逆解法框图
由边界条件选择某
应力的函数式
04 吗满足 ???
YES
求应力分量
NO
满足边界条件吗?
YES
结论
NO
积分求函数 Φ
§3-4 简支梁受均布荷载
解：用半逆解法
q
0 x
y
L L
2h
2h
矩形截面简支梁，体
力不计，求应力分量
由材力知,
?
?
?
?
?
?
?
?
Q
q
M
xy
y
x
?
?
?
（ 1） 根据上、下边界
处的法向分布面力，假
设 为某种函数 ；并
求 应力函数 Φ；y?
由上、下边界的面力：
? ? 0
2
?? hyy? ? ? qhyy ????
2
?
由于 q沿 x轴不变化，与 x无关，故可假设
)( yfy ??
也与 x无关
则 )(
2
2
yfxy ?? ????
? ?yfxyfx 1)( ?????
? ? ? ?yfxyfxyf 212)(21 ?????
其中,? ? ? ?yfyfyf 21,),( 为待定函数
（ a）
02 4
4
22
4
4
4
?? ????? ???? ?? yyxx;04
4
?? ?? x
? ?
2
2
22
4
dy
yfd
yx ???
??
? ? ? ? ? ?
4
2
4
4
1
4
4
42
4
4
2 dy
yfd
dy
yfdx
dy
yfdx
y ????
??
? ? ? ? ? ? ? ? 02
2 2
2
4
2
4
4
1
4
2
4
4
???? dy yfddy yfdxdy yfdxdy yfd
（ 2-24） 容
代入（ 2-24） 容
（ 2） Φ必须 满足相容方程, 据此求待定函数
02 4
4
22
4
4
4
?? ????? ???? ?? yyxx;04
4
?? ?? x
? ?
2
2
22
4
dy
yfd
yx ???
??
? ? ? ? ? ?
4
2
4
4
1
4
4
42
4
4
2 dy
yfd
dy
yfdx
dy
yfdx
y ????
??
? ? ? ? ? ? ? ? 02
2 2
2
4
2
4
4
1
4
2
4
4
???? dy yfddy yfdxdy yfdxdy yfd
（ 2-24） 容
代入（ 2-24） 容
上述方程为 x的二次多项式，要求全梁范
围内无论 x取何值均成立，只有：
二次项系数
一次项系数
零次项
? ? 0
4
1
4
?dy yfd
? ? 0
4
4
?dy yfd
? ? ? ? 02
2
2
4
2
4
?? dy yfddy yfd
（ 1）
（ 2）
（ 3）
由（ 1）、（ 2）式：
DCyByAyyf ???? 23)(
)()( 231 常数项???? GyFyEyyf
由（ 3）式,
? ? ? ? BAy
dy
yfd
dy
yfd 4122
2
2
4
2
4
?????
)()(
610
)( 23452
常数项一次项 ??
?????? KyHyyByAyf
故, ? ?
? ?
2345
23
23
2
610
2
),(
KyHyy
B
y
A
GyFyEyx
DcyByAy
x
yx
????
???
?????
（ b）
（ 3）根据（ 2— 23）求出应力分量 {??；
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
??
??
??
????
?
??
?
????
????
?
??
?
)23(
23
2622
)26()26(
2
2
2
2
23
2
2
23
2
2
2
GFyEy
cByAyx
yx
DCyByAy
x
KHyByAy
FEyxBAy
x
y
xy
y
x
?
?
?
（ c）
（ d）
（ e）
上述应力分量满足平衡微分方程及相容方程，只
要选择适当的系数 A,B… K常数，使所有边界条
件满足，则（ c）, （ d）、（ e）为正确解答。
（ 3）根据（ 2— 23）求出应力分量 {??；
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
??
??
??
????
?
??
?
????
????
?
??
?
)23(
23
2622
)26()26(
2
2
2
2
23
2
2
23
2
2
2
GFyEy
cByAyx
yx
DCyByAy
x
KHyByAy
FEyxBAy
x
y
xy
y
x
?
