§ 4 线性方程组解的结构
一、齐次线性方程组解的结构
二、非齐次线性方程组解的结构
一、齐次线性方程组解的结构
设有齐次线性方程组
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0
0
0
2211
2222121
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nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
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,（ 5.16）
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x
x
x
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2
1
x
那么（ 5.16）可以写成方程
0x ?A, （ 5.17）
下面我们讨论矩阵方程（ 5.17）的解向量的性质,
性质 1 如果 21 ξx,ξx ?? 为方程（ 5.17）的解向量,
那么 21 ξξx ?? 也是方程（ 5.17）的解向量,
证 只需验证 21 ξξx ?? 满足方程（ 5.17）,
00ξξξξ 2121 ????? AAA )( 证毕
性质 2 如果 ξx? 为方程（ 5.17）的解向量,k 为实
数,ξx k? 是方程（ 5.17）的解向量,
证 只需验证 ξx k? 满足方程（ 5.17）,
00ξξ ??? kkAkA )()( 证毕
那么
如果用 S 表示方程（ 5.17）的全体解向量所组成
的集合，那么性质 1及性质 2就是
(1) 如果 SS ?? 21 ξξ,，那么 ;S?? 21 ξξ
(2) 如果 RkS ??,ξ,那么,Sk ?ξ
这就说明集合 S
S
对向量的线性运算是封闭的,
集合 是一个向量空间，称为齐次线性方程组（ 5.16）
或 (5.17)的解空间,
为了呈示齐次线性方程组解的结构，下面我们求解
空间 S 的一个基,
设 )()( nrrAR ??,并不妨设 A 的前 r 个列向量线性无关
所以
对 A 施行初等行变换可以得到行最简形矩阵
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cc
C
由矩阵 C 对应的方程组得
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xcxcx
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,11
,11111
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,（ 5.18）
由第二章知，方程组（ 5.16）与（ 5.18）等价,在
方程组（ 5.18）中，任给 nr xx,,1 ?? 一组值，就唯一确定
rxx,,1 ? 的值,
（ 5.16）的解向量,nr xx,,1 ?? 取下列 rn? 组数,
,
1
0
0
,,
0
1
0
,
0
0
1
2
1
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n
r
r
x
x
x
由（ 5.18）分别可得
,,,,
,
,1
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1
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rnr
rn
rrr
c
c
c
c
c
c
x
x
?????
就可得到（ 5.18）的一个解向量,也就是
现在令
从而求得方程组（ 5.18）（也就是方程组（ 5.16））的
rn? 个解向量,
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rnr
rn
rr
c
c
c
c
c
c
rn21
ξξξ
下面证明向量组 rn21 ξ,ξ,ξ ?,? 就是方程组（ 5.16）的解
空间 S 的一个基,rn?rn? 个 维向量,
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1
0
0
,,
0
1
0
,
0
0
1
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首先，由于
所以由 § 2定理 4，分别在每个向量前面添加
r 个分量而得到的 rn? 个 n 维向量组成的向量组 rn21 ξ,ξ,ξ ?,?
也线性无关,
其次，证明方程组（ 5,1６）的任一解向量
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n
r
r
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1
1
ξx
都能由向量组 rn21 ξ,ξ,ξ ?,? 线性表示．为此，作向量
rn21 ξξξη ??? ???? nrr ??? ?21
线性无关,
rn21 ξ,ξ,ξ ?,?由于 是方程组（ 5.1６）的解向量，由性质 1及
性质 2知 η 也是方程组（ 5.1６）的解向量,与
，知道它们的后面 个分量对应相等,
满足方程组（ 5.1８），从而它们的前面 r 个分量也一定
对应相等,ηξ?,即
rn21 ξξξξ ??? ???? nrr ??? ?21
这样就证明了向量组 rn21 ξ,ξ,ξ ?,? 是解空间 S 的一个基,
从而知解空间 S 的维数,d im rnS ??
当 nrAR ??)( 时，方程组（ 5.1６）只有零解，解空间
S 只含一个零向量,
比较向量
由于它们都应
因此
η
ξ rn?
综上所述，就得到如下定理,
定理 11 设 A 是 nm? 矩阵，齐次线性方程 0x ?A
全体解向量所组成的集合 S 是一个向量空间,
A 的秩 rAR ?)( 时，解空间 S 的维数是,rn?
