一阶行列式,1111 aa ?
3355 ????,行列式如，
二阶行列式,21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa ??
33633 12 ???????如，
三阶行列式,
312213332112322311
322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
???
???
第一节,n阶行列式的定义
返
回
第
三
章
三阶行列式计算式的 记忆法
18468
201
240
131
????
?
?
例如
2.全排列及其奇性
引例 把 3个不同的数字 1,2,3排成一列, 共有多少种
排法？
显然, 左边位置上可以从 1,2,3三个数字中任选一个
,所以有三种放法；中间位置上只能从剩下的两个数字
中选一个, 所以有 2种放法；右边位置上只能放最后剩
下的一个数字, 所以只有 1种放法,
因此共有 3× 2× 1=6种放法,这 6种不同的排法是 123，
231,312,132,213,321,
对于 n个不同的元素, 也可以提出类似的问题, 把 n个不
同的元 素排列成一列, 共有几种不同的排法？
把 n个不同的元素排成一列, 叫做这 n个元素的全排列
（ 简称排 列 ）, 一般,n个自然数 1,2,…,n的一个排列可以记
作
niii ?21
其中 是某种次序下的自然数,n个不同元素的所有
排列的种数, 通常用 表示,由引例结果可知
niii ?21 n,,2,1 ?
nP
1233 ???P
仿照引例的推导方式我们容易得到
nnnP n ????? 123)1( ?
对于 n个不同的元素, 先规定各元素间有一个标准次序
（ 例如 n个不同的自然数, 可规定自小到大为标准次序；此时,
对应的排列称作自然排列 ）, 于是在这 n个元素的任意排列中,
当某两个元素的先后次序与标准次序不同时, 就说有一个逆序,
一个排列 中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数, 记
作
niii ?21
！,
)( 21 niiit ?
逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为
偶排列,
下面我们通过一个例子, 介绍利用排列的交叉图来计算排列
的逆序数的方法,
例 1 排列 83265147是偶排列还是奇排列？
解 把自然排列 12345678及排列 83265147的元素分别排
成平行的两行, 连接上下两行所有相同元素 （ 要避免出现三
条连线相交于一点的情况 ）, 得到排列的交叉图,那么, 交叉
图中交点的个数就是排列的逆序数,
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 2 6 5 1 4 7
由于图中有 15个交点, t(83265147)=15.所以, 83265147是奇
排列,
在排列中, 将任意两个元素交换位置其余的元素不动得到新
排列的变换称为对换, 将相邻两个元素对换, 称为相邻对换,
从排列的交叉图可以看出, 相邻对换使排列的逆序数增加 1或
者减少 1.由于任意对换可以通过奇数次相邻对换来实现, 所以
对换改变排列的奇偶性, 即对换使奇排列变为偶排列, 偶排列
变为奇排列,
从而, 当 n>1时, n个元素 的所有排列中, 偶排列与奇
排列的个数相同,
n,,2,1 ?
3,n阶行列式的定义
定义 1 设有 n阶矩阵
作出矩阵中位于不同行不同列的 n个数的乘积，并冠以符号
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
)( 21)1( njjjt ??
得到形如
(1.2)
nn njjjjjjt aaa ?? 2121 21)()1( ?
的项, 其中 为 n个自然数 的一个排列,
为 这个排列的逆序数, 由于这样的排列共有 n!
个, 因 此 形 如 （ 1.2 ） 式 的 项 共 有 n!
项, 所有这 n!项的代数和
njjj ?21 n,,2,1 ?
)( 21 njjjt ?
(1.3)
?
njjj ?21
n
n njjjjjjt aaa ??
21
21 21)()1( ?
称为矩阵 A的行列式, 记作
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
AD
?
????
?
?
21
22221
11211
??
数 称为行列式 的元素, （ 1.3） 式称为行列式 的展开式,
ija AA例 2 在 8阶行列式的 展开式中, 哪一项对应排列
83265147？
解 由例 1知排列 83265147是奇排列, 所以所求的项是
考虑行列式的任一项
)( ija
8774615546322318 aaaaaaaa?
nnjjj
jjjt aaa ??
21
21 21)()1( ?
