第三章 平面问题的直角坐标解答
§3.1 逆解法与半逆解法 ·多项式解答
1.逆解法框图
选择应力函数 Φ
04 吗满足 ???
YES
求应力分量
NO
满足何边界条件？
YES
结论
NO
2.步骤（已知面力）
a）假设一个应力函数 Φ；
b）检查 Φ是否满足 04 ???
c）根据（ 2— 23）求应力分量 {??；
d）检查所求应力分量 {??能满足什
么样的应力边界条件（ 2-15） 边 。
一, 逆解法,
e)得出函数 Φ能解决何种问题
二,半逆解法：
1.半逆解法框图
由边界条件选择某
应力的函数式
04 吗满足 ???
YES
求应力分量
NO
满足边界条件吗?
YES
结论
NO
d）根据（ 2-23）求应力分量
{??
e）检查所求应力分量 {??是否
满足应力边界条件（ 2-15） 边 。
a）根据边界条件选择假
设某应力的函数式
积分求函数 Φ
2.步骤
b).对应力的函数式积分
求 应力函数 Φ
c）检查是 Φ 否满足 04 ???
f)得出问题的解
三,平面问题的多项式解答 (逆解法 )
（ 4）结论：线性函数对应于无荷载的情况，应力函数
Ф的线性项不影响应力分布，研究问题时可舍去。
（ 2）根据（ 2— 23）求出应力分量 {??；
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0
2
0
2
2
2
2
2
yx
ayf
x
xf
y
xy
yy
xx
?
?
?
1,一次函数 cbyax ???? 无体积力，考察其能解决的问题。
（ 1）检查 Φ是否满足
02 4422444 ?? ????? ???? ?? yyxx 能被满足
04 ???
（ 3）考察边界条件：无体力、无面力，
2,二次函数
（ 4）结论,Ф=ａ x2用来解 y向均匀拉伸
同理可知 Ф=ｃ y2用来解 x向均匀拉伸
（ 2）根据（ 2— 23）求出应力分量 {??；
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0
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0
2
2
2
2
2
yx
yf
x
xf
y
xy
yy
xx
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? 02 4
4
22
4
4
4 ?
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???
??
???
?
??
yyxx
能被满足
（ 1）检查 Φ是否满足 04 ???
（ 3）考察边界条件,0)),2) ???? sxysxysy af ???
考察其能解决的问题。2)1 ax??
（ 4）二次式解决的问题小结
能解决图（ a）的问题
考察其能解决的问题bx y??)3(
按照以上步骤很容易得到结果
应力分量 c
xyyx ???? ???,0,0
能满足的边界条件为
cff
cff
xcyyxycyy
ycxxyxcxx
?????
?????
??
??
..
..
),0)
),0)
??
??
2ax??对于
x
y
0
（ a）2a0;2;0 ??? xyyx a ???
能解决图（ｃ）的问题
能解决图（ｂ）的问题
对于 bx y??
对于 2cy??
bxyyx ???? ???,0;0
0;0;2 ??? xyyx c ???
（ｃ）
x
y
0
（ｂ）y
x0
2c
３．三次函数
2）根据（ 2— 23）求出应力分量 {??；
3ay??
（体力不计）考察它能解决什么问题
1）检查 Φ是否满足
02 4
4
22
4
4
4
?? ????? ???? ?? yyxx
带入计算后可以知道显然
满足相容方程
?
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??
??
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0
0
6
2
2
2
2
2
yx
yf
x
ayxf
y
xy
yy
xx
?
?
?
x
y L
2h
2h
0
3）根据应力边界条件（ 2-15） 边 确定相对应的面
力分量。
a）检查上、下边界（主边界）
2
hy ??
由,? ? ? ?
? ? ? ? y
sysxy
xsxysx
fm
fm
??
??
??
??
?
?
? ?
? ? xh
yxy
yhyy
f
f
?
?
??
??
2
2
?
?
0
0
?
?
x
y
f
f
说明上、下边界没有面力。
b）检查左、右边界（次边界）
0,0 ?? yx ff
由,? ? ? ?
? ? ? ? ysysxy
xsxysx
fm
fm
??