上面的证明过程还提供了一种求齐次线性方程组解
且解空间的基也不是唯一的,
空间的基的方法,
?? ),,( 1 nr xx ? 可以任取
rn? 个线性无关的 rn? 维向量，由此都可以相应地求得解
空间的一个基,
齐次线性方程组解空间 S 的一个基又称为方程组
（ 5.1６）的一个基础解系,
当系数矩阵
当然，求解空间的基的方法很多，而
例如,
当 nrAR ??)( 时，方程组（ 5.1６）只有零解,
没有基础解系； 当 nrAR ??)( 时，方程组（ 5.1６）一定有
含有 rn? 个解向量的基础解系；
解可以表示为,21 rn21 ξξξx ?????? rnkkk ?
其中 rnkk ?,,1 ? 为任意数．上式称为方程组（ 5.1６）的通解,
此时，解空间 S 可以表示为
? ?RkkkkS rnrn ????? ???,,| 11 ?? rn1 ξξx
这样，我们就可以比较清楚地理解齐次线性方程组解的
结构,
定理 10的证明过程提供的求齐次线性方程组基础解
系的方法,
因此
那么方程组（ 5.1６）的
实际上就是第二章中用矩阵初等行变换求
方程
组的通解的过程．现在举例说明,
例 17 求齐次线性方程组
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????
????
????
032
03
0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
的一个基础解系及通解,
解 对齐次线性方程组的系数矩阵 A 施行初等行变换,
使它变成行最简形矩阵,
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2100
1111
2100
4200
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3211
3111
1111
~~
22
23
12
13
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rr
rr
A
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0000
2100
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它对应的方程组为,
2 43
421
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xx
xxx
令,
1
0
,
0
1
4
2
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??
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x
x
得,
2
1
,
0
1
3
1
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???
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???
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???
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???
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x
x
从而得方程组的一个基础解系
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1
2
0
1
0
0
1
1
21
ξ,ξ
所以齐次线性方程组的通解为,1 221 ξξx kk ??
即
,
1
2
0
1
0
0
1
1
21
4
3
2
1
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kk
x
x
x
x
其中 21,kk 为任意数,
定理１１及其证明过程不仅可以为我们提供线性齐次
方程组的解法，而且在关于向量组或矩阵的秩的不少命题
的理论证明中也很有用,
设,
nssmnm BAC ??? ?
要证明 )()(),()( BRCRARCR ??,根据例 1１
证明的后半部分的方法,)()( BCR ? （或者
)()( ARCR ? ）,
下面我们利用齐次线性方程组解
的结构的理论来给出 § ３例 1１的另一种证明,
我们只需证明
考虑齐次线性方程组
0x?B （ 5.19）
及 0x ?)( AB （ 5.20）
其中,),,( 1 ?? nxx ?x
显然，方程组（ 5.19）的解向量都是方程组（ 5.20）
的解向量,
数分别是 )(BRn? 及 )()( CRnABRn ???,所以
)()( CRnBRn ???
于是 )()( BCR ?
但是方程组（ 5.19）及（ 5.20）的解空间的维
二、非齐次线性方程组解的结构
设有非齐次线性方程组
12211
22222121
11212111
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????
????
????
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
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???
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．（ 5.21）
记,),,,(,),,,(,)(
2121 ??? ??? mnnmij bbbxxxaA ?? bx
那么方程组（ 5.21）可以写成矩阵方程
bx?A, （ 5.22）
此时，齐次线性方程
0x?A,（ 5.23）
称为非齐次线性方程组（ 5.21）对应的（或导出的）
齐次线性方程组,
性质 3 设 1ηx? 及 2ηx? 都是非齐次线性方程组（ 5.22）
的解向量,21 ηηx ?? 为对应的齐次线性方程组（ 5.23）
的解向量,
证,)( 0bbηηηη 2121 ?????? AAA
即 21 ηηx ?? 满足方程组（ 5.23）,证毕
性质 4 设 ηx? 是非齐次线性方程组（ 5.22）的解向量,
ξx? 是齐次线性方程组（ 5.23）的解向量,ξηx ??