交换乘积中两元素的次序, 行标排列与列标排列同时作
了相 应的对换, 则行标排列与列标排列的逆序数之和不改变
奇偶性,
经过若干次这样的元素之间的交换, 使列标排列
变 为自然排列, 行标排列相应地从自然排列变为某个新的排
列, 那么有
njjj ?21
niii ?21
n
n njjjjjjt aaa ??
21
21 21)()1( ?
niii
iiit
n
n aaa ?? 21)(
21
21)1( ??
反之, 形如 的项经过若干次元素之间的交
换可以变为
由此可得行列式的另一等价定义,
niiiiiit nn aaa ?? 21)( 2121)1( ?
n
n njjjjjjt aaa ??
21
21 21)()1( ?
矩阵的阶行列式也可定义为
其中 为 n个自然数 的一个排列,为
排列的逆序数,
???
niii
AD
?21
niiiiiit nn aaa ?? 21)( 2121)1( ?
niii ?21 n,,2,1 ? )( 21 niiit ?
niii ?,,21
4,行列式按行（列）展开
在阶行列式 中,把元素所在的第 i行及第 j列划去后,留下的
阶行列式称为元素 的余子式, 记作 ； 冠以符号
ija
1?n ija ijM ijM
得,称 为元素 的代数余子式,
ji?? )1( ijjiij MA ??? )1( ijA ija
例如三阶行列式
中元素 的余子式与代数余子式分别为
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ?
32a
2321
1311
32 aa
aa
M ?
32322332 )1( MMA ???? ?
定理 1 设 是 n阶矩阵, =, 那么
（ 1） ( )；
（ 2） ( ),
于是, 行列式等于它们的任一行 （ 列 ） 的各元素与其对
应的代数余子式乘积之和,
? ?ijaA? D A
ininiiii AaAaAaD ???? ?2211 ni,...,2,1?
njnjjjjj AaAaAaD ???? ?2211 nj,...,2,1?
推论 1 如果 n阶矩阵 中有两行（或列）相同，那
么行列式
)( ijaA ?
0?? AD
推论 2 设 是 n阶矩阵, 且, 那么
(1) ；
(2),
)( ijaA ? AD? ji?
02211 ???? jninjiji AaAaAa ?
02211 ???? njnijiji AaAaAa ?
例 3 证明上三角形行列式
nn
nn
n
n
aaa
a
aa
aaa
D ?
??
?
?
2211
222
11211
??
证 对 n用数学归纳法,n=1时显然有,
假设对 n-1阶行列式结论成立,行列式 D按第一列展开并
利用
归纳假设得
1111 aa ?
nnnn
nn
n
aaaaaa
a
aa
aAaD ????
?
22112211
222
111111 )( ????
例 3表明上三角形行列式等于主对角线上元素的乘积，
下三角 形行列式也有类似的结果,
例 4 计算行列式
243
122
421
??
?
?
?D
解 由定理 1,行列式 D按第一行展开,得
.148148
)2()4(72)8(1
43
22
)1()4(
23
12
)1(2
24
12
)1(1
31
2111
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二阶行列式,21122211
2221
1211 aaaa
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33633 12 ???????如，
三阶行列式,
312213332112322311
322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaa
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???
???
第一节,n阶行列式的定义
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第
三
章
三阶行列式计算式的 记忆法
18468
201
240
131
????
?
?
例如
2.全排列及其奇性
引例 把 3个不同的数字 1,2,3排成一列, 共有多少种
排法？
显然, 左边位置上可以从 1,2,3三个数字中任选一个
,所以有三种放法；中间位置上只能从剩下的两个数字
中选一个, 所以有 2种放法；右边位置上只能放最后剩
下的一个数字, 所以只有 1种放法,
因此共有 3× 2× 1=6种放法,这 6种不同的排法是 123，
231,312,132,213,321,
对于 n个不同的元素, 也可以提出类似的问题, 把 n个不
同的元 素排列成一列, 共有几种不同的排法？
把 n个不同的元素排成一列, 叫做这 n个元素的全排列
（ 简称排 列 ）, 一般,n个自然数 1,2,…,n的一个排列可以记
作
niii ?21
其中 是某种次序下的自然数,n个不同元素的所有
排列的种数, 通常用 表示,由引例结果可知
niii ?21 n,,2,1 ?
nP
1233 ???P
仿照引例的推导方式我们容易得到
nnnP n ????? 123)1( ?
