青岛科技大学 大学物理讲义
青岛科技大学 大学物理讲义
考虑横波的波函数
c os[ ( ) ]xy A t
u
??? ? ?
一 波动能量的传播
波形图
A
A?
y
o x
某一体积元 (即某点附近一很
小的体积 )在某时的振动速度
sin [ ( ) ]yxAttu? ? ?? ? ? ? ??
? ? ? ?22k 11d d d22E m V??? vv
2 2 21 d sin [ ( ) ]
2
xV A t? ? ? ?? ? ?
u
什么地方动能最大？
()
2
xtn ?? ? ?? ? ? ?
u
体积元在平衡位
置处振动速率最
大，动能也最大
该体积元 振动的动能为dV
青岛科技大学 大学物理讲义
体积元势能的来源,一体积
元与相邻体积元有相对位移
而产生的弹性回复力
波形图
A
A?
y
o x
忽略纵向形变和重力等其它力
的影响，某点附近形变率为
sin [ ( ) ]yxAt
x u u
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?
Gu
?
?波速
切变模量
2Gu??
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弹性回复力
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2
221 1 dd ( d ) ( d )
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x
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d
d
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d
2d
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x
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2 2 21 d sin [ ( ) ]
2
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u
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S,体积元侧面与
介质接触的面积
青岛科技大学 大学物理讲义
什么地方势能最大？
()
2
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u
体积元在平衡位置处切向
形变最大，势能也最大
结论
1） 在波动传播的媒质中，某一时刻任一体积元的动能
和势能相等
2 2 21 d sin [ ( ) ]
2
xV A t? ? ? ?? ? ?
uddkpEE?
机械能 2 2 2d d sin [ ( ) ]
xE V A t? ? ? ?? ? ?
u
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2） 体积元的机械能均随 作周期性变化，且变化是
同相位的,xt
3） 体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最
大
4） 体积元的位移最大时，动能、势能和总机械能均为
零5） 任一体积元的运动和形变都影响相邻的体积元的运
动和形变，即该体积元对外作功，所以体积元的机械能
不守恒
6） 任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地
传播能量
7） 波动是能量传递的一种方式
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能量密度 (energy density)：
单位体积介质中的波动能量
2 2 2d sin [ ( ) ]
d
Exw A t
V
? ? ? ?? ? ? ?
u
平均能量密度 (mean energy density)：
22
0 2
1d1 Atw
T
w
T
???? ?
能量密度在一个周期内的平均值
青岛科技大学 大学物理讲义
二 波的 能流 和 能流密度
? 能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量,
? 平均能流：
SuwP ?
uwSPI ??
? 能流密度 ( 波的强度 ),
通过垂直于波传播方向的单
位面积的平均能流,
I
udt S
u?
uAI 2221 ???
energy flux energy flux density
青岛科技大学 大学物理讲义
例 1 证明球面波的振幅
与离开其波源的距离成反比，
并求球面简谐波的波函数,
证 介质无吸收，通过
两个球面的平均能流相等,
1s2s
1r
2r
1
2
2
1
r
r
A
A ? )(c o s00
u
rt
r
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2
2
22
2
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1
22
1 π42
1π4
2
1 ruAruA ???? ?即
式中 为离开波源的距离,为 处的振幅,r
0rr ?0A
1 1 2 2w u S w u S?
青岛科技大学 大学物理讲义
球
面
波
平
面
波
介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波
的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是
新的波前,
三 惠更斯原理 (Huygens principle)
O
1R
2R
tu?
青岛科技大学 大学物理讲义
波
的
衍
射
水
波
通
过
狭
缝
后
的
衍
射
波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物
的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播,
四 波的衍射 (diffraction)
青岛科技大学 大学物理讲义
N
界面
五 波的反射 (reflection)和折射 (refraction)
R
I i 'i
r
L
用惠更斯原理证明,
2）
1） 反射线、入射线和界面
的法线在同一平面内；
'ii ?
反射定律
i i
i
A1
A2 A3
B2 B3B1
NN
A
I d
时刻 t
B2 B3B1
NN
A
I
B
32d
d
3d
L
i?
i?
i?
时刻 t+△ t
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波的折射
用惠更斯原理证明,
时刻 t
i i
i
A1
A2 A3
B2 B3B1
NN
A
I d Ⅰ
Ⅱ
1） 折射线、入射线和界
面的法线在同一平面内；
2
1
s in
s in
u
u
r
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N
界面
R
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时刻 t+△ t
Ⅰ
Ⅱ
B2 B3B1
NN
A
I
r rB
R
r
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i
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A2 A3
B2 B3B1
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Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
时刻 t 时刻 t+△ t
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B2 B3B1
NN
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3
2
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考虑横波的波函数
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一 波动能量的传播
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小的体积 )在某时的振动速度
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大，动能也最大
该体积元 振动的动能为dV
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体积元势能的来源,一体积
元与相邻体积元有相对位移
而产生的弹性回复力
波形图
A
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忽略纵向形变和重力等其它力
的影响，某点附近形变率为
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弹性回复力
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S,体积元侧面与
介质接触的面积
青岛科技大学 大学物理讲义
什么地方势能最大？
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形变最大，势能也最大
结论
1） 在波动传播的媒质中，某一时刻任一体积元的动能
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青岛科技大学 大学物理讲义
2） 体积元的机械能均随 作周期性变化，且变化是
同相位的,xt
3） 体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最
大
4） 体积元的位移最大时，动能、势能和总机械能均为
零5） 任一体积元的运动和形变都影响相邻的体积元的运
动和形变，即该体积元对外作功，所以体积元的机械能
不守恒
6） 任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地
传播能量
7） 波动是能量传递的一种方式
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能量密度 (energy density)：
单位体积介质中的波动能量
2 2 2d sin [ ( ) ]
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V
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平均能量密度 (mean energy density)：
22
0 2
1d1 Atw
T
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能量密度在一个周期内的平均值
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二 波的 能流 和 能流密度
? 能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量,
? 平均能流：
SuwP ?
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? 能流密度 ( 波的强度 ),
通过垂直于波传播方向的单
位面积的平均能流,
I
udt S
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例 1 证明球面波的振幅
与离开其波源的距离成反比，
并求球面简谐波的波函数,
证 介质无吸收，通过
两个球面的平均能流相等,
1s2s
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1
2
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2
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式中 为离开波源的距离,为 处的振幅,r
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1 1 2 2w u S w u S?
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球
面
波
平
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波
介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波
的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是
新的波前,
三 惠更斯原理 (Huygens principle)
O
1R
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波
的
衍
射
水
波
通
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狭
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后
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波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物
的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播,
四 波的衍射 (diffraction)
青岛科技大学 大学物理讲义
N
界面
五 波的反射 (reflection)和折射 (refraction)
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I i 'i
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用惠更斯原理证明,
2）
1） 反射线、入射线和界面
的法线在同一平面内；
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反射定律
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用惠更斯原理证明,
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Ⅱ
1） 折射线、入射线和界
面的法线在同一平面内；
2
1
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