是非齐次线性方程（ 5.22）的解向量,
证 b0bξηξη ?????? AAA )(
即 ξηx ?? 满足非齐次线性方程组（ 5.22）,证毕
那么
那么
如果已经求得非齐次线性方程组（ 5.22）的一个特解
0η,又求得对应的齐次线性方程组（ 5.23）的一个基础解
系 rn1 ξξ ?,,?,
性方程（ 5.22）的通解为
rn10 ξξηx ?????? rnkk ?1
例 18 求非齐次线性方程组
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????
????
????
0895
4433
13
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
的通解,
那么根据性质 3及性质 4不难证明，非齐次线
解 先对增广矩阵 B 施行初等行变换，使它变成行
阶梯形矩阵,
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12
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3 rr
rr
B
C
rr
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00000
17640
11311
~
23
由 2)()( ?? BRAR 知方程组有解,C
续施行初等列变换，使它变成行最简形矩阵,
继
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???
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10
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4
1
4
7
2
3
4
5
4
3
2
3
)4(
~
2
21
r
rr
C
对行阶梯形矩阵
即得
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432
431
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2
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4
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4
5
xxx
xxx
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0
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x,得
???
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???
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4
1
4
5
2
1
x
x,就可以得到非齐次线性方程
组的一个特解
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0
0
4
1
4
5
0
η
在对应的齐次线性方程组
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??
??
432
431
4
7
2
3
4
3
2
3
xxx
xxx
中，取 ??
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???
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???
??
???
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???
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1
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,
0
1
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x,分别得
???
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???
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???
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???
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???
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4
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3
2
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2
3
2
1,
x
x,就可以得到
对应的齐次方程组的一个基础解系
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,
0
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7
4
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2
3
2
3
21
ξξ
于是所求的非齐次线性方程组的通解为
210 ξξηx 21 kk ???
即
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1
kk
x
x
x
x
其中 21,kk 为任意数,
一、齐次线性方程组解的结构
二、非齐次线性方程组解的结构
一、齐次线性方程组解的结构
设有齐次线性方程组
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0
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2211
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xaxaxa
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,（ 5.16）
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x
x
x
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2
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x
那么（ 5.16）可以写成方程
0x ?A, （ 5.17）
下面我们讨论矩阵方程（ 5.17）的解向量的性质,
性质 1 如果 21 ξx,ξx ?? 为方程（ 5.17）的解向量,
那么 21 ξξx ?? 也是方程（ 5.17）的解向量,
证 只需验证 21 ξξx ?? 满足方程（ 5.17）,
00ξξξξ 2121 ????? AAA )( 证毕
性质 2 如果 ξx? 为方程（ 5.17）的解向量,k 为实
数,ξx k? 是方程（ 5.17）的解向量,
证 只需验证 ξx k? 满足方程（ 5.17）,
00ξξ ??? kkAkA )()( 证毕
那么
如果用 S 表示方程（ 5.17）的全体解向量所组成
的集合，那么性质 1及性质 2就是
(1) 如果 SS ?? 21 ξξ,，那么 ;S?? 21 ξξ
(2) 如果 RkS ??,ξ,那么,Sk ?ξ
这就说明集合 S
S
对向量的线性运算是封闭的,
集合 是一个向量空间，称为齐次线性方程组（ 5.16）
或 (5.17)的解空间,
为了呈示齐次线性方程组解的结构，下面我们求解
空间 S 的一个基,
设 )()( nrrAR ??,并不妨设 A 的前 r 个列向量线性无关
所以
对 A 施行初等行变换可以得到行最简形矩阵
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rn
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cc
C
由矩阵 C 对应的方程组得
nrnrrrr
nrnr
xcxcx
xcxcx
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????
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??
,11
,11111
?
???
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,（ 5.18）
由第二章知，方程组（ 5.16）与（ 5.18）等价,在
方程组（ 5.18）中，任给 nr xx,,1 ?? 一组值，就唯一确定
rxx,,1 ? 的值,
（ 5.16）的解向量,nr xx,,1 ?? 取下列 rn? 组数,
,
1
0
0
,,
0
1
0
,
0
0
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2
1
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由（ 5.18）分别可得
,,,,
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rn
rrr
c
c
c
c
c
c
x
x
?????
