平面应力问题 平面应变问题
一, 平面问题基本未知量
? ? ? ?yxyxyx xyyx,),,(,,?? ?
1、应力分量
（ 3个）
? ? ? ? ? ? zxyyx yxyxyx ????,,,,,,
独立的（ 3个）
2、应变分量
? ? ? ? ? ? zxyyx yxyxyx ????,,,,,,
独立的（ 3个）
? ? ? ? ? ?yxyxyx xyyx,,,,,???
（ 3个）
3、位移分量
? ? ? ? wyxvyxu,,,,独立的（ 2个） ? ? ? ?yxvyxu,,,（ 2个）
???
???
? ?f
平面问题小结
平面应力问题 平面应变问题
二, 平面问题基本方程
1、平衡微分方程
0????? ?? Xyx yxx ??
0????? ?? Yyx yxy ??
（ 2-2） 同左
（ 2个）
2、几何方程（ 3个）
）（ 3~2???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
y
u
x
v
y
v
x
u
xy
y
x
?
?
?
同左
3、物理方程（ 3个）
）～ 122(
1
)(
1
)(
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
????
????
xyxy
xyy
yxx
G
E
E
（２～１３）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
xyxy
xyy
yxx
E
E
E
)1(2
)
1
(
1
)
1
(
1
2
2
） （ a
E
E
E
xyxy
xyy
yxx
12~2
)1(2
)(
1
)(
1
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
用下式代换：
?
??
? ?????? 1,1 2
EE
对于上述所谈及的两种平面问题：
平衡方程（ 2~2） —— 2个
几何方程（ 2~8） —— 3个
物理方程（ 2~12） —— 3个
注,虽然八个方程可解八个未知函数,但由于求
解时会产生待定函数 ;所以要想得出具体的
解答还必需利用边界条件来确定待定函数。
共计八个未知函数
、、、、、、、含 vu
xyyxxyyx
??????
§ 2~6.边界条件
八个方程
在位移边界问题中，物体在全部边界上的位移
分量是已知的，即：
式中：
— 是位移的边界值；
— 边界上坐标的已知函数或边界上
已知的位移分量。
二、应力边界条件
—— 应力分量与面力分量之间的关系
在全部边界上应力边界条件已知 。
（２～１４）— vvuu ss ??,
vu ss、
vu、
一,位移边界条件
１,在边界上的楔形体（单位厚度）如图所示：
yx?
xy?
x?
y?
nX
nY
xf
yf
弹性体内单元体斜面上
的应力分量与坐标面应
力的关系有
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
l
Y
X
yyx
xyx
n
n
??
??
单元体斜面恰为边界面则
面力分量与坐标面应力的
关系有应力边界条件
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
y
x
syyx
xyx
f
f
m
l
??
??
为应力的边界值 、
—
syxsx
ysxysy
xsyxsx
flm
fml
)()(
)152(
)()(
)()(
??
??
??
?
??
?
?
?
????
????
即有：
2.特例 --边界面与坐标轴平行时
o x
上面,l=0, m =-1
左面,右面：
l=-1 l=1
m =0 m =0
下面,l=0, m =1
y
?
?
?
???
????
Y0m
X1l
sxy
sx
)(
)(
?
?
(1).左右两面：
0ql
0ql
0ql
0ql
syxsy
syxsy
sxysx
sxysx
???
???
???
???
)(,)(:
)(,)(:
)(,)(:
)(,)(:
??
??
??
??
下
上
左
右
0?
??
y
x
f
qlf
0?
?
y
x
f
qlf
qlff yx ??,0
qlff yx ???,0
x
y
(2).在上下两面
??
???
????
???
xsyx
ysy
fm
fl
)(1
)(0
?
?
A.在边界上，应力分量的边界值等于对应的面力分量,且当
边界的外法线沿坐标轴正向时，两者正负号相同,当边界的
外法线沿坐标轴负向时,两者正负号相反。
举例,
B.边界上的面力转变为应力分量其正负号规定,正面正向、
负面负向为正，其余为负。
注,
1、在一部分边界上的位移分量为已知，另一部分
界上应力分量已知。
2、在同一边界上，已知一个位移分量和一个应力
分量。
x
y
?
?
?
?
?
??
?
0
0)(
v
f
v s
xsx?
)( b图
x
y
o
)( a图
0
0
??
??
yxy
s
f
uu
?
三,混合边界条件
例 1：小锥度杆承受轴向拉力。利用边界条件证明，横截面上，
除正应力 外，还有剪应力 。并确定边界上,
与 的关系。 xy
?y? xy?
y?
x?
