第八章 二次型
在解析几何中，为了便于研究二次曲线
0
2
2212
2
11 2 ayaxyaxa ???
的几何性质，我们往往选择适当的坐标旋转变换
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??
c o ss in
s inc o s
''
''
yxy
yxx
把曲线方程（ 8.1）化为标准形
)( 0'0'02''222''11 aaayaxa ???
方程（ 8.1）的左边是关于变量 yx,的一个二次齐
次多项式，从代数学的观点看，所谓化为标准形就是
通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式，使它
只含变量的平方项．在二次曲面的研究中也有类似的
情形，在许多理论和实际问题中也常常会遇到这类问
题．现在我们讨论 n 个变量的二次齐次多项式的化
简问题,
§ 1 二次型
一、二次型的概念
二、二次型的矩阵表示
一、二次型的概念
定义 8.1 含有 n 个变量 nxxx,,,21 ? 的二次齐次
?????? nnn xxaxxaxxaxaxxxf 1131132112211121 222),,,( ??
???? nn xxaxxaxa 2232232222 22 ?
?
?? ????? nnnnnnn xxaxa 112 111,2,
2nnnxa
（ 8.2）
称为一个 n
多项式
元二次型,
当系数
ija
为复数时,),,,( 21 nxxxf ? 称为复二次型；当系数
ija 为实数时，称 ),,,( 21 nxxxf ? 为实二次型．这里我们只讨
论实二次型,
在（ 8.2）式中，取
jiij aa ?,那么 ijjijiijjiij xxaxxaxxa ??2
于是（ 8.2）式可写成
?????? nnn xxaxxaxxaxaxxxf 1131132112211121 ),,,( ??
??
? ????? nn xxaxxaxaxxa 22322322221221
2332211 nnnnnnnnn xaxxaxxaxxa ???? ?
（ 8.3）
利用矩阵的乘法，（ 8.3）式可写成
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n
j
jnj
n
j
jj
n
j
jj
nn
xa
xa
xa
xxxxxxf
1
1
2
1
1
2121
),,,(),,,(
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nnnnn
n
n
n
x
x
x
aaa
aaa
aaa
xxx
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2
1
21
22221
11211
21
),,,(
二、二次型的矩阵表示
记
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nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
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???
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21
22221
11211
,,
2
1
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n
x
x
x
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x
那么
xx Axxaxxxf
n
i
n
j
jiijn
?
? ?
?? ? ?
1 1
21 ),,,( ?
这就是二次型的矩阵表示式．因为 jiij aa ? ),,2,1,( nji ??
（ 8.4）
所以 A 为对称矩阵,
例如，二次型
323121232221321 432523),,( xxxxxxxxxxxxf ??????
的矩阵表示式为
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3
2
1
2
3
2
3
321321
52
221
13
),,(),,(
x
x
x
xxxxxxf
任给一个二次型，就唯一地确定一个对称阵；
反之，任给一个对称矩阵,也可唯一地确定一个二
次型．这样，二次型与对称矩阵之间就存在一
一对应的关系．因此，表示式（ 8.4）中的 对称矩阵 A
称为二次型 ),,,( 21 nxxxf ? 的矩阵,),,,( 21 nxxxf ? 称为
A 的二次型．对称矩阵 对称矩阵 A 的秩称为二次型
),,,( 21 nxxxf ? 的秩,