4.3 曲面与空间曲线
?曲面及其方程
?柱面、锥面、旋转曲面
?二次曲面
?空间曲线及其方程
?空间曲线在坐标面上的投影
§ 4.5 曲面与空间曲线
一、曲面及其方程
曲面 S:空间点的几何轨迹,
曲面方程 F(x,y,z) = 0 (4, 20)
关系,
（ 1） S上任一点都满足方程（ 4.20）；
（ 2）不在 S上的点都不满足方程（４,20）,
o
x
y
z
例 1 设有点 A(1,2,3)与 B(2,-1,4)，求线段
AB的垂直平分面的方程,
解 设 M(x,y,z)是空间的任一点，那么有
即
化简得所求平面的方程为
|||| BMAM ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 222222 412321 ??????????? zyxzyx
07262 ???? zyx
例 2 方程 表示
怎样的曲面？
解 通过配方，原方程可以改写为
所以原方程表示球心在点 M0(1,-2,0),半径为
R = 3的球面,
0442222 ?????? yxzyx
? ? ? ? 2222 321 ????? zyx
综上，曲面研究下列 两个基本问题,
（ 1） 已知一曲面作为点的几何轨迹, 建立
这曲面的方程,
（ 2） 已知一个关于变量 x,y,z 的方程，研
究这方程所表示的 曲面的几何性质,
二、柱面、锥面、旋转曲面
1,柱面
(1) 定义 设已知一空间曲线 C及一个非零向
量 v，那么，平行于 v且沿 C
移动的直线 L形成的轨迹称
为柱面,C称为柱面的准线,
动直线 L称为柱面的母线,
v
C
L
（ 2）母线平行于坐标轴的柱面方程
?,F(x,y ) = 0
准线 C,xOy 平面上的曲线 F(x,y) = 0
母线 L与 z 轴平行；
Ⅱ, G(x,z) = 0
准线 C,xOz 平面上的曲线 G(x,z) = 0
母线 L与 y 轴平行；
Ⅲ, H( y,z) = 0
准线 C,yOz 平面上的曲线 H(y,z) = 0
母线 L与 x 轴平行,
例如抛物柱面 y - x2 = 0
C,xOy 平面上的 抛物 线
y - x2 = 0
L:平行于 z 轴
圆柱面 x2 +z2= 1
C,xOz 平面上的 圆
x2 +z2= 1
L:平行于 y 轴
o
x
y
z
o
x
y
z
2、锥面
平面曲线 C及曲线所在平面外的一点 O，过点
O且与 C相交的直线 L形成的轨迹称为锥面．点 O
称为锥面的顶点，定曲线 C称为锥面的准线，动直
线 L称为锥面的母线, O
L
C
3、旋转曲面
以一条平面曲线 C绕
平面上一条定直线旋转一
周所成的曲面叫做旋转曲
面．定直线称为旋转曲面
的轴，曲线 C称为旋转曲
面的一条母线,
设 yO z 平面上的曲线 C,F(y,z) = 0，绕 z 轴旋
转一周, 问曲面方程怎样表示？
取 C上的一个点 P1(0,y1,z1),那么有
F(y1,z1) = 0
当 C绕轴旋 转时，点 P1旋转到
点 P(x,y,z),这时有
z = z1
1
22 yyx ??
因此 yOz 平面上的曲线 C,F(y,z) = 0绕 z 轴旋
转 一周而成的 旋转曲面方程为
曲线 C:F(y,z) = 0绕 y 轴旋转所成的旋转曲
面方程为
? ? 0,22 ??? zxyF
? ? 0,22 ??? zyxF
三、二次曲面
截痕法,用坐标面及平行于坐标面的平面与
曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，通过
截痕形状研究曲面的性状,
1、椭球面
)0,0,0(
1
2
2
2
2
2
2
???
???
cba
c
z
b
y
a
x
图形特性
（ 1） 关于坐标面，坐标轴以及坐标原点 对称 ；
（ 2） 完全包含在一个以原点为中心的 长方体
|x | ≤a,|y |≤b,|z |≤c内 ；
（ 3） 截痕
与三个坐标面的交线 是椭圆
.
0
1
,
0
1
,
0
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
??
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
??
y
c
z
a
x
x
c
z
b
y
z
b
y
a
x
与平面 z = z1(| z1|≤c)的交线也是椭圆
类似地，与平面 x = x1或
y = y1的交线仍是椭圆,
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化,
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
zz
zc
c
b
y
zc
c
a
x
与平面 z = z1(| z1|≤c)的交线也是椭圆
类似地，与平面 x = x1或
y = y1的交线仍是椭圆,
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化,
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
zz
zc
c
b
y
zc
c
a
x
（ 4）特例
a = b 时为旋转椭球面
由 xOz平面上的椭圆,绕 z轴旋转而成,
平面 z = z1(| z1|≤c) 与旋转椭球面相截，所得的
截痕是圆心在 z轴上的圆
1
2
2
2
2
2
2
???
c
z
a
y
a
x
1
2
2
2
2
??
c
z
a
x
? ?
?
?
?
?
?
?
???
1
2
1
2
2
2
22
zz
zc
c
a
yx
a = b = c 时为球心在原点 O，半径为
a的球面,
2222 azyx ???
