第二节, 行列式的性质和计算
1,行列式的性质
性质 1.设 是 n阶矩阵, 是 A的转置矩阵, 则
即行列式经过转置后其值不变,
)( ijaA ? ?A
?? AA
性质 2.如果行列式的某一行 （ 列 ） 的元素都是两数之和,
例如行列式 D的第 i行的元素都是两数之和
返
回
第
三
章
nnnn
ininiiii
n
n
aaa
bababa
aaa
aaa
D
?
????
?
????
?
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21
2211
22221
11211
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?
那么 D等于下列两行列式的和, 即, 其中
21 DDD ??
nnnn
inii
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
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????
?
?
21
21
22221
11211
1
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nnnn
inii
n
n
aaa
bbb
aaa
aaa
D
?
????
?
????
?
?
21
21
22221
11211
2
?
性质 3（ 行列式的初等变换 ） 设 A为 n阶矩阵,
（ 1） 交换 A第 i,j行 （ 列 ） 的位置得到 A1,则 ;
（ 2）把 A的第 j行（列）乘以数 得到 A2,则 ；
AA ??1
)0( ?kk AkA ?2
（ 3） 把的第 j行 （ 第 i列 ） 的 k倍加到第 i行 （ 第 j列 ） 上得到
A3,则
AA ?3
推论１ 设 A是任意的 n阶矩阵, 则对 n阶初等矩阵 E都有
EAAEAEEA ?? 及
推论２ 如果行列式有两行（列）元素成比列，那么这个行列
式为 零,
2,行列式的计算
例 4 计算行列式
11
4252
1211
3111
2
3
2
1
??
?
?D
解
.
2
33
33111
2
1
33000
4100
1410
3111
2
1
1800
4100
1410
3111
2
1
4100
1800
1410
3111
2
1
1410
2430
4100
3111
2
1
2321
4252
1211
3111
2
1
3443
42
23
13
12
14
4
8
3
22
??????
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?
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?
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?
?
?
rrrr
rr
rr
rr
rr
rr
r
D
利用初等变换计算行列式的另一个基本程序是, 通过适
当的初等变换把某一行 （ 列 ） 的元素尽可能化为零, 然后按
该行 （ 列 ） 展开, 降阶后再计算,
仍以例 4为例,
141
243
410
)1(1
2
1
1410
2430
4100
3111
2
1
2321
4252
1211
3111
2
1 11
22
113
2
14
4
?
?????
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
展开按 crr
rr
rr
r
D
18
41
2
1
18
41
)1(1
2
1
141
180
410
141
243
410
2
1
31
2
1
3
132
?
?
?
????
?
??
?
??
?
? 展开按 crr
2
3333
2
1 ???
例 5 计算 n阶行列式
,
xyyy
yyxy
yyyx
D
n
...
...............
...
...
?
解 注意到每一行除一个 x外,其余 n-1个数全为 y,故把第 2列,
第 3列, ……, 第 n列都加到第 1列上, 得
.)]()1([
...00
............
0...0
...1
])1([
...1
............
...1
...1
])1([
...)1(
............
...)1(
...)1(
1
),,3,2(
])1([
),,3,2(
1
1
1
?
?
?
????
?
????
?
?
??
??
??
??
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n
rr
ni
ynxccc
nj
n
yxynx
yx
yx
yy
ynx
xy
yx
yy
ynx
xyynx
yxynx
yyynx
D
i
j
?
?
在 n阶行列式的计算中, 一般都将高阶行列式化为低阶
行列式来计算,但是对某些特殊的行列式, 也可以采用, 加
边法,,
我们对例 5的行列式进行如下的, 加边,, 得
xyyy
yyxy
yyyx
yyyy
D
n
0
..................
...0
...0
...1
?
那么
yx
yx
yx
yyyy
D
rr
ni
n
i
??
??
??
?
?
??
...0001
..................
0...001
0...001
...1
1
)1,,3,2( ?
如果,那么
yx?
0
0...0001
..................
0...001
0...0001
...1
?
?
?
?
?
yyyy
D
n
如果,那么
yx?
.)]()1([))(1(
...0000
...............
0...000
0...000
...1
1
)(
)1,,3,2(
1
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???
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?????
?
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?
?
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nn
yxcc
nj
n
yxynxyx
yx
ny
yx
yx
yx
yyyy
yx
ny
D
j
?
1)]()1([ ????? nn yxynxD所以在两种情况下，总有