线性代数模拟试题 (五) 试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。 第一部分 选择题 （共20分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．对任意n阶方阵A、B总有（ ） A.AB=BA B.|AB|=|BA| C.(AB)T=ATBT D.(AB)2=A2B2 2．在下列矩阵中，可逆的是（ ） A. B. C. D. 3．设A是3阶方阵，且|A|=-2，则|A-1|等于（ ） A.-2 B. C. D.2 4．设A是矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（ ） A.A的行向量组线性无关 B.A的行向量组线性相关 C.A的列向量组线性无关 D.A的列向量组线性无关 5．设有m维向量组(I)：，则（ ） A.当m<n时，(I)一定线性相关 B.当m>n时，(I)一定线性相关 C.当m<n时，(I)一定线性无关 D.当m>n时，(I)一定线性相关 6．已知、是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，、是其导出组Ax=0的一个基础解系，k1、k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解可表成（ ） A. B. C. D. 7．设n阶可逆矩阵A有一个特征值为2，对应的特征向量为x，则下列等式中不正确的是（ ） A.Ax=2x B.A-1x=x C.A-1x=2x D. A2x=4x 8．设矩阵A=的秩为2，则=（ ） A.2 B.1 C.0 D.-1 9．二次型的矩阵是（ ） A. B. C. D. 10．二次型是（ ） A.正定的 B.半正定的 C.负定的 D.不定的 第二部分 非选择题 （共80分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11．行列式的值为 . 12．设向量，则它的单位向量为 . 13．设则 . 14．向量组的秩为 . 15．设mn矩阵A的m个行向量线性无关，则矩阵AT的秩为 . 16．若线性方程组无解，则= . 17．设2阶方阵，其中均为2维列向量，且|A|=|B|=1，则|A+B|= . 18．设矩阵，则A的全部特征值为 . 19．设P为n阶正交矩阵，、为n维列向量，（），则= . 20．设二次型的正惯性指数为p，负惯性指数为q，则p-q= . 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 21．设向量，求. 22．设A=，矩阵X满足方程AX+E=A2+X，求矩阵X. 23．当t取何值时，向量组(1,2,-1,1)T，(2,0,t,0)T，(0,-4,5,-2)T线性相关？ 24．求下列矩阵的秩 A= 25．设矩阵，矩阵A由矩阵方程确定，试求. 26．求线性方程组的通解. （要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）. 27．设3阶方阵A的三个特征值为，A的属于的特征向量依次为，求方阵A. 28．设为正定二次型，试确定实数a的最大取值范围. 四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 29．设矩阵A可逆，证明（A*）-1=|A-1|A. 30．设向量可由向量组线性表示.试证明：线性表示法唯一的充分必要条件是线性无关.