就可得到（ 5.18）的一个解向量,也就是
现在令
从而求得方程组（ 5.18）（也就是方程组（ 5.16））的
rn? 个解向量,
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0
0,,
0
1
0,
0
0
1
,
,1
2
12
1
11
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rnr
rn
rr
c
c
c
c
c
c
rn21
ξξξ
下面证明向量组 rn21 ξ,ξ,ξ ?,? 就是方程组（ 5.16）的解
空间 S 的一个基,rn?rn? 个 维向量,
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1
0
0
,,
0
1
0
,
0
0
1
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首先，由于
所以由 § 2定理 4，分别在每个向量前面添加
r 个分量而得到的 rn? 个 n 维向量组成的向量组 rn21 ξ,ξ,ξ ?,?
也线性无关,
其次，证明方程组（ 5,1６）的任一解向量
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n
r
r
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1
1
ξx
都能由向量组 rn21 ξ,ξ,ξ ?,? 线性表示．为此，作向量
rn21 ξξξη ??? ???? nrr ??? ?21
线性无关,
rn21 ξ,ξ,ξ ?,?由于 是方程组（ 5.1６）的解向量，由性质 1及
性质 2知 η 也是方程组（ 5.1６）的解向量,与
，知道它们的后面 个分量对应相等,
满足方程组（ 5.1８），从而它们的前面 r 个分量也一定
对应相等,ηξ?,即
rn21 ξξξξ ??? ???? nrr ??? ?21
这样就证明了向量组 rn21 ξ,ξ,ξ ?,? 是解空间 S 的一个基,
从而知解空间 S 的维数,d im rnS ??
当 nrAR ??)( 时，方程组（ 5.1６）只有零解，解空间
S 只含一个零向量,
比较向量
由于它们都应
因此
η
ξ rn?
综上所述，就得到如下定理,
定理 11 设 A 是 nm? 矩阵，齐次线性方程 0x ?A
全体解向量所组成的集合 S 是一个向量空间,
A 的秩 rAR ?)( 时，解空间 S 的维数是,rn?
上面的证明过程还提供了一种求齐次线性方程组解
且解空间的基也不是唯一的,
空间的基的方法,
?? ),,( 1 nr xx ? 可以任取
rn? 个线性无关的 rn? 维向量，由此都可以相应地求得解
空间的一个基,
齐次线性方程组解空间 S 的一个基又称为方程组
（ 5.1６）的一个基础解系,
当系数矩阵
当然，求解空间的基的方法很多，而
例如,
当 nrAR ??)( 时，方程组（ 5.1６）只有零解,
没有基础解系； 当 nrAR ??)( 时，方程组（ 5.1６）一定有
含有 rn? 个解向量的基础解系；
解可以表示为,21 rn21 ξξξx ?????? rnkkk ?
其中 rnkk ?,,1 ? 为任意数．上式称为方程组（ 5.1６）的通解,
此时，解空间 S 可以表示为
? ?RkkkkS rnrn ????? ???,,| 11 ?? rn1 ξξx
这样，我们就可以比较清楚地理解齐次线性方程组解的
结构,
定理 10的证明过程提供的求齐次线性方程组基础解
系的方法,
因此
那么方程组（ 5.1６）的
实际上就是第二章中用矩阵初等行变换求
方程
组的通解的过程．现在举例说明,
例 17 求齐次线性方程组
?
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?
????
????
????
032
03
0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
的一个基础解系及通解,
解 对齐次线性方程组的系数矩阵 A 施行初等行变换,
使它变成行最简形矩阵,
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??
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0000
2100
1111
2100
4200
1111
3211
3111
1111
~~
22
23
12
13
r
rr
rr
rr
A
.
0000
2100
1011
~
21
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? rr
它对应的方程组为,
2 43
421
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xx
xxx
令,
1
0
,
0
1
4
2
???
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???
?
???
?
???
??
???
?
???
?
x
x
得,
2
1
,
0
1
3
1
???
?
???
?
???
?
???
?
???
?
?
???
?
x
x
从而得方程组的一个基础解系
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1
2
0
1
0
0
1
1
21
ξ,ξ
所以齐次线性方程组的通解为,1 221 ξξx kk ??
即
,
1
2
0
1
0
0
1
1
21
4
3
2
1
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kk
x
x
x
x
其中 21,kk 为任意数,
定理１１及其证明过程不仅可以为我们提供线性齐次
方程组的解法，而且在关于向量组或矩阵的秩的不少命题
的理论证明中也很有用,
设,
nssmnm BAC ??? ?
