第二节 矩阵的运算
一, 矩阵的线性运算
1,矩阵的加法运算
加法定义：有 矩阵,
那么 矩阵 为 A和 B的和。
C=
记作,C=A+B
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???
???
???
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
...
:...::
...
...
2221
2222222121
1112121111
nm? )()( ijij bBaA ?? 和
ijC
返回
注意,
(1) 同型矩阵才能相加；
(2) 相加结果同型矩阵 ;
2,减法运算
负矩阵,
)( ijaA ???
OAA ??? )(
减法,
)()( 对应元素相减BABA ????
OBABA ????
返回
3,矩阵的数乘
?
设有一个矩阵, 是一个数, 那么矩阵
称为矩阵 A 与数 的乘积 （ 简称矩阵的数乘 ）, 记作,
)( ijaA?
?
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?
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mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
???
???
???
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????
?
?
21
22221
11211
A?
矩阵的 线性运算律,加法、数乘,
① ABBA ??? ② )()( CBACBA ?????
③ AOA ?? ④ OAA ??? )(
⑤ AA ?1
返回
⑥ AkllAk )()( ? ⑦ kBkABAk ??? )(
⑧ lAkAAlk ??? )(
例 1 已知矩阵
???
?
???
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?
?
101
021
A ??
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???
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130
111
B和
BA 32 ?求 BA 32 ?及
???
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???
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???
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???
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130
1113
101
021232 BA解
???
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???
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???
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???
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?
390
333
202
042
返回
??
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592
375
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??
??
192
311
32 BA
同理
返回
二, 矩阵的乘法
某公司的４个工厂 W,X,Y,Z工厂生产 3种产品 P,Q、
R,每种产品的材料, 劳动力及管理费的单位成本如下表所
示,
产品
单位成本
P
Q
R
材料 1 2 1
劳动力 3 2 2
管理费 2 1 2
表 1.2 单位：元
返回
4个工厂生产这３种产品的月产量如下表所示
表 1.3 单位：件
工厂
产品
W
X
Y
Z
P 2000 3000 1500 4000
Q 1000 500 500 1000
R 2000 2000 2500 2500
如何求每个工厂关于材料、劳动力及管理费的月度总成本？
首先，我们用下述两个矩阵分别表示表 1.2与表 1.3
容易知道, 厂关于材料, 劳动力及管理费的月度总成本为
材料,,
劳动力,,
管理费,,
同理，我们可以分别得到其余三个工厂关于材料、劳动力及管理费
的月度总成本．以每个工厂关于材料、劳动力及管理费的月度总成
本作为列构成的矩阵
?
?
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?
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212
223
121
A
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?
?
?
?
2 5 0 02 5 0 02 0 0 02 0 0 0
1 0 0 05 0 05 0 01 0 0 0
4 0 0 01 5 0 03 0 0 02 0 0 0
B
W
6 0 0 02 0 0 011 0 0 022 0 0 01 ??????
1 2 0 0 02 0 0 021 0 0 022 0 0 03 ??????
9 0 0 02 0 0 021 0 0 012 0 0 02 ??????
,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1 4 0 0 08 5 0 01 0 5 0 09 0 0 0
1 9 0 0 01 0 5 0 01 4 0 0 01 2 0 0 0
8 5 0 05 0 0 06 0 0 06 0 0 0
C
1,乘法的定义,和,如果
则矩阵 C中每个元素都是 A的行,B的列对应元
素之积之和。
即
smijaA ?? )( nsijbB ?? )(
CAB ?
??????
?
s
k
kjiksjisjijiij babababac
1
2211 ?
),,2,1;,,2,1( njmi ?? ??
是一个 矩阵, 并且它的第 行第 列的元素恰好是 A的
第 行元素与 A的第 列对应元素乘积之和,
我们把矩阵 C称为矩阵 A与 B的乘积, 记作,
43? i j
i j
ABC ?
注意：只有当左边的矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，
两个矩阵才可以相乘,
例 2 求矩阵
???
?
???
? ?
?
203
112
A
与矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
151
111
020
B
的乘积 AB
解 因为 A是 2× 3矩阵, B是 3× 3矩阵, A的列数等于 B
的行数, 所以矩阵 A与 B可以相乘, 其乘积是 2× 3矩
阵, 由定义有
?
?
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??
?
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??
?
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??
151
111
020
203
112
ABC
??
?
?
??
?
?
????????????????
???????????????????
?
)1(21003521023121003
)1()1(11025)1(11221)1(1102
???
?
???
?
?
?
2162
200
例 3 已知矩阵 与,
求乘积 与,
???
?
???
??
00
10A
???
?
???
??
00
11B
AB BA
???
?
???
??
00
00AB
???
?
???
??
00
10
BA
解 ;
注：矩阵的乘法不满足交换律, 即在一般情况下,
BAAB ?
矩阵乘法的运算规律,
(AB)C = A(BC)
k (AB) = (kA)B = A(kB)
A(B+C) = AB + AC
(B + C)A = BA +CA
例 3还表明：矩阵,,但却可能有 ；等价地, 由矩
阵等式 不能推出 或 的结论, 所以, 如果
且, 一般不能得出 = 的结论,
0?A
0?B 0?AB
0?A 0?B
0?A
AYAX ? X Y
0?AB
例 4 写出线性方程组
的矩阵形式,
??
?
?
?
???
???
4
1532
31
321
xx
xxx
解 这个方程组可以记作
??
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??
?
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??
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??
?
4
1
101
532
3
2
1
x
x
x
有了矩阵的乘法, 就可以对任意非负整数定义矩阵的幂,
设 A为 n阶矩阵, 定义
AAAIA kk ?? ? 10,
其中 K为非负整数,
例 5 已知矩阵
,
求 及,
???
?
???
?
?
?
01
10
A
32,AA 4A
解 ??
?
?
???
?
?
??
???
?
???
?
????
?
???
?
?? 10
01
01
10
01
102A
???
?
???
? ??
???
?
???
?
????
?
???
?
?
???
01
10
01
10
10
0123 AAA
???
?
???
??
???
?
???
?
??
?
?
?
???
? ???
10
01
01
10
01
1034 AAA
由于矩阵的乘法满足结合律，所以矩阵的幂满足
以下运算规律,
kllklklk AAAAA ?? ? )(,
其中 为非负整数．又因为矩阵乘法不满足交换律,
所以对任意两个 n阶矩阵 A与 B,一般有
lk,
? ? KKK ?????
三, 矩阵的转置
1,定义（转置）
，设
?
?
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?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
???
?
?
21
22221
11211
.
21
22212
12111
的转置为称 A
aaa
aaa
aaa
A
mnnn
m
m
?
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???
?
?
T
mnnm AA ?? )(,T
例 6
,
053
241
???
?
???
? ??A ;
02
54
31
?
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?
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?
?
?
?
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?TA
? ?,9618?B,
9
6
18
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
T
B
2,运算律
① ( AT)T = A ② (A+B)T = AT+BT
③ (kA)T = kAT ④ (AB)T = BTAT
⑤ (A1A2…… Ak)T = ATk ATk-1…… AT1
例 7 已知
,,
?
?
?
?
???
? ??
231
102
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
102
324
171
B
求 ?)(AB
解 因为
??
?
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??
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
?
?
??
?
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?
101317
3140
102
324
171
231
102
AB
所以
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
103
1314
170
)( AB
另解
?
?
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?
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?
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?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
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??
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?
?
?
?
?
?? ???
103
1314
170
21
30
12
131
027
241
)( ABAB
设 A为 n阶矩阵, 如果满足, 那么 A称为对称矩阵；
如果满足, 那么 A称为反对称矩阵,
AA ??
AA ???
对称矩阵 A的元素满足,
),,2,1,( njiaa jiij ???
),,2,1,(,njiaa jiij ????
),,2,1(0 nia ii ???
例如矩阵
与
分别是对称矩阵与反对称矩阵,
??
?
?
??
?
?
cb
ba
??
?
?
??
?
?
? 0
0
a
a
例 8 证明：任意矩阵都可以表示为一个对称矩阵与一
个反对称矩阵之和,
反对称矩阵 A的元素满足,
证 设 A为一个矩阵，令
)(21 ??? AAB )(21 ??? AAC
那么
))(()()]([ 212121 ???????? ?????? AAAAAAB
BAA ??? ? )(21类似地,
CC ???
即 B为对称矩阵, C为反对称矩阵, 容易验证
从而,A可以表示为对称矩阵 B与反对称矩阵 C之和,
CBA ??
四, 矩阵的逆
1,逆矩阵的定义,
A为 n阶方阵，如果存在 n阶方阵 B，使得
AB=BA=I。那么 A为可逆矩阵,B为 A的逆
矩阵，简称为 A的逆。且逆矩阵 B为唯一
的。如果 A没有逆矩阵，则称 A是不可逆矩阵。
若 A可逆，则 A-1存在，且 A A-1 = A-1 A = I,
例 8 证明矩阵 是不可逆矩阵,
???
?
???
?
?
93
31
A
证 用反证法,设 是 A的逆矩阵,那么有
利用矩阵的乘法及矩阵相等的概念可以得到线性方程组
这个线性方程组无解, 这是因为由第一个方程与第三个
方程可以得到一个矛盾的方程
０ =３,
所以, 矩阵是不可逆矩阵,
???
?
???
?
dc
ba
???
?
???
??
???
?
???
?
???
?
???
?
10
01
93
31
dc
ba
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
193
093
03
13
db
ca
db
ca
例 11 证明矩阵 是可逆矩阵, 并且求,
解 设有矩阵, 使得
由此可以得到线性方程组
???
?
???
? ??
10
21A 1?A
???
?
???
??
dc
baB
210
01
10
21 I
dc
baAB ?
???
?
???
??
???
?
???
?
???
?
???
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
1
0
02
12
d
c
db
ca
这个线性方程组有唯一的解, 于是,
容易验证, 所以, A是可逆矩阵, 且
1,0,2,1 ???? dcba
???
?
???
??
10
21B2IBA?
???
?
???
????
10
211 BA
矩阵的求逆是一种一元运算，满足下述运算律
设 A,B都是 n阶可逆矩阵，数 则 0??
注意,如果 都是同阶的可逆矩阵，则
可逆，且, 其中 s为任意正整数
sAAA,,,21 ? sAAA ?21
111 11121 )( ????? ? AAAAAA sss ??
1,是可逆，且 =A ； A1? ? ?1
1 ??A
2,A可逆，且 =1/ ； ? 1?A?? ? 1???
AB可逆，且 = ; ? ? 1??? 11 ?? ??
AT可逆，且 =, ? ?1??? ? ? ?? ?1