?
?
（ c）
（ d）
（ e）
[求待定系数前的观察与简化 ]—— 对称分析
该问题：关于 y轴 结
构对称、荷载对称
x-x
x
y
o
在对称位置
上的单元体
必具有：
对称的变形
状态
对称的应力
状态
A' A
由上图可见：
? ? ? ?yxyx xx,,?? ??
? ? ? ?yxyx yy,,?? ??
? ? ? ?yxyx xyxy,,??? ??
由应力分量的正、负号规定可
知，对称的应力状态，正应力
具有相同的符号，剪应力具有
相反的符号 。
故 ?x,?y应是 x的偶函数（对称）
?xy应是 x的奇函数（反称）
由（ 2— 23）
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
??
?
?
??
?
?
?
??
?
yx
Yy
x
Xx
y
xy
y
x
2
2
2
2
2
?
?
?
可看出应力函数
Φ应为 x的偶函数 。
由（ b）式
? ?
? ?
2345
23
23
2
610
2
),(
KyHyy
B
y
A
GyFyEyx
DcyByAy
x
yx
????
???
?????
要使 Ф（ x,y）为 x的偶函数，必须
023 ??? GyFyEy 在全梁内处处成立
4）检查应力分量是否满足应力边界条件
（求待定系数）
代回应力分量表达式（ c）、（ d）、（ e）
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
??
????
?
??
?
???
???
?
??
?
cByAyx
yx
DCyByAy
x
KHyBy
AyBAy
x
y
xy
y
x
23
262
2)26(
2
2
2
23
2
2
2
3
2
2
2
?
?
?
只要,E=F=G=0
qL
qL
L L
y
0 x2h
2h
q
a）考察上、下边界（主边界）
2
hy ??
? ?
? ? 0
2
2
?
??
??
??
h
yxy
h
yy
q
?
?
上边界：
下边界：
? ?
? ? 0
0
2
2
?
?
?
?
h
yxy
h
yy
?
?
0)
4
3
(
248
2
23
????
??????
cBhAhx
qDC
h
B
h
A
h
0)
4
3
(
0
248
2
23
????
????
cBhAhx
DC
h
B
h
A
h
联立求解得：
2,2
3,0,2
3
qD
h
qCB
h
qA ??????
故应力分量：
b）再考察左、右边界（次边界）
Lx ??
由于已考虑了对称关系，只需考察一个边界
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
?????
x
h
q
xy
h
q
q
y
h
q
y
h
q
KHyy
h
q
yx
h
q
xy
y
x
2
36
22
32
26
46
2
3
3
3
3
3
2
3
?
?
?
（ f）
（ g）
（ h）
由于右边界上没有
水平面力，要求：
考察右边界
Lx?
? ? 0
22
?
???
?
hyh
Lxx
?
显然不能满足
02646 3323 ??????? KHyyh qyLh qLxx?
即：在 内
22
hyh ??
根据圣维南原理，可采用等效力系代换做到近似满足
qL
qL
L L
y
0 x2h
2h
q
只须要求,
将（ f）式代入（ 4）
? ?
? ? 0
0
2
2
2
2
?
?
?
?
? ?
? ?
y d y
dy
h
h Lxx
h
h Lxx
?
? （ 4）
（ 5）
? ? ??? ? dy
h
h Lxx
2
2
? 026462
2
3
3
2
3 ???
??
?
? ?????
?
dyKHyyh qyLh q
h
h
? ? ??? ? dyy
h
h Lxx
2
2
? 026462
2
3
3
2
3 ???
??
?
? ?????
?
y dyKHyyh qyLh q
h
h
积分后,K=0
将（ f）式代入（ 4）
积分后：
h
q
h
qLH
103
2
??
由于切向面力 qL的分布规律未知，故根据圣维南
原理，采用等效代换，做到近似满足，只要
将（ h）式代入
qLdyLhqLyh q
h
h ????