要证明 )()(),()( BRCRARCR ??,根据例 1１
证明的后半部分的方法,)()( BCR ? （或者
)()( ARCR ? ）,
下面我们利用齐次线性方程组解
的结构的理论来给出 § ３例 1１的另一种证明,
我们只需证明
考虑齐次线性方程组
0x?B （ 5.19）
及 0x ?)( AB （ 5.20）
其中,),,( 1 ?? nxx ?x
显然，方程组（ 5.19）的解向量都是方程组（ 5.20）
的解向量,
数分别是 )(BRn? 及 )()( CRnABRn ???,所以
)()( CRnBRn ???
于是 )()( BCR ?
但是方程组（ 5.19）及（ 5.20）的解空间的维
二、非齐次线性方程组解的结构
设有非齐次线性方程组
12211
22222121
11212111
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????
????
????
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
???
?
?
．（ 5.21）
记,),,,(,),,,(,)(
2121 ??? ??? mnnmij bbbxxxaA ?? bx
那么方程组（ 5.21）可以写成矩阵方程
bx?A, （ 5.22）
此时，齐次线性方程
0x?A,（ 5.23）
称为非齐次线性方程组（ 5.21）对应的（或导出的）
齐次线性方程组,
性质 3 设 1ηx? 及 2ηx? 都是非齐次线性方程组（ 5.22）
的解向量,21 ηηx ?? 为对应的齐次线性方程组（ 5.23）
的解向量,
证,)( 0bbηηηη 2121 ?????? AAA
即 21 ηηx ?? 满足方程组（ 5.23）,证毕
性质 4 设 ηx? 是非齐次线性方程组（ 5.22）的解向量,
ξx? 是齐次线性方程组（ 5.23）的解向量,ξηx ??
是非齐次线性方程（ 5.22）的解向量,
证 b0bξηξη ?????? AAA )(
即 ξηx ?? 满足非齐次线性方程组（ 5.22）,证毕
那么
那么
如果已经求得非齐次线性方程组（ 5.22）的一个特解
0η,又求得对应的齐次线性方程组（ 5.23）的一个基础解
系 rn1 ξξ ?,,?,
性方程（ 5.22）的通解为
rn10 ξξηx ?????? rnkk ?1
例 18 求非齐次线性方程组
?
?
?
?
?
????
????
????
0895
4433
13
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
的通解,
那么根据性质 3及性质 4不难证明，非齐次线
解 先对增广矩阵 B 施行初等行变换，使它变成行
阶梯形矩阵,
?
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???
?
??
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??
??
??
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17640
17640
11311
08951
44313
11311
~
12
12
3 rr
rr
B
C
rr
?
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??
?
00000
17640
11311
~
23
由 2)()( ?? BRAR 知方程组有解,C
续施行初等列变换，使它变成行最简形矩阵,
继
?
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?
?
?
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?
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???
?
??
?
00000
10
01
4
1
4
7
2
3
4
5
4
3
2
3
)4(
~
2
21
r
rr
C
对行阶梯形矩阵
即得
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????
???
432
431
4
7
2
3
4
1
4
3
2
3
4
5
xxx
xxx
取 ??
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???
??
???
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???
?
0
0
4
3
x
x,得
???
?
???
?
?????
?
???
?
4
1
4
5
2
1
x
x,就可以得到非齐次线性方程
组的一个特解
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
4
1
4
5
0
η
在对应的齐次线性方程组
?
?
?
?
?
??
??
432
431
4
7
2
3
4
3
2
3
xxx
xxx
中，取 ??
?
?
???
?
???
?
???
??
???
?
???
?
1
0
,
0
1
4
3
x
x,分别得
???
?
???
? ?
???
?
???
?
???
?
?
???
?
4
7
4
3
2
3
2
3
2
1,
x
x,就可以得到
对应的齐次方程组的一个基础解系
?
?
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1
0
,
0
1
4
7
4
3
2
3
2
3
21
ξξ
于是所求的非齐次线性方程组的通解为
210 ξξηx 21 kk ???
即
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0
1
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3
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4
1
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4
3
2
1
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x
x
x
x
其中 21,kk 为任意数,
