
???
?? qq
严格地说是有误差的，
但解答有实用价值
Thank Everybody !