青岛科技大学 大学物理讲义
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任一物理量在某一定值附近往复变化均称为 振动,
机械振动 物体围绕一固定位置往复运动,
其运动形式有直线、平面和空间振动,
周期和非周期振动
谐振子 作简谐运动的物体,
简谐运动 复杂振动合成分解
一 振动 (vibration)
简谐运动 最简单、最基本的振动,
(simple harmonic motion) a x x?? ? ?&&
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kl0
x
m
oA? A
二 弹簧 (spring)振子 (vibrator)的振动
00 ?? Fx
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makxF ???
x
t
x 2
2
2
d
d ???
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xa 2??? )s i n (d
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xv
)c o s (
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d 2
2
2
??? ???? tA
t
xa
积分常数，根据初始条件确定
)cos( ?? ?? tAx
x
x
F? m
o
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tx? 图
t?v 图
ta? 图
T
?A
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x
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t
t
A
A?
o
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T
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0??取
)
2
πc o s ( ??? ??? tA
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s i n ( )x A t? ? ?? ? ? ?v &
2 c o s ( )a x A t? ? ?? ? ? ?&&
21 2tt? ? ???
21
2 πT t t
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)c o s ( ?? ?? tAx
三 振幅,周期和频率
m a xxA ?
k
mT π2?
弹簧振子周期
?
π2?T周期
])(c o s [ ?? ??? TtA
周期和频率仅与振动系
统 本身 的物理性质有关
注意
tx? 图
A
A?
x
T
2
T
t
o
(amplitude,period,frequency)
频率
1
2T
??
?
??
T
π2π2 ?? ??圆频率
角频率 (angular frequency)
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)s i n ( ??? ??? tAv
)c o s ( ?? ?? tAx
1） 存在一一对应的关系 ;),( vxt ?? ??
π2~02） 相位在 内变化，质点 无相同 的运动状态；
四 相位 (phase) ?? ?t
3）初 相位 描述质点 初始 时刻的运动状态, )0( ?t?
) (π2 nn相差 为整数 质点运动状态 全同,（ 周期性）
π]20[π]π[ ????( 取 或 )
tx? 图
A
A?
x
T
2
T
t
o
简谐运动中,和
间不存在一一对应的关系,
x v v?
v?
v?
v?
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2
2
02
0 ?
v?? xA
0
0t a n
x?
? v??
五 常数 和 的确定A ?
000 vv ??? xxt
初始条件
?c o s0 Ax ?
?? s i n0 A??v
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，
振幅和初相由初始条件决定,
)s i n ( ??? ??? tAv
)c o s ( ?? ?? tAx
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?c o s0 A?
2
π ???
0s i n0 ??? ??Av?
2
π 0s i n ??? ?? 取
0,0,0 ??? vxt
已知 求 ?讨论
x
v?
o
)
2
π c o s ( ?? tAx ?
A
A?
x
T
2
T
t
o
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xo
?
?
A?
?c o s0 Ax ?
当 时0?t
0x
六 旋转矢量 (rotating vector)
考虑做匀速圆周运动物体的位置矢量
任意时刻 t
初始时刻
???
0 c o sxA ??
t? ? ???
c o s ( )x A t??
位置矢量的 分量x
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)cos( ?? ?? tAx
旋转
矢量 的
端点在
轴上的投
影点的运
动为简谐
运动,
x
A?
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?A?mv
)2π c o s ( ??? ??? tAv
)c o s (2 ??? ??? tAa
2
n ?Aa ?
2
π ?? ?? t
mv
?
v?
?
x
y
0
A?
?? ?t
)c o s ( ?? ?? tAx
na
?
a?
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（旋转矢量旋转一周所需的时间）
?π2?T
用旋转矢量图画简谐运动的 图tx?