??
??
??
?
?
? ?
? ?
? ?
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yLxxy
xLxx
yxxy
xxx
f
f
f
f
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??
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0
0
1
1
0
6
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?
y
x
f
ayf
0
6
?
??
y
x
f
ayf
0 2
h
2h
x
y L
解决矩形截面梁纯弯曲问题
§3.2 矩形截面梁的纯弯曲
一, 计算模型 矩形截面梁，体力不计
考察两种情形：
1）宽度远小于深度
和长度（平面应力）
2）宽度远大于深度
和长度（平面应变）
取单位宽度梁研究：令单位宽度上力偶的矩为 M
注,M的量纲为 [力 ][长度 ]/[长度 ]=[力 ]）
1
y
z
h
M
0
L L
x
M
y
2h
2h
二, 求应力
3）根据（ 2— 23）求出应力分量 {??；
1）假设应力函数 Φ； 3ay??
2）检查 Φ是否满足（ 2-24） 容
02 4
4
22
4
4
4
?? ????? ???? ?? yyxx
显然满足
?
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??
?
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??
??
??
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??
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0
0
6
2
2
2
2
2
yx
yf
x
ayxf
y
xy
yy
xx
?
?
?
三, 边界条件
检查所求应力分量 {??是否满足应力边界
条件（ 2-15） 边 。（并求待定常数）
1）检查上、下边界（主边界）,
2
hy ??
? ? ? ?
? ? ? ? y
sysxy
xsxysx
fm
fm
??
??
??
??
?
?
? ?
? ? xh
yxy
yhyy
f
f
?
?
??
??
2
2
?
?
00
00
?
? 准确满足
b）检查左、右边界（次边界） Lx ??
? ? 0???? xLxxy f? 满足
1,0 ??? ml
0,1,??? ml
要求当 时Lx ??
? ?
? ?
? ? 0
0
2
2
2
2
2
2
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dy
My d y
dy
h
h
Lx
xy
h
h Lxx
h
h Lxx
?
?
?
? ?
? ?
? ? 0
2
1
6
06
2
2
32
2
22
2
2
2
2
2
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???
??
?
??
??
?
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?
?? ??
?? ??
dy
Mahdyayyd y
dyaydy
h
h
Lxxy
h
h
h
h Lxx
h
h
h
h Lxx
?
?
?
满足
满足
L
y
0 x
L
四, 定常数
由于法向面力分布规律未知，根据圣维南原理，采
用等效代换，做到近似满足。 要求当 时Lx ??
? ?
? ?
? ? 0
0
2
2
2
2
2
2
?
?
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dy
My d y
dy
h
h
Lx
xy
h
h Lxx
h
h Lxx
?
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2
1
6
06
2
2
32
2
22
2
2
2
2
2
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???
??
?
??
??
?
??
?
?? ??
?? ??
dy
Mahdyayyd y
dyaydy
h
h
Lxxy
h
h
h
h Lxx
h
h
h
h Lxx
?
?
?
满足
满足
L
y
0 x
L
由第二式解出：
3
2
h
Ma ?
故所求应力分量,
yIMhMyyhMayx ????? 3
12
13
266?
0
0
?
?
xy
y
?
?
（ 3— 1）
与材力完全相同
关于 M的符号规定：
组成 M的应力分量随坐标的增大
而增加时,M为, +”，反之为, -” 随坐标 y的增大而增加
y
x?
分布规律
x?
? M
注：
1）组成梁端力偶的面力必须按线性分布，
解答（ 3-1）才是完全精确的。若按其它形
式分布（ 3-1）有误差。（即解答为圣维南
原理意义下的精确解）。
2）由圣维南原理，不同的面力分布形式，
解答只在两端有误差。（对于 L>>h的梁）
离两端较远处，解答是是有实用价值的。
对于 L与 h尺寸差不多的梁，（ 3-1）则无
实用价值（用简单多项式不能获得有用
解答）
§3-3 纯弯曲梁的位移
一,求应变分量：
由物理方程
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0?
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xy
y
x
y
EI
M
y
EI
M
） 　（ 122
1
)(
1
)(
1
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??
??
??
????