对于 n个不同的元素, 先规定各元素间有一个标准次序
（ 例如 n个不同的自然数, 可规定自小到大为标准次序；此时,
对应的排列称作自然排列 ）, 于是在这 n个元素的任意排列中,
当某两个元素的先后次序与标准次序不同时, 就说有一个逆序,
一个排列 中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数, 记
作
niii ?21
！,
)( 21 niiit ?
逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为
偶排列,
下面我们通过一个例子, 介绍利用排列的交叉图来计算排列
的逆序数的方法,
例 1 排列 83265147是偶排列还是奇排列？
解 把自然排列 12345678及排列 83265147的元素分别排
成平行的两行, 连接上下两行所有相同元素 （ 要避免出现三
条连线相交于一点的情况 ）, 得到排列的交叉图,那么, 交叉
图中交点的个数就是排列的逆序数,
1 2 3 4 5 6 7 8
8 3 2 6 5 1 4 7
由于图中有 15个交点, t(83265147)=15.所以, 83265147是奇
排列,
在排列中, 将任意两个元素交换位置其余的元素不动得到新
排列的变换称为对换, 将相邻两个元素对换, 称为相邻对换,
从排列的交叉图可以看出, 相邻对换使排列的逆序数增加 1或
者减少 1.由于任意对换可以通过奇数次相邻对换来实现, 所以
对换改变排列的奇偶性, 即对换使奇排列变为偶排列, 偶排列
变为奇排列,
从而, 当 n>1时, n个元素 的所有排列中, 偶排列与奇
排列的个数相同,
n,,2,1 ?
3,n阶行列式的定义
定义 1 设有 n阶矩阵
作出矩阵中位于不同行不同列的 n个数的乘积，并冠以符号
?
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得到形如
(1.2)
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为 这个排列的逆序数, 由于这样的排列共有 n!
个, 因 此 形 如 （ 1.2 ） 式 的 项 共 有 n!
项, 所有这 n!项的代数和
njjj ?21 n,,2,1 ?
)( 21 njjjt ?
(1.3)
?
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称为矩阵 A的行列式, 记作
nnnn
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数 称为行列式 的元素, （ 1.3） 式称为行列式 的展开式,
ija AA例 2 在 8阶行列式的 展开式中, 哪一项对应排列
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解 由例 1知排列 83265147是奇排列, 所以所求的项是
考虑行列式的任一项
)( ija
8774615546322318 aaaaaaaa?
nnjjj
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交换乘积中两元素的次序, 行标排列与列标排列同时作
了相 应的对换, 则行标排列与列标排列的逆序数之和不改变
奇偶性,
经过若干次这样的元素之间的交换, 使列标排列
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反之, 形如 的项经过若干次元素之间的交
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矩阵的阶行列式也可定义为
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4,行列式按行（列）展开
在阶行列式 中,把元素所在的第 i行及第 j列划去后,留下的
阶行列式称为元素 的余子式, 记作 ； 冠以符号
ija
1?n ija ijM ijM
得,称 为元素 的代数余子式,
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例如三阶行列式
中元素 的余子式与代数余子式分别为
333231
232221
131211
aaa
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定理 1 设 是 n阶矩阵, =, 那么
（ 1） ( )；
（ 2） ( ),
于是, 行列式等于它们的任一行 （ 列 ） 的各元素与其对
应的代数余子式乘积之和,
? ?ijaA? D A
ininiiii AaAaAaD ???? ?2211 ni,...,2,1?
njnjjjjj AaAaAaD ???? ?2211 nj,...,2,1?
推论 1 如果 n阶矩阵 中有两行（或列）相同，那
么行列式
)( ijaA ?
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推论 2 设 是 n阶矩阵, 且, 那么
(1) ；
(2),
)( ijaA ? AD? ji?
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02211 ???? njnijiji AaAaAa ?
例 3 证明上三角形行列式
nn
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D ?
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2211
222
11211
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证 对 n用数学归纳法,n=1时显然有,
假设对 n-1阶行列式结论成立,行列式 D按第一列展开并
利用
归纳假设得
1111 aa ?
nnnn
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aaaaaa
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22112211
222
111111 )( ????
例 3表明上三角形行列式等于主对角线上元素的乘积，
下三角 形行列式也有类似的结果,
例 4 计算行列式
243
122
421
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解 由定理 1,行列式 D按第一行展开,得
.148148
)2()4(72)8(1
43
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23
12
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24
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