2、双曲面
（ 1） 单叶双曲面
截痕,
?与平面 z = z1的交线是椭圆
1
2
2
2
2
2
2
???
c
z
b
y
a
x
??
?
?
?
?
???
1
2
2
1
2
2
2
2
1
zz
c
z
b
y
a
x
?与平面 的交线是双曲线
?
?
?
?
?
?
???
1
2
2
1
2
2
2
2
1
yy
b
y
c
z
a
x
? ?byyy ??? 11
?与平面 的交线是直线
?与平面 x = x1的交线也是双曲线和直线。
by ??;
0
,
0
??
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
??
by
c
z
a
x
by
c
z
a
x
.
0
,
0
??
?
?
?
??
??
??
?
?
?
??
??
by
c
z
a
x
by
c
z
a
x
（ 2）双叶双曲面
截痕
1
2
2
2
2
2
2
????
c
z
b
y
a
x
x
y o
z
3、抛物面
（ 1）椭圆抛物面
截痕, 考察 (p> 0,q > 0)
?与平面 z = 0相截于原点 （ 椭圆抛物面的顶点）；
?与平面 z = z1（ z1 > 0）的截痕是椭圆
)(
22
22
同号与 qpz
q
y
p
x
??
?
?
?
?
?
?
??
1
1
2
1
2
1
22
zz
qz
y
pz
x
?与坐标面 y = 0的 截痕 是抛物线
?
与平面 y = y1的 截痕也 是抛物线
?与平面 x = 0及 x = x1的 截痕 也 是抛线。
?
?
?
?
?
0
2
2
y
pzx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1
2
12
2
2
yy
q
y
zpx
特别地 p = q 时为 旋转抛物面
(由 xOz面上的抛物线 x2 = 2pz 绕它的对称轴 z 轴旋
转而成的 )
?与平面 z = z1（ z1 > 0）的截痕是圆
? ?0
22
22
??? pz
p
y
p
x
?
?
?
?
??
1
1
22 2
zz
pzyx
2、双曲抛物面（马鞍面）
),(
22
22
同号qpz
q
y
p
x
??
四、空间曲线及其方程
空间曲线 C可看作两个曲面 F(x,y,z) = 0及
G(x,y,z) = 0的交线,
1、一般方程
? ?
? ???
?
?
?
0,,
0,,
zyxG
cyxF
C上的点满足方程组；
满足方程组的点 都在上 C,
例 3 方程组 表示怎样的曲线？
解 母线平行于 z轴的圆柱面
平面
表示圆柱面与平面 的交线，是一椭圆。
?
?
?
??
??
632
122
zx
yx
122 ?? yx
632 ?? zx
?
?
?
??
??
632
122
zx
yx
x
y
O
z
二、参数方程
当给定 t = t1(a≤t≤b)时，就得到 C上的一个点
(x(t1),y(t1),z(t1))；当取尽区间 [a,b]内所有值
时，便可以得到曲线 C上的全部点,
? ?
? ?
? ?
)( bta
tzz
tyy
txx
??
?
?
?
?
?
?
?
?
例 4 空间一点 M在圆柱面 x2 + y2 = a2上以角
速度 ω 绕轴旋转，同时又以线速度 v沿平行于 z轴
的正方向上升（ ω, v 是常数），那么动点 M构
成的图形称为螺旋线,试建立它的参数方程,
解 取时间 t 为参数,
t = 0，动点位于 A(a,0,0),
t = t,动点运动到 M(x,y,z),
M在 xOy面上的投影为,
)0,,( yxM ?
螺旋线的参数方程为
以 θ=ωt 作参数，螺旋线的
参数方程为
x y
z
o M
A M?
)0(s i n
c o s
????
?
?
?
?
?
?
?
?
t
vtz
tay
tax
?
?
),0(s i n
c o s
?
?
?
?
?
v
b
bz
ay
ax
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
五、空间曲线在坐标面上的投影
1、概念
C：空间曲线
投影柱面 S：以 C为准线,
母线平行于坐标轴的柱面。
投影 C’：投影柱面与投影坐标面的交线。
o
x
y
z C
S
C?
2、求解步骤
空间曲线 C的一般方程
(1) 投影柱面方程
(2) 投影曲线方程
? ?
? ???
?
?
?
0,,
0,,
zyxG
zyxF
? ? 0),(0),(0,??? zxTzyRyxH 或或
? ? ? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0,
0
0,
0
0,
y
zxT
x
zyR
z
yxH
或或
例 5 已知两球面的方程为
求它们的交线 C在 xOy面上的投影方程,
解 消去变量 z，得投影柱面方程
于是投影方程为
? ? ? ? 1111 222222 ???????? zyxzyx 及
022 22 ??? yyx
?
?
?
?
???
0
022 22
z
yyx
例 6 设一个立体由上半球面
与锥面 所围成，求它在 xOy面
上的投影,
解 半球面与锥面的交线
C,
224 yxz ???
)(3 22 yxz ??
??
?
?
?
??
???
)(3
4
22
22
yxz
yxz
消去变量，得投影柱面方程
投影曲线方程
所求立体在 xOy面上的投影就是该圆在 xOy面上
所围成的区域
122 ?? yx
?
?
?
?
??
0
1
22
z
yx
?
?
?
?
??
0
1
22
z
yx