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A
A?
x
2A t
o
a
b
x
AA? 0
七 相位差 (phase difference)
1） 对 同一 简谐运动，相位差可以给出两运动状
态间变化所需的时间, )()(
12 ????? ????? tt
)c o s ( 1 ?? ?? tAx
)c o s ( 2 ?? ?? tAx ?
??????
12 ttt
at
?
3
π ??? TTt
6
1
π2
3π ???
??
v? 2
A
bt
两个简谐运动相位之差
求 b,a之间
的时间差
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0???
x
to
同步
2） 对于两个 同 频率 的简谐运动，相位差表示它
们间 步调 上的 差异,（解决振动合成问题）
)c o s ( 111 ?? ?? tAx )c o s ( 222 ?? ?? tAx
)()( 12 ????? ????? tt
12 ??? ???
x
to
?? 为其它
超前
落后
t
x
o
π???? 反相
????
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例 1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹
簧的劲度系数,物体的质量,
（ 1） 把物体从平衡位置向右拉到 处停
下后再释放，求简谐运动方程；
1mN72.0 ???k g20?m
m05.0?x
m05.0?x
10 sm30.0 ???v
（ 3） 如果物体在 处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度,求其运动方程,
2
A（ 2） 求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；
m/x
o
0.05
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o x
解 （ 1）
1
1
s0.6
kg02.0
mN72.0 ?? ????
m
k?
m05.002
2
02
0 ???? xxA ?
v
0t a n
0
0 ???
x?
? v
π 0 或??
A
由旋转矢量图可知
0??
)cos( ?? ?? tAx ])s0.6co s [ ()m05.0( 1 t??
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o xA
2
A
?
解 )cos( ?? ?? tAx
)c o s ( tA ??
2
1)c o s ( ??
A
xt?
3
π 5
3
π 或?t?
A
3
π?t?由旋转矢量图可知
tA ?? s i n??v
1sm26.0 ???? （负号表示速度沿 轴负方向）Ox
2
A（ 2） 求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；
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解
m0707.02
2
02
0 ??? ?
vxA ＇
1t a n
0
0 ????
x?
? v＇
4
π 3
4
π 或＇ ???
o x
＇A ?
4π?
)cos( ?? ?? tAx
]
4
π)s0.6c o s [ ()m0 7 0 7.0( 1 ?? ? t
m05.0?x
10 sm30.0 ???v
（ 3） 如果物体在 处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度,求其运动方程,
因为,由旋转矢量图可知 4π??＇?00 ?v
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例 2 一质量为 的物体作简谐运动，其振
幅为,周期为,起始时刻物体在kg01.0m08.0 s4 ?x m04.0
处，向 轴负方向运动（如图）,试求Ox
（ 1） 时，物体所处的位置和所受的力；s0.1?t
o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
v
解 m08.0?A
1s
2
ππ2 ???
T
?
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o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
3
π0 ??? ?
0v?
m04.0,0 ?? xt 代入 )cos( ?? ?? tAx
?c o s)m08.0(m04.0 ?
3
π???
A
?
3π
]
3
π)s
2
πc o s [ ()m08.0( 1 ?? ? tx
m08.0?A 1
s
2
ππ2 ???
T
?
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o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
v
]
3
π)s
2
πc o s [ ()m08.0( 1 ?? ? tx
s0.1?t 代入上式得 m0 6 9.0??x
xmkxF 2?????
)m0 6 9.0()s2π)(kg01.0( 21 ??? ?N1070.1 3???
kg01.0?m
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o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
v
（ 2） 由起始位置运动到 处所需要
的最短时间,
m04.0??x
解法一 设由起始位置运动到 处所
需要的最短时间为
m04.0??x
t
]3π)s2πc o s [ ()m08.0(m04.0 1 ??? ? t
s
2π
3
π
)
2
1
(a rc c o s ??
?t
s6 6 7.0s32 ??
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o08.0? 04.0? 04.0 08.0
m/x
解法二
?
3π3π
起始时刻时刻t
t?
3
π?t? s667.0s
3
2 ??t
1s
2
π ???