)( yA
P
y ??
解：
? ?
? ? ?
?
s i n,co s
co s,co s
??
??
ynm
xnl
由
? ? ? ?
? ? ? ? y
sysxy
xsxysx
fm
fm
??
??
??
??
?
?
? ? ? ?
? ? ? ? 0s i nc o s
0s i nc o s
??
??
????
????
sysxy
syxsx
? ? ? ? ???? 22 tgyA ptgysx ??
? ? ? ? ???? tgyA ptgysxy ????
P
y
o
y
? ?
n
yf
xf
xy?
y?
x?
yx?
１、在边界上取楔形研究（单位厚度）
如图所示：
? yx
? y
? xy
? x
X
Y
A
BD
C
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
),c o s(
),c o s(
ynm
xnl
dsmDB
dslDA
dsAB
X
Y
n
ds
ml
XXml
dsmdslX
dsmdsldsX
yxx
yxx
xF
?
?
??????
??????
??????????
??
2
:
2
1
111
:,0
??
??
化简得
＝０
有由
对于三角形 ABD,当 ds?0时,则趋向于一点 (所研究的
点 )；此时，
—（２～１５）—
由同理
从而有
为应力的边界值 、其中 ,
则
?
?
?
?
?
??????
????
??
??
?
?
?
YlmF
Xml
ds
ml
X
s
xy
s
y
y
s
yx
s
x
s
yx
s
x
s
yxyx
s
xx
)()(0:
)()(:
)()(:)()(
:0
2
??
??
??????
o x
上面,l=0, m =-1
左面,右面：
l=-1 l=1
m =0 m =0
下面,l=0, m =1
y?
?
?
???
????
Y0m
X1l
sxy
sx
)(
)(
?
?
(1).左右两面：
2.特例 --边界面与坐标
轴平行时
(2).在上下两面,
??
???
????
???
X1m
Y0l
syx
sy
)(
)(
?
?
qlYX ??,0
qlY0X ???,
0Y
qlX
?
??
0?
?
Y
qlX
x
y
0ql
0ql
0ql
0ql
syxsy
syxsy
sxysx
sxysx
???
???
???
???
)(,)(:
)(,)(:
)(,)(:
)(,)(:
??
??
??
??
下
上
左
右
注,A.在边界上，应力分量的边界值等于对应的面力分量,且：
当边界的外法线沿坐标轴正向时，两者正负号相同,当
边界的外法线沿坐标轴负向时,两者正负号相反。
举例,
B.边界上的面力转变为应力分量其正负号规定,正面正向、
负面负向为正，其余为负。
qlYX ??,0
qlY0X ???,
0Y
qlX
?
??
0?
?
Y
qlX
x
y
0ql0ql
0ql0ql
syxsysxysx
syxsysxysx
??????
??????
)(,)(:)(,)(:
)(,)(:)(,)(:
????
????
下 左
上 右
三、混合边界条件：
1、在一部分边界上的位移分量为已知，另一部分边
界上应力分量已知。
2、在同一边界上，已知一个位移分量和一个应力分
量。
x
y
?
?
?
??
??
0v
0X
v s
sx
)(?
)( b图
x
y
o
)( aí?
0
0
??
??
Y
u
xy
su
?
[例 1]写出应力边界条件。液体比重 ?
解,1）右边界（ x=0）
0
0
0
?
??
?
?
xxy
xx
y
?
??
2）左边界（ x=ytg?）
? ?
? ?
?
?
?
?
s i n
)
2
c o s (,c o s
c o s,c o s
??
???
??
ynm
xn?
0,0 ?? YX
y
n
Ox
y?
?
?
y
Ox
y
y
?y
?n
由,? ? ? ?
? ? ? ? Ym
Xm
sysxy
sxysx
??
??
??
??
?
?
? ? ? ?
? ? ? ? 0s i nc o s
0s i nc o s
??
??
????
????
sysxy
sxysx?
§2~7.圣维南原理 (局部性原理 )
一,圣维南原理的叙述
1,如果把物体的一小部分边界上的面力以等效力系代
换，则在加载附近的的应力发生显著变化，而在稍远
处的影响可忽略不计，亦即与载荷在边界上的作用形
式无关。
2,如果物体在一小部分边界上的面力是一个平衡力系
（主矢及主矩均为零），则面力就只会使近处产生显著
的应力，远处的应力可忽略不计。
二, 圣维南原理的应用条件
1、必须用等效力系代替。
2、载荷区域必须比物体的最小尺寸为小（小边界上 )
P P
P
A
P
q ? q
)( a图
)( b图
)( c图
（ 1 ） 以 ( b ) 代 ( a ) 应力边界条件可以近似满足。
（ 2 ） 以 ( b ) 代 ( c ) 应力边界条件可以近似满足,但
位移边界条件不能完全满足。
举例
y
L
2h
2h
x
M
线性分布的边界力所形
成的力偶等于 M
由材力弯曲公式：
z
y
I
yM??