??
?
? ??
?
2
2
2
3 2
36? ?
??? ? dy
h
h Lxxy
2
2
?
该式自然满足
? ? qLdyhh Lxxy ???? ?2
2
?
（取负号是由于面力 qL与 y相反）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
????
)
4
(
6
)
2
1)(1(
2
)
5
3
4()(
6
2
2
3
2
2
2
22
3
y
h
x
h
q
h
y
h
yq
h
y
h
y
qyxL
h
q
xy
y
x
?
?
?K=0
h
q
h
qLH
103
2
??
将所求 代回（ f）、（ g）、（ h）
应力分量：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
???
I
QS
h
y
h
yq
h
y
h
y
qy
I
M
xy
y
x
*
2
2
2
)
2
1(1
2
5
3
4
?
?
?
（ 3— 6）
注意到材力的表达方式：
qLQxL
q
M
yh
ShI
????
???
),(
2
28
,
12
1
22
22
*3
5）通过几何方程、物理方程及两端位移约束条件，
可确定位移分量
0|
0
?
???y Lx
u 0|
0
?
? ??y Lx
v
挠曲线方程：
?
?
?
?
????
?????
12
)
1243
1
(
)
103
2
()
3
(
2
332
3
2
3
3
2
Lhh
y
h
yx
xy
h
yy
x
xL
EI
q
u
??
)]
25
4
(
5
3
1[
24
5
4
)
2
1(
201222
]
2062
)[(
128122
2
24
2
2
2
2422
2
222
22
3
2
24
??
?
???
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
????
??
?
?
?
?
L
h
EI
qL
x
h
x
hxxL
EI
q
y
hyy
xL
y
h
y
hy
EI
q
v
?
?
?????
?
?
??????
?
2
2
2
2422
2
24
0 4)21(201222)]25
4(
5
31[
24
5| xhxhxxL
EI
q
L
h
EI
qLv
y
??
与材力的结果比较：
材力解 弹力附加项（修正项）
yIMx ?? ???
?
???
? ??
5
34
2
2
h
y
h
yq
0?y? 2)
21(1
2 h
y
h
yq ??
?
??
?
? ??
I
QS
xy
*
??
0|
0
?
?
?
y
Lxu
EI
qLv
y
x 24
5| 4
0
0 ??
?
? )
25
4(
5
3
24
5
2
24 ?
??? LhEIqL
EI
qL??
与材力的结果比较
材力解 弹力附加项（修正项）
yIMx ?? ???
?
???
? ??
5
34
2
2
h
y
h
yq
0?y? 2)
21(1
2 h
y
h
yq ??
?
??
?
? ??
I
QS
xy
*
??
0|
0
?
?
?
y
Lxu
EI
qLv
y
x 24
5| 4
0
0 ??
?
? )
25
4(
5
3
24
5
2
24 ?
??? LhEIqL
EI
qL??
x? ? y?
q
q材力
弹力
L
h
2
%100
215
4
2
2
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
L
h
h
y
x
x
x
主
附
?
?
? ?
? ?
%100
215
4
1
23
4
2
2
2
0
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
L
h
L
h
h
y
x
x
h
yy
?
?
%100
25
4
25
12
2
0
0
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
L
h
v
v
y
x
主
附
? ?
? ?
%100
25
16
3
0
0
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
L
h
v
u
y
x
y
Lx
?
主
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.267
1.067
2.4
4.267
6.667
1.330
5.277
11.719
20.460
31.249
2.28
9.12
20.52
36.48
57
0.096
0.768
2.592
6.144
12
表中可看出：当 2.0
2 ?L
h 时材力解足够精确；当 3.02 ?Lh 时 ?y，
v附 已不可忽视，其解答应由弹力按多项式求解。当 4.0
2 ?L
h
时弹力多项式解也已不准确（因两边用了等效条件）。
作业,3-9,3-10
Thank Everybody !