????
xyxy
xyy
yxx
G
E
E
二, 求位移分量,
用几何方程积分 ）（ 3~2??
?
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y
u
x
v
y
v
x
u
xy
y
x
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0
y
u
x
v
y
EI
M
y
v
y
EI
M
x
u
xy
y
x
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?
⑴
⑵
⑶
由 (1),(2)积分,? ?
? ?xfy
EI
M
v
yfyx
EI
M
u
2
2
1
???
??
?
u,v必须满足⑶式
x
v
y
u
?
??
?
?
将 u,v代入 ? ? ? ?
dx
xdf
dy
ydfx
EI
M 21 ???
改写为,? ? ? ?
dy
ydf
dx
xdfx
EI
M 12 ???
要使上式成立，必有
? ? ???
dx
xdfx
EI
M 2
? ? ???
dy
ydf 1
?为常量
? ?
? ??
?
?
?
?
????
???
0
2
2
01
2
vxx
EI
Mxf
uyyf
?
?其中 u0,v0为常量
故：
其中 ?,u0,v0为常数，须由约束条件求出
0
22
0
22
vxx
EI
M
y
EI
M
v
uyxy
EI
M
u
?????
???
?
?
?
讨论：
1,证明平面假设是正确的
x
y
α
θ由
ouyxyEI
Mu ??? ?
无论约束情况如何（即 ?,uo,vo
取何值）铅垂线段的转角
?? ????? xEIMyu 对于同一截面,x为常量
α也为常量，即横截面保持平面
2、梁的各纵向纤维的曲率
由
0
22
22 vxxEI
My
EI
Mv ????? ??
小变形时
EI
M
x
v ?
?
???
2
21
?
与材力结果一致
三, 满足约束条件
1）简支梁
按约束确定位移中待定常数
L
y
x
代入位移条件后得,L
EI
Mvu
2;0;0 00 ??? ?
位移分量,
0
22
0
22
vxx
EI
M
y
EI
M
v
uyxy
EI
M
u
?????
???
?
?
?
梁的挠曲线方程,xxL
EI
Mv
y )(2| 0 ???
由约束条件
0|
0
?
??y Lx
v
0|
00
?
??yx
u
0|
00
?
??yx
v
2
2
)(
2
)
2
(
y
EI
M
xxL
EI
M
v
y
L
x
EI
M
u
?
???
?? （ 3— 3）
2）悬臂梁
（ 1）假设右端截面中点 A无位
移且过该点的截面法线不转动
x
y
L
0
22
0
22
vxx
EI
M
y
EI
M
v
uyxy
EI
M
u
?????
???
?
?
?
在梁右端（ x=L）：
对于 y的任何值 ?
?
??
?
? ???
22
hyh
要求, 0?u 0?v
无法满足（多项式解答），在工程实际中难以实现。
端部两种约束：设某一点不移动，某一条线段不转动 。
0|
0
?
?
?
y
Lxu 0|
0
?
?
?
y
Lxv
0
0
??
?
??
?
?
?
?
?
?
y
Lxx
v
o o1 dx x
y
A
以（ 1）为例研究,
0|
0
?
?
?
y
Lxu
0|
0
?
??y Lx
v 0
0
??
?
??
?
?
?
?
?
?
y
Lxx
v
代入后,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
?
0
0
2
0
0
2
0
?
?
EI
ML
vL
EI
ML
u
22
2
)(
2
)(
y
EI
M
xL
EI
M
v
yxL
EI
M
u
?
????
???
位移分量：
o dy
y
xA
EI
ML
EI
ML
vu
?
???
?
2;0
2
00
梁轴线的挠度方程,2
0 )(2| xLEI
Mv
y ????
转角方程,)(|
0 xLEI
M
dx
dv
y ??? ??
注,1)对于平面应变问题：
?
??
? ?????? 1,1 2
EE
2)若以 0| 0 ???y Lxu 0|
0
?
?
?
y
Lxv
0
0
???
?
?
???
?
?
?
?
?
y
Lxy
u
代入，确定为移分量，结果如何？请同学们
自己推出。
作业,pp49 3-3,3-4
Thank Everybody !