等效面力
0?
?
y
z
y
x
f
I
yM
f
2h
2h x
y
L
y 右端等效条件
? ?
? ? 0?
?
?
?
Lxxy
z
y
Lxx I
yM
?
?
静力等效边界条件,对于严格要求的条件在局部放松
y
L
2h
2h
x
M
线性分布的边界力所形
成的力偶等于 M
由材力弯曲公式,
z
y
I
yM??
等效面力
0?
?
y
z
y
x
f
I
yM
f
2h
2h x
y
L
y 右端等效条件
? ?
? ? 0?
?
?
?
Lxxy
z
y
Lxx I
yM
?
?
边界的积分式
自由端边界条件：
2h
2h
x
y
L P
? ?
? ?
? ? Pdy
yd y
dy
h
h
lx
xy
h
h lxx
h
h lxx
??
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
2
2
2
2
2
2
0
0
?
?
?
? ?
? ?
? ? 0
0
2
2
2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
dy
My d y
dy
h
h
lx
xy
h
h lxx
h
h lxx
?
?
?
Axd?
设中性轴为 z
y
z
1
[例 2]徐变截面杆承受轴向拉力。利用边界条件证明，横截面上，
除正应力 外，还有剪应力 。并确定边界上,
与 的关系。 xy
?y? xy?
y?
x?
)( yA
P
y ??
解,
? ?
? ? ?
?
s i n,co s
co s,co s
??
??
ynm
xnl
?
xy?
y?
x?
yx?
P
y
o
y
由
? ? ? ?
? ? ? ? y
sysxy
xsxysx
fm
fm
??
??
??
??
?
?
? ? ? ?
? ? ? ? 0s i nc o s
0s i nc o s
??
??
????
????
sysxy
syxsx
? ? ? ? ???? 22 tgyA ptgysx ??
? ? ? ? ???? tgyA ptgysxy ????
?
n
yf
xf
谢谢各位！
一, 平面问题基本未知量
? ? ? ?yxyxyx xyyx,),,(,,?? ?
1、应力分量
（ 3个）
? ? ? ? ? ? zxyyx yxyxyx ????,,,,,,
独立的（ 3个）
2、应变分量
? ? ? ? ? ? zxyyx yxyxyx ????,,,,,,
独立的（ 3个）
? ? ? ? ? ?yxyxyx xyyx,,,,,???
（ 3个）
3、位移分量
? ? ? ? wyxvyxu,,,,独立的（ 2个） ? ? ? ?yxvyxu,,,（ 2个）
???
???
? ?f
平面问题小结
平面应力问题 平面应变问题
二, 平面问题基本方程
1、平衡微分方程
0????? ?? Xyx yxx ??
0????? ?? Yyx yxy ??
（ 2-2） 同左
（ 2个）
2、几何方程（ 3个）
）（ 3~2???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
y
u
x
v
y
v
x
u
xy
y
x
?
?
?
同左
3、物理方程（ 3个）
）～ 122(
1
)(
1
)(
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
????
????
xyxy
xyy
yxx
G
E
E
（２～１３）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
xyxy
xyy
yxx
E
E
E
)1(2
)
1
(
1
)
1
(
1
2
2
） （ a
E
E
E
xyxy
xyy
yxx
12~2
)1(2
)(
1
)(
1
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
用下式代换：
?
??
? ?????? 1,1 2
EE
对于上述所谈及的两种平面问题：
平衡方程（ 2~2） —— 2个
几何方程（ 2~8） —— 3个
物理方程（ 2~12） —— 3个
注,虽然八个方程可解八个未知函数,但由于求
解时会产生待定函数 ;所以要想得出具体的
解答还必需利用边界条件来确定待定函数。
共计八个未知函数
、、、、、、、含 vu
xyyxxyyx
??????
§ 2~6.边界条件
八个方程
在位移边界问题中，物体在全部边界上的位移
分量是已知的，即：
式中：
— 是位移的边界值；
— 边界上坐标的已知函数或边界上
已知的位移分量。
二、应力边界条件
—— 应力分量与面力分量之间的关系
在全部边界上应力边界条件已知 。
（２～１４）— vvuu ss ??,
vu ss、
vu、
一,位移边界条件
１,在边界上的楔形体（单位厚度）如图所示：
yx?
xy?
x?
y?
nX
nY
xf
yf
弹性体内单元体斜面上
的应力分量与坐标面应
力的关系有
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
l
Y
X
yyx
xyx
n
n
??
??
单元体斜面恰为边界面则
面力分量与坐标面应力的
关系有应力边界条件
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
y
x
syyx
xyx
f
f
m
l
??
??
为应力的边界值 、
—
syxsx
ysxysy
xsyxsx
flm
fml
)()(
)152(
)()(
)()(
??
??
??
?
??
?
?
?
????
????
即有：
2.特例 --边界面与坐标轴平行时
o x
上面,l=0, m =-1
左面,右面：
l=-1 l=1
m =0 m =0
下面,l=0, m =1
y
?
?
?
???
????
Y0m
X1l
sxy
sx
)(
)(
?
?
(1).左右两面：
0ql
0ql
0ql
0ql
syxsy
syxsy
sxysx
sxysx
???
???
???
???
)(,)(:
)(,)(:
)(,)(:
)(,)(:
??
??
??
??
下
上
左
右
0?
??
y
x
f
qlf
0?
?
y
x
f
qlf
qlff yx ??,0
qlff yx ???,0
x
y
(2).在上下两面
??
???
????
???
xsyx
ysy
fm
fl
)(1
)(0
?
?
A.在边界上，应力分量的边界值等于对应的面力分量,且当
边界的外法线沿坐标轴正向时，两者正负号相同,当边界的
外法线沿坐标轴负向时,两者正负号相反。
举例,
B.边界上的面力转变为应力分量其正负号规定,正面正向、
负面负向为正，其余为负。
注,
1、在一部分边界上的位移分量为已知，另一部分
界上应力分量已知。
2、在同一边界上，已知一个位移分量和一个应力
分量。
x
y
?
?
?
?
?
??
?
0
0)(
v
f
v s
xsx?
)( b图
x
y
o
)( a图
0
0
??
??
yxy
s
f
uu
?
三,混合边界条件
例 1：小锥度杆承受轴向拉力。利用边界条件证明，横截面上，
除正应力 外，还有剪应力 。并确定边界上,
与 的关系。 xy
?y? xy?
y?
x?
)( yA
P
y ??
解：
? ?
? ? ?
?
s i n,co s
co s,co s
??
??
ynm
xnl
由
? ? ? ?
? ? ? ? y
sysxy
xsxysx
fm
fm
??
??
??
??
?
?
? ? ? ?
? ? ? ? 0s i nc o s
0s i nc o s
??
??
????
????
sysxy
syxsx
? ? ? ? ???? 22 tgyA ptgysx ??
? ? ? ? ???? tgyA ptgysxy ????
P
y
o
y
? ?
n
yf
xf
xy?
y?
x?
yx?
１、在边界上取楔形研究（单位厚度）
如图所示：
? yx
? y
? xy
? x
X
Y
A
BD
C
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
),c o s(
),c o s(
ynm
xnl
dsmDB
dslDA
dsAB
X
Y
n
ds
ml
XXml
dsmdslX
dsmdsldsX
yxx
yxx
xF
?
?
??????
??????
??????????
??
2
:
2
1
111
:,0
??
??
化简得
＝０
有由
对于三角形 ABD,当 ds?0时,则趋向于一点 (所研究的
点 )；此时，
—（２～１５）—
由同理
从而有
为应力的边界值 、其中 ,
则
?
?
?
?
?
??????
????
??
??
?
?
?
YlmF
Xml
ds
ml
X
s
xy
s
y
y
s
yx
s
x
s
yx
s
x
s
yxyx
s
xx
)()(0:
)()(:
)()(:)()(
:0
2
??
??
??????
o x
上面,l=0, m =-1
左面,右面：
l=-1 l=1
m =0 m =0
下面,l=0, m =1
y?
?
?
???
????
Y0m
X1l
sxy
sx
)(
)(
?
?
(1).左右两面：
2.特例 --边界面与坐标
轴平行时
(2).在上下两面,
??
???
????
???
X1m
Y0l
syx
sy
)(
)(
?
?
qlYX ??,0
qlY0X ???,
0Y
qlX
?
??
0?
?
Y
qlX
x
y
0ql
0ql
0ql
0ql
syxsy
syxsy
sxysx
sxysx
???
???
???
???
)(,)(:
)(,)(:
)(,)(:
)(,)(:
??
??
??
??
下
上
左
右
注,A.在边界上，应力分量的边界值等于对应的面力分量,且：
当边界的外法线沿坐标轴正向时，两者正负号相同,当
边界的外法线沿坐标轴负向时,两者正负号相反。
举例,
B.边界上的面力转变为应力分量其正负号规定,正面正向、
负面负向为正，其余为负。
qlYX ??,0
qlY0X ???,
0Y
qlX
?
??
0?
?
Y
qlX
x
y
0ql0ql
0ql0ql
syxsysxysx
syxsysxysx
??????
??????
)(,)(:)(,)(:
)(,)(:)(,)(:
????
????
下 左
上 右
三、混合边界条件：
1、在一部分边界上的位移分量为已知，另一部分边
界上应力分量已知。
2、在同一边界上，已知一个位移分量和一个应力分
量。
x
y
?
?
?
??
??
0v
0X
v s
sx
)(?
)( b图
x
y
o
)( aí?
0
0
??
??
Y
u
xy
su
?
[例 1]写出应力边界条件。液体比重 ?
解,1）右边界（ x=0）
0
0
0
?
??
?
?
xxy
xx
y
?
??
2）左边界（ x=ytg?）
? ?
? ?
?
?
?
?
s i n
)
2
c o s (,c o s
c o s,c o s
??
???
??
ynm
xn?
0,0 ?? YX
y
n
Ox
y?
?
?
y
Ox
y
y
?y
?n
由,? ? ? ?
? ? ? ? Ym
Xm
sysxy
sxysx
??
??
??
??
?
?
? ? ? ?
? ? ? ? 0s i nc o s
0s i nc o s
??
??
????
????
sysxy
sxysx?
§2~7.圣维南原理 (局部性原理 )
一,圣维南原理的叙述
1,如果把物体的一小部分边界上的面力以等效力系代
换，则在加载附近的的应力发生显著变化，而在稍远
处的影响可忽略不计，亦即与载荷在边界上的作用形
式无关。
2,如果物体在一小部分边界上的面力是一个平衡力系
（主矢及主矩均为零），则面力就只会使近处产生显著
的应力，远处的应力可忽略不计。
二, 圣维南原理的应用条件
1、必须用等效力系代替。
2、载荷区域必须比物体的最小尺寸为小（小边界上 )
P P
P
A
P
q ? q
)( a图
)( b图
)( c图
（ 1 ） 以 ( b ) 代 ( a ) 应力边界条件可以近似满足。
（ 2 ） 以 ( b ) 代 ( c ) 应力边界条件可以近似满足,但
位移边界条件不能完全满足。
举例
y
L
2h
2h
x
M
线性分布的边界力所形
成的力偶等于 M
由材力弯曲公式：
z
y
I
yM??
等效面力
0?
?
y
z
y
x
f
I
yM
f
2h
2h x
y
L
y 右端等效条件
? ?
? ? 0?
?
?
?
Lxxy
z
y
Lxx I
yM
?
?
静力等效边界条件,对于严格要求的条件在局部放松
y
L
2h
2h
x
M
线性分布的边界力所形
成的力偶等于 M
由材力弯曲公式,
z
y
I
yM??
等效面力
0?
?
y
z
y
x
f
I
yM
f
2h
2h x
y
L
y 右端等效条件
? ?
? ? 0?
?
?
?
Lxxy
z
y
Lxx I
yM
?
?
边界的积分式
自由端边界条件：
2h
2h
x
y
L P
? ?
? ?
? ? Pdy
yd y
dy
h
h
lx
xy
h
h lxx
h
h lxx
??
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
2
2
2
2
2
2
0
0
?
?
?
? ?
? ?
? ? 0
0
2
2
2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
dy
My d y
dy
h
h
lx
xy
h
h lxx
h
h lxx
?
?
?
Axd?
设中性轴为 z
y
z
1
[例 2]徐变截面杆承受轴向拉力。利用边界条件证明，横截面上，
除正应力 外，还有剪应力 。并确定边界上,
与 的关系。 xy
?y? xy?
y?
x?
)( yA
P
y ??
解,
? ?
? ? ?
?
s i n,co s
co s,co s
??
??
ynm
xnl
?
xy?
y?
x?
yx?
P
y
o
y
由
? ? ? ?
? ? ? ? y
sysxy
xsxysx
fm
fm
??
??
??
??
?
?
? ? ? ?
? ? ? ? 0s i nc o s
0s i nc o s
??
??
????
????
sysxy
syxsx
? ? ? ? ???? 22 tgyA ptgysx ??
? ? ? ? ???? tgyA ptgysxy ????
?
n
yf
xf
谢谢各位！
