第二节 初等矩阵
一, 初等矩阵的概念
定义 2 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩
阵,三种初等行 （ 列 ） 变换对应着三种不同的初等矩阵,
1,交换两行 （ 或列 ） 的位置
把单位矩阵 中第 行的位置交换, 得初等矩阵
? ?ji rr ? 行第
行第
j
i
jiE
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1
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01
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1
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I ji,
,
交换单位矩阵 I中第 i,j列的位置,也可得初等矩
阵,
? ?ji cc ?
? ?jiE,
2．以非零数乘某一行（或列）
以非零数 k乘单位矩阵 I的第 i行,得初等矩阵
? ?ikr 行第 ikkiE ?
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1
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1
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以非零数 k乘单位矩阵 I的第 i列,也可得初等矩
阵,
? ?ikc
? ?? ?kiE
3．把某一行（或列）的 k倍加到另一行（或列）上
把单位矩阵 I的第 j行的 k倍加到第 i行上,得初
等矩阵 )( ji krr ?
行第
行第
j
ik
kjiE
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把单位矩阵 I的第 i列的 k倍加到第 j列上，也可得初
等矩阵, ? ?? ?kjiE,
例如,经过一次初等变换可以得到下列几种初等
矩阵,;,;
,;
;,
2I
? ? ??
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01
102,1E ? ?? ?
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01 kkE 0?k
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kkE 0
012 0?k
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1
011,2
kkE
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行第
行第
j
i
a
a
a
a
a
a
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a
a
a
a
a
AjiE
mn
in
jn
n
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2
2
2
12
1
1
1
11
,
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?
其结果相当于对矩阵 A施行第一种初等行变换：把 A的第 i,j
行交换位置 ；类似地，以 n阶初等矩阵 右乘 ? ?ji rr ?
矩阵 A,其结果相当于对矩阵 A施行第一种初等列变换,
把的第 i,j列交换位置,
? ?jiEn,
? ?ji cc ?
同样可以验证：以 左乘矩阵，其结果相当于对矩阵
施行第二种初等行变
? ?? ?kiEm
换：以非零数 k乘第 i行 ；以 ? ?
ikr ? ?? ?kiEn
二,初等矩阵与矩阵初等变换
考虑初等矩阵与矩阵初等变换的对应关系,
用 m阶初等矩阵 左乘矩阵,得 ? ?jiE
m,? ? nmijaA ??
其结果相当于对矩阵 A施行第三种初等行变换,
把第 j行的 k倍加到第 i行上 ； )( ji krr ? ? ?? ?kjiEn,
其结果相当于对矩阵 A施行第三种初等列变换,
把的第 i列的 k倍加到第 j列上, )( ij kcc ?
综上所述,得到如下定理,
定理 2 设 A是一个 m× n矩阵，对 A施行一次初等行变换,
相当于在 A的左边乘以相应的 m阶初等矩阵；对 A施行一次
初等列变换，相当于在 A的右边乘以相应的 n阶初等矩阵,
以非零数 k乘第 i行
行变换,
右乘矩 阵 A,以
由于矩阵初等变换可逆，利用初等矩阵与矩阵初等
ji rr ? ? ? ? ?jiEjiE,,
1 ??
ikr irk
1
)0( ?k ? ?? ? ???
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???
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??
?
???
kiEkiE
11
ji krr ? ? ? ji rkr ??
? ?? ? ? ?? ?kjiEkjiE ???,,1
由变换
变换的对应关系，可知初等矩阵可逆，并且初等变
换的逆变换正好对应着相应初等矩阵的逆矩阵,
由变换
由变换 的逆变换为
知
知
的逆变换为
的逆变换就是它自身,知
（ 1） A 是可逆矩阵；
(2) 齐次线性方程组 只有零解；
(3) A 可以经过有限次初等行变换化为 ；
0x?A
nI
(4) A 可表示为有限个初等矩阵的乘积,
证 （ 1）（ 2） 设 A是可逆矩阵，那么 存在，于
是
? 1?A
? ? ? ? 00xxxx ????? ??? 111 AAAAAI
三、逆矩阵定理
为了得到利用矩阵初等变换求矩阵的逆的方法，我们
首需要建立如下的定理
定理 3 （逆矩阵定理）设为阶矩阵，那么下列各命题等
价,
可知 R中非零行的行数等于 n，从而,
nIR?
（ 3） （ 4）设 A可以经过有限次初等行变换化
为,
由于矩阵初等变换是可逆的,
nI
故也可以经过有限次初等行变
化为 A．再利用定理 2知道，存在初等矩阵
使
得
换,,s21,,PPP ?
AIPPP ns ?12?
即得
12 PPPA s ??
为行最简形矩阵 R．因为 只有零解，利用定
理 1
0x ?A
0x ?A
（ 2） （ 3）设齐次线性方程组 只有零解,
由 本章 § １知道,A 可以经过有限
0x ?A
次初等行变换化为
?
?
因此,齐次线性方程组 只有零解,
（ 4）（ 1）设可表示为有限个初等矩阵的乘积，即 ?
12 PPPA s ??
由于初等矩阵是可逆的矩阵且可逆矩阵的乘积仍然是可
逆矩阵（见第一章 § ２），故 A是可逆矩阵,
四、利用矩阵初等变换求矩阵的逆
由定理 3，我们可以得到一种求矩阵的逆的简便方法,
设阶矩阵 A可逆，由定理 3存在初等矩,
使得 sPPP,,,21 ?
IAPPP s ?12?
(2.10)
即
IPPPPPPA ss 12121 ?? ???
(2.10)式表明 A可以经过一系列初等行变换化为 I；
(2.11)表明 I经过这同一系列初等行变换
利用分块矩阵,(2.10),(2.11)两式可合并表示为
可以化为,
? ? ? ?112 ?? AIIAPPP s ???
1?A
即对 矩阵 施行初等行变换，当把子块 A 化
为 I 时，另一子块 I 就化为,
nn 2? ? ?IA?
1?A 应该指出，上述方法
中已经包含判定矩阵是否可逆的过程．事实上，当 A经过
有限次初等行 变换化为行阶梯形矩阵 S后，如果 S中非零
行的行数小于 n，齐次线性方程组 有非 0x ?A 零解,
从而 A不可逆；如果 S中非零行的行数等于 n，齐次线性方
程组 只有零解，故是 A可逆矩阵,0x ?A
例 8 判定矩阵
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320
102
211
A
是否可逆,
解 ? ?
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100320
010102
001211
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? IA
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112000
012320
001211
~
23
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rr
所以不可逆,
例 9 利用初等行变换求矩阵
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210
121
012
A
的逆矩阵,
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rr
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所以
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1
2
1
4
3
1
1A
利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可以推广为求矩阵
BA 1? 的方法．由
? ? ? ?BAIBAA 11 ?? ? ??
可知，如果对矩阵 施行初等行变换，当把 A 化
为 I 时,B 就化为,
? ?BA?
BA 1?
例 10 求矩阵 X，使,其中 BAX ?
?
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?
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343
122
321
A
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34
13
52
B
,
解 如果 A可逆，那么, BAX 1??
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34343
13122
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? BA
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????
????
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91520
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rr
rr
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3
5
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rr
rr
? ? ?
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23001
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21
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rr
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所以
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31
32
23
X
类似地，如果要求,那么可以对矩阵 作初
等列变换，当把 A 化为 I 时,C 就化为, 1?CA
1?? CAX
???
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???
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C
A