第四节 矩阵的秩
nm? 矩阵 A 中，任取 k 行与 k 列 }),m in {1( nmk ??
位于这些行列交叉处的 2k 个元素,
A 中的相对
k 阶行列式, A 的一个 k 阶 子式,
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??
??
1234
5132
1736
A
中，取第 1,2行和第 2,4列交叉处的元素，组成的二
53
13 为 A 的一个二阶子式,
矩阵的秩是矩阵的一个重要数值特征，是研究矩阵
的重要概念,
为了建立矩阵的秩的概念，先给出矩阵的子式的定
义,
一、矩阵的秩的概念
在
位置组成的
例如，在矩阵
阶行列式
按它们在矩阵
称为 返
回
第
三
章
有了子式的概念，就可以定义矩阵的秩,
A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D,且所有
1?r 阶子式 (如果存在的话 )全等于零,D 称为 A 的最高阶非
r 称为矩阵的秩，记作 )(AR,并规定零矩阵的秩等于零,
A 中当所有 1?r 阶子式
1?r 阶的子式也全等于零,A 的秩 )(AR
就是 A 中不等于零的子式的最高阶数,nm? 阶矩阵 A
的秩满足 ?? nmAR,m in)( ?, 显然，对任意矩阵 A, )(AR 是唯一决定
A 与其转置矩阵 ?A 有相同的秩，即 )()( ?? ARAR
定义 2 设在矩阵
零子式,
由行列式按行 (列 )展开的公式知,
全等于零时,
但其最高阶非零子式不一定是唯一的．由行列式转置后其值
不变,
那么
数
在
所有高于 因此
由定义知
的,
故矩阵
,
例 12 求矩阵 A 与 B 的秩，其中
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?
??
174
532
321
A
, ??
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??
?
00000
34000
52130
23012
B
解 在 A 中，容易看出一个 2阶子式
0
32
21 ?
A 的 3阶子式只有一个 A,经计算得 0?A,因此 2)( ?AR
B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有 3行，即知 B 的所有 4阶
400
230
312
?
?
子式全为零，而以三个非零行的左边第一个非零元素为对角
线元素的 3阶行列式
的值为 2× 3× 4=24≠0，因此 3)( ?BR
从上例可知，当行数与列数较大时，一般的矩阵按定义求
但是对于行阶梯形矩阵，它的秩就等于其非零行
的行数，一看便知不用计算,
本段介绍用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，从而求
矩阵的秩的方法．首先给出下列定理,
A 化为 B, B 的子式与
A 的子式的对应关系有下列三种情形,
B 的子式即为 A 的某个子式；
B 的子式为 A 的某一个子式交换行的位置得到；
B 的子式由 A 的某一个子式的某一行乘以非零数 k 得到．因此
A 与 B 对应的子式或者同时为零，或者同时不为零．所以,
)()( BRAR ?
二、矩阵秩的计算
定理 6 初等变换不改变矩阵的秩,
证 只就初等行变换的情况加以证明，至于初等列变换的
情况类似可证,
如果使用第一种或第二种初等行变换把
秩是很麻烦的,
当使用第三种初等行变换把 A 化为 B (比如
ji krr ?
)时,
B 的任意一个 1?r 阶子式 1?rB
分三种情形讨论,
1?rB 不含第 i 行元素；
1?rB 同时含第 行和第 j 行元素；
1?rB 含第 i 行但不含第 j 行元素,
A 中与 1?rB 对应的子式
1?rA
,
11 ?? ? rr AB,故 01 ??rB ；对第三种情形，有
?
?
?
?
?
?
jijir rkrkrrB ????? 1
以上等式右端第一个行列式为 A 的 1?r 阶子式,
A 的一个 1?r 阶子式交换两行的位置得到,
i
在前两种情形，由行列式的性质，对
列式可由
考虑
而第二个行
故它们均等
,
于零．从而 0
1 ??rB
以上证明了如果 A 经过一次第三种初等行变换化为 B,那么
B 的任意 1?r 阶子式都等于零,)()( ARrBR ??
由于 B 也可经一次第三种初等行变换化为 A,故也有
)()( BRAR ?
从而 )()( BRAR ? 证毕
A 经过有限次初等变换变为 B,那么 )()( BRAR ?
由此便得求矩阵的秩的方法,
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??
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41461
35102
16323
05023
A
由定理 6，如果
矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩,
例 13 设
由矩阵秩的定义,
用初等行变换把矩阵化成行阶梯形
求矩阵 A 的秩，并求 A 的一个最高阶非零子式,
A 的秩,A 施行初等行变换使它化成行
?
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12812160
1179120
11340
41461
14
13
42
41
3
2
rr
rr
rr
rr
A
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
??
?? ??
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84000
84000
11340
41461
24
23
4
3
rr
r
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?? ??
?
00000
84000
11340
41461
34 rr
B?
因为行阶梯形矩阵 B 有 3个非零行，所以
3)()( ?? BRAR
解 先求
阶梯形矩阵,
为此对
下面求 A 的一个最高阶非零子式,
3)( ?AR,知 A 的最高阶非零子式为 3阶,),,,,(
54321 aaaaa?A
其中
)5,4,3,2,1( ?iia
为 A 的列向量,),,
421 aa(a?C
对应的行阶梯形矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
000
400
140
161
易知 3)( ?CR,故 C 中一定有 3阶非零子式,C 的 3阶子式有 4个,
C 的前三行构成的子式
016
502
623
523
????
因此这个子式便是 A 的一个最高阶非零子式,
因
其中
记
那么矩阵
对于 n 阶可逆矩阵，因 0?A,知 A 的最高阶非零子式为 A
nAR ?)(,由于矩阵的秩等于阶数，故可逆矩阵又称作满秩矩
nmA?
,总可以经过有限次初等行变换化为行阶
???
?
???
?
00
0rI
的矩阵，称为 nm? 矩阵 A 的标准形矩阵，其中 )( ARr ?
故存在 m 阶初等矩阵
sPPP,,,21 ?
以及 n 阶矩阵 tQQQ,,,21 ?
使得
???
?
???
?
?
00
0r
ts
I
QQAQPPP ?? 2112
记
ts QQQQPPPP ?? 2112,??
，那么 P 为 m 阶可逆矩阵,
Q 为 n 阶可逆矩阵且
nm
rIPAQ
?
???
?
???
??
00
0
阵，而奇异矩阵又称作降秩矩阵,
对于任意矩阵
梯形矩阵，然后通过有限次初等列变换便可化成形如
nm? A m P n
Q
???
?
???
??
00
0rI
P A Q
rAR ?)( A rnm,,
A
3)( ?AR A
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00000
00100
00010
00001
00
0
54
3
I
即对任意 矩阵,都存在 阶可逆矩阵 及 阶可逆矩阵
，使得
其中,容易知道矩阵 的标准形矩阵由
例 14 求例 13中
解,由例 13知,且 为 4× 5矩阵，故
的标准形矩阵为
这三个数确定,
的